Aqui abordaremos de maneira simplificada e sucinta as principais diferenças, bem como algumas características dos métodos de inversão pré/pós-empilhamento. O entendimento de ambos os métodos está muito interligado, sendo que o pós-empilhamento (post-stack) ajudará no entendimento do pré-empilhamento (pre-stack).
Utilizadas desde antes da década de 1960, as técnicas de empilhamento objetivam o aumento da razão sinal/ruído, através da adição de traços sísmicos. Surgiu como um método que buscava prover uma maneira prática de acrescentar, ou seja, aumentar a quantidade de traços empilhados (multiplicidade), isso tudo sem haver perdas no que se refere aos refletores, cujas posições eram devidamente corrigidas. Esse método foi denominado de ponto de reflexão comum (CRP – common reflection point) (CATALDO, 2015; MAINE, 1962).
Ressaltamos que existem diferentes tipos de inversão, porém cada uma inicia-se com traços sísmicos3 diferentes. Também podemos diferir os tipos de inversão em função do dado sísmico a ser utilizado, caso esse seja invertido antes do empilhamento4, o denominamos de pre-stack, de forma análoga, se for invertido após o empilhamento, chamamos de post-stack. Normalmente o stacking possui algumas características, produz um traço único cuja amplitude é igual a uma média do sinal (nos traços empilhados) e esse traço possui um ruído mínimo aleatório. Lembramos que o traço (resultante) empilhado é o retorno produzido pela reflexão incidente à normal, exatamente no ponto médio comum (CMP – Common MidPoint). Satisfeitas algumas condições, se faz a inversão com os dados empilhados (post-stack), caso contrário, onde temos amplitudes variando com o offset5 e as condições não são satisfeitas, realiza-se o empilhamento pre-stack (BARCLAY, 2008; ROCHA, 2013).
O post-stack tem como objetivo extrair informações de impedância acústica partindo dos dados sísmicos que foram, de modo prévio, empilhados preservando-se sua amplitude no processamento. Tal método pressupõe e baseia-se no raciocínio de que um traço pode ser modelado através de equação convolucional, baseada nos coeficientes de reflexão de incidência (verticais) (CATALDO, 2015; RUSSELL; HAMPSON, 1991).
Para entender melhor esse processo metodológico, supõe-se que podemos decompor os dados sísmicos através da Equação (3.7) a seguir, e o chamamos de modelo convolucional.
𝑠(𝑡) = 𝑟(𝑡) ∗ 𝑤(𝑡) + 𝑛(𝑡) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.7)
3 Função unidimensional (dimensão tempo ou profundidade) que fornece a variação da amplitude do sinal sísmico.
4 Uma das etapas do processamento, soma dos traços sísmicos.
Onde o traço sísmico denominamos de 𝑠(𝑡), 𝑟(𝑡) é chamada de refletividade da terra, a onda sísmica 𝑤(𝑡) e o ruído que surge nas medições o nomeamos de 𝑛(𝑡).
Os métodos de inversão convencionais buscam encontrar o termo 𝑟(𝑡) da refletividade da terra. Na Figura 3.2 já mostrada anteriormente, temos um comparativo dos métodos direto e inverso. Para o caso direto inicia-se com um modelo estimado (da terra), onde há convolução com a onda e tem como resultado o traço sísmico sintético. Já para o caso inverso, o processo tem origem no dado real, remove-se o efeito da ondícula, e assim, obtemos uma refletividade estimada. Novamente relembramos que esse processo é iterativo (direto/inverso), e tem por objetivo minimizar a diferença entre os dados reais e sintéticos.
A post-stack é bastante comum e utilizada para modelar reservatórios e suas características. Através dos modelos de impedância que esse fornece, pode ser possível estimar importantes propriedades que ajudam a caracterizar, ou seja, entender e analisar um reservatório, como por exemplo saturação de água, porosidade, pontos importantes na busca dos hidrocarbonetos. Um outro ponto importante e positivo nesse método é que ele requer menor esforço e poder de processamento computacional (CATALDO, 2015), também menor armazenagem de dados, isso normalmente o faz ser usado em primeiro caso, é mais barato e rápido se o compararmos aos métodos de inversão pré-empilhamento.
