2.2 Módulos sobre álgebras
2.2.3 Semissimplicidade e radical de Jacobson
Apresentaremos nesta seção a definição de k-álgebra semissimples e de radical de Jacobson de uma k-álgebra. Discutiremos algumas propriedades importantes sobre esses conceitos, a fim de introduzir a noção de 𝐽 -semissimplicidade. Para isso, utiliza- remos alguns resultados sobre módulos artinianos e noetherianos vistos anteriormente. As definições e resultados expostos nesta subseção podem ser encontrados em (MILIES, 1972), (LAM, 1991), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011), (ASSEM; SIMSON; SKO- WROŃSKI, 2006) e (LINCKELMANN, 2018).
Definição 2.2.68. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 é semissimples se todo submódulo à esquerda de 𝑀 é um somando direto de 𝑀 .
Claramente se 𝑀 é simples, então 𝑀 é semissimples, pois se 𝑀 é simples os únicos submódulos à esquerda de 𝑀 são os triviais, assim 𝑀 = 𝑀 ⊕{0}. Mas, {0} é semissimples e não é simples, logo a recíproca não é válida.
Exemplo 2.2.69. O corpo k visto como k-módulo à esquerda é simples, consequente- mente é semissimples.
Definição 2.2.70. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O socle de 𝑀 , denotado por 𝑠𝑜𝑐(𝑀 ), é a soma de todos os submódulos à esquerda simples de 𝑀 . Observação 2.2.71. Se 𝑀 não possui submódulos simples, então 𝑠𝑜𝑐(𝑀 ) = {0}.
Exemplo 2.2.72. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, 𝑠𝑜𝑐(𝑀 ) é um 𝐴-submódulo à esquerda semissimples de 𝑀 . Mais ainda, o 𝑠𝑜𝑐(𝑀 ) é o maior submódulo à esquerda semissimples de 𝑀 .
Apresentaremos agora uma série de resultados sobre módulos à esquerda semis- simples, resultados estes que serão úteis no decorrer deste trabalho.
Lema 2.2.73. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Então, (i) todo submódulo à esquerda de 𝑀 é semissimples;
(ii) toda imagem epimórfica de 𝑀 é semissimples.
Demonstração. (i) Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples e que 𝑁 é um submódulo à esquerda de 𝑀 . Se 𝐿 é um submódulo à esquerda de 𝑁 temos que 𝐿 é submódulo à esquerda de 𝑀 e como 𝑀 semissimples, existe um submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 tal que 𝑀 = 𝐿 ⊕ 𝐾. Assim,
𝑁 = 𝑀 ∩ 𝑁 = (𝐿 ⊕ 𝐾) ∩ 𝑁 = (𝐿 ∩ 𝑁 ) ⊕ (𝐾 ∩ 𝑁 ) = 𝐿 ⊕ (𝐾 ∩ 𝑁 ). Logo, 𝑁 é semissimples.
(ii) Sejam 𝜙 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo sobrejetor de 𝐴-módulos à esquerda e 𝐿 um submódulo à esquerda de 𝑁 . Notemos que 𝜙−1(𝐿) é um submódulo à esquerda de 𝑀 , pois 𝑎𝜙(𝑚) = 𝜙(𝑎𝑚) ∈ 𝜙−1(𝐿), para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Como 𝑀 é semissimples, existe um submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 tal que 𝑀 = 𝜙−1(𝐿) ⊕ 𝐾. Por hipótese 𝜙 é um homomorfismo sobrejetor então, dado 𝑛 ∈ 𝑁 , existe 𝑚 ∈ 𝑀 tal que 𝜙(𝑚) = 𝑛. Logo, 𝑚 = 𝑚1+ 𝑚2 com 𝑚1 ∈ 𝜙−1(𝐿) e 𝑚2 ∈ 𝐾, donde
𝑛 = 𝜙(𝑚) = 𝜙(𝑚1) + 𝜙(𝑚2) ∈ 𝐿 + 𝜙(𝐾).
