O anel de GREEN da álgebra de TAFT

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA. Juliana Borges Pedrotti. O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT. Santa Maria, RS 2019.

(2) Juliana Borges Pedrotti. O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT. Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.. ORIENTADORA: Profa . Dra. Daiana Aparecida da Silva Flôres COORIENTADORA: Profa . Dra. Saradia Sturza Della Flora. Santa Maria, RS 2019.

(3) Borges Pedrotti, Juliana O anel de Green da álgebra de Taft / Juliana Borges Pedrotti.- 2019. 99 f.; 30 cm Orientadora: Daiana Aparecida da Silva Flôres Coorientadora: Saradia Sturza Della Flora Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, RS, 2019 1. Álgebra de Taft 2. Anel de Green 3. Módulos Indecomponíveis 4. Produto Tensorial de Módulos I. Aparecida da Silva Flôres, Daiana II. Sturza Della Flora, Saradia III. Título. Sistema de geração automática de ficha catalográfica da UFSM. Dados fornecidos pelo autor(a). Sob supervisão da Direção da Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central. Bibliotecária responsável Paula Schoenfeldt Patta CRB 10/1728..

(4) Juliana Borges Pedrotti. O ANEL DE GREEN DA ÁT,çEBRA DE TAFT Dissertaçã;o apresentada ao Curso de. Pós-Graduação. em Matemática,. da. Universidade Federal de Sanla Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em. Matemática,. Aprovado em 28 de junho de 2019;. ãiana Aparecida da Sihxa Flôres (UFSM) íPresidenta/ Orientadoqa). (uFsM). Saradia (Coorientadora). 'érto Lazzarin (UFSM). Bárbara Seelig Pogorelsky (UFRGS). Santa Maria, RS 201S.

(5) Agradecimentos Agradeço à Deus, por sempre me guiar e mostrar que é possível. Aos meus pais Rita e Manoel, e aos meus irmãos, por todo carinho que sempre recebi, principalmente nestes anos em que estive distante. Ao Leonardo, pelo companheirismo e incentivo desde o início da minha jornada na matemática. Obrigada por sempre estar disposto a me ajudar, me ouvir e viver este sonho comigo. À família do Leonardo, por todo amparo e apoio. Aos meus colegas de mestrado pelos momentos de descontração, pelas jantas, jogos de truco, estudos e pela parceria durante estes anos. Em especial à Poli e à Ste pela amizade, por me acalmar nos momentos difíceis e por tornarem meus dias em Santa Maria mais felizes. As minhas orientadoras Daiana e Saradia, por todos os ensinamentos, dedicação e confiança que depositaram em mim quando aceitaram me orientar. Obrigada pela paciência e compreensão durante essa caminhada. Ao professor Maurício, por todo auxílio e incentivo durante o mestrado. Aos professores da UFPel, Giovanni, Lisandra e Camila, que sempre estiveram dispostos a me ajudar e ensinar. Em especial, a professora Andrea por me mostrar a beleza da Álgebra e por me motivar a continuar os estudos. Agradeço a professora Bárbara Seelig Pogorelsky e ao professor João Roberto Lazzarin por terem aceitado participar da banca, e pelas sugestões e correções dadas. À CAPES, pelo apoio financeiro..

(6) "Se você já passou a noite toda acordado e chorou até acabarem as lágrimas... Então, sabe que no fim somos acometidos por uma grande calma." (C. S. Lewis - O Leão, a Feiticeira e o Guarda-Roupa)..

(7) RESUMO O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT AUTORA: Juliana Borges Pedrotti ORIENTADORA: Daiana Aparecida da Silva Flôres COORIENTADORA: Saradia Sturza Della Flora O objetivo deste trabalho é caracterizar o anel de Green da álgebra de Taft, denotada por 𝑇𝑁 (𝑞), onde 𝑁 é um inteiro positivo maior que 1 e 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade. O anel de Green, denotado por 𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)), é gerado pelas classes de isomorfismos [𝑀 ] de 𝑇𝑁 (𝑞)-módulos de dimensão finita com adição dada por [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕ 𝑁 ] e multiplicação dada pelo produto tensorial e possui uma Z-base dada pelas classes de isomorfismos de 𝑇𝑁 (𝑞)-módulos indecomponíveis de dimensão finita. Neste trabalho descrevemos os 𝑇𝑁 (𝑞)-módulos indecomponíveis e o produto tensorial entre estes. A partir disto mostramos que 𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)) é um anel comutativo gerado por dois elementos sujeitos a determinadas relações. Palavras-chaves: Álgebra de Taft. Anel de Green. Módulos Indecomponíveis. Produto Tensorial de Módulos..

