Ressaltamos que, para podermos fazer o processo de inversão precisamos de um dado real (dado observado), é aí que o código modelling entra. Por estarmos trabalhando com dados sintéticos (testes sintéticos), nós utilizamos esse código com o modelo Marmousi, para simular, ou seja, gerar nosso “dado real” a ser utilizado na inversão.
Para nosso código modelling, nos parâmetros de aquisição são inseridas diversas informações, como por exemplo a frequência de pico da nossa fonte sísmica (Ricker wavelet), tipo de ruído a ser usado, números de amostras de tempo, tamanho do modelo em (x) e (y), discretização em (t), (x) e (z) e os parâmetros para cortar o modelo Marmousi. Após os dados iniciais, inserimos a informação do nosso modelo de impedância acústica, Figura 5.3 a seguir.
Figura 5.3. Modelo de impedância acústica - Marmousi.
Fonte: o autor.
Para nosso trabalho iremos usar apenas um corte (Figura 5.4) do Marmousi, retirado do modelo inicial (Figura 5.3), localizado no canto superior esquerdo, afim de provar o método que utilizamos. O Marmousi é um modelo sintético e foi desenvolvido pelo Instituto Francês de Petróleo, sua estrutura complexa é baseada em geologia real, da Bacia de Kwanza, em Angola (LIMA et al., 2020). Esse modelo é muito utilizado devido à sua complexidade geológica, o mesmo possui fortes variações em suas velocidades vertical e horizontal.
Figura 5.4. Corte do Marmousi - modelo de impedância acústica.
Fonte: o autor.
A Figura 5.5 nos mostra a refletividade, calculada a partir da Equação (3.6), com objetivo de pegar os contrastes de impedância e a imagem 5.6 mostra o modelo de refletividade real/verdadeiro usado como resultado comparativo mais à frente.
Para que façamos a convolução necessitamos de uma fonte sísmica, que em nosso caso utilizamos uma Ricker wavelet, ilustrada na Figura 5.7. Em nossas simulações usamos a Ricker com pico máximo de 55 Hz, que mais se adequou ao nosso trabalho.
Por fim, concluímos a modelagem fazendo a convolução da fonte sísmica com a refletividade, que irá resultar em nosso dado observado, “dado real”, conforme Figura 5.8. Esse é um dado sem ruído, e a imagem 5.9 representa um dado com ruído gaussiano fraco, ou seja, com uma relação sinal ruído (𝑠𝑛𝑟 = 30). Ressaltamos que, quanto mais próximo de 0 (zero) for o (𝑠𝑛𝑟), maior será o ruído atribuído ao processo.
Consideramos a fonte sísmica, a wavelet Ricker (RICKER, 1943), como sendo a fonte de origem, e essa será definida pela Equação (5.1) abaixo, sendo que o 𝜈𝑝 é a frequência de
pico, ou mais energética, conforme já mencionado em nosso estudo, a consideramos com valor 𝜈𝑝= 55 𝐻𝑧.
𝑠(𝑡) = (1 − 2𝜋2𝜈𝑝2𝑡2)𝑒𝑥𝑝(−𝜋2𝜈𝑝2𝑡2) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (5.1)
Para poder resolver o problema de otimização utilizamos um algoritmo l-BFGS (BYRD et al., 1995) para a minimização da função misfit (desajuste) para ambos os métodos, como critério de parada usamos a tolerância 𝜖 na norma de gradiente, ou então se o tamanho/comprimento do passo não satisfizer as condições de Wolfe7 (NOCEDAL; WRIGHT, 2006). A norma de gradiente é ‖∇𝑟𝜑(𝑟)‖ < 𝜖 = 10−12. Se um desses critérios for satisfeito, o processo de inversão é interrompido.
Figura 5.5. Modelo de refletividade a partir do modelo de impedância acústica.
Fonte: o autor.
Figura 5.6. Modelo de refletividade real/verdadeirocomparativo.
Fonte: o autor.
Figura 5.8. Dado real (dado observado) sintético sem ruído.
Fonte: o autor.
Figura 5.9. Dado real (dado observado) sintético com ruído gaussiano (snr = 30).