Logo, 𝑁 = 𝐿 + 𝜙(𝐾). Além disso, se 𝑦 ∈ 𝐿 ∩ 𝜙(𝐾) então, existe 𝑥 ∈ 𝐾 tal que 𝜙(𝑥) = 𝑦, ou seja, 𝑥 ∈ 𝜙−1(𝐿) ∩ 𝐾 = {0}. Portanto, 𝑦 = 𝜙(0) = 0 e assim 𝑁 = 𝐿 ⊕ 𝜙(𝐾).
Em particular, segue do item (ii) do lema anterior que todo quociente de um módulo à esquerda semissimples é semissimples. Basta considerar, 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝑁 a projeção canônica.
Lema 2.2.74. Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 semissimples não nulo contém um submódulo à esquerda simples.
Demonstração. Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples, e seja 𝑚 ∈ 𝑀 tal que 𝑚 ̸= 0. Considere o submódulo à esquerda 𝐴𝑚 de 𝑀 , o qual é semissimples pelo Lema 2.2.73 (i). Seja ℱ = {𝑁 | 𝑁 é submódulo à esquerda de 𝐴𝑚 e 𝑚 ̸∈ 𝑁 }. Note que ℱ ̸= ∅ pois {0} ∈ ℱ . Considere uma cadeia de submódulos à esquerda distintos de ℱ ordenada pela inclusão, claramente a união destes submódulos à esquerda é uma cota superior para esta cadeia. Pelo Lema de Zorn, existe 𝑁 um elemento maximal em ℱ . Como 𝐴𝑚 é semissimples, existe um submódulo à esquerda 𝐾 de 𝐴𝑚 tal que 𝐴𝑚 = 𝑁 ⊕ 𝐾. Vejamos que, 𝐾 é um módulo à esquerda simples. Primeiramente, note que como 𝑚 ̸∈ 𝑁 então 𝑚 = 𝑛 + 𝑘 com 𝑛 ∈ 𝑁 e 0 ̸= 𝑘 ∈ 𝐾. Além disso, se 𝐾′ ̸= {0} é um submódulo à esquerda de 𝐾, devemos ter que 𝐾 = 𝐾′⊕ 𝐿, para algum 𝐿 submódulo à esquerda de 𝐾. Pela maximalidade de 𝑁 , 𝑚 ∈ 𝑁 ⊕ 𝐾′ de modo que 𝑁 ⊕ 𝐾′ = 𝐴𝑚. Então, 𝑁 ⊕ 𝐾′ = 𝐴𝑚 = 𝑁 ⊕ 𝐾 = 𝑁 ⊕ (𝐾′⊕ 𝐿) e assim segue que 𝐿 = {0}. Portanto, 𝐾′ = 𝐾 e temos que 𝐾 é um módulo à esquerda simples.
Teorema 2.2.75. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Então, as seguintes afir- mações são equivalentes:
(i) 𝑀 é semissimples;
(ii) 𝑀 é escrito como soma direta de uma família de submódulos à esquerda simples; (iii) 𝑀 é soma de uma família de submódulos à esquerda simples.
Demonstração. (i) ⇒ (iii) Suponha que 𝑀 seja semissimples. Seja 𝑀1 a soma de todos
os submódulos à esquerda simples de 𝑀 . Como 𝑀 é semissimples então, 𝑀 = 𝑀1⊕ 𝑀2,
para algum 𝑀2 submódulo à esquerda de 𝑀 . Se 𝑀2 ̸= {0}, pelo Lema 2.2.74, 𝑀2 contém
um submódulo à esquerda simples 𝑁 . Como 𝑁 também é submódulo à esquerda de 𝑀 , então 𝑁 ⊆ 𝑀1∩ 𝑀2. Ou seja, este submódulo à esquerda deve estar contido em 𝑀1, o
que é uma contradição. Logo, 𝑀2 = {0} e assim 𝑀 = 𝑀1.
(iii) ⇒ (i) Suponha que 𝑀 = ∑︀
𝑖∈𝐼𝑀𝑖, onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda sim-
ples de 𝑀 , e seja 𝑁 um submódulo à esquerda de 𝑀 . Considere a seguinte família de subconjuntos 𝐽 ⊆ 𝐼:
ℱ = {𝐽 ⊆ 𝐼 |⨁︁ 𝑗∈𝐽
𝑀 𝑗 é uma soma direta e 𝑁 ∩⨁︁
𝑗∈𝐽
𝑀 𝑗 = {0}}.