(8) ABSTRACT THE GREEN RING OF TAFT ALGEBRA AUTHOR: Juliana Borges Pedrotti ADVISOR: Daiana Aparecida da Silva Flôres CO-ADVISOR: Saradia Sturza Della Flora. The aim of this work is to characterize the Green ring of Taft algebra, denoted by 𝑇𝑁 (𝑞), where 𝑁 is a positive integer greater than 1 and 𝑞 is a primitive root of unity of order 𝑁 . The Green ring, denoted by 𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)), is generated by the isomorphism classes [𝑀 ] of finite dimensional 𝑇𝑁 (𝑞)-modules with addition given by [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕ 𝑁 ] and multiplication given by the tensor product and it has a -basis given by the classes of isomorphisms of indecomposable finite dimensional 𝑇𝑁 (𝑞)-modules. In this work we describe the indecomposable 𝑇𝑁 (𝑞)-modules and the tensorial product between these. From that we show that 𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)) is a commutative ring generated by two elements subject to certain relations. Key-words: Taft Algebra. Green Ring. Indecomposable Modules. Tensor Product of Modules..

(9) Sumário 1. INTRODUÇÃO. 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3. PRÉ-REQUISITOS . . . . . . . . . . Álgebras e álgebras livres . . . . . . . Módulos sobre álgebras . . . . . . . . Módulos livres, projetivos e injetivos . . . Módulos indecomponíveis. . . . . . . . . Semissimplicidade e radical de Jacobson . O radical de um módulo . . . . . . . . . Álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . Álgebra de Taft . . . . . . . . . . . . . . O Teorema de Maschke . . . . . . . . . . O anel de Green de uma álgebra de Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 12 12 20 25 30 37 45 49 57 62 64. 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2. O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT. . . . . . . . Módulos de dimensão finita da álgebra de Taft . . . . . . . . Módulos simples de dimensão finita . . . . . . . . . . . . . . . . . Módulos indecomponíveis de dimensão finita . . . . . . . . . . . . O produto tensorial de módulos indecomponíveis . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 69 69 69 73 79. REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.

(10) 10. 1 Introdução Na teoria de representações finito-dimensionais de uma álgebra de Hopf 𝐻 as representações indecomponíveis e o produto tensorial entre estas desempenham um papel de destaque. Entretanto, o cálculo de ambos não é, em geral, uma tarefa fácil. Além disso, a decomposição do produto tensorial de representações indecomponíveis em soma direta de indecomponíveis tem sido explorada em diversos trabalhos, (CHEN, 2002), (GUNNLAUGSDÒTTIR, 2003), (CIBILS, 1993) e (LI, L.; ZHANG, Y., 2013). Tendo calculado estes ingredientes podemos resumir estas informações no anel de representações finitodimensionais de 𝐻, denotado por 𝑟(𝐻). Precisamente 𝑟(𝐻) é gerado pelas classes de isomorfismos [𝑀 ] de 𝐻-módulos de dimensão finita com adição dada por [𝑀 ]+[𝑁 ] = [𝑀 ⊕𝑁 ] e multiplicação dada pelo produto tensorial. Mais ainda, o anel 𝑟(𝐻) é gerado pelas classes de isomorfismos de 𝐻-módulos indecomponíveis de dimensão finita. O anel de representações finito-dimensionais também é chamado de anel de Green, por conta dos trabalhos pioneiros de J.A. Green (GREEN, 1962) e (GRENN, 1964) nesta direção, para o caso de álgebras de grupo. O interessante desta abordagem é que podemos obter resultados sobre a álgebra a partir das propriedades da estrutura multiplicativa deste anel. Por exemplo, a álgebra de grupo k𝐺 é de tipo finito se e somente se não existem elementos nilpotentes em 𝑟(k𝐺) (BENSON, 1996). Pode-se dizer que o anel de Green é tão interessante quanto o anel de Grothendieck, outra ferramenta interessante na teoria de representações. Em (LORENZ, 1997) e (WITHERSPOON, 1996) os autores mostram que para uma álgebra de Hopf semissimples de dimensão finita, o anel de Green é igual ao anel de Grothendieck. No caso geral, entretanto, calcular o anel de Green costuma ter um grau de complexidade um pouco maior que calcular o anel de Grothendieck. Neste trabalho calculamos o anel de Green da álgebra de Taft 𝑇𝑁 (𝑞), conforme o trabalho de (CHEN, H.; VAN OYSTAEYEN F.; ZHANG, Y., 2014). Destacamos que este foi o primeiro exemplo calculado explicitamente de um anel de Green que difere do anel de Grothendieck, uma vez que a álgebra de Taft não é semissimples. Este trabalho está organizado da seguinte maneira. No primeiro capítulo abordaremos os pré-requisitos necessários para o desenvolvimento do capítulo subsequente. Este aborda, em particular, as noções de álgebras livres e álgebras de Hopf, uma vez que a álgebra de Taft é o quociente de uma álgebra livre, a qual é uma álgebra de Hopf. Além disso, tendo em vista nosso objetivo, necessitamos tratar de resultados clássicos da teoria de módulos sobre uma álgebra, sobretudo abordamos as noções de módulos livres, projetivos, injetivos e semissimples; bem como da noção de radical de um módulo. Para encerrar este capítulo,.