O modelo inicial de impedância acústica presente na Figura 5.10 (a), bem como o modelo de refletividade, Figura 5.10 (b), serão os dados usados nas simulações numéricas a partir daqui.
Figura 5.10. Modelo de impedância acústica (a) e modelo de refletividade (b).
Fonte: o autor.
Para um melhor entendimento do estudo, vamos considerar dois cenários. O primeiro deles é um caso ideal, onde usamos dados sem ruídos, apenas para demonstrar a boa ordem de funcionamento dos algoritmos. Para o segundo cenário, vamos considerar dados ruidosos, simularemos um ruído não gaussiano. Ao longo de 1% das amostras (escolhidas de forma aleatória e distribuídos de maneira uniforme), acrescentamos spikes, as amplitudes dos sinais foram redimensionadas por um fator de 15𝛽, ressaltamos que 𝛽 segue uma distribuição uniforme.
Foram realizadas 16 inversões para cada cenário, na primeira usamos a abordagem convencional, conforme Equação (3.8), enquanto para as demais utilizamos o 𝑞-PSI com valores de 𝑞 = 0.1, 0.3, 0.5, … ,2.9, conforme Equação (4.19).
Na Figura 5.11 mostramos os dados observados para os dois experimentos numéricos e ressaltamos que o modelo inicial é o mesmo para todas as simulações.
Figura 5.11. Dados observados pós-empilhamento: 1º cenário - dados sem ruídos (a) e 2º cenário - dados com ruídos (b).
Fonte: o autor.
Os resultados das inversões usando o PSI convencional, em nosso primeiro cenário, assim como 𝑞-PSI com valores de 𝑞 = 0.1, 0.3, 0.5, … ,2.9, estão representados na Figura 5.12. Podemos observar os resultados para os dois métodos, onde se pode observar que o 𝑞-PSI produz uma boa resolução de imagem da subsuperfície. Ressaltamos que comparamos os resultados com o modelo de refletividade já apresentado na Figura 5.6.
Para nosso segundo cenário, consideramos a existência de um ruído não gaussiano. A partir da Figura 5.13 é possível observarmos que o método de inversão post-stack (PSI) convencional falha na obtenção de uma boa reconstrução do modelo de refletividade, conforme Figura 5.13 (e). Isso ocorre em função estamos usados dados com ruídos, o que dificulta o processo de inversão.
Em contraste ao PSI convencional, o método 𝑞-PSI nos mostra resultados muito próximos ao apresentado no modelo de refletividade real, usado em comparativo, isso à medida que o valor de 𝑞 aumenta, para casos de 1 < 𝑞 < 3. O desvio do comportamento gaussiano é maior, conforme mostrado na Figura 5.13 (f - o), para valores de 𝑞 = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, … , 2.9. Ressaltamos que, embora os resultados do 𝑞-PSI para baixos valores de 𝑞 (𝑞 ≤ 1.3) mostrem artefatos, conforme representado na Figura 5.12 (a - d, f, g), os resultados ainda são superiores ao resultado do método PSI convencional, conforme indicado na Figura 5.12 (e).
Figura 5.12. Resultado das inversões para o 1º cenário: modelos de refletividade para o 𝑞-PSI com 𝑞 = 0.3 (a), 𝑞 = 0.5 (b), 𝑞 = 0.7 (c), 𝑞 = 0.9 (d), PSI convencional (e), e 𝑞-PSI com 𝑞 = 1.1 (f), 𝑞 = 1.3 (g), 𝑞 = 1.5 (h), 𝑞 = 1.7 (i), 𝑞 = 1.9 (j), 𝑞 = 2.1 (k), 𝑞 = 2.3 (l), 𝑞 = 2.5 (m), 𝑞 = 2.7 (n), 𝑞 = 2.9 (o).
Figura 5.13. Resultado das inversões para o 2º cenário: modelos de refletividade para o 𝑞-PSI com 𝑞 = 0.3 (a), 𝑞 = 0.5 (b), 𝑞 = 0.7 (c), 𝑞 = 0.9 (d), PSI convencional (e), e 𝑞-PSI com 𝑞 = 1.1 (f), 𝑞 = 1.3 (g), 𝑞 = 1.5 (h),
𝑞 = 1.7 (i), 𝑞 = 1.9 (j), 𝑞 = 2.1 (k), 𝑞 = 2.3 (l), 𝑞 = 2.5 (m), 𝑞 = 2.7 (n), 𝑞 = 2.9 (o).
