2.2 Módulos sobre álgebras
2.2.2 Módulos indecomponíveis
Nesta subseção iremos introduzir a definição de módulos simples, módulos inde- componíveis, módulos uniseriais e mostrar algumas propriedades sobre estes módulos que serão fundamentais para o desenvolvimento deste trabalho. Além disso, iremos definir e mostrar alguns resultados importantes sobre módulos artinianos e noetherianos. Os re- sultados apresentados nesta subseção podem ser vistos em (MILIES, 1972), (LAM, 1991) e (LEINSTER, 2014).
Definição 2.2.40. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Dizemos que 𝑀 é simples se os únicos submódulos à esquerda de 𝑀 são os triviais.
Exemplo 2.2.41. Os ideais à esquerda minimais de uma k-álgebra 𝐴 são precisamente os 𝐴-submódulos à esquerda simples de 𝐴.
Exemplo 2.2.42. Considere Z como Z-módulo à esquerda. Sabemos que todo Z-submódulo à esquerda de Z é da forma 𝑛Z = {𝑛𝑥 | 𝑥 ∈ Z}, onde 𝑛 ∈ N. Logo, Z não é simples como Z-módulo à esquerda.
Proposição 2.2.43. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então 𝑀/𝑁 é simples se e somente se 𝑁 é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 .
Demonstração. Suponhamos que 𝑀/𝑁 seja simples. Consideremos 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝑁 a projeção canônica de 𝐴-módulos à esquerda e 𝑁′ um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que 𝑁 ( 𝑁′ ⊆ 𝑀 . Notemos que 𝜋(𝑁′) = 𝑁′/𝑁 é um submódulo à esquerda de 𝑀/𝑁 , então
𝑁′/𝑁 = {0} ou 𝑁′/𝑁 = 𝑀/𝑁 . Como 𝑁 ( 𝑁′, 𝑁′/𝑁 ̸= {0}, e assim 𝑁′/𝑁 = 𝑀/𝑁 . Logo, pela correspondência entre os submódulos à esquerda de 𝑀/𝑁 e os submódulos à esquerda de 𝑀 que contém 𝑁 , 𝑁′ = 𝑀 , e consequentemente, 𝑁 é submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Reciprocamente, suponha que 𝑁 é submódulo à esquerda maximal da 𝑀 e seja 𝐿 ̸= {0} submódulo à esquerda de 𝑀/𝑁 . Pela correspondência, segue que 𝑀/𝑁 é simples.
Definição 2.2.44. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Dizemos que 𝑀 é indecom- ponível se não existem submódulos à esquerda não triviais 𝑁1 e 𝑁2 tais que 𝑀 = 𝑁1⊕ 𝑁2.
Notemos que todo módulo simples é também um módulo indecomponível. Porém, a recíproca não é verdadeira. Vimos no Exemplo 2.2.42 que Z não é simples como Z- módulo à esquerda, mas Z é indecomponível como Z-módulo à esquerda. Suponhamos que existem submódulos à esquerda 𝑁1, 𝑁2 ⊆ Z tais que Z = 𝑁1⊕𝑁2. Consequentemente,
𝑁1 = 𝑛1Z e 𝑁2 = 𝑛2Z, com 𝑛1,𝑛2 ∈ Z. Assim, tomando 𝑚 = 𝑛1𝑛2 = 𝑛2𝑛1, segue que
𝑚 ∈ 𝑁1 e 𝑚 ∈ 𝑁2. Logo, 𝑛1𝑛2 = 0, e isto implica que 𝑛1 = 0 ou 𝑛2 = 0. Portanto,
𝑁1 = {0} ou 𝑁2 = {0}.
Definição 2.2.45. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 , 𝐾 ⊆ 𝑀 submódulos à es- querda de 𝑀 . Dizemos que 𝑀 é um módulo uniserial se 𝑁 ⊆ 𝐾 ou 𝐾 ⊆ 𝑁 .
Observação 2.2.46. Seja 𝑁 um submódulo à esquerda de um 𝐴-módulo à esquerda uni- serial 𝑀 . Considere 𝐿, 𝐾 ⊆ 𝑁 submódulos à esquerda de 𝑁 . Consequentemente, 𝐿 e 𝐾 são submódulos à esquerda de 𝑀 , e como 𝑀 é uniserial segue que 𝐿 ⊆ 𝐾 ou 𝐾 ⊆ 𝐿. Logo, 𝑁 é uniserial e, portanto, todo submódulo à esquerda de um módulo à esquerda uniserial é uniserial.
