MÉTODO DE CUSENS E KUANG - UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ COECI

Conforme Knijinik e Tavares o método de simplificação que utiliza o ábaco gera uma aproximação com uma incerteza de cerca de 15%, portanto, decidiu-se realizar os cálculos para o dimensionamento utilizando o método original de Cusens e Kuang que define as incógnitas A, B, C, D, E e F, sem utilizar o ábaco.

Escolha justificada por buscar-se a resolução que oferece maior precisão de resultado.

Para resolução do problema são utilizados os seguintes dados referentes a escada projetada:

S],]Qo° \&;¶ *¶_{}¸¨ \&}U,oQQ&q_K ¹ K \ S,S^u&q

· Distância entre eixos dos lances (b) = 1,900 m; · Metade da largura do lance (b1) = 0,950 m; · Largura do patamar (c) = 1,900 m;

· Espessura do lance (tl) = 0,100 m; · Espessura do patamar (tp) = 0,200 m;

· Ângulo de inclinação da escada (α) = 31,109º; · Carga distribuída sobre o lance (ql) = 11,774 kN/m²; · Carga distribuída sobre o patamar (qp) = 11,746 kN/m².

4.5.1 Obtenção dos esforços

Em posse das características geométricas e das cargas da estrutura, calcula-se respectivamente a carga linear uniformemente distribuída sobre o patamar (M_<), a carga linear uniformemente distribuída sobre o lance (M_D), e os coeficientes e O.

M< \&EnV p \ ]],uZR V ],oQQ \ UU,S]u&I1rq&

MD \&E@V U · %< \ ]],uuZ V U V Q,ohQ \ UU,SuQ&I1rq

\ &]U& V&Q,SS c Q,U]& V&_{U · %}@

< \ ]U& V&Q,SS c Q,U]& V&

Q,]QQ

U · Q,ohQ \ S,^Uu

O \&_{U& V&bU · %}p

<d&V

@ w

\_{U& V&bU · Q,ohQd&V}U,]QQ Q,UQQ_Q,]QQw \ Z,QQQ

A=0,333 ·&DY Q,huh& ·&&

· \ 0,333 ·&S,S^uD_{Y Q,huh& ·&}&],oQQD

S,^Uu · S],]Qoº \ U,RSS

B= -1,15 ·

\-1,15 ·],oQQS,^Uu \ cQ,hu]

C= -&D ·&&

^ · Y&<

· & V _{Z &V &}b₂Y&< V Y&& D

S &V&& b

2Y&< Y &Q,huh& ·& & V&&b²₄ c&<²

\ - &UU,SuQ&& ·&&S,S^u_^ D · S],]Qoº Y &UU,S]u

· &S,S^u V ],oQQ_Z &V &1,900₂ Y &Q,ohQ V S],]Qoº Y&&S,S^u_{S &}D

V&1,900₂ Y &Q,ohQ Y &Q,huh& ·&],oQQ_S,^Uu&V&&1,900²₄ c &Q,ohQ² \ cSSZ,^uQ

D= -1,15 · ·

&· N \-1,15 ·S,S^u · ],oQQS,^Uu &· S],]Qoº \&c],]Ru

E=&

U · &V ² Y &U,SQ& ·&=&U · Z,QQQ&V ² S],]Qoº Y &U,SQ& ·&],oQQ S,S^uS,^Uu \ U,Sho

F= _<&· &

Z^& V & V D Y ],]h& V&

& V&&_{Z c&}D _<D

= UU,S]u

· &_{Z^& V &Z,QQQ V}],oQQw D_{S],]Qoº Y ],]h& V&}S,S^u& V&&],oQQ D

Z c &Q,ohQ²

S,^Uu

Obtidos tais coeficientes resolveu-se o sistema: xA∙HL + B∙M ~~~~+ C = 0 D∙HL + E∙M ~~~~+ F = 0 ¹&x 2,633∙HL - 0,571∙M ~~~~- 334,870= 0 -1,167∙HL + 2,359∙M ~~~~+ ],Q^^ = 0 Obtendo-se: HL \ ]ZU,SRu&I1 ML \ Ro,oZu&I1 · q

Obtidos o momento e o esforço horizontal no ponto médio da estrutura é possível determinar as solicitações nos demais pontos da estrutura, nas barras OB, BC e AB, respectivamente. Considerando como y nas barras OB e BC a máxima distância de alcance das ações, a qual fornece os máximos momentos que podem ser obtidos, portanto, y igual a b1 que é 0,950 metros.