Notemos que ℱ ̸= ∅, pois {0} ∈ ℱ . Podemos aplicar o Lema de Zorn em ℱ , pois se considerar a relação de ordem parcial em ℱ temos que 𝐽1 ⊆ 𝐽2 ⊆ ... ⊆ 𝐽𝑛 ⊆ ... é uma
cadeia em ℱ que possui uma cota superior, assim obtemos um elemento 𝐽 maximal nessa família.
Seja 𝑀′ = 𝑁 ⊕ (⊕𝑗∈𝐽𝑀𝑗), e vejamos que 𝑀′ = 𝑀 . Claramente 𝑀′ ⊆ 𝑀 já que,
Para isso provemos que 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀′, para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Suponha que 𝑀𝑖 ( 𝑀′ para algum
𝑖′ ∈ 𝐼. Como a interseção de submódulos à esquerda é um submódulo à esquerda e 𝑀𝑖′ é
simples, então 𝑀𝑖′∩ 𝑀′ = {0}. Assim,
𝑀′+ 𝑀𝑖′ = 𝑀′⊕ 𝑀𝑖′ = (𝑁 ⊕𝑗∈𝐽 𝑀 𝑗) ⊕ 𝑀𝑖′
o que contradiz a maximalidade de 𝐽 , pois 𝑖′ ̸∈ 𝐽. Logo, 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀′ para todo 𝑖 ∈ 𝐼 e
consequentemente 𝑀 é semissimples.
(iii) ⇒ (ii) Suponha que 𝑀 = ∑︀
𝑖∈𝐼𝑀𝑖, onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda
simples de 𝑀 . Considere a família ℱ = {𝐽 ⊆ 𝐼 | ∑︀
𝑗∈𝐽𝑀 𝑗 é uma soma direta}. Usando
um argumento análogo ao de cima, existe 𝐼′elemento maximal em ℱ . Seja 𝑀′ = ⊕
𝑗∈𝐼′𝑀𝑗,
e mostremos que 𝑀′ = 𝑀 . Como 𝑀𝑖 é módulo à esquerda simples para cada 𝑖 ∈ 𝐼 temos
que, 𝑀𝑖 ∩ 𝑀′ = 𝑀𝑖 ou 𝑀𝑖∩ 𝑀′ = {0}. Se ocorrer 𝑀𝑖∩ 𝑀′ = {0} então, 𝐼′∪ {𝑖} ) 𝐼′ o
que contradiz a maximalidade de 𝐼′. Logo, 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀′ para todo 𝑖 ∈ 𝐼, e como claramente
𝑀′ ⊆ 𝑀 segue que 𝑀 = 𝑀′.
(ii) ⇒ (iii) Imediato.
Definição 2.2.76. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Dizemos que 𝐴 é uma k-álgebra semissimples à esquerda, se 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda é semissimples.
Vejamos à seguir duas propriedades importantes sobre álgebras semissimples. Proposição 2.2.77. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, 𝐴 é semissimples à esquerda se e somente se todos os 𝐴-módulos à esquerda são semissimples.
Demonstração. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Se 𝑀 = {0}, claramente 𝑀 é semissim- ples à esquerda. Suponha que 𝑀 ̸= {0} então existe 0 ̸= 𝑚 ∈ 𝑀 . Consideremos o submó- dulo à esquerda 𝐴𝑚 de 𝑀 e o epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜓 : 𝐴 −→ 𝐴𝑚 dada por 𝜓(𝑎) = 𝑎𝑚. Assim, pelo teorema do isomorfismo de módulos à esquerda temos que 𝐴/𝐾𝑒𝑟(𝜓) ≃ 𝐴𝑚. Como 𝐴 é semissimples à esquerda, podemos escrever 𝐴 = 𝐾𝑒𝑟(𝜓)⊕𝐼, com 𝐼 submódulo à esquerda de 𝐴 e assim, pelo Teorema 2.2.74 𝐼 é semissimples. Logo, 𝐴𝑚 ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝜓) ⊕ 𝐼/𝐾𝑒𝑟(𝜓) ≃ 𝐼 e, consequentemente, 𝐴𝑚 é semissimples. Pela Proposi-
ção 2.2.75, 𝐴𝑚 é uma soma de 𝐴-módulos à esquerda simples. Como 𝑀 = ∑︀
𝑚∈𝑀𝐴𝑚,
segue novamente da Proposição 2.2.75 que 𝑀 é semissimples. A recíproca é imediata. Proposição 2.2.78. Toda k-álgebra semissimples é simultaneamente artiniana e noethe- riana.