(11) Capítulo 1. Introdução. 11. introduzimos o anel de Green de uma álgebra de Hopf de dimensão finita. O segundo capítulo é inteiramente dedicado ao cálculo do anel de Green da álgebra de Taft. Os resultados são desenvolvidos conforme (CHEN, H.; VAN OYSTAEYEN F.; ZHANG, Y., 2014). Na primeira seção são calculados os 𝑇𝑁 (𝑞)-módulos à esquerda simples e indecomponíveis de dimensão finita. Mostramos que existem 𝑁 2 𝑇𝑁 (𝑞)-módulos à esquerda indecomponíveis de dimensão finita não isomorfos (ver Teorema 3.1.11). A seguir apresentamos uma descrição do produto tensorial destes módulos indecomponíveis, com base nos trabalhos de (CIBILS, 1993) e (GUNNLAUGSDÓTTIR, 2003). Por fim, descrevemos o anel de Green 𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)), mostrando que este é um anel comutativo gerado por dois elementos, sujeito a certas relações. Ao longo deste trabalho k denota um corpo, todos os espaços vetoriais aqui considerados são sobre k e todas as aplicações são transformações k-lineares. Denotaremos o produto tensorial sobre k simplesmente por ⊗. Além disso, para cada 𝑛 inteiro positivo, denotaremos por 𝐼𝑛 = {0, 1, · · · , 𝑛}, e para quaisquer 𝑠, 𝑡 inteiros positivos tais que 𝑠 ≤ 𝑡, denotaremos por 𝐼𝑠,𝑡 = {𝑛 ∈ Z | 𝑠 ≤ 𝑛 ≤ 𝑡}. Além disso, para cada 𝑆 subconjunto de um ∑︀ k-espaço vetorial 𝑉 denotaremos por 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑆} = { 𝑖∈𝐼𝑛 𝛼𝑖 𝑠𝑖 | 𝛼𝑖 ∈ k, 𝑠𝑖 ∈ 𝑆}..

(12) 12. 2 Pré-Requisitos Neste capítulo iremos introduzir as ferramentas necessárias para o desenvolvimento deste trabalho que tem por objetivo principal calcular os módulos à esquerda indecomponíveis da álgebra de Taft. Começaremos este capítulo com os conceitos de álgebras e álgebras livres. A cerca destes provaremos resultados que serão fundamentais para mostrarmos que a álgebra de Taft é uma álgebra de Hopf. Posteriormente, daremos a definição de módulos sobre uma álgebra, com o intuito de estudarmos propriedades sobre os módulos projetivos e indecomponíveis. Além disso, apresentaremos alguns resultados importantes da teoria de álgebras de Hopf de dimensão finita e de semissimplicidade.. 2.1 Álgebras e álgebras livres Nesta seção iremos definir, bem como apresentar alguns resultados e exemplos importantes sobre álgebras e álgebras livres. Além disso, nosso principal objetivo será introduzir o objeto de estudo deste trabalho, a álgebra de Taft, a qual é um quociente de uma álgebra livre. Os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em (KASSEL, 1995) e (COHN, 2003). Definição 2.1.1. Uma álgebra sobre um corpo k, ou simplesmente uma k-álgebra, é um kespaço vetorial 𝐴 munido de duas transformações lineares 𝑚 : 𝐴 ⊗ 𝐴 −→ 𝐴 e 𝑢 : k −→ 𝐴, tais que os seguintes diagramas são comutativos: 𝐴⊗𝐴⊗𝐴. 𝑚⊗𝐼𝑑𝐴. /. 𝐴⊗𝐴 𝑢⊗𝐼𝑑𝐴. 𝐼𝑑𝐴 ⊗𝑚. 𝑚. . 𝐴⊗𝐴. 𝑚. /𝐴. k⊗𝐴. 𝐴9 ⊗ 𝐴e. 𝐼𝑑𝐴 ⊗𝑢. 𝐴⊗k. 𝑚 𝜂. % y. 𝜂. 𝐴.. As aplicações 𝑚 e 𝑢 são chamadas de multiplicação e unidade, respectivamente, e denotaremos 𝑢(1k ) = 1𝐴 . A aplicação 𝜂 : k ⊗ 𝐴 −→ 𝐴 denota o isomorfismo canônico, ou seja, 𝜂(1k ⊗ 𝑎) = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ 𝐴. Notemos que o primeiro diagrama é a relação de associatividade da multiplicação, enquanto o segundo, descreve a existência da unidade de 𝐴. Exemplo 2.1.2. O corpo k é uma k-álgebra com as operações usuais. Exemplo 2.1.3. Seja 𝐴 uma k-álgebra com multiplicação 𝑚 e unidade 𝑢. Definimos 𝑚𝑜𝑝 = 𝑚 ∘ 𝜏 , onde 𝜏 : 𝐴 ⊗ 𝐴 −→ 𝐴 ⊗ 𝐴 é a transformação twist dada por 𝜏 (𝑎 ⊗ 𝑏) = 𝑏 ⊗ 𝑎,.