Notemos que todo 𝐴-módulo à esquerda uniserial 𝑀 é indecomponível. Com
efeito, suponhamos que 𝑀 seja decomponível. Então 𝑀 = 𝑁1 ⊕ 𝑁2 onde 𝑁1, 𝑁2 ⊆ 𝑀
são submódulos à esquerda de 𝑀 . Como 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda uniserial temos que 𝑁1 ⊆ 𝑁2 ou 𝑁2 ⊆ 𝑁1. Assim, em qualquer um dos casos 𝑁1∩ 𝑁2 ̸= {0}, o que é uma
contradição. Portanto, 𝑀 é indecomponível. Notemos que a recíproca não vale, pois Z é indecomponível e claramente não é uniserial.
No que segue, trataremos brevemente da noção de condições de cadeia com o intuito de definir módulos à esquerda artinianos e noetherianos, bem como dar algumas propriedades e resultados sobre estes.
Definição 2.2.47. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 satisfaz a condição de cadeia ascendente (CCA) se não existe uma cadeia ascendente infinita de submódulos à esquerda de 𝑀 . Isto é, se
𝑁1 ⊆ 𝑁2 ⊆ · · · ⊆ 𝑁𝑘· · ·
é uma cadeia ascendente, existe um número inteiro 𝑛 tal que 𝑁𝑛 = 𝑁𝑛+𝑖, 𝑖 ≥ 1. Nesse
caso, dizemos que a cadeia é estacionária.
De maneira analóga, podemos definir condição de cadeia descendente (CCD). Definição 2.2.48. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 é noetheriano (res- pectivamente artiniano) se a família de todos os 𝐴-submódulos à esquerda de 𝑀 satisfaz CCA (respectivamente CCD).
Exemplo 2.2.49. O corpo k visto como k-módulo à esquerda é artiniano e noetheriano, visto que a única cadeia possível de submódulos à esquerda de k é {0} ⊆ k.
Exemplo 2.2.50. Consideremos Z como Z-módulo à esquerda. Sabemos que os Z- submódulos à esquerda de Z são da forma 𝑛Z, 𝑛 ∈ Z. Observe que a cadeia descendente 2Z ⊇ 4Z ⊇ · · · 2𝑛
Z ⊇ · · · não é finita, ou seja, Z não é artiniano. Por outro lado, temos que 𝑛Z ⊆ 𝑚Z se e somente se 𝑚 divide 𝑛. Como o conjunto dos divisores de um número inteiro é finito, segue que Z é um Z-módulo à esquerda noetheriano.
Proposição 2.2.51. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano, então 𝑀 contém um submódulo à esquerda simples.
Demonstração. Suponhamos que 𝑀 não contenha um submódulo à esquerda simples. Em particular, 𝑀 não é simples. Então existe 𝑀1 ̸= {0} tal que 𝑀 ) 𝑀1, e 𝑀1 não é simples.
Então, existe 𝑀2 ̸= {0} tal que 𝑀 ) 𝑀1 ) 𝑀2, e 𝑀2 não é simples. Procedendo desta
forma, obtemos uma cadeia infinita de submódulos distintos, ou seja, 𝑀 não satisfaz CCD. Logo, 𝑀 não é artiniano.
Observação 2.2.52. Se 𝑀 é noetheriano, então a Proposição anterior não é válida pois, Z é um Z-módulo à esquerda noetheriano que não contém submódulos à esquerda simples. Proposição 2.2.53. Seja 0 −→ 𝑀1
𝑓
−→ 𝑀 −→ 𝑀𝑔 2 −→ 0 uma sequência exata curta de
𝐴-módulos à esquerda. Então, 𝑀 é noetheriano (respectivamente artiniano) se e somente se 𝑀1 e 𝑀2 são noetherianos (respectivamente artinianos).
Demonstração. Faremos a prova para o caso noetheriano. O caso artiniano é feito de maneira análoga.