Demonstração. Suponhamos que 𝐴 seja uma k-álgebra semissimples à esquerda. Então 𝐴 visto como 𝐴-módulo à esquerda é semissimples. Pelo Teorema 2.2.75 𝐴 = ⊕𝑗∈𝐽𝑋𝑗,
onde cada 𝑋𝑗 é um submódulo à esquerda simples de 𝐴. Assim, 1𝐴 = ∑︀𝑗∈𝐼1,𝑛𝑎𝑗, onde 𝑎𝑗 ∈ 𝑋𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛. Logo, dado 𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 = 𝑎1𝐴= 𝑎 ∑︁ 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑗 = ∑︁ 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑎𝑗 ∈ ∑︁ 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑋𝑗.
Portanto, 𝐴 = ⊕𝑗∈𝐼1,𝑛𝑋𝑗, e desta decomposição finita, podemos escrever uma sequência
de composição de submódulos à esquerda de 𝐴.
No que segue, introduziremos o conceito de radical de Jacobson de 𝐴 e provaremos algumas de suas propriedades.
Definição 2.2.79. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Definimos o radical de Jacobson de 𝐴 como sendo a interseção de todos os ideais à esquerda maximais de 𝐴, o qual será denotado por 𝐽 (𝐴). Ou seja,
𝐽 (𝐴) =⋂︁ℳ onde ℳ percorre todos ideais à esquerda maximais de 𝐴.
Proposição 2.2.80. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑎 ∈ 𝐴. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴);
(ii) 1 − 𝑥𝑎 é inversível à esquerda, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴;
(iii) 𝑎𝑀 = {0}, para qualquer 𝐴-módulo à esquerda simples 𝑀 .
Demonstração. (i) ⇒ (ii) Seja 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴). Suponha por absurdo que existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 1 − 𝑥𝑎 não é inversível à esquerda. Então, existe ℳ0 ideal maximal de 𝐴 tal que
1 − 𝑥𝑎 ∈ ℳ0, pois 𝐴(1 − 𝑥𝑎) é um ideal próprio de 𝐴 e assim deve existir ℳ0 ideal
maximal de 𝐴 tal que 𝐴(1 − 𝑥𝑎) ⊆ ℳ0. Como 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴) = ⋂︀ℳ, para todo ℳ ideal
maximal de 𝐴, temos que 𝑎 ∈ ℳ0, e portanto 𝑥𝑎 ∈ ℳ0. Logo, 1 = (1 − 𝑥𝑎) + 𝑥𝑎 ∈ ℳ0,
o que é um absurdo. Portanto, 1 − 𝑥𝑎 é inversível à esquerda para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴. (ii) ⇒ (iii) Sejam 1 − 𝑥𝑎 inversível à esquerda, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴, e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda simples. Suponha por absurdo que exista 𝑚 ∈ 𝑀 tal que 𝑎𝑚 ̸= 0.
Como 𝐴(𝑎𝑚) = {𝑥(𝑎𝑚) = (𝑥𝑎)𝑚 | 𝑥 ∈ 𝐴} é um submódulo à esquerda de 𝑀 e 𝑀 é simples, temos que 𝐴(𝑎𝑚) = {0} ou 𝐴(𝑎𝑚) = 𝑀 . Como 𝑎𝑚 ∈ 𝐴(𝑎𝑚) e 0 ̸= 𝑎𝑚, concluímos que 𝐴(𝑎𝑚) = 𝑀 . Assim, existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑚 = 𝑥𝑎𝑚. Logo, (1−𝑥𝑎)𝑚 = 0. Por hipótese, 1 − 𝑥𝑎 é inversível, então 𝑚 = 0. Absurdo, pois 𝑎𝑚 ̸= 0.