· BARRA OB

!+ \&HL&· \ &]ZU,SRu& · Q,ohQ \ ]Sh,UZ^&I1 · q&

!P \&ML Y&M<·&²_{U \ &Ro,oZu Y &UU,S]u ·&}Q,ohQ²_{U \ ^Q,Q]^&I1 · q&}

!? \ &M<·&p_{U&· \ &UU,S]u ·&}],oQQ_{U &· Q,ohQ \ &UQ,]ZU&I1 · q&}

· BARRA BC

!+ \ &0 I1 · q&

!P \&&M_{U &·}<& y~D \&UU,S]u&_{U &·}0,950D \ ]Q,Qu]&I1 · q

Já na barra AB a distância s, referente ao eixo descendo a escada, considerou-se também a distância máxima de atuação dos carregamentos, igual a a, 3,048 metros, e além disto, também considerou-se as distâncias 0 metros e a distância referente a cortante nula, ponto de momento máximo.

Distância para 5₊ \ Q:

5+ \ Q \t &A \ ]ZU,SRu& · S],]Qoº c &UU,S]u&& ·&b&Q,ohQ Y &Q,ohQd&V S],]Qoº_{UU,SuQ& · ² S],]Qoº}

A \ U,UuU&q

· BARRA AB

!+ \&ML · N c&HL&·&%_{U&V N Y}M_{U V}< % D

Z c&%<D · N& !+ \ &Ro,oZu& · S],]Qoº c ]ZU,SRu& ·&],oQQ_{U &V S],]Qoº Y}UU,S]u_U

V ],oQQ_{Z c&Q,ohQ}D D_{· S],]Qoº \ &]h],oSu&I1 · q&}

!P \&ML · N c&HL&·&%_{U&V N Y}M_{U V}< % D

Z c&%<D · N&

!P \ &Ro,oZu · S],]Qoº c ]ZU,SRu& ·&],oQQ_{U &V S],]Qoº Y}UU,S]u_U

V ],oQQ_{Z c&Q,ohQ}D D_{· S],]Qoº \&co,ooQ &I1 · q&}

!?\&M<·&_U&·&&p b₂Y&%< Y&M<·&&b₂Y&%< · N c&HL&· N&V A Y&MD

Para:

· s=0 m:

!? \ &UU,S]u ·&],oQQ_{U &·&&}],oQQ_{U &Y &Q,ohQ}

Y&UU,S]u ·&&&],oQQ_{U &Y &Q,ohQ · S],]Qoº c &]ZU,SRu&&&}

· S],]Qoº&V Q Y UU,SuQ& ·&QD&· D_US],]Qoº\ ZQ,U^S&I1 · q&

· s= 2,272 m: !? \ cU,QUR&I1 · q;

· s= 3,387 m: !_? \ ^,]u^&I1 · q.

Em posse dos momentos fletores e torçores máximos nas barras do pórtico espacial da escada, calculou-se os esforços cortantes. A equação para obtenção do esforço cortante foi obtida a partir da derivação igualando a zero da equação do momento fletor Mt na barra AB. Equação:

5+ \&HL · N c&M<&·&&b₂Y&%<&V N c MD&· A · ² N&

Dessa forma, para: · s=0 m:

5+ \ &]ZU,SRu · S],]Qoº c &UU,S]u · b&Q,ohQ Y &Q,ohQd V S],]Qoº c UU,SuQ& · Q

· D_{S],]Qoº \ Su,Uh]&I1}

· s= 2,272 m: 5₊ \ &Q&I1;

· s= a= 3,387 m: 5+ \&c]^,UoZ&I1.

Em seguida, calculou-se os esforços normais, a equação para obtenção do esforço normal foi obtida a partir da equação da cortante, invertendo-se o sentido das forças. Equação:

1+ \&HL · N c&M<&·&&b₂Y&%<&V N Y MD&· A · N&V N&

Para:

· s=0:

1+ \ &]ZU,SRu · S],]Qoº c &UU,S]u · b&Q,ohQ Y &Q,ohQd V S],]Qoº c UU,SuQ& · Q

· S],]Qoº V S],]Qoº \ ]ZS,^Q]&I1

· s= 2,272 m: 1+ \ ]RR,U^&I1;

· s=a= 3,387 m: 1+ \ ]uu,S]o&I1.