Consideremos 𝑁1 ⊆ 𝑁2 ⊆ · · · ⊆ 𝑁𝑡 ⊆ · · · uma cadeia de submódulos à esquerda
de 𝑀1 e 𝐾1 ⊆ 𝐾2 ⊆ · · · 𝐾𝑡 ⊆ · · · uma cadeia de submódulos à esquerda de 𝑀2. Logo,
𝑓 (𝑁1) ⊆ 𝑓 (𝑁2) ⊆ · · · ⊆ 𝑓 (𝑁𝑡) ⊆ · · · e 𝑔−1(𝐾1) ⊆ 𝑔−1(𝐾2) ⊆ · · · 𝑔−1(𝐾𝑡) ⊆ · · · são cadeias
de submódulos à esquerda de 𝑀 . Como 𝑀 é noetheriano, estas cadeias de submódulos à esquerda são estacionárias, ou seja, 𝑓 (𝑁𝑛) = 𝑓 (𝑁𝑛+𝑗) e 𝑔−1(𝐾𝑚) = 𝑔−1(𝐾𝑚+𝑗), para todo
𝑗 ≥ 1. Como 𝑓 é injetora, temos que 𝑁𝑛= 𝑁𝑛+𝑗, para todo 𝑗 ≥ 1 e consequentemente,
𝑀1 é noetheriano. Desde que, 𝑔 é sobrejetora, temos que 𝐾𝑚 = 𝐾𝑚+𝑗, para todo 𝑗 ≥
1. Logo, 𝑀2 é noetheriano. Reciprocamente, seja 𝐿1 ⊆ 𝐿2 ⊆ · · · ⊆ 𝐿𝑡 ⊆ · · · uma
cadeia ascendente de submódulos à esquerda de 𝑀 . Esta induz as seguintes cadeias, 𝑓−1(𝐿1) ⊆ 𝑓−1(𝐿2) ⊆ · · ·𝑓−1(𝐿𝑡) ⊆ · · · em 𝑀1 e 𝑔(𝐿1) ⊆ 𝑔(𝐿2) ⊆ · · · ⊆ 𝑔(𝐿𝑡) ⊆ · · ·
em 𝑀2. Como 𝑀1 e 𝑀2 são noetherianos, temos que existem índices 𝑛 e 𝑚 tais que
𝑓−1(𝐿𝑛) = 𝑓−1(𝐿𝑛+𝑗) e 𝑔(𝐿𝑚) = 𝑔(𝐿𝑚+𝑗), para todo 𝑗 > 0. Tomando 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛, 𝑚},
obtemos 𝑓−1(𝐿𝑙) = 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) e 𝑔(𝐿𝑙) = 𝑔(𝐿𝑙+𝑗), para todo 𝑗 > 0. Mostremos que,
𝐿𝑙 = 𝐿𝑙+1, para todo 𝑗 > 0. Seja 𝑥 ∈ 𝐿𝑙+1. Assim, 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿𝑙, isto é, existe 𝑦 ∈ 𝐿𝑙 tal
que 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑦), de modo que, 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓 ). Logo, existe 𝑧 ∈ 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) tal
que 𝑦 − 𝑥 = 𝑓 (𝑧). Como 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) = 𝑓−1(𝐿𝑙) temos que, 𝑦 − 𝑥 = 𝑓 (𝑧) ∈ 𝐿𝑙. Assim,
𝑥 = 𝑦 − 𝑓 (𝑧) ∈ 𝐿𝑙, ou seja, 𝐿𝑙= 𝐿𝑙+𝑗, para todo 𝑗 > 0. Logo, 𝑀 é noetheriano.
Corolário 2.2.54. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um submódulo à esquerda de 𝑀 . Então, 𝑀 é noetheriano (respectivamente artiniano) se e somente se 𝑁 e 𝑀/𝑁 são noetherianos (respectivamente artinianos).
Demonstração. Basta considerar a sequência exata curta 0 −→ 𝑁 ˓→𝑀 −→ 𝑀/𝑁 −→ 0𝜋 e aplicar o resultado acima.
Definição 2.2.55. Uma k-álgebra 𝐴 é artiniana (respectivamente, noetheriana) se 𝐴 visto como 𝐴-módulo à esquerda é artiniano (respectivamente, noetheriano).
Observação 2.2.56. Notemos que se 𝐴 é artiniana pela Proposição 2.2.51, 𝐴 contém um submódulo à esquerda simples. Assim, pelo Exemplo 2.2.41 𝐴 contém um ideal à esquerda minimal.
A seguir vejamos algumas definições e resultados que serão fundamentais para mostrarmos uma caracterização importante sobre módulos à esquerda artinianos e no- etherianos.