(iii) ⇒ (i) Suponhamos que 𝑎𝑀 = {0} para qualquer 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 simples. Notemos que para qualquer ℳ ideal maximal de 𝐴, temos que 𝐴/ℳ é um 𝐴-módulo à esquerda simples. De fato, desde que todo 𝐴-submódulo à esquerda de 𝐴/ℳ é da forma
𝑁/ℳ onde 𝑁 é um ideal de 𝐴 que contém ℳ, assim 𝑁 = 𝐴 ou 𝑁 = ℳ, e portanto 𝑁/ℳ = 𝐴/ℳ ou 𝑁/ℳ ≃ {0}. Logo, 𝐴/ℳ é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Assim, 𝑎(𝐴/ℳ). Em particular, 𝑎(1 + 𝑀 ) = 𝑎 + 𝑀 = 0 e consequentemente, 𝑎 ∈ 𝑀 . Portanto, 𝑎 ∈ ⋂︀ℳ = 𝐽(𝐴).
Notemos que o item (iii) acima é equivalente, 𝑎 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀 ), para qualquer 𝐴-
módulo à esquerda simples 𝑀 e 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴). Dessa forma, segue imediatamente da propo- sição anterior o seguinte corolário.
Corolário 2.2.81. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, 𝐽(𝐴) = ⋂︀
𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀 ), onde 𝑀 percorre
todos os 𝐴-módulos à esquerda simples.
O resultado à seguir é conhecido como o Lema de Nakayama e é muito utilizado nos estudos de radical de Jacobson, e será importante para mostrarmos que o radical de Jacobson é nilpotente.
Lema 2.2.82. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado e 𝐼 ⊆ 𝐽 (𝐴), onde 𝐼 é um ideal de 𝐴. Se 𝐼𝑀 = 𝑀 , então 𝑀 = {0}.
Demonstração. Suponha que 𝑀 seja finitamente gerado e 𝑀 = 𝐼𝑀 . Provaremos o re-
sultado por indução sobre o número de geradores de 𝑀 . Se 𝐼𝑀 = 𝑀 = 𝐴𝑚1, com
𝑚1 ∈ 𝑀 , então 𝑚1 = 𝑥1𝑚1, para algum 𝑥1 ∈ 𝐼, e consequentemente, (1 − 𝑥1)𝑚1 = 0.
Logo, 𝑚1 = 0, pois 1 − 𝑥1 é um elemento inversível à esquerda pela Proposição 2.2.80.
Portanto, 𝑀 = {0}. Suponha o resultado válido se 𝑀 é gerado por 𝑟 elementos. Su- ponha que {𝑚𝑖 ∈ 𝑀 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟+1} gera 𝑀 . Desde 𝑀 = 𝐼𝑀 , então existem elementos
𝑥𝑖 ∈ 𝐼, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟+1, tais que 𝑚1 = ∑︀𝑖∈𝐼1,𝑟+1𝑥𝑖𝑚𝑖. Assim, (1 − 𝑥1)𝑚1 =
∑︀
𝑖∈𝐼2,𝑟+1𝑥𝑖𝑚𝑖 e,
consequentemente por (1 − 𝑥1) ser inversível à esquerda, 𝑚1 =∑︀𝑖∈𝐼2,𝑟+1𝑦𝑥𝑖𝑚𝑖, onde 𝑦 é o
inverso à esquerda de (1 − 𝑥1). Logo, 𝑚1 ∈ ∑︀𝑖∈𝐼2,𝑟+1𝐴𝑚𝑖. Portanto, 𝑀 =
∑︀
𝑖∈𝐼2,𝑟+1𝐴𝑚𝑖
e pela hipótese de indução 𝑀 = {0}.