4.5.2 Cálculo da Armadura

Obtidos todos os esforços na estrutura, calculou-se as armaduras. Iniciando pelas armaduras no lance superior. Por este método o sentido das ações é invertido. A armadura foi calculada seguindo-se o mesmo procedimento de Brazão Farinha e mantendo-se os mesmo valores estabelecidos, exceto para o concreto, utilizou-se concreto C30, com fck = 30 MPa, para evitar armadura dupla. Com o coeficiente de ponderação de 1,4, obteve-se:

f_cd =&fck γ_c \&

],Z \ U],ZUo&!¨K \ U,]ZSpq²I1

Para concretos com fck ≤ 50 Mpa, N₎\ Q,^h, portanto:

()# \ &N)· fcd \ Q,^h& · &U,]ZS \ ],^U] I1

pq²

a) Armadura negativa de flexo-tração no lance superior, esforços !" \ &ZQ,U^S&I1 V q e 1" \ ]ZS,^Q]&I1, com seção transversal da

'= 0,10 - 0,025 = 0,75 m = 7,5 cm

3 \U,h_{u,h \ Q,SSS}

2 \_{]oQ V u,h V ],^U] \ Q,Qu^}],Z& · &]ZS,^Q]&

$ \],Z& · &&ZQ,U^S · ]QQ_{]oQ V u,h² V ],^U] \ Q,UoQ}

$4 \ Q,h V b] c Q,SSSd V Q,Qu^ \ Q,QUR

Como $ t $₄, portanto a armadura é calculada nos domínios 2 e 3:

$+# \ $ c Q,h V b] c 3d V 2 \ Q,UoQ c Q,QUR \ Q,URZ

$@.- \ Q,Uoh

Como $_+# e $_@.-, portanto a armadura é simples:

*F+ \ Q&pq²rq

£ \] c [] c U V $_ª +# \ ] c «] c U V Q,URZ_Q,^ \ Q,So] © \ ª V £ Y 2 \ Q,^ V Q,So] Y Q,Qu^ \ Q,SoQ

*+ \ © · &%& · '& ·&(_f)#

g# \ Q,SoQ · &]oQ& · u,h& ·&

],^U]

ZS,Zu^ \ US,SQ]&pq²rq

A armadura mínima é de:

0D,-./ \ Q,Qu^ V fpI Drw

f' \ Q,Qu^ V SQ

Drw

b*+da`\ 0D,-./V *) \ Q,]uS_{]QQ V ]Q V ]oQ \ S,Uo]&pq}Drq

Portanto, utilizou-se a armadura de US,SQ]&&pq²rq.

b) Armadura positiva de flexo-tração no lance superior, esforços !" \ cU,QUR&I1q e 1" \ ]RR,U^Q&I1, com seção transversal da laje

de 190 centímetros por 10 centímetros:

3 \ Q,SSS

2 \ _{]oQ V u,h V ],^U] \ Q,QoQ}],Z& · &]RR,U^Q&&

$ \],Z& · &U,QUR& · ]QQ&_{]oQ V u,h² V ],^U] \ Q,Q]h}

$4 \ Q,h V b] c Q,SSSd V Q,QuUU \ Q,QSQ

Como $ T $₄, portanto a armadura foi calculada no domínio 1;

©y_\Q,QSQ c Q,Q]h

] c Q,SSS \ Q,QUS&&& *F+ \ Q,QUS · &]oQ& · u,h& ·&

],^U]

ZS,Zu^ \ ],SuU&pq²rq

A armadura mínima é de:

0<,-./ \Q,So V fpI Drw f' \Q,So V SQ Drw ZSZ,u^S \ Q,^RR¬ 0D,-./ \ Q,]uS¬

b*+Y *y+da` \ 0-./V *) \Q,h]oh_{]QQ V ]Q V ]oQ \ o,^u]&pq}Drq

b*y₊_d_a` _{\ U,hSQ&pq}D_{rq; b*}₊_d_a`_{\ u,SZ]&pq}D_rq

Portanto, foram utilizadas as armaduras de U,hSQ&pqDrq e u,SZ]&pqDrq.

c) Dimensionamento a cisalhamento no lance superior, esforço 5_"\ Su,Uh]&I1, seção de 10 centímetros por 190 centímetros.

