Método de Cusens e Kuang por Knijnik e Tavares (1977)

Knijnik e Tavares (1977) abordaram diversas teorias aproximadas para a análise de escadas autoportantes, entre elas: FUCHSSTEINER6, CUSENS e KUANG7; GUERRIN8. Na Figura 19 são apresentados os sistemas estruturais desenvolvidos por estes autores, respectivamente.

FUCHSSTEINER6 sistematizou a escada autoportante como um pórtico espacial composto por duas barras inclinadas, referentes aos lances da escada, ligadas por uma barra curva, referente ao patamar, Figura 19 (a).

Já CUSENS e KUANG7 consideraram ser mais coerente utilizar uma barra reta com o comprimento do patamar localizada na intersecção entre o patamar e os lances da escada ao invés da barra curva para representar o patamar. Os lances inclinados permanecem sendo representados por duas barras inclinadas, Figura 19 (b).

E, por fim, GUERRIN8 em seu sistema estrutural considera os lances da escada articulados junto ao patamar, o patamar sendo rígido o bastante para que a deformação horizontal gerada seja admitida como praticamente nula, Figura 19 (c).

Segundo os autores o método de GUERRIN é considerado bastante simplificado, sendo que a consideração a respeito da deformação horizontal ser próxima de zero facilita o processo de análise.

6

FUCHSSTEINER, W., “Escaleras” in Manual Teórico Prático del Hormigon – Beton – Kalender, Libreria “El Ateneo” Editorial, Argentina, 1957.

7

CUSENS, A. R., KUANG, JING-GWO, “Experimental Study of a Freestanding Staircase”, J. Amer, Concrete Inst, v. 63, no. 5, may 1966.

8

Figura 19- Escada Autoportante modelos de: (a) Fuchssteiner; (b) Cusens; (c) Guerrin.

(a) (b) (c)

Fonte: Knijnik e Tavares (1977, p.109).

Entre os três estudos apresentados, Knijnik e Tavares optaram por desenvolver seu trabalho com base no método de CUSENS e KUANG.

O método de CUSENS e KUANG aborda a análise da escada a partir de uma aproximação, “a substituição do sistema espacial de lajes pela estrutura de barras espacial”.

Neste método de cálculo tem-se como objetivo determinar as grandezas hiperestáticas momento fletor (!L) e esforço horizontal (}L) no ponto médio do sistema, ou seja, o ponto O na Figura 20. Aplicando-se tais grandezas em cada parte na qual a estrutura da escada fica dividida é proporcionada a conservação do estado de equilíbrio da estrutura, obtendo-se um sistema estatisticamente determinado.

Figura 20 - Modelo de Cusens.

Fonte: Adaptado de Knijnik e Tavares (1977).

Após deduções matemáticas, Cusens e Kuang propõem um sistema de duas equações e duas incógnitas para a determinação das grandezas hiperestáticas. O sistema, expresso em termos das incógnitas hiperestáticas ML e HL é apresentado a seguir:

xA∙HL + B∙M ~~~~+ C = 0 D∙HL + E∙M ~~~~+ F = 0

(52)

Os coeficientes A, B, C, D, E e F, são todos função apenas das características geométricas e das cargas da estrutura, obtidos a partir das seguintes equações:

A=0,333 ·&€DY Q,huh& ·&&

D ‚ ƒ · „€… † (53) B= -1,15 · ‚ (54)

C= -‡&ˆD·&&€

D

^ · ‰Š‹ † Y&ˆ<

· Œ&€ V ‰_{Z &V &}b₂Y&<Ž V ‹‰ † Y&&€ D

S &V&& b

2Y&<Ž Y &Q,huh& ·&  ‚ & V&&b²₄ c&_<²Ž‘ (55) D= -1,15 ·€ ·  ‚ &· „€… N (56) E=& 

U · ’&V ‹‰² † Y &U,SQ& ·&€‚

(57)

F= ˆ_<&· “& 

w

Z^& V &’ V ‹‰D† Y ],]h& V&

€& V&&_{Z c&}D _<D_Ž

‚ “

(58)

Sendo:

ˆ< \&”•V ‰ (59)

ˆD \&”_V U · < (60)

‚ \ &]U& V&Q,SS c Q,U]& V&_{U · }„_

<Ž

(61)

’ \&_{U& V&bU · }‰

<d&V 

„•

„_{_}Ž

w ₍₆₂₎

Onde:

M< = carga linear uniformemente distribuída sobre o patamar (kN/m);

MD = carga linear uniformemente distribuída sobre o lance (kN/m);

qp = carga uniformemente distribuída sobre o patamar (kN/m²);

E a, b, b1, c, tl e tp são características geométricas, as quais podem ser

compreendidas na representação da Figura 21. Respectivamente, as incógnitas referem-se à comprimento do vão do lance inclinado, distância entre eixos dos lances, metade da largura do lance, largura do patamar, espessura do lance e espessura do patamar.

Figura 21 – Geometria da escada.

Fonte: Knijnik e Tavares (1977, p. 111).

Determinados tais coeficientes, a partir do sistema de equações obtêm-se as grandezas ML e HL, e então pode-se determinar as solicitações em qualquer ponto da estrutura, a partir das seguintes equações de momentos nas barras do pórtico, determinadas pelos autores:

· BARRA OB

!+ \&HL&· –&

!P \&ML Y&M<·&–²_U

!? \&M<·&p_{U&· –}

(63)

(64)

· BARRA BC

!+ \ &0&

!_P \&&M_{U &·}<& y~² !? \&M_{U &· p ·}< y~

(66)

(67)

(68)

· BARRA AB

!+ \ &ML · ‹—… N c&HL&·&%_{U&V ‰Š‹ N Y}M_{U V }< % D

Z c&%<Dƒ · ‹—… N&

!P \ &ML · ‰Š‹ N c&HL&·&%_{U&V ‹—… N Y}M_{U V }< % D

Z c&%<Dƒ · ‰Š‹ N&

!? \&M<·&p_U&·&&b₂Y&%<Ž Y&˜M<·&&b₂Y&%<Ž · ‰Š‹ N c&HL&· ‹—… N™&V A

Y&MD·&A D_{&· ‰Š‹² N} U (69) (70) (71)

Figura 22 – Orientação dos momentos.

Fonte: Knijnik e Tavares (1977, p. 111).

Sendo os momentos !₊ e !_? momento fletores e !_P momento torçor na estrutura.

A solução apresentada anteriormente representa o cálculo exato, sem grandes simplificações.

Knijinik e Tavares apresentam em seu artigo a possibilidade de executar simplificações que facilitam a obtenção das incógnitas ML e HL, são estas simplificações:

1) Admite-se c š 2 b1;

2) Admite-se α = 30°; 3) Admite-se ‚ = 3,62;

4) Assume-se que sobre o lance tem-se um carregamento que não age sobre o patamar, que é o peso dos degraus, considerado de forma conservativa em 25% das cargas sobre o patamar;

5) Assumindo c š 2 b1, O passa a ser:

O \ &Q,hQ& V ›_›n

@Ž

w ₍₇₂₎

6) Adota-se a relação entre os módulos de elasticidade transversal e longitudinal do concreto como 0,435.

Realizadas as simplificações, os coeficientes A, B, C, D, E e F, podem ser expressas da seguinte forma, como um sistema simplificado:

A=Aa,b aŽ (73) B=Ba,b aŽ (74) C=Cq_p,a,b a, b1 bŽ (75) D=Da,b aŽ (76) E=Ea,b a, tl tpƒ (77) F=Fq_p,a,b a, b₁ b , t_l t_pƒ (78)

A partir deste sistema de equações simplificado pode-se determinar famílias de curvas que fornecem diretamente os valores de ML qœ _p ∙a2, através das linhas cheias, e HL qœ _p ∙ a2, através das linhas tracejadas, em função de b a , b₁ e tb _l , t_p Figura 23.

Figura 23 – Método simplificado Cusens – modelo ábaco.

Fonte: Knijnik e Tavares (1977, p. 117).

As curvas desenvolvidas são adimensionais e representam o modelo do ábaco desenvolvido. No Anexo G encontram-se as curvas desenvolvidas, para os valores de t_l propostos. t_p

Quando os valores de tl são diferentes dos apresentados na tabela tp

realiza-se o processo de interpolação linear entre dois valores lidos para duas curvas entre as quais esteja contido o valor que se deseja obter.

É importante destacar que a aplicação do método das curvas é restrito às escadas que se enquadram exatamente ou aproximadamente às simplificações apresentadas. As escadas que possuírem configuração distinta não podem ser dimensionadas utilizando os ábacos, mas sim realizando o método de cálculo inicial proposto por Cusens.

Segundo Knijik e Tavares a determinação dos esforços hiperestáticos a partir da utilização dos ábacos possui uma incerteza de aproximadamente 15 %.