(13) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 13. para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. Então, (𝐴, 𝑚𝑜𝑝 , 𝑢) é uma k-álgebra, a qual chamaremos de álgebra aposta e denotaremos por 𝐴𝑜𝑝 . Exemplo 2.1.4. Sejam 𝐴 e 𝐵 duas k-álgebras com multiplicações 𝑚𝐴 e 𝑚𝐵 e unidades 𝑢𝐴 e 𝑢𝐵 , respectivamente. Então, 𝐴 ⊗ 𝐵 é uma k-álgebra com multiplicação dada por 𝑚𝐴⊗𝐵 = (𝑚𝐴 ⊗ 𝑚𝐵 ) ∘ (𝐼𝑑𝐴 ⊗ 𝜏 ⊗ 𝐼𝑑𝐵 ) e unidade dada por 𝑢𝐴⊗𝐵 = (𝑢𝐴 ⊗ 𝑢𝐵 ) ∘ 𝜓, onde 𝜏 : 𝐵 ⊗ 𝐴 −→ 𝐴 ⊗ 𝐵 é a transformação twist e 𝜓 : k −→ k ⊗ k é o isomorfismo canônico. Exemplo 2.1.5. Seja (𝐺, ·) um grupo multiplicativo. Denotamos por k𝐺 o k-espaço vetorial com base {𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺}. Definimos 𝑚 : k𝐺 ⊗ k𝐺 −→ k𝐺 por 𝑚(𝑔 ⊗ ℎ) = 𝑔ℎ, para quaisquer 𝑔, ℎ ∈ 𝐺, e 𝑢 : k −→ k𝐺 por 𝑢(1k ) = 1𝐺 . Claramente k𝐺 é uma k-álgebra via 𝑚 e 𝑢, chamada de álgebra de grupo. Exemplo 2.1.6. Seja 𝑀𝑛 (k) o conjunto das matrizes 𝑛 × 𝑛 com entradas em k. Então, 𝑀𝑛 (k) tem uma estrutura de k-álgebra com a multiplicação usual de matrizes e unidade dada pela aplicação que associa 1k a matriz identidade. Exemplo 2.1.7. Seja k um corpo que contém uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade 2 2 𝑞. Considere k𝑁 ≃ 𝑀𝑁 (k) como k-espaço vetorial. Iremos munir k𝑁 com um produto, 2 diferente do produto usual de matrizes. Seja {𝑒𝑖,𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 } a base canônica de k𝑁 , ou 2 2 2 seja, 𝑒𝑖,𝑗 é a matriz que tem 1 na posição 𝑖𝑗 e 0 nas demais. Definimos 𝑚 : k𝑁 ⊗k𝑁 → k𝑁 por ⎧ ⎪ ⎨𝑞 𝑗𝑠 𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡 ,. 𝑚(𝑒𝑖,𝑗 ⊗ 𝑒𝑠,𝑡 ) = 𝑒𝑖,𝑗 𝑒𝑠,𝑡 = ⎪ ⎩. 0,. se 𝑗 + 𝑡 < 𝑁, se 𝑗 + 𝑡 ≥ 𝑁 ;. onde ⊕ indica a soma de Z𝑁 . Seja 𝛾 := 𝛾𝐼𝑁 −1 a função 𝛾 = 𝛾𝐼𝑁 −1 : N −→ {0, 1} dada por 𝛾(𝑗) = 1 se 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 e 𝛾(𝑗) = 0 se 𝑗 ∈ / 𝐼𝑁 −1 . Com isso, e convencionando que 𝑒𝑖,𝑗 = 0 se 2 𝑗 > 𝑁 , o produto é dado por 𝑒𝑖,𝑗 𝑒𝑠,𝑡 = 𝛾(𝑗 + 𝑡)𝑞 𝑗𝑠 𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡 . Vejamos que k𝑁 é uma álgebra associativa e unitária com esta multiplicação. De fato, (𝑒𝑖,𝑗 𝑒𝑠,𝑡 )𝑒𝑢,𝑣 = (𝛾(𝑗 + 𝑡)𝑞 𝑗𝑠 𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡 )𝑒𝑢,𝑣 = 𝛾(𝑗 + 𝑡)𝛾((𝑗 + 𝑡) + 𝑣)𝑞 𝑗𝑠 𝑞 (𝑗+𝑡)𝑢 𝑒(𝑖⊕𝑠)⊕𝑢,(𝑗+𝑡)+𝑣 . Por outro lado, 𝑒𝑖,𝑗 (𝑒𝑠,𝑡 𝑒𝑢,𝑣 ) = 𝑒𝑖,𝑗 (𝛾(𝑡 + 𝑣)𝑞 𝑡𝑢 𝑒𝑠⊕𝑢,𝑡+𝑣 ) = 𝛾(𝑡 + 𝑣)𝛾(𝑗 + (𝑡 + 𝑣))𝑞 𝑡𝑢 𝑞 𝑗(𝑠⊕𝑢) 𝑒𝑖⊕(𝑠⊕𝑢),𝑗+(𝑡+𝑣) . Como (𝑗 + 𝑡) + 𝑣 = 𝑗 + (𝑡 + 𝑣) e 𝑗 + 𝑡 + 𝑣 ∈ 𝐼𝑁 −1 implica que 𝑗 + 𝑡 ∈ 𝐼𝑁 −1 e 𝑡 + 𝑣 ∈ 𝐼𝑁 −1 , segue que 𝛾(𝑗 + 𝑡)𝛾((𝑗 + 𝑡) + 𝑣) = 𝛾(𝑗 + 𝑡 + 𝑣) = 𝛾(𝑡 + 𝑣)𝛾(𝑗 + (𝑡 + 𝑣)). Também é claro que (𝑖 ⊕ 𝑠) ⊕ 𝑢 = 𝑖 ⊕ (𝑠 ⊕ 𝑢). Além disso, como 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima (primitiva) da.

(14) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 14. unidade, segue que 𝑞 𝑗(𝑠⊕𝑢) = 𝑞 𝑗(𝑠+𝑢) = 𝑞 𝑗𝑠+𝑗𝑢 , e assim 𝑞 𝑡𝑢 𝑞 𝑗(𝑠⊕𝑢) = 𝑞 𝑡𝑢+𝑗𝑠+𝑗𝑢 = 𝑞 𝑗𝑠 𝑞 (𝑗+𝑡)𝑢 . Portanto, (𝑒𝑖,𝑗 𝑒𝑠,𝑡 )𝑒𝑢,𝑣 = 𝑒𝑖,𝑗 (𝑒𝑠,𝑡 𝑒𝑢,𝑣 ). Vejamos que 𝑒0,0 é a unidade. De fato, 𝑒0,0 𝑒𝑖,𝑗 = 𝛾(0 + 𝑗)𝑞 0.𝑖 𝑒0⊕𝑖,0+𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑞 0 𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗 e, 𝑒𝑖,𝑗 𝑒0,0 = 𝛾(𝑖 + 0)𝑞 𝑗.0 𝑒𝑖⊕0,𝑗+0 𝛾(𝑖)𝑞 0 𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗 . Esta álgebra será denotada por 𝒜𝑁 2 . Lema 2.1.8. Em 𝒜𝑁 2 valem as seguintes relações: (i) 𝑒0,1 𝑒1,0 = 𝑞𝑒1,0 𝑒0,1 ; (ii) (𝑒1,0 )𝑗 = 𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁 ),0 , para todo 𝑗 ∈ N; (iii) (𝑒0,1 )𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑒0,𝑗 , para todo 𝑗 ∈ N. Em particular, (𝑒0,1 )𝑁 = 0. Demonstração. (i) Note que 𝑒0,1 𝑒1,0 = 𝛾(1 + 0)𝑞 1.1 𝑒0⊕1,1+0 = 𝛾(1)𝑞 1 𝑒1,1 = 𝑞𝑒1,1 . Por outro lado, 𝑒1,0 𝑒0,1 = 𝛾(0 + 1)𝑞 0.0 𝑒1⊕0,0+1 = 𝛾(1)𝑞 0 𝑒1,1 = 𝑒1,1 . Logo, 𝑒0,1 𝑒1,0 = 𝑞𝑒1,0 𝑒0,1 . (ii) Façamos indução sobre 𝑗. Para 𝑗 = 0 e 𝑗 = 1 é claro. Suponhamos o resultado válido para 𝑗 e provemos para 𝑗 + 1. De fato, (𝑒1,0 )𝑗+1 =(𝑒1,0 )𝑗 𝑒1,0 = 𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁 ),0 𝑒1,0 = 𝛾(0 + 0)𝑞 0.1 𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁 )⊕1,0+0 =𝛾(0)𝑞 0 𝑒𝑗+1𝑚𝑜𝑑(𝑁 ),0 = 𝑒𝑗+1𝑚𝑜𝑑(𝑁 ),0 . (iii) Faremos indução sobre 𝑗. Para 𝑗 = 0 e 𝑗 = 1 é claro. Suponhamos o resultado válido para 𝑗 e provemos para 𝑗 + 1. Com efeito, (𝑒0,1 )𝑗+1 =(𝑒0,1 )𝑗 𝑒0,1 = 𝛾(𝑗)𝑒0,𝑗 𝑒0,1 =𝛾(𝑗)𝛾(𝑗 + 1)𝑞 𝑗.0 𝑒0⊕0,𝑗+1 = 𝛾(𝑗 + 1)𝑒0,𝑗+1 .. Definição 2.1.9. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐵 um k-subespaço vetorial de 𝐴. Dizemos que 𝐵 é uma k-subálgebra de 𝐴 se 𝑚(𝐵 ⊗ 𝐵) ⊆ 𝐵 e 𝑢(1k ) ∈ 𝐵. Definição 2.1.10. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um k-subespaço vetorial de 𝐴. Dizemos que 𝐼 é um ideal à esquerda de 𝐴 se 𝑚(𝐴 ⊗ 𝐼) ⊆ 𝐼. Analogamente, define-se ideal à direita de 𝐴. Diremos que 𝐼 é um ideal bilateral, ou simplesmente um ideal de 𝐴 se 𝐼 é um ideal à esquerda e à direita de 𝐴. Exemplo 2.1.11. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑆 um subconjunto não vazio de 𝐴. O ideal à ∑︀ esquerda gerado por 𝑆 é o conjunto 𝐴𝑆 = { 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑖 𝑠𝑖 | 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 e 𝑠𝑖 ∈ 𝑆}. Analogamente, definimos o ideal à direita gerado por 𝑆, 𝑆𝐴; e o ideal bilateral gerado por 𝑆, 𝐴𝑆𝐴. Observação 2.1.12. Se 𝐴𝑆 = 𝑆𝐴, então claramente o ideal à esquerda gerado por 𝑆 é um ideal bilateral de 𝐴 e neste caso será denotado por ⟨𝑆⟩. No caso que 𝑆 tem um único elemento 𝑠, então ⟨𝑆⟩ é o ideal principal gerado por 𝑠 o qual será denotado por ⟨𝑠⟩..

(15) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 15. Definição 2.1.13. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴, 𝐼 ̸= 𝐴. Dizemos que 𝐼 é um ideal à esquerda maximal de 𝐴 se para qualquer ideal à esquerda 𝐽 de 𝐴 satisfazendo 𝐼 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐴, então 𝐼 = 𝐽 ou 𝐽 = 𝐴. Dizemos ainda que 𝐼 ̸= {0} é um ideal à esquerda minimal de 𝐴 se para qualquer ideal à esquerda 𝐽 de 𝐴 satisfazendo {0} ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐼, então 𝐽 = {0} ou 𝐽 = 𝐼. Observação 2.1.14. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐵𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 , ideais à esquerda de 𝐴. ⨁︀ ∑︀ Suponha que 𝐴 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝐵𝑖 . Assim, 1𝐴 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑒𝑖 , com 𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 . Notemos ∑︀ que 1𝐴 𝑒𝑖 = 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑒𝑗 𝑒𝑖 e pela unicidade da escrita, segue que 𝑒𝑖 𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 2 = 𝑒𝑖 e 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 0, para todo 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛 . Além disso, temos que 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖 , pois 𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖 , e 𝐵𝑖 é ideal à esquerda de 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 , assim 𝐴𝑒𝑖 ⊆ 𝐵𝑖 . Reciprocamente, seja 𝑏 ∈ 𝐵𝑖 , então ∑︀ 𝑏 = 𝑏1𝐴 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑏𝑒𝑖 . Logo, 𝑏𝑒𝑖 = 𝑏, ou seja, 𝐵𝑖 ⊆ 𝐴𝑒𝑖 . Consequentemente, 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖 . Por outro lado, suponha que existem 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 , cuja soma é igual a 1𝐴 , 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 0, para ⨁︀ todo 𝑖 ̸= 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛 , 𝑒𝑖 2 = 𝑒𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e considere 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖 . Vejamos que 𝐴 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝐵𝑖 . ∑︀ ∑︀ ∑︀ Seja 𝑎 ∈ 𝐴, então 𝑎1𝐴 = 𝑎 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑒𝑖 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑒𝑖 , e desta forma 𝐴 = 𝑛𝑖=1 𝐵𝑖 . Mais ∑︀ ∑︀ ∑︀ ainda, seja 𝑏 ∈ 𝐵𝑖 ∩ ( 𝑖̸=𝑗∈𝐼1,𝑛 𝐵𝑗 ), então 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖 e 𝑏 = 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑗 𝑒𝑗 ∈ 𝑖̸=𝑗∈𝐼1,𝑛 𝐵𝑗 , ∑︀ 𝑗 ̸= 𝑖. Assim, 𝑏𝑒𝑖 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 2 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝑏 e 𝑏𝑒𝑖 = 𝑗∈𝐼1,𝑛 𝑎𝑗 𝑒𝑗 𝑒𝑖 = 0, pois 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 0, para ⨁︀ todo 𝑖 ̸= 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛 . Portanto, 𝑏 = 0 e 𝐴 = 𝑖∈𝐼𝑛 𝐵𝑖 . Com isso mostramos que dados 𝐵𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 ideais à esquerda de 𝐴, 𝐴 = 𝑖∈𝐼𝑛 𝐵𝑖 ∑︀ se e somente se existem idempotentes 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 tais que 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑒𝑖 = 1𝐴 , 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 0, para todo 𝑖 ̸= 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛 e 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖 . ⨁︀. Definição 2.1.15. Sejam 𝐴 e 𝐵 k-álgebras com multiplicações 𝑚𝐴 e 𝑚𝐵 e unidades 𝑢𝐴 e 𝑢𝐵 , respectivamente. Uma transformação linear 𝑓 : 𝐴 −→ 𝐵 é um homomorfismo de k-álgebras se os seguintes diagramas são comutativos: 𝐴⊗𝐴. 𝑓 ⊗𝑓. /. 𝐵⊗𝐵. 𝑚𝐴. k. 𝑚𝐵. . 𝐴. 𝑓. /. 𝑢𝐴. /. 𝐴 𝑓. 𝑢𝐵. . . 𝐵.. 𝐵. A comutatividade do primeiro diagrama acima pode ser reescrita da seguinte maneira: 𝑓 (𝑎𝑏) = 𝑓 (𝑎)𝑓 (𝑏) para quaisquer 𝑎,𝑏 ∈ 𝐴. Já a comutatividade do segundo diagrama significa simplesmente que 𝑓 (1𝐴 ) = 1𝐵 . Assim como no caso de grupos e anéis, dado um homomorfismo de k-álgebras 𝑓 : 𝐴 −→ 𝐵 definimos o núcleo de 𝑓 por 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) = {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑓 (𝑎) = 0} e a imagem de 𝑓.