Definição 2.2.57. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Consideremos duas cadeias de submódulos à esquerda de 𝑀 da forma:
𝑀′ = 𝑀0′ ) 𝑀1′ ) · · · ) 𝑀𝑡′ = {0} (𝒞′).
Dizemos que 𝒞′ é um refinamento de 𝒞 se todo submódulo à esquerda de 𝒞 é um membro de 𝒞′. Além disso, 𝒞 e 𝒞′ são equivalentes, se 𝑘 = 𝑡 e após uma reordenação dos índices, se necessário, 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1≃ 𝑀𝑖′/𝑀
′
𝑖+1, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑡−1.
Definição 2.2.58. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. A cadeia de submódulos à esquerda 𝑀 = 𝑀0 ) 𝑀1 ) · · · ) 𝑀𝑘= {0}
é uma série de composição de 𝑀 se o quociente 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1 é um 𝐴-módulo à esquerda sim-
ples, para cada 𝑖 ∈ 𝐼𝑘−1. O inteiro 𝑘 é chamado de comprimento da série de composição.
Exemplo 2.2.59. Seja 𝑉 um k-espaço vetorial de dimensão finita com base {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛}.
Como 𝑉 é um k-módulo à esquerda, consideremos a seguinte cadeia de submódulos à esquerda de 𝑉
𝑉 = 𝑉0 ) 𝑉1 ) · · · ) 𝑉𝑛= {0}
onde 𝑉0 = 𝑉 , 𝑉𝑖 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣𝑖+1, ..., 𝑣𝑛}, 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1 e 𝑉𝑛 = {0}. Como cada 𝑉𝑖/𝑉𝑖+1 é um k-
módulo à esquerda simples, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1, então a cadeia de submódulos à esquerda
de 𝑉 acima é uma série de composição de 𝑉 de comprimento 𝑛.
Observemos que se 𝑀 possui uma série de composição de comprimento 𝑘, então podemos mostrar que qualquer outra série de composição de 𝑀 também terá comprimento 𝑘. Isto é provado no seguinte teorema, conhecido como Teorema de Jordan-Hölder, cuja demonstração não será apresentada, porém este é um resultado clássico da Teoria de Módulos.
Teorema 2.2.60. ([Teorema VI.3.1, MILIES, 1972]) Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda que admite uma série de composição. Então,
(i) toda cadeia de submódulos à esquerda estritamente descrescente é finita e admite um refinamento que é uma série de composição;
(ii) duas séries de composição de 𝑀 são equivalentes.
O teorema acima nos permite definir o comprimento de um módulo à esquerda. Definição 2.2.61. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Se 𝑀 admite uma série de com- posição de comprimento 𝑘, então dizemos que 𝑀 possui comprimento 𝑘 e denotamos por ℓ(𝑀 ) = 𝑘.
Teorema 2.2.62. Um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 tem comprimento finito se e somente se é artiniano e noetheriano.
Demonstração. Suponhamos que o comprimento de 𝑀 seja finito, ou seja, ℓ(𝑀 ) = 𝑟. Se tivermos uma cadeia estritamente decrescente de submódulos à esquerda de 𝑀 , então pelo Teorema de Jordan-Hölder esta cadeia deve ser finita. Logo, 𝑀 é artiniano. Seja 𝑁0 ⊆ 𝑁1 ⊆ · · · uma cadeia crescente de submódulos à esquerda de 𝑀 . Para cada 𝑡 ∈ N
podemos considerar a cadeia finita 𝑀 ⊇ 𝑁𝑡 ⊇ 𝑁𝑡−1 ⊇ · · · ⊇ 𝑁0 ⊇ {0} (𝒞). Assim,
segue do Teorema de Jordan-Hölder que 𝒞 pode ser refinada a uma série de composição que tem comprimento 𝑟. Logo, 𝑡 ≤ 𝑟 = ℓ(𝑀 ). Como 𝑡 é arbitrário a cadeia 𝒞 deve ser finita, e portanto 𝑀 é noetheriano. Reciprocamente, suponha que 𝑀 ̸= {0} seja artiniano e noetheriano. Entre todos os submódulos à esquerda de 𝑀 , escolhemos um submódulo à esquerda maximal 𝑀1, o qual existe já que 𝑀 satisfaz CCA. Se 𝑀1 = {0},
então 𝑀 ⊇ 𝑀1 = {0} é uma série de composição já que 𝑀1 é maximal. Se 𝑀1 ̸= {0},
escolhemos um submódulo à esquerda maximal 𝑀2 de 𝑀1 e se 𝑀2 = {0}, então 𝑀 =
𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ 𝑀2 = {0} é uma série de composição de 𝑀 . Se 𝑀2 ̸= {0}, então continuamos
o processo obtendo a seguinte cadeia 𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑘 = {0} já que 𝑀 é
artiniano. Devido a escolha de cada 𝑀𝑗 maximal, para todo 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 𝑙, o módulo
à esquerda 𝑀𝑗/𝑀𝑗+1 é simples. Portanto, a cadeia acima é uma série de composição de
𝑀 .