Qualitativamente as imagens comprovam que nosso método 𝑞-PSI supera a inversão Pós-Empilhamento convencional, contudo, afim de compararmos quantitativamente os resultados das simulações do PSI com o modelo de refletividade real, calculamos três medidas estatísticas. A primeira medida calculada foi a raiz quadrada média normalizada (NRMS), que pode ser definida pela Equação (5.2), onde 𝑟𝑖𝑛𝑣 é o resultado da inversão e 𝑟𝑡𝑟𝑢𝑒 representa o modelo de refletividade verdadeiro.
𝑁𝑅𝑀𝑆 = [∑ (𝑟𝑖 𝑡𝑟𝑢𝑒− 𝑟𝑖𝑖𝑛𝑣)2 𝑛 𝑖=1 ∑𝑛 (𝑟𝑖𝑡𝑟𝑢𝑒)2 𝑖=1 ] 1 2 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (5.2)
Ressaltamos que, quanto mais próximo de 0 (zero) for o NRMS, menor será o erro. Em seguida calculamos o coeficiente de Pearson (R) (PEARSON; HENRICI, 1896), o qual mede uma relação linear entre o modelo reconstruído e o modelo verdadeiro. Por fim, a terceira medida calculada fora o índice de similaridade estrutural (do inglês, Structural Similarity Index - SSIM) (ZHOU et al., 2004), que é um índice de qualidade de similaridade entre imagens. Tanto (R) quanto o (SSIM) variam entre -1 (anti-correlação / similaridade) e 1 (perfeita correlação / similaridade).
Os resultados das medidas estatísticas para os dois cenários de nosso estudo estão presentes na Tabela 5.1. E se fizemos uma análise dos mesmos, é possível observarmos que o método de inversão 𝑞-PSI, para o valor de 𝑞 no entorno de 2.1, mostra o melhor resultado de acordo com as medidas estatísticas que calculamos. Na referida faixa temos menor (NRMS) e a maior semelhança, ou seja, maior (R) e (SSIM), isso ressalta que nosso método se mostra mais robusto quando trabalhamos com dados ruidosos.
Além do mais, a inversão 𝑞-PSI requer um menor número de iterações que o PSI convencional para convergir, vejamos essa representação na Figura 5.14.
Tabela 5.1: Principais estatísticas dos resultados do PSI.
Estratégia utilizada
1º cenário (sem ruído) 2º cenário (com ruído)
NRMS R SSIM NRMS R SSIM Nosso método (𝒒 = 𝟎. 𝟏) 0,8369 0,8282 0,8277 2,4821 0,4302 0,2756 Nosso método (𝒒 = 𝟎. 𝟑) 0,8366 0,8293 0,8288 2,7015 0,4128 0,2523 Nosso método (𝒒 = 𝟎. 𝟓) 0,8365 0,8287 0,8282 1,3092 0,6187 0,6215 Nosso método (𝒒 = 𝟎. 𝟕) 0,8367 0,8292 0,8286 1,3186 0,6129 0,6152 Nosso método (𝒒 = 𝟎. 𝟗) 0,8369 0,8295 0,8289 4,5209 0,3395 0,1495 PSI convencional (𝒒 = 𝟏. 𝟎) 0,8373 0,8292 0,8286 6,5366 0,3118 0,1222 Nosso método (𝒒 = 𝟏. 𝟏) 0,8370 0,8396 0,8290 2,0517 0,5514 0,4328 Nosso método (𝒒 = 𝟏. 𝟑) 0,8371 0,8293 0,8288 2,1844 0,5362 0,4085 Nosso método (𝒒 = 𝟏. 𝟓) 0,8366 0,8294 0,8288 1,0115 0,7015 0,6934 Nosso método (𝒒 = 𝟏. 𝟕) 0,8374 0,8293 0,8287 1,0057 0,7040 0,6971 Nosso método (𝒒 = 𝟏. 𝟗) 0,8366 0,8289 0,8284 0,9896 0,7083 0,7037 Nosso método (𝒒 = 𝟐. 𝟏) 0,8376 0,8293 0,8287 0,9884 0,7085 0,7041 Nosso método (𝒒 = 𝟐. 𝟑) 0,8371 0,8296 0,8290 0,9966 0,7074 0,7018 Nosso método (𝒒 = 𝟐. 𝟓) 0,8373 0,8290 0,8284 1,0370 0,6951 0,6833 Nosso método (𝒒 = 𝟐. 𝟕) 0,8373 0,8293 0,8287 1,0051 0,7040 0,6971 Nosso método (𝒒 = 𝟐. 𝟗) 0,8376 0,8280 0,8274 1,0178 0,7035 0,6946 Fonte: o autor.