Definição 2.2.83. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴. Dizemos que 𝐼 é um ideal à esquerda nilpotente, se existir 𝑛 ≥ 1 tal que 𝐼𝑛 = {0}. Dizemos ainda, que
um elemento de uma k-álgebra 𝐴 é nilpotente, se existir 𝑛 ≥ 1 tal que 𝑎𝑛 = 0. O menor
inteiro 𝑛 tal que 𝐼𝑛= {0} e 𝑎𝑛= 0 é chamado de índice de nilpotência.
Proposição 2.2.84. Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita. Então, 𝐽(𝐴) é um ideal à esquerda nilpotente.
Demonstração. Considere a seguinte cadeia decrescente de ideais à esquerda de 𝐴
Como 𝐴 é uma k-álgebra de dimensão finita então 𝐴𝐴 tem comprimento finito, então
existe 𝑛 ≥ 1 tal que 𝐽 (𝐴)𝑛 = 𝐽 (𝐴)𝑛+1. Assim, 𝐽 (𝐴)𝑛 = 𝐽 (𝐴)𝐽 (𝐴)𝑛, logo aplicando o
Lema 2.2.82, 𝐽 (𝐴)𝑛 = {0}.
Definição 2.2.85. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴. Dizemos que 𝐼 é um nil ideal à esquerda de 𝐴 se todo elemento de 𝐼 é nilpotente.
Proposição 2.2.86. Seja 𝐼 um nil ideal à esquerda de uma k-álgebra 𝐴. Então, 𝐼 ⊆ 𝐽(𝐴). Demonstração. Sejam 𝑥 ∈ 𝐼 e 𝑎 ∈ 𝐴. Como 𝐼 é nil ideal de 𝐴, temos que 𝑎𝑥 é um elemento nilpotente, pois 𝑎𝑥 ∈ 𝐼. Consideremos o índice de nilpotência de 𝑎𝑥 igual a 𝑛, isto é, (𝑎𝑥)𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 1 e (𝑎𝑥)𝑛−1 ̸= 0. Então, temos
(1 + 𝑎𝑥 + (𝑎𝑥)2+ ... + (𝑎𝑥)𝑛−1)(1 − 𝑎𝑥) = 1,
onde segue que 1 − 𝑎𝑥 possui inverso à esquerda. Logo, pela Proposição 2.2.80 temos que 𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴).
Definição 2.2.87. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Dizemos que 𝐴 é Jacobson semissimples, ou simplesmente 𝐽 -semissimples, se 𝐽 (𝐴) = {0}.
O próximo teorema nos dá uma relação entre as k-álgebras semissimples e a noção de 𝐽 -semissimplicidade.
Teorema 2.2.88. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (i) 𝐴 é semissimples;
(ii) 𝐴 é 𝐽 -semissimples e artiniano à esquerda.
Demonstração. Suponhamos que 𝐴 seja semissimples. Pela Proposição 2.2.78, 𝐴 é arti- niano, e pelo Teorema 2.2.75, temos que 𝐴 é uma soma direta de 𝐴-módulos à esquerda simples. Se 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴), 𝑎 anula todos estes módulos à esquerda simples, ou seja, 𝑎𝐴 = 0. Logo, 𝑎 = 0. Reciprocamente, suponhamos que 𝐴 é artiniano à esquerda e 𝐽 (𝐴) = 0. Consideremos 𝐼1 um ideal à esquerda minimal de𝐴𝐴, que sempre existe pela Observação
2.2.56. Mostremos que 𝐼1 é um somando direto de 𝐴. Vejamos primeiro que deve existir
𝑀1 ideal à esquerda maximal de 𝐴 tal que 𝐼1 ( 𝑀1. De fato, se 𝐼1 estiver contido em to-
dos os ideais à esquerda maximais de 𝐴, então 𝐼1 ⊆ 𝐽(𝐴) = {0}, o que é uma contradição.