Proposição 2.2.63. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então,
(𝑖) 𝑀 tem dimensão finita como k-espaço vetorial;
(𝑖𝑖) 𝑀 tem comprimento finito como 𝐴-módulo à esquerda.
Demonstração. (i) Suponhamos que {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛} seja uma base de 𝐴 como k-espaço
vetorial e que {𝑚𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟} gera 𝑀 como 𝐴-módulo à esquerda. Denotemos por
𝑤𝑖𝑗 = 𝑣𝑖𝑚𝑗, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑟, e mostremos que o conjunto {𝑤𝑖𝑗 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑟} gera
𝑀 como k-espaço vetorial. Seja 𝑥 ∈ 𝑀. Então, existem 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 tais que 𝑥 =∑︀𝑖∈𝐼1,𝑟𝑎𝑖𝑚𝑖.
Para cada 𝑎𝑖, existem 𝛼 𝑗 𝑖 ∈ k tais que 𝑎𝑖 =∑︀𝑗∈𝐼1,𝑛𝛼 𝑖 𝑗𝑣𝑗. Portanto, 𝑥 = ∑︁ 𝑖∈𝐼1,𝑡 𝑎𝑖𝑚𝑖 = ∑︁ 𝑖∈𝐼1,𝑟 ( ∑︁ 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝛼𝑖𝑗𝑣𝑗)𝑚𝑖 = ∑︁ 𝑖∈𝐼1,𝑟,𝑗∈𝐼1,𝑛 𝛼𝑖𝑗𝑣𝑗𝑚𝑖 = ∑︁ 𝑖∈𝐼1,𝑟,𝑗∈𝐼1,𝑛 𝛼𝑗𝑖𝑤𝑖𝑗.
(ii) Suponha que 𝑀 não tem comprimento finito como 𝐴-módulo à esquerda, ou seja, que existe uma cadeia 𝑀 = 𝑀0 ) 𝑀1 ) · · · ) 𝑀𝑘 ) · · · infinita de submódulos à esquerda
de 𝑀 . Como todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é um k-espaço vetorial via 𝛼𝑚 = 𝛼1𝐴𝑚, para
quaisquer 𝛼 ∈ k e 𝑚 ∈ 𝑀, temos que todo 𝐴-submódulo à esquerda de 𝑀 é, em particular, um k-subespaço vetorial de 𝑀. Assim, qualquer cadeia de 𝐴-submódulos à esquerda de 𝑀 é, em particular, uma cadeia de k-subespaços vetoriais de 𝑀 . Além disso, 𝑀 é um k-espaço vetorial de dimensão finita pelo item (i). Digamos que 𝑑𝑖𝑚k𝑀 = 𝑛. Da cadeia
𝑀𝑛 = {0}, o que é uma contradição. Portanto, 𝑀 tem comprimento finito como 𝐴-módulo
à esquerda.
Observação 2.2.64. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Pela Proposi- ção anterior, 𝑀 tem dimensão finita como k-espaço vetorial. Assim, se 𝑑𝑖𝑚k𝑀 = 𝑛 pelo
Exemplo 2.2.59, 𝑀 possui comprimento finito 𝑛. Consequentemente, ℓ(𝑀 ) = 𝑑𝑖𝑚k𝑀 . O seguinte resultado nos dá uma importante caracterização de módulos à esquerda uniseriais via série de composição.
Proposição 2.2.65. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, 𝑀 é uniserial se e somente se 𝑀 possui uma única série de composição.
Demonstração. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda uniserial. Suponha que 𝑀 possui duas séries de composições 𝑀 = 𝑁0 ) 𝑁1 ) · · · ) 𝑁𝑘= {0} e 𝑀 = 𝑁0′ ) 𝑁1′ ) · · · ) 𝑁𝑘′ = {0}
distintas de comprimento 𝑘, ou seja, ℓ(𝑀 ) = 𝑘. Assim, existe 𝑖 ∈ 𝐼𝑘 tal que 𝑁𝑖 ̸= 𝑁𝑖′.