Quando analisamos o primeiro cenário, a convergência tanto do PSI convencional quanto o 𝑞-PSI se mostra bastante semelhante, vejamos as Figuras 5.14 (a) e 5.15 (a). Isso já era esperado por se tratar de dados sem ruídos. Contudo, quando migramos para o segundo
cenário, observamos que a inversão 𝑞-PSI, para valores de 𝑞 > 1.3 e 𝑞 < 1, converge de maneira mais rápida que os demais, nesses o decaimento da curva de convergência tem sua inclinação aumentada à medida que o valor de 𝑞 aumenta, conforme representado na Figura 5.14 (b) e 5.15 (b).
Figura 5.14. Convergência: (a) 1º cenário, (b) 2º cenário para casos de 1 < 𝑞 < 3.
Fonte: o autor. (a ) F unç ão m is fi t nor m al iz ada Iterações
Fonte: o autor. (b) F unç ão m is fi t norm al iz ad a Iterações
Figura 5.15. Convergência: (a) 1º cenário, (b) 2º cenário para casos de 0 < 𝑞 < 1. Fonte: o autor. (a ) F unç ão m is fi t nor m al iz ada Iterações
Fonte: o autor. (b) F unç ão m is fi t norm al iz ad a Iterações
Capítulo VI
Conclusões
6 Conclusões
Nesse trabalho estudamos e abordamos o formalismo de Tsallis associado a um problema de inversão. Investigamos a portabilidade da entropia não extensiva de Tsallis para calcular parâmetros físicos para um problema inverso de dados geofísicos, que possuem relevante interesse na exploração de hidrocarbonetos. Nesse panorama apresentamos uma função misfit robusta, 𝑞-misfit, para suavizar a sensibilidade da inversão sísmica ao ruído na reconstrução de modelos de refletividade de subsuperfície. Em nossa pesquisa o método empregado na inversão geofísica foi o PSI (inversão pós-empilhamento), logo a referência para nosso método é 𝑞-PSI em alusão à estatística de Tsallis (𝑞-estatística).
Afim de ilustrar a robustez e estabilidade de nossa proposta, consideramos dois experimentos numéricos: no primeiro deles usamos um dado silencioso ideal (dado sem ruído), e no segundo experimento foram adicionados spikes (picos) em 1% dos dados, o que simula um ruído não gaussiano. Os resultados numéricos conseguiram demonstrar, qualitativa e quantitativamente, que o método 𝑞-PSI supera o PSI convencional especialmente com uso de dados com ruídos não gaussianos (que normalmente se vê na prática), e é uma ferramenta promissora na exploração sísmica, importante campo na indústria petrolífera. Além disso, ao incluirmos a estatística de Tsallis na solução do problema inverso observamos uma aceleração na convergência algorítmica do método de inversão, principalmente para os casos onde 1.3 < 𝑞 < 3.0.
Um importante aspecto da nossa metodologia é a escolha do parâmetro 𝑞, após uma análise da Tabela 1, nas estatísticas dos resultados da inversão pós-empilhamento, concluímos que valores de 𝑞 em torno de 2.1 são os que produzem estimativas mais confiáveis dos parâmetros físicos, dessa forma, o 𝑞-PSI é uma ferramenta de grande valor na geofísica de exploração. Acreditamos que o método que utilizamos pode se estender a outros problemas inversos que necessitem de métodos robustos, e desta forma o método que vale a pena ser investigado em maior profundidade.
Referências Bibliográficas
ABE, S.; SUZUKI, N. Scale-free statistics of time interval between successive earthquakes. Phys. A Stat. Mech. Appl. 350, p. 588. 2005.
AKI, K., RICHARDS, P. G. Quantitative Seismology. 2nd Edition - University Science Books. 2002.
AMUNDSEN, L. Comparison of the least-squares criterion and the Cauchy criterion in frequency-wavenumber inversion. Geophysics. 56, p. 2027. 1991.
AYÓN-BEATO, E.; GARCÍA, A.; MANSILLA, R.; TERRERO-ESCALANTE, C. A. Stewart-Lyth inverse problem. Phys. Rev. D., 62, p. 103. 2000.
BARCLAY, F., et al. Seismic inversion: Reading between the lines. s.l.: Oilfield Review. p. 42. Vol. 20(1). 2008.
BEDIAGA, I.; CURADO, E.; MIRANDA, J. A Nonextensive thermodynamical equilibrium approach in e+ e- → hadrons. Physica A, v. 286, p. 156, 2000.
BEKENSTEIN, J. D. Some comments on Boltzmann-Gibbs statistical mechanics. Phys. Rev. 7. 1973.
BERTERO, M.; PIANA, M. Inverse problems in biomedical imaging: modeling and methods of solution. Springer 2006.
BRITO, S. G. A. Papel da dimensionalidade em Redes Complexas: conexões com a
mecânica estatística não-extensiva. 139 f. Tese (Doutorado) - Programa de Pós-graduação
em Física, Departamento de Física Teórica e Experimental (DFTE), UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal/RN, 2017.
BULCAO, A. Modelagem e Migração Reversa no Tempo Empregando Operadores Elásticos e Acústicos. 356 f. Tese de Doutorado, Ciências em Engenharia Civil. UFRJ, Rio de Janeiro-RJ, 2004.
BYRD, R.H.; LU, P.; NOCEDAL, J.; ZHU, C. A limited memory algorithm for bound constrained optimization. J. Sci. Comp. 16, 1190–1208. 1995.
CATALDO, R. A. Avaliação da inversão de dados sísmicos pré-empilhamento de um
reservatório carbonático da Bacia de Campos. 53 f. Dissertação (Mestrado) – Programa de
Pós-Graduação em Geociências, Instituto de Geociências, UNICAMP - Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP, 2015.
CHAPMAN, C. Fundamentals of Seismic Wave Propagation. Cambrige. 2006.
CURADO, E.; TSALLIS, C. Generalized Statistical Mechanics: connection with thermodynamics. J. Phys. A, v. 24, p. L69, 1991.
DA SILVA, S. L. E. F.; JULIÀ, J.; BEZERRA, F. H. R. Deviatoric Moment Tensor Solutions from Spectral Amplitudes in Surface Network Recordings: Case Study in São Caetano, Pernambuco, Brazil. Bull. Seism. Soc. Am. 2017.
DU, J. Nonextensivity in nonequilibrium plasma systems with Coulombian long-range interactions. Phys. Lett. A. 329, p. 262. 2004.
FABBRI, R. et al. Multi-q pattern classification of polarization curves. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v. 395, p. 332, 2014.
FERRARI, D.; YANG, Y. Maximum lq -likelihood estimation. Ann. Stat. 38, p. 753. 2010.
FREITAS, D. B. et al. Nonextensive triplet in a geological faults system. EPL (Europhysics Letters), v. 102, n. 3, 2013.
GUILLEN, J. M. Estudo sobre Caracterização de Reservatórios por Programação
Genética. 2015. 113 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Pós-graduação em
Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, PUC - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
HADAMARD, J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique. Princ. Univ. Bull. 13, p. 49. 1902.
JÁUREGUI, M. q-generalização da representação da delta de Dirac em ondas planas e da transformada de Fourier inversa. Dissertação de Mestrado, CBPF, Rio de Janeiro. 2011.
JAYNES, E.T. Information Theory and Statistical Mechanics II. Phys. Rev. 108, p. 171. 1957.
JAYNES, E.T. Information Theory and Statistical Mechanics. Phys. Rev. 106, p. 620. 1957.
KARSL1, H.; GÜNEY, R.; SENKAYA, M. Post-stack high-resolution deconvolution using Cauchy norm regularization with FX filter weighting. Arab. J. Geosci., 10, p. 551. 2017.
LI, Y.; DOWNTON, J.; GOODWAY, B. Recent applications of AVO to carbonate reservoirs in the Western Canadian Sedimentary Basin. The Leading Edge, 22(7), p. 670. 2003.
LIMA, I. P. Implementação do algoritmo (RTM) para processamento sísmico em
arquiteturas não convencionais. 113 f. Dissertação (Mestrado) – Programa de
Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP, Centro de Ciências Exatas e da Terra, UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal/RN, 2014.
LIMA, I. P.; DA SILVA, S. L. E. F.; CORSO, G.; DE ARAÚJO, J. M. Tsallis entropy, likelihood and the robust seismic inversion. Entropy, v. 22, p. 464, 2020. <https://doi.org/10.3390/e22040464>.
MA, X.-Q. A practical workflow for model-driven seismic inversion. First Break, 35(5): p. 39, 2017.
MAINE, W. H. Common Reflection Point Horizontal Data Stacking Techniques. Geophysics. p. 927, vol. 27. 1962.
MARQUES, L. Estudo das propriedades não-extensivas das colisões ultrarelativísticas. 83 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Ciências, Instituto de Física, USP - Universidade de São Paulo, São Paulo/SP, 2014.
MARTINS, M. A. Estratégias para inversão do campo de ondas completo associado a
fontes sísmicas reais e virtuais. 151 f. Tese (Doutorado) – Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil, Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE), UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro/RJ, 2015.
MEGIAS, E.; MENEZES, D. P.; DEPPMAN, A. Nonextensive thermodynamics for hadrons with finite chemical potentials. arXiv: 1312.7134, 2013.
MENKE, W. Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory. 3rd ed.; Academic Press: London, UK, 2012.
NOCEDAL, J.; WRIGHT, S. J. Numerical Optimisation, 2nd ed.; Springer: New York, NY, USA, 2006.
OLDENBURG, D. W., SCHEUER, T. e LEVY, S. 1983. Recovery of the acoustic impedance from reflection seismograms. s.l.: Geophysics. p. 1318. Vol. 48(10). 1983.
PAULA, R. M. Novos limites para o parâmetro de Tsallis em um espaço de fases não
cumulativo, gravidade entrópica e equações de Friedmann não extensivas. 61 f.
Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Física, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2016.
PEARSON, K.; HENRICI, O. M. F. E. VII. Mathematical contributions to the theory of evolution.; III. Regression, heredity, and panmixia. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 187, p. 253. 1896.
PENDREL, J. 2006. Seismic inversion–a critical tool in reservoir characterization. s.l.: Scandinavian oil-gas magazine. p. 19. Vol. 5(6). 2006.
PICOLI JR., S.; MENDES, R.S.; MALACARNE, L.C.; SANTOS, R.P.B. q-distributions in complex systems: A brief review. Braz. J. Phys. 39, p. 468. 2009.
PRATO, D.; TSALLIS, C. Nonextensive foundation of levy distributions. Phys. Rev. E. 60, 2398. 1999.
PRATO, M.; ZANNI, L. Inverse problems in machine learning: An application to brain activity interpretation. J. Phys.: Conf. Ser. 135, 012085. 2008.
PRATT, R. G.; SHIN, C.; HICKS, G. J. Gauss-Newton and full Newton methods in frequency-space seismic waveform inversion", Geophysical Journal International, p. 341. 1998.
QUEIRÓS, S. M. D. Aspectos não-extensivos de observáveis financeiras: modelagens analítica e numérica. 256 f. Tese (Doutorado) – Programa de Pós-Graduação em Física, CBPF - Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, Rio de Janeiro, 2006.