Tensões de cisalhamento solicitante e resistente da estrutura, respectivamente:

67# \],Z V Su,Uh]_{]^u,h V ]Q \ Q,QUu^}_pqI1_D \ Q,Uu^&!¨K

Nv\ ] c_{UhQ \ ] c}fpI _{UhQ \ Q,^^}SQ

678 \ Q,Uu · &Q,^^ V U],ZUo \ h,Qo]&!¨K

Realizou-se a consideração:

6) \ Q,Qo V SQ D

w _{\ Q,^Ro&!¨K}

6# i Q®&6# \ ],] · bQ,Uu^& c Q,^Rod \ cQ,RhQ&!¨K e Q

Tensão de cisalhamento é desprezível em relação a resistência ao cisalhamento da peça, utilizou-se armadura mínima.

Para concreto C30, 0_7,-./ \ Q,]U¬, Figura 3. Para os estribos a armadura mínima é:

d) Dimensionamento a torção no lance superior, esforço 9_"\ co,ooQ&I1q, com seção de 10 centímetros por 190 centímetros.

=> \_{],o V U Y Q,]Q V U \ Q,QZuh&q® &U · ;}],o V Q,]Q < \ U · Q,QUh \ Q,QhQ&q

Como =_> e U · ;_<, a área (*_>) e o perímetro (:_>) da seção equivalente são:

*> \ bQ,]Q c Q,QhQd · b],o c Q,QhQd \ Q,QoUh&q² \ oUh&pq²

:> \ U · bQ,]Q Y ],o c Z · Q,QUhd \ S,^Q&q \ &S^Q&pq

A tensão tangencial de torção e a tensão de torção tangencial resistente da estrutura são, respectivamente:

6?# \ _{U · oUh · Q,QZuh& · ]QQ \ Q,QUQQ}],Z V o,ooQ · ]QQ& _pqI1_D \ U,QQQ&!¨K

6?8 \ Q,Uh ·&NvV fp' \ Q,Uh · &Q,^^ V U],ZUo \ Z,u]Z&!¨K

Para satisfazer a condição de segurança na presença de esforço cortante:

U,QQQ&&

Z,u]Z YQ,Uu^&&h,Qo] \ Q,Zuo T ]

Satisfeita a condição de segurança da estrutura, calculou-se as armaduras longitudinal para torção e estribos, respectivamente:

*+@ \_{U V *}:>V&9# >· fg# \

S^Q V ],Z V o,ooQ V ]QQ&

U V oUh · ZSZ,u^Sr]Q \ R,RQupq² \R,RQu],oQQ \ S,Zu^&pq²rq

*+7\ _{U V&*}]QQ V&9# >· fg# \

]QQ V &],Z V o,ooQ& V ]QQ&

U V &oUh · ZSZ,u^Sr]Q \ ],uSo&pq²rq

*+@,-./ \07,-./_{U V :}>V %7 \_{U V ]QQ V S^Q V ]Q \ U,U^Q&pq}Q,]U D

Para os estribos a armadura mínima é:

*+7,-./ \ 07,-./V ]QQ V %7 \Q,]U_{]QQ V ]QQ V ]Q \ ],UQQ&pq}Drq

Somando-se a armadura para estribos de torção com a de cisalhamento obteve-se armadura total para estribos de:

*+@,?¯?X@ \ ],uSo Y &],UQQ \ U,oSo&pqDrq

E o espaçamento máximo para estribos de: 6_?#

6?8Y

6_7#

678 \ Q,ZoR T Q,Ru& A-áB \ Q,R V ]^u,h \ ]]U,h&pq T SQ&pq

Portanto, foram utilizados armadura longitudinal de S,Zu^&pq²rq e armadura total de estribos de U,oSo&pq²rq com espaçamento máximo de 30 centímetros.

e) Dimensionamento a flexão simples no lance superior, esforço !+ \ ]h],oSu&I1q, fletindo lateralmente o lance, portanto, com seção

de 10 centímetros por 190 centímetros.

A partir do momento de cálculo obteve-se:

$ \_{%& · '}],Z& ·&!_D_·&("

)#\

],Z& · &]h],oSu& · ]QQ&

]Q& · ]^u,hD_{· &],^U] \ Q,QSS}

Comparou-se $ com $_@.-\ Q,Uoh, como $ e&$_@.-, a armadura é simples, e, portanto, calculou-se:

*+ \ Q,^& · &£& · %& · '& ·&(_f)#

g# \ Q,^& · &Q,QZU& · ]Q& · ]oQ& ·&

],^U]

ZS,Zu^ \ U,RhZ&pq²rq

A armadura mínima *_+,-./ calculada, conforme a NBR 6118, de 2014, no item 17.3.5.2, a taxa mínima de armadura de flexão para seções retangulares com concreto C30 é 0,150%, portanto:

*+,-./ \&0-./· % · = \Q,]h_{]QQ · ]Q · ]oQ \ U,^hQ&pq²rq&}

Portanto, a armadura principal é de U,^hQ&pq²rq.