Como 𝐼1 é minimal então 𝑀1 ∩ 𝐼1 = {0}. Além disso, pela maximalidade de 𝑀1 temos
que 𝑀1+ 𝐼1 = 𝐴. Consequentemente, 𝐴 = 𝑀1⊕ 𝐼1. Notemos que 𝑀1 é artiniano, pois é
um submódulo à esquerda de um módulo à esquerda artiniano. Repetindo o argumento acima, com 𝑀1 em lugar de 𝐴, obtemos que 𝐴 = 𝐼1⊕ 𝐼2⊕ · · · ⊕ 𝐼𝑟, onde 𝐼𝑗 é um ideal à
Lema 2.2.89. Seja 𝐴 uma k-álgebra artiniana. Então, 𝐴/𝐽(𝐴) é uma k-álgebra artiniana e 𝐽 -semissimples.
Demonstração. Como 𝐴 é artiniana e 𝐽 (𝐴) é um ideal à esquerda de 𝐴, pelo Corolário 2.2.54, 𝐴/𝐽 (𝐴) é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano. Vejamos que 𝐴/𝐽 (𝐴) é um 𝐴/𝐽 (𝐴)- módulo à esquerda artiniano. Pela Observação 2.2.6 𝐴/𝐽 (𝐴) é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à esquerda, pois 𝐽 (𝐴)(𝐴/𝐽 (𝐴)) = {0}. Considere a seguinte cadeia de 𝐴/𝐽 (𝐴)-submódulos à esquerda de 𝐴/𝐽 (𝐴)
𝐴/𝐽 (𝐴) = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ 𝑀2 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛⊇ · · · (𝒞).
Pelo Exemplo 2.2.12 cada 𝑀𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda, então a cadeia acima é uma
cadeia de 𝐴-submódulos à esquerda. Como 𝐴/𝐽 (𝐴) é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano, (𝒞) é estacionária, ou seja, existe um inteiro 𝑖 tal que 𝑀𝑖 = 𝑀𝑖+𝑘, para todo 𝑘 ≥ 1.
Consequentemente, (𝒞) é estacionária como 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo e, portanto, 𝐴/𝐽 (𝐴) é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à esquerda artiniano. Resta mostrar que, 𝐴/𝐽 (𝐴) é uma k-álgebra 𝐽- semissimples. De fato, basta observar que todo 𝐴-módulo à esquerda simples, com ação dada por 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚, para todo 𝑚 ∈ 𝑆, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Esta ação está bem definida, pois por definição, 𝐽 (𝐴) ⊆ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑆).
Para finalizar esta subseção provaremos um resultado que será uma ferramenta importante para desenvolver a próxima subseção.
Proposição 2.2.90. Sejam 𝐴 uma k-álgebra artiniana e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, 𝑀 é semissimples se e somente se 𝐽 (𝐴)𝑀 = {0}.
Demonstração. Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Então, 𝑀 é uma soma de submódulos à esquerda simples. Assim, se 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴), 𝑎 anula todos estes submódulos à esquerda simples e, consequentemente, 𝐽 (𝐴)𝑀 = {0}. Reciprocamente, suponha que 𝐽 (𝐴)𝑀 = {0}. Então, pela Observação 2.2.6 𝑀 é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚. Além disso, pelo lema anterior temos que 𝐴/𝐽 (𝐴) é uma k- álgebra artiniana e 𝐽 -semissimples. Logo, pela Proposição 2.2.77 𝑀 é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à esquerda semissimples, ou seja, 𝑀 = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑛𝑆𝑖, onde cada 𝑆𝑖 é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-submódulo
à esquerda simples de 𝑀 . Basta mostrar que cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda simples,
para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁 −1. Como cada 𝑆𝑖 é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-submódulo à esquerda de 𝑀 , então
pelo Exemplo 2.2.12 cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda. Considere 𝐿 um 𝐴-submódulo
à esquerda de 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 então 𝐽 (𝐴)𝐿 ⊆ 𝐽 (𝐴)𝑆𝑖. Note que pela Observação 2.2.6
temos 𝐽 (𝐴)𝑆𝑖= {0}, consequentemente, 𝐽 (𝐴)𝐿 = {0}. Logo, pela Observação 2.2.6 𝐿
é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-submódulo à esquerda de 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e como cada 𝑆𝑖 é 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo
à esquerda simples temos que 𝐿 = {0} ou 𝐿 = 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛. Portanto, cada 𝑆𝑖 é um