Segundo Santana (2002: p. 137 – 138), as situações surpresa podem ser oriundas em bugs21 computacionais, ou seja, podem ter origens em erros nos procedimentos de programação, falta de integração de funções que deveriam ser comuns, falhas decorrentes das limitações gráficas, entre outros problemas que estão nas limitações técnicas que podem surgir nas ações de desenvolvimento do software, bem como, nas restrições de cálculo de hardware. Santana (2002) identificou quatro categorias de bugs que podem favorecer situações surpresa:
(a1) – Incompatibilidade de funções: Constituem erros relacionados à contradição entre comandos que deveriam apresentar funções complementares entre si, no entanto, para efeito de manipulação e simulação, tais falhas colocam diante dos usuários contradições conceituais que resultam em situações paradoxais.
A situação surpresa apresentada a seguir exibe este tipo de bug, e está baseado em uma ocorrência enviado ao fórum de discussão sobre o Cabri
Géomètre II, apresentado por Genevieve Tulloue22, mas que foi remetido por Hermínio Borges Neto.
A situação surpresa leva o usuário à considerar uma conjectura paradoxal, pois permite, no computador, mostrar que o valor numérico da
distância de um segmento que pode ser chamado como [A1B1] não corresponde a diferença dos valores absolutos de [B1] em relação à [A1]. De forma que se pode escrever a expressão:
d(A1B1) ¹ abs(B1) – abs(A1).
Para obter a conjectura acima, basta efetuar a execução do algoritmo apresentado a seguir.
Tabela 007b – algoritmo da situação surpresa que apresenta problema métrico no Cabri Géomètre Passos Ações realizadas
01 Acionar o comando “Mostrar Eixos” para exibição de eixos cartesianos. 02 Marcar um ponto sobre o eixo das abscissas nomeando-o como [A1].
03 Marcar outro ponto sobre o eixo das abscissas que não seja coincidente a
[A1], nomeando-o como [B1].
04 Usando comando “Equações e Coordenadas”, exibir as coordenadas de [A1] e [B1].
05 Traçar um segmento pelos pontos [A1] e [B1].
06 Usando comando “Calculadora” obter (B1 – A 1 ) através das coordenadas destes pontos, e arraste o resultado sobre a zona-de-desenho.
07 Pelo comando “Transferência de Medidas”, selecione o resultado de (B1 –
A1) que está na zona-de-desenho, expresso em termos numéricos, e
selecione o ponto [A1], de modo que o ponto resultante da transferência não pertença ao eixo cartesiano, e nomeie este ponto como [B2].
08 Trace um segmento pelos pontos [A1] e [B2].
09 Meça os segmentos [A1B1] e [A1B2] pelo comando “Distância e Comprimento”.
10 Construir uma circunferência [c1] com centro em [A1] e raio [A1B2].
11 Movimente os pontos [A1] e [B1] pelo plano e verifique os valores métricos dos segmentos [A1B1] e [A1B2].
12 Modifique a escala do eixo das abscissas, arrastando a marca de unidade da escala, e observe se [A1B1] e [A1B2] possuem os mesmos valores métricos, ou seja, se são segmentos congruentes.
A situação-surpresa surgiu a partir das coordenadas de dois pontos que podem ser [A1] e [B1] que estão sobre o eixo das abscissas, entretanto, ao usar o comando “Calculadora” no Cabri, se obtém da diferença entre [B1] e [A1] que é um valor [Z], tal que, se expressa por (B1 – A1) = [Z] que é usado para construir um segmento [A1B2] a partir de [A1] pelo comando “Transferência de Medida”.
Deste modo, se obteve dois segmentos [A1B1] e [A1B2] cujas medidas de comprimento são iguais, entretanto, ao mudar a escala do eixo das abscissas surge diferença entre as medidas de [A1B1] e [A1B2] o que caracteriza uma situação-surpresa.
Nesta atividade se observou que dois segmentos que deveriam ser congruentes deixam de ser, quando a escala do software Cabri Géomètre é modificada. Mas por quais motivos isto ocorre quando a escala é deslocada?