Em seguida, foram determinadas as armaduras no patamar.

f) Dimensionamento a flexão simples no patamar, esforço !_? \ &U],UQU&I1q, fletindo o patamar em um plano vertical segundo os eixos s e r, com seção de 190 centímetros por 20 centímetros.

A altura total ht da seção transversal do patamar é de 20 centímetros,

reduzindo o valor do cobrimento obtêm-se uma altura d de:

' \&=?- cobrimento = 0,20 - 0,025 = 0,175 m = 17,5 cm &!

A partir do momento de cálculo obteve-se:

$ \_{%& · '}],Z& ·&!_D_·&("

)#\

],Z& · &U],UQU&& · ]QQ&

]oQ& · ]u,hD_{· &],^U] \ Q,QU^}

Comparou-se $ com $_@.-\ Q,Uoh, como $ e&$_@.-, a armadura é simples, e, portanto, calculou-se:

£ \ ],Uh& · ´] c [] c U · Q,QU^µ \ Q,QSR

*+ \ Q,^& · &£& · %& · '& ·&(_f)#

g# \ Q,^& · Q,QSR& · ]oQ& · ]u,h& ·&

],^U]

A armadura mínima *_+,-./ calculada:

*+,-./ \&0-./· % · = \Q,]h_{]QQ · ]oQ · UQ \ h,uQQ&pq²rq&}

Portanto, a armadura principal é de h,uQQ&pq²rq.

g) Dimensionamento a flexão simples no patamar, esforço !_P \ &^Q,Q]^&I1q, fletindo o patamar em um plano vertical segundo os eixos s e t, considerando que só metade do patamar resiste, portanto, com seção de 95 centímetros por 20 centímetros.

A partir do momento de cálculo obteve-se:

$ \_{%& · '}],Z& ·&!_D _·&("

)#\

],Z& · &^Q,Q]^&&& · ]QQ&

oh& · ]u,hD_{· &],^U] \ Q,U]]}

Comparou-se $ com $_@.-\ Q,Uoh, como $ e&$_@.-, a armadura é simples, e, portanto, calculou-se:

£ \ ],Uh& · ´] c [] c U · Q,U]]µ \ Q,SQQ

*+ \ Q,^& · &£& · %& · '& ·&(_f)#

g# \ Q,^& · Q,SQQ& · oh& · ]u,h& ·&

],^U]

ZS,Zu^ \ ]R,uSZ&pq²rq

A armadura mínima *_+,-./ calculada:

*+,-./ \&0-./· % · = \Q,]h_{]QQ · oh · UQ \ U,^hQ&pq²rq&}

h) Dimensionamento a flexão simples no patamar, esforço !₊ \ &]Sh,UZ^&I1q, fletindo lateralmente o patamar, por isto com seção invertida de 20 centímetros por 95 centímetros.

A altura total ht da seção transversal do patamar é de 95 centímetros,

reduzindo o valor do cobrimento obtêm-se uma altura d de:

' \&=?- cobrimento = 0,95- 0,025 = 0,925 m = 92,5 cm &!

A partir do momento de cálculo obteve-se:

$ \_{%& · '}],Z& ·&!_D_·&("

)#\

],Z& · ]Sh,UZ^&&& · ]QQ&

UQ& · oU,hD_{· &],^U] \ Q,QR]}

Comparou-se $ com $_@.-\ Q,Uoh, como $ e&$_@.-, a armadura é simples, e, portanto, calculou-se:

£ \ ],Uh& · ´] c [] c U · Q,QR]µ \ Q,Qu^

*+ \ Q,^& · &£& · %& · '& ·&(_f)#

g# \ Q,^& · Q,Qu^& · UQ& · oU,h& ·&

],^U]

ZS,Zu^ \ Z,^R]&pq²rq

A armadura mínima *_+,-./ calculada:

*+,-./ \&0-./· % · = \Q,]h_{]QQ · UQ · oh \ U,^hQ&pq²rq&}

No documento UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ COECI - COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL ANA CAROLINA SOUZA DEITOS (páginas 94-109)