(16) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 16. por 𝐼𝑚(𝑓 ) = {𝑓 (𝑎) | 𝑎 ∈ 𝐴}. É fácil ver que, 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) é um ideal de 𝐴 e 𝐼𝑚(𝑓 ) é uma ksubálgebra de 𝐵. Além disso, se 𝐼 é um ideal de 𝐴 tal que 𝐼 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ), podemos mostrar que existe uma única estrutura de k-álgebra no k-espaço vetorial 𝐴/𝐼 tal que a função 𝑓 : 𝐴/𝐼 −→ 𝐵 dada por 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑎), para todo 𝑎 ∈ 𝐴, é um homomorfismo de k-álgebras. Um homomorfismo injetor de k-álgebras é dito um monomorfismo, um homomorfismo sobrejetor é dito um epimorfismo e um homomorfismo bijetor é dito um isomorfismo. No caso que 𝑓 é um isomorfismo, as k-álgebras 𝐴 e 𝐵 são ditas isomorfas e denotaremos por 𝐴 ≃ 𝐵. Em particular, se 𝑓 é um homomorfismo injetor então 𝐴/𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ), que é conhecido como o teorema do isomorfismo. Nosso objetivo com este trabalho será descrever o anel de Green da álgebra de Taft, a qual é o quociente de uma álgebra livre. Por esta razão, vamos apresentar a definição e alguns resultados sobre álgebras livres, a qual será dada pela seguinte propriedade universal. Definição 2.1.16. Uma álgebra livre sobre um conjunto não vazio 𝑋 é um par (𝐿, 𝛼), onde 𝐿 é uma k-álgebra e 𝛼 : 𝑋 −→ 𝐿 é uma função tal que para qualquer k-álgebra 𝐴 e qualquer função 𝑓 : 𝑋 −→ 𝐴 existe um único homomorfismo de k-álgebras 𝑓 : 𝐿 −→ 𝐴 tal que o seguinte diagrama é comutativo: 𝑋 𝛼. 𝑓. /. ?𝐴. 𝑓¯. . 𝐿. Dado 𝑋 um conjunto não vazio, vejamos que existe uma álgebra livre sobre X. Dizemos que uma palavra de tamanho 𝑛 em 𝑋, 𝑛 ∈ N é uma 𝑛-upla (𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑋 𝑛 . Uma palavra de tamanho zero é a palavra vazia. A fim de facilitar a escrita, denotaremos uma palavra (𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 ) por 𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 . Além disso, se 𝑥1 = 𝑥2 = ... = 𝑥𝑛 , denotamos 𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 = 𝑥𝑛1 . Consideremos k⟨𝑋⟩ o k-espaço vetorial com base dada pelo conjunto de todas as palavras sobre 𝑋. Definimos a multiplicação em k⟨𝑋⟩ pela concatenação, isto é, dadas 𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 , 𝑦1 𝑦2 ...𝑦𝑘 ∈ k⟨𝑋⟩ temos que 𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 · 𝑦1 𝑦2 ...𝑦𝑘 = 𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 𝑦1 ...𝑦𝑘 , a qual é uma palavra de tamanho 𝑛 + 𝑘 em k⟨𝑋⟩. Observemos que a concatenação de palavras é associativa, assim a multiplicação também o é. Além disso, a palavra vazia é a unidade. Notemos que (k⟨𝑋⟩, 𝜄), onde 𝜄 é a inclusão canônica de 𝑋 em k⟨𝑋⟩, satisfaz a Definição 2.1.16. Com efeito, sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑓 : 𝑋 −→ 𝐴 uma função. Considere 𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 dada por 𝑓 (𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 ) = 𝑓 (𝑥1 )𝑓 (𝑥2 ) · · · 𝑓 (𝑥𝑛 ) e 𝑓 aplicada na palavra vazia igual a 1𝐴 . Claramente 𝑓 é um homomorfismo de álgebras. Para mostrar.