Usado na inferência quantitativa das propriedades rochosas, o post-stack usa dados de reflexão, obtidos através de aquisição sísmica, que irão capturar as ondas refletidas nas estruturas geológicas da terra. Numa abordagem convencional, o pós-empilhamento formula-se com um problema de otimização de mínimos quadrados (YILMAZ, 2000; KARSL1; GÜNEY; SENKAYA, 2017) cujo principal objetivo é minimizar a diferença entre os dados observados e modelados, para isso usamos a função misfit (desajuste), dada pela Equação (3.8) a seguir: min 𝑟 𝜙𝐺(𝑟) ≔ 1 2∑ (𝑑𝑖 𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇 𝑛 𝑖=1 (𝑑𝑖𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.8)
Onde 𝑟 é a refletividade do meio, 𝑡 é o tempo, 𝑑𝑜𝑏𝑠 e 𝑑𝑚𝑜𝑑 são os dados observados e modelados, respectivamente, 𝑛 representa o tamanho total do vetor de refletividade adquirido no levantamento sísmico e 𝑇 surge como um operador de transposição.
Com isso, os dados modelados são baseados na convolução entre a série de refletividade 𝑟(𝑡) e a fonte sísmica 𝑠(𝑡), logo (RUSSELL, 1988):
𝑑𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) = 𝑠(𝑡) ∗ 𝑟(𝑡) = 𝐺𝑟(𝑡) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.9)
Nessa equação, 𝐺𝑟(𝑡) representa a matriz computacional, e * é o operador de convolução.
O processo de pós-empilhamento dos mínimos quadrados determina uma solução, máxima a posteriori, que é usada na estimativa dos parâmetros do modelo. A partir de um ponto de vista probabilístico, com erros independentes e distribuídos de maneira análoga a uma distribuição de probabilidade gaussiana, por conseguinte, a minimização 𝜙𝐺(𝑟) equivale a maximização da probabilidade gaussiana, podendo ser vista na Equação (3.10) a seguir:
ℒ𝐺 ∝ exp (−1 2∑ (𝑑𝑖 𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇 𝑛 𝑖=1 (𝑑𝑖𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.10)
Sabendo que o Princípio da Entropia Máxima (MEP) para a entropia de BGS (Boltzmann-Gibbs Shannon) é dado por (JAYNES, 1957a, 1957b):
𝑆(𝑝(𝑥)) = − ∫ 𝑝(𝑥) ln(𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.11)
∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.12)
∫ 𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.13)
Usando as condições restritivas apresentadas nas Equações (3.12) e (3.13), produzimos diretamente uma distribuição gaussiana na forma padrão, onde 𝑝(𝑥) é uma função de densidade de probabilidade. A restrição da Equação (3.12) aparece como condição de normalização, por outro lado, a Equação (3.13) restringe o segundo momento, logo a post-stack convencional maximiza a entropia BGS, desde que obedecidas as restrições impostas (LIMA et al., 2020).
O surgimento da inversão pre-stack se deu por necessidade, precisava-se extrair um número maior de informações dos dados sísmicos, pois haviam lacunas a serem preenchidas pelas questões ora não resolvidas pelo pós-empilhamento. As diferentes combinações de litologias e propriedades físicas das rochas podem fornecer um mesmo valor para a impedância acústica 𝑧, o que torna difícil a separação das classes. Um exemplo disso é que a impedância não consegue resolve uma ambiguidade, que existe entre porosidade dos folhelhos e carbonatos. Para casos assim, a informação de uma onda 𝑆, por exemplo, toma um papel importante na diferenciação de rochas não-reservatório ou reservatório (LI; DOWNTON; GOODWAY, 2003). A inversão post-stack fornece modelos de impedância 𝑧, enquanto isso, a pre-stack objetiva extrair informações confiáveis, ou seja, estimativas de velocidades das ondas 𝑃 e 𝑆6, e densidade 𝜌.
6 Ondas P são ondas compressionais, ou dilatacionais, que deslocam as partículas das rochas na mesma direção de propagação da energia. Ondas S são ondas cisalhantes ou transversais, deslocam as partículas do meio