RICKER, N. Further developments in the wavelet theory of seismogram structure. Bull. Seism. Soc. Am. 3, p. 197. 1943.
ROCHA, M. S. Q. Inversão do traço sísmico: o método e sua aplicação em Amberjack,
Golfo do México. 58 f. Monografia (Graduação em Geofísica) – Instituto de
Geociências/Departamento de Geologia e Geofísica, UFF – Universidade Federal Fluminense, Niterói/RN, 2013.
RUSSELL, B. H. Introduction to seismic inversion methods. s.l.: Society of Exploration Geophysicists, Vol. 2. 1988.
RUSSELL, B.; HAMPSON, D. A comparison of post-stack seismic inversion methods: Ann. Mtg. Abstracts, Society of Exploration Geophysicists, p. 876. 1991.
SATO, A.-H. q-gaussian distributions and multiplicative stochastic processes for analysis of multiple financial time series. J. Phys. Conf. Ser. 201, 012008. 2010.
SCHULTZ, P. S., et al. 1994. Seismic-guided estimation of log properties (Part 1: A data-driven interpretation methodology). s.l.: The Leading Edge. p. 305. Vol. 13(5). 1994.
SEN, M. K.; STOFFA, P. L. Global optimization methods in geophysical inversion. Cambridge University Press, 2013.
SILVA, H. P. N. Caracterização e Delimitação de Reservatórios Usando Atributos
Sísmicos. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia Geológica, Departamento de
Geociências, Universidade de Aveiro - Portugal, Aveiro, 2012.
SILVA, R.; FRANÇA, G.S.; VILAR, C.S.; ALCANIZ, J.S. Nonextensive models for earthquakes. Phys. Rev. E. 73, 026102. 2006.
SOUZA, M. G. Inversão Sísmica Acústica Determinística utilizando Redes Neurais
Artificiais. 69 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Informática, Departamento
de Informática, PUC - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2018.
STOLT, R. H.; WEGLEIN, A. B. Migration and inversion of seismic data. Geophysics. 12, 1985.
SUYARI, H. q-Stirling’s formula in Tsallis statistics. arXiv preprint condmat/0401541, 2004.
TARANTOLA, A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation; Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM): Philadelphia, PA, USA, 2005.
TIRNAKLI, U.; BORGES, E. The standard map: From Boltzmann-Gibbs statistics to Tsallis statistics. Sci. Rep. 6, 23644. 2016.
TSALLIS, C. Nonextensive Statistics: theoretical, experimental and computacional evidences and connections. Braz. J. Phys., v. 29, p. 1, 1999.
TSALLIS, C. Non-extensive thermostatistics: Brief review and comments. Phys. A Stat. Mech. Appl., 221, p. 277. 1995.
TSALLIS, C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs Statistics: J. Stat. Phys., v. 52, p. 479, 1988.
TSALLIS, C. Some comments on Boltzmann-Gibbs statistical mechanics. Chaos Soliton. Fract., 6, p. 539. 1995.
TSALLIS, C. What are the number that experiments provide? Química Nova, v. 17(6), p. 468, 1994.
TSALLIS, C.; Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics – Approaching a Complex World, Springer Science+Business Media, LLC, 233 Spring Streat, New York, NY 10013, USA, 2009.
TSALLIS, C.; MENDES, R.; PLASTINO, A. The role of constraints within generalized nonextensive statistics. Phys. A Stat. Mech. Appl. 261, p. 534. 1998.
VIRIEUX, J.; OPERTO, S. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics". Geophysics, p. 127. 2009.
WANG, Y. Seismic Inversion: Theory and Applications. Wiley Blackwell: Hoboken, NJ, USA, 2016.
YILMAZ, O. Seismic Data Analysis: Processing, Inversion and Interpretation of Seismic Data; Society of Exploration (SEG): Tulsa, OK, USA, 2000.
ZHOU, W.; BOVIK, A. C.; SHEIKH, H. R.; SIMONCELLI, E. P. Image Qualifty Assessment: From Error Visibility to Structural Similarity. IEEE Trans. Im. Proc. 13, p. 600. 2004.