(17) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 17. a unicidade, suponhamos que exista 𝑔 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 homomorfismo de álgebras tal que 𝑔 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Então, para qualquer 𝑥1 𝑥2 · · · 𝑥𝑛 ∈ k⟨𝑋⟩ temos 𝑔(𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 ) = 𝑔(𝑥1 )𝑔(𝑥2 ) · · · 𝑔(𝑥𝑛 ) = 𝑔(𝜄(𝑥1 ))𝑔(𝜄(𝑥2 )) · · · 𝑔(𝜄(𝑥𝑛 )) = 𝑓 (𝑥1 )𝑓 (𝑥2 ) · · · 𝑓 (𝑥𝑛 ) = 𝑓 (𝑥1 𝑥2 ...𝑥𝑛 ). Logo, 𝑓 é o único homomorfismo de álgebras tal que 𝑓 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Portanto, (k⟨𝑋⟩, 𝜄) é uma álgebra livre. Mais ainda, vejamos que (k⟨𝑋⟩, 𝜄) é a única álgebra livre a menos de isomorfismo. Para isso, suponhamos que (𝐿, 𝜔) seja outra álgebra livre. Como (k⟨𝑋⟩, 𝜄) é uma álgebra livre, então existe um único homomorfismo de k-álgebras tal que o seguinte diagrama é comutativo: 𝜔. 𝑋 𝜄. /. =𝐿. 𝑔. . k⟨𝑋⟩. Por outro lado, como (𝐿, 𝜔) é uma álgebra livre, existe um único homomorfismo de kálgebras tal que o seguinte diagrama é comutativo: 𝑋 𝜔. / k⟨𝑋⟩ =. 𝜄. ℎ. . 𝐿. Assim, como 𝑔 ∘ 𝜄 = 𝜔 e ℎ ∘ 𝜔 = 𝜄 então, (𝑔 ∘ ℎ) ∘ 𝜔 = 𝜔 e consequentemente, 𝑔 ∘ ℎ = 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ . Analogamente, ℎ ∘ 𝑔 = 𝐼𝑑𝐿 . Exemplo 2.1.17. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Em particular, 𝐴 é um conjunto e assim podemos considerar a álgebra livre (k⟨𝐴⟩, 𝜄). Considerando a função identidade de A, 𝐼𝑑𝐴 : 𝐴 −→ 𝐴, então pela propriedade universal da álgebra livre temos que existe único homomorfismo de k-álgebras 𝐼𝑑𝐴 : k⟨𝐴⟩ −→ 𝐴 tal que 𝐼𝑑