Como 𝑀 é uniserial, 𝑁𝑖 ⊆ 𝑁𝑖′ ou 𝑁 ′
𝑖 ⊆ 𝑁𝑖. Suponha sem perda de generalidade que
𝑁𝑖 ⊆ 𝑁𝑖′ então temos a seguinte cadeia de submódulos à esquerda de 𝑀
𝑀 = 𝑁0′ ) 𝑁1′ ) · · · ) 𝑁𝑖′ ) 𝑁𝑖 ) 𝑁𝑖+1) · · · ) 𝑁𝑘 = {0} (𝒞).
Pelo Teorema de Jorder-Hölder (𝒞) pode ser refinada a uma série de composição, e as-
sim ℓ(𝑀 ) ≥ 𝑘 + 1, o que é uma contradição. Portanto, 𝑀 possui uma única série
de composição. Reciprocamente, suponha que 𝑀 tem uma única série de composição 𝑀 = 𝑁0 ) 𝑁1 ) · · · ) 𝑁𝑘 = {0}. Sejam 𝑁 e 𝑁′ 𝐴-submódulos à esquerda próprios
de 𝑀 . Em particular, 𝑀 ) 𝑁 ) {0} é uma cadeia, consequentemente, pelo Teorema de Jordan-Hölder, esta pode ser refinada a uma série de composição de 𝑀 . Logo, 𝑁 ≃ 𝑁𝑖,
para algum 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑘. Analogamente, 𝑁′ ≃ 𝑁𝑗, para algum 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑘. Portanto, 𝑁 ⊆ 𝑁′ ou
𝑁′ ⊆ 𝑁 .
A seguir enunciaremos o clássico Teorema de Krull-Schmidt, que garante que todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 de comprimento finito tem uma decomposição em soma direta de submódulos à esquerda indecomponíveis. E mais ainda, esta decomposição é única a menos de isomorfismo. Optamos por não apresentar a demonstração deste resultado, visto que, assim como o Teorema de Jorder-Hölder este é um clássico resultado da Teoria de Módulos.
Teorema 2.2.66. ([Teorema 19.21, LAM, 1991]) Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 ̸= {0} de comprimento finito tem uma decomposição em soma direta de submódulos
onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda indecomponível de 𝑀, para 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟. Além disso,
essa decomposição é única a menos de isomorfismo, isto é, se tivermos também 𝑀 = 𝑁1 ⊕ 𝑁2⊕ · · · ⊕ 𝑁𝑠 (𝐷′)
onde cada 𝑁𝑗 é um submódulo à esquerda indecomponível de 𝑀, para 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑠, então 𝑟 = 𝑠
e reindexando os índices se necessário, temos 𝑀𝑖 ∼= 𝑁𝑖, para cada 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟.
Se 𝐴 é uma k-álgebra de dimensão finita, em particular, 𝐴𝐴 = 𝑃1⊕ 𝑃2⊕ ... ⊕ 𝑃𝑛,
onde 𝑃𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 são 𝐴-módulos à esquerda indecomponíveis unicamente determinados.
Além disso, pela Proposição 2.2.30 cada 𝑃𝑖 é projetivo. Por outro lado, pelo Exemplo
2.1.14 temos que 𝑃𝑖 ≃ 𝐴𝑒𝑖, onde {𝑒𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛} é um conjunto de idempotentes ortogonais
tais que ∑︀
𝑖∈𝐼1,𝑛𝑒𝑖 = 1𝐴.
A seguir enunciaremos um importante lema que nos diz que todo 𝐴-módulo à esquerda projetivo e indecomponível é isomorfo a algum 𝐴-módulo à esquerda projetivo que aparece na decomposição de 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda. A demonstração deste resultado é bem construtiva, e envolve várias propriedades sobre módulos à esquerda simples e indecomponíveis, por está razão optamos por omití-la do texto. Além disso, utilizaremos apenas a caracterização apresentada no resultado, cuja prova pode ser vista em (LEINSTER, 2014).
Lema 2.2.67. ([Lema 9.5, LEINSTER, 2014]) Com as notações estabelecidas acima, todo 𝐴-módulo à esquerda projetivo e indecomponível é isomorfo à 𝑃𝑖, para algum 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛.