Método numérico de Xing

Lord Kelvin desenvolve um modelo harmônico de ordem superior para estimar as temperaturas do solo (THOMSON, 1862 apud XING, 2014), como representado na Equação 3.2:

𝑇𝑠(𝑧, 𝑡) = 𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑− ∑ 𝑒−𝑧√ 𝑛𝜋 𝛼𝑠𝑡𝑝_𝑇 𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,𝑛cos [2𝜋𝑛_𝑡 𝑝 (𝑡 − 𝑃𝐿𝑛) − 𝑧√ 𝑛𝜋 𝛼𝑠𝑡𝑝] ∞ 𝑛=1 (3.2)

onde _{𝑇𝑠(𝑧, 𝑡) é a temperatura não perturbada do solo à profundidade e época do ano} (°C ou K); 𝑧 é a profundidade do solo (m); 𝑡 é o tempo, iniciando em primeiro de janeiro (dia); _𝑡𝑝 é o período do ciclo de temperatura do solo que é igual a 365 (dia); 𝛼𝑠 é a difusividade do solo (m2/dia); 𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑 é a temperatura média anual do solo para

diferentes profundidades e tempos (°C ou K); _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,𝑛} é a amplitude de superfície de ordem n, que pode ser assumida como sendo a metade da diferença entre a temperatura média mensal máxima e mínima (°C ou K) .

Os resultados da Equação 3.2 dependem de três tipos de parâmetros do modelo, que são a média anual da temperatura do solo, _{𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑}, a amplitude anual da temperatura do solo na superfície, _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,𝑛}, e o ângulo de fase, _𝑃𝐿𝑛.

De uma forma simplificada, a norma ASHRAE (2013) publica um modelo para o aquecimento urbano que sugere o uso do modelo harmônico com três constantes: temperatura do solo média anual, 𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑, a amplitude anual da temperatura do solo

na superfície, _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,1}, e o ângulo de fase, _𝑃𝐿′_{𝑛, para estimar as temperaturas não}

perturbadas do solo, como mostrado na Equação 3.3:

𝑇𝑠(𝑧, 𝑡) = 𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑+ 𝑒−𝑧√ 𝜋 𝛼𝑠𝑡𝑝_𝑇 𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,1sen [2𝜋_𝑡 𝑝 (𝑡 − 𝑃𝐿𝑛 ′ _{) − 𝑧√} 𝜋 𝛼𝑠𝑡𝑝] (3.3)

O método dos mínimos quadrados é utilizado na formulação da Equação 3.3 de modo que os três valores das constantes são computados melhorando-se a temperatura média mensal do ar. Este procedimento de cálculo assume que a temperatura média mensal da superfície do solo é igual à temperatura média mensal do ar (XING, 2014).

Apesar da necessidade de conhecer a temperaturas do solo, a disponibilidade de estimativas para a temperatura do solo é muito limitada. Os manuais da ASHRAE (ASHRAE, 2013) apresentam apenas a temperatura do solo com base nos

resultados medidos há mais de meio século e só se aplicam aos EUA ou à América do Norte de modo que para locais diversos a obtenção desses dados torna-se menos acessível.

A fim de ampliar a forma de obtenção da temperatura do solo, o manual de aquecimento urbano apresentado na ASHRAE (ASHRAE, 2013) desenvolve um conjunto de dados para a temperatura do solo baseado numa suposição simplificada que funciona bem em climas temperados, mas leva a erros significativos nos resultados estimados para climas frios e climas áridos. Além disso, a temperatura do solo é uma estimativa, pois os três parâmetros do modelo apresentado na Equação 3.3 ainda são baseados na condução pura e negligenciam os efeitos da radiação solar, cobertura de neve, congelamento/descongelamento do solo e evapotranspiração (XING, 2014).

Diante desses fatos, para suprir essa necessidade de um novo modelo que leve em consideração todos os fatos anteriormente mencionados, Xing (2014) desenvolve um método simplificado com dois harmônicos que é validado para dezenove localidades dos Estados Unidos. O modelo de Xing (2014) baseia-se principalmente em cinco parâmetros: a temperatura média anual do solo, duas amplitudes de temperatura do solo na superfície e atraso de fase para prever a temperatura não perturbada do solo. O modelo numérico é utilizado para gerar coeficientes do modelo de dois harmônicos.

Neste método, desenvolve-se um modelo numérico de transferência de calor para estimar a temperatura não perturbada do solo sob variados tipos de coberturas do solo tais como grama alta e baixa, solo nu, asfalto e concreto. O modelo utiliza um balanço de calor acoplado com arquivos de tempo para calcular a temperatura do solo, incluindo a radiação de onda curta incidente sobre uma superfície horizontal de radiação, a temperatura do ar, a umidade relativa e a velocidade do vento. Também são estimados nesse modelo a densidade da vegetação e a profundidade da neve para cada local simulado. O congelamento e os efeitos da umidade também são considerados no modelo. A cobertura de neve é tratada como uma condição de contorno. Como hipóteses simplificadoras, o transporte de umidade dentro do solo é desprezado e o teor de umidade é mantido constante. As propriedades do solo são estimadas a partir da temperatura do solo medida utilizando o procedimento

recomendado por Kusuda e Achenbach (1965) onde o solo é considerado homogêneo e a difusividade do solo é estimada utilizando o ajuste de mínimos quadrados para os resultados medidos a partir da Equação 3.1.

Com base nos estudos realizados por Xing (2014), para o solo coberto de grama com possível congelamento/descongelamento, o domínio de simulação é de 22,2 metros de profundidade. Esse domínio é dividido em três camadas chamadas camada próxima à superfície do solo, camada central e uma camada na superfície inferior, conforme representado na Figura 3.1. O modelo utiliza o método das diferenças finitas numa malha uniforme, com células de espessura de 15 mm na camada superficial do solo (2m de profundidade) e perto da camada superficial inferior (0,2 m de profundidade). Assim, existem 133 e 13 células nestas duas camadas, respectivamente. Na camada central (20m de espessura), as células menores têm 15 mm de profundidade, localizadas na parte superior e inferior da camada central. O modelo numérico é baseado em uma formulação explícita de diferenças finitas, portanto, o passo de tempo máximo necessário para ser numericamente estável e convergente pode ser determinado a partir do tamanho da célula e da difusividade do solo. No modelo de Xing (2014) a formulação para calcular o fluxo de calor superficial segue a de Herb et al. (2008).

Figura 3.1: Detalhe da malha não uniforme para locais cobertos por grama. Fonte: XING, 2014.

Geralmente, a formulação de um harmônico é suficientemente exata para aproximar a variação real da temperatura do solo para muitas aplicações de engenharia. No entanto, quando a precipitação, a queda de neve e o congelamento/descongelamento do solo ocorrem, em alguns locais um modelo harmônico de duas ordens é preferido. Assim, o modelo de dois harmônicos é usado por Xing (2014) para estimar a temperatura do solo para aplicações de engenharia, com mais precisão. A Equação 3.4 baseia-se nos seguintes parâmetros: temperaturas médias anuais do solo, amplitude da superfície e atraso de fase para estimar a temperatura do solo:

𝑇𝑠(𝑧, 𝑡) = 𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑+ ∑ 𝑒−𝑧√ 𝜋𝑛 𝛼𝑠𝑡𝑝_𝑇 𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,𝑛cos [2𝜋𝑛_𝑡 𝑝 (𝑡 − 𝑃𝐿𝑛) − 𝑧√ 𝑛𝜋 𝛼𝑠𝑡𝑝] 2 𝑛=1 (3.4)

onde _{𝑇𝑠(𝑧, 𝑡) é a temperatura não perturbada do solo à profundidade e época do ano} (°C ou K); _{𝑧 é a profundidade do solo (m); 𝑡 é o tempo, iniciando em primeiro de} janeiro (dia); 𝑡𝑝 é o período do ciclo de temperatura do solo igual a 365 (dia); 𝛼𝑠 é a

difusividade do solo (m2_{/dia); 𝑇}

𝑠,𝑚𝑒𝑑 é a temperatura média anual do solo para

diferentes profundidades e tempos (°C ou K); _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,𝑛} é a amplitude de superfície de ordem n, que pode ser assumida como a metade da diferença entre a temperatura média mensal máxima e mínima; _𝑃𝐿𝑛 é o ângulo de fase do ciclo anual da temperatura do solo (dia).

Estes valores de parâmetros são estimados usando os resultados calculados a partir do modelo numérico unidimensional. Matematicamente, isso é feito minimizando a soma dos quadrados dos erros entre o modelo numérico e o modelo de dois harmônicos, conforme apresentado na Equação 3.5:

𝑆𝑆𝑄𝐸 = ∑ ∑(𝑇𝑠,𝑁𝑀(𝑧(𝑖), 𝑡) − 𝑇𝑠,𝑇𝐻𝑀(𝑧(𝑖), 𝑡))2 𝑘 𝑡=1 𝑚 𝑖=1 (3.5)

onde _{𝑆𝑆𝑄𝐸 é a soma do quadrado do erro; 𝑚 é o número de profundidades onde os} parâmetros são ajustados, por exemplo, para quatro profundidades, _{𝑚 = 4} (adimensional); _{𝑧 é a profundidade onde a temperatura do solo é estimada, nas}

pesquisas de Xing (2014), 𝑧(1) = 0,05; 𝑧(2) = 0,2; 𝑧(3) = 0,5 e 𝑧(4) = 1,0 (m); 𝑘 é o período de tempo, que é considerado para o ano todo, isto é _{𝑘 = 365 (dia); 𝑡 é o dia} do ano, de 1 a 365 (dia); _{𝑇𝑠,𝑁𝑀(𝑧(𝑖), 𝑡) é a temperatura não perturbada do solo} calculada a partir do modelo numérico que é uma função da profundidade _{𝑧(𝑖) e dias} do ano 𝑡 (°C ou K); 𝑇𝑠,𝑇𝐻𝑀(𝑧(𝑖), 𝑡) é a temperatura não perturbada do solo calculada

a partir do modelo de dois harmônicos que é uma função da profundidade _{𝑧(𝑖) e dias} do ano _{𝑡, conforme mostrado na Equação 3.2 quando 𝑛 = 1 e 𝑛 = 2 (°C ou K).}

O procedimento apresentado na Equação 3.5 é realizado para quatro profundidades distintas e por um período de um ano tratando a temperatura média anual do solo, a amplitude anual da temperatura da superfície e o atraso de fase como os parâmetros independentes que são ajustados para minimizar o SSQE. A partir deste procedimento a temperatura não perturbada do solo pode ser então calculada a partir do modelo harmônico com os valores dos parâmetros estimados. De acordo com Xing (2014) este procedimento de estimativa de parâmetros parece funcionar razoavelmente bem, mas é limitado pela pouca precisão dos dados de entrada do modelo numérico que utiliza dados meteorológicos medidos, e também pela forma simplificada do próprio modelo.

O modelo numérico de Xing (2014) é executado com o auxílio dos arquivos climáticos anuais do local simulado para assim gerar estimativas típicas da temperatura do solo. Contudo, o modelo baseia-se na difusividade do solo, densidade da vegetação e profundidade da neve, que variam para cada local, e esses valores não podem ser lidos dos arquivos de tempo. Portanto, procedimentos automatizados para estimar esses parâmetros para cada local também são desenvolvidos por Xing (2014). São eles:

 Uma difusividade constante do solo é assumida em cada local com um valor típico de 4,9x10-7 _m2_{/s. Valor este que de acordo com Hendrickx et al. (2003}

apud XING, 2014) é equivalente ao solo argiloso com 60% de saturação do silte;

 Nos locais de climas de verão árido ou seco, a densidade de vegetação é fixada em 0,9. Em outros climas, a densidade da vegetação é de 1,0;

 Um modelo de neve foi desenvolvido que toma a profundidade da neve como dados de entrada. Um procedimento para estimar a espessura da cobertura de neve também é desenvolvido por Xing (2014).

Xing (2014) desenvolve tabelas para a obtenção dos valores das constantes presentes na Equação 3.4 para 4.112 locais diferentes em diversos países considerando solos com grama curta ou locais cobertos de grama alta. Mais especificadamente para São Paulo - SP, cidade que é objeto deste estudo, os valores para os parâmetros são:

 _{𝑇𝑠,𝑚𝑒𝑑 = 21,1°𝐶 ;}  _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,1 = −3,3;}  _{𝑇𝑠,𝑎𝑚𝑝𝑙,2 = 0,8;}  𝑃𝐿1 = 19 𝑑𝑖𝑎𝑠;

 _{𝑃𝐿2 = −8 𝑑𝑖𝑎𝑠.}