Apêndice
A seguir detalhamos o código modelling usado em nossas simulações, o arquivo em
MATLAB também se encontra disponível em:
<https://github.com/sergioluizedu/MbPsiRefEnt2020>.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Modelling post-stack data from the reflectivity series %%%%
% d = s(t) * r(t) = G r(t) %%%%
%---%%%%
% Last update: May, 2020 %%%%
% Version: 0.0 %%%%
% Any problem please report to: sergioluiz.pesquisa@gmail.com %%%%
% Product: sergioluizedu/MbPsiRefEnt2020 %%%%
% %%%%
% Federal University of Rio Grande do Norte (UFRN) %%%%
% Programa de Pos-Graduacao em Fisica (PPGF-UFRN) %%%%
%---%%%%
% Copyright (C) 2020 Sergio Luiz Eduardo (sergioluizufrn@ufrn.edu.br)%%%% % This program is free software: you can redistribute it and/or modify%%% % it under the terms of the GNU General Public License as published %%%% % by the Free Software Foundation, either version 3 of the License, %%%% % or (at your option) any later version. %%%%
% %%%%
% This program is distributed in the hope that it will be useful, but%%%% % WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of %%%%
% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. %%%%
% %%%%
% See the GNU General Public License for more details. %%%%
% %%%%
% See http://www.gnu.org/licenses/. %%%%
%---%%%%
% Purpose: %%%%
% This code performs the modelling of Post-stack data from a %%%%
% reflectivity series model. %%%%
%---%%%% %% setup
clear all; clc; close all; addpath('./core/');
%% Acquisition parameters
freqPICO=55; % Peak Ricker wavelet frequency
snr=30; % Gaussian noise with a signal-to-noise ratio
nt=2001; % Time samples
nx=1701; % Lateral distance samples (x-axis)
nz=1751; % Depth samples (z-axis)
dt=1e-3; % t-Discretization in sec
dx=10.; % x-Discretization in meters
dz=2.; % z-Discretization in meters
janT=1:1801; janX=100:500; % Parameters for cutting the Marmousi2 model %% Impedance model in time-depth domain
fileID =
fopen('./models/Marmousi2Ztime_sergioMod_dt_.001_dx_10_nt_2001_nx_1701.bin' ,'r');
fclose(fileID);
Z=Z(janT,janX); % Cut model
Z=resizem(Z,[501 length(janX)]); % Resample model
[nt,nx]=size(Z); % New dimensions
x=0:dx:(nx-1)*dx; t=(0:nt-1)*dt; % Spatial and temporal coordinates %% Obtaining the reflectivity model from the acoustic impedance model % r = 0.5 d/dt ln(Z)
ref=.5.*[diff(log(Z)); zeros(1,nx)];
%% Seismic Source: Ricker wavelet
s=ricker(freqPICO,dt,nt);
%% Build operator convolution (two-dimensional)
G = convmtx2(s,nt,1); G=G(1:nt,:);
%% Observed data
dobs=G*ref; % noiseless data
dobs_n=awgn(dobs,snr); % noisy data
%% save observed data and acquisition parameters
mkdir data
dlmwrite('./data/dobs.dat',dobs)
dlmwrite(['./data/dobs_snr_' num2str(snr) '.dat'],dobs_n)
save('./data/AcquisitionParameters.mat','s','G','nt','dt','t','janT','janX' ,'nx','nz','dx','dz')
%% plots
close all
figure('units','normalized','outerposition',[0 0 1 1]) subplot(231);
imagesc(x./1000,t,dobs,[-.01 .01]); title('Noiseless data') xlabel('Distance (km)'); ylabel('Time (sec)')
subplot(232);
imagesc(x./1000,t,dobs_n,[-.01 .01]); title(['Noisy data - SNR = ' num2str(snr)])
xlabel('Distance (km)'); ylabel('Time (sec)')
subplot(233);
imagesc(x./1000,t,dobs-dobs_n,[-.01 .01]); title('Noise') xlabel('Distance (km)'); ylabel('Time (sec)')
subplot(234);
histogram(dobs-dobs_n,'normalization','probability'); title('Noise
distribution')
xlabel('Noise'); ylabel('Probability distribution')
colormap bone