Em princípio considere que a expressão (B1 – A1), expresso no passo 06 da tabela 007b, é uma equação que permite obter a distância do segmento [A1B1], a partir das coordenadas de abscissas dos pontos [A1] e [B1]. Portanto, é possível reescrever (B1 – A1) como:
(B1 – A1) = {[ B1(x2) – A1 (x1)]2 + [ B1(y2) – A1(y1) ]2}(1/2) = = [B1A1(x2 – x1) 2 + B1A1(y2 – y1) 2] (1/2) =
= B1A1 [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2] (1/2) = (Dx2 + Dy2)(1/2)
Deste modo, é possível garantir que (B1 – A1) = (Dx2 + Dy2) (1/2), mas esta expressão corresponde à diferença dos valores absolutos de [B1] e [A1], e pode ser escrito como [abs(B1) – abs(A1)] que é a equação da distância entre dois pontos, que correspondem à medida de um segmento pertencente a abscissa. Sendo assim, se obtém:
d(A1B1) = d(B1A1) = (B1 – A1) = (Dx2 + Dy2) (1/2) = [abs(B1) – abs(A1)] = d(A1B1) = [abs(B1) – abs(A1)]
E enquanto a escala é fixa no software a relação é válida, e pode ser observada com base na manipulação dos pontos [A1] e [B1] pelo eixo das abscissas. No entanto, o resultado de (B1 – A1) na calculadora é d(A1B1), e pelo comando “Transferência de medida” se obtém o segmento [A1B2] cuja distância d(A1B2)=d(A1B1), portanto, [A1B1] e [A1B2] devem ser sempre congruentes.
Além disto, pela circunferência [c1] com raio cuja medida é d(A1B2), se sabe que é possível escrever que:
Raio de c1 = d(A1B2) = d(A1B1) = [abs(B1) – abs(A1)]
No entanto, ao ser modificada a escala, o que ocorre na prática é que surge uma contradição matemática, pois o Raio de c1 = d(A1B2) ¹ d(A1B1), trata-se de um bug, que mostra:
(a) d(A1B1) = (B1-A1) = [abs(B1) – abs(A1)] ¹ d(A1B2), mas por definição d(A1B2)=d(A1B1), logo é possível concluir que está ocorrendo uma situação contraditória e paradoxal;
(b) Os eixos cartesianos no Cabri Géomètre e o comando “Distância e Comprimento”, são funções distintas que funcionam somente quando há correspondência entre as medidas do eixo cartesiano em relação a função interna que calcula a métrica para o comando “Distância e Comprimento”. Em outras palavras, tais comandos deveriam estar relacionados entre si, no entanto dentre do Cabri Géomètre tais funções são independentes, fato este que gera o paradoxo apresentado;
(c) Se o eixo cartesiano é modificado, deveria ocorrer no
software à correção automática da métrica do comando “Distância e
Comprimento”;
A situação acima descrita expõe um tipo de bug que ocorre devido a falhas no desenvolvimento deste software, n o entanto, mediante tais
circunstâncias cabe ao professor considerar as possibilidades didáticas de uma situação como esta para favorecer o processo investigativo em sala-de-aula. A situação acima está em Santana (2002: p. 121-123), e pode ser observada no Anexo 5.
Outros tipos de Bugs que constituem limitações tanto de software como de hardware são:
(a2) – Limitação Numérica: São erros decorrentes das limitações computacionais no cálculo numérico, pois no computador como em quaisquer instrumentos para mensuração, se trabalha com conjuntos finitos de números e com aproximações racionais, no entanto, na matemática, freqüentemente se está pressupondo idéias sobre infinitude e continuidade na tentativa de generalizar para compreender dedutivamente determinadas conjecturas, no entanto, nos recursos instrumentais computacionais e de mensuração, devido restrições físicas a representação, em diversos casos, não correspondem ao que se pode conceber em termos matemáticos.
(a3) – Restrição de Manipulação: São falhas decorrentes da incompatibilidade de um comando enquanto o mesmo é utilizado, com respeito aos conceitos matemáticos. Por exemplo, a restrição de manipulação de uma reta a uma região de tela do computador pode constituir este tipo de problema pois considerando concepções sobre infinitude se pode pensar que o fato de não ser viável uma manipulação plena pela reta constitui uma restrição na representação dada fato que não corresponde com a intuição matemática sobre a significação conceptual de uma reta.
(a4) – Limitação Gráfica: Ocorre quando a representação gráfica de uma situação é imediatamente contraditória à construção do ponto de vista matemático. Nestas situações, o computador representa estruturas impossíveis do ponto de vista matemático, podendo levar o usuário à concepções
completamente errôneas. Um exemplo deste tipo de situação surpresa está descrito acima entre as páginas 86 e 95.
Tendo entendimento sobre os tipos de limitação que surgem na interação homem-máquina-saber, e compreendendo o contexto de realização das situações surpresa, procurarei a seguir discutir a ação instrumental do ponto de vista da significação e sua relação com software educativo no ensino de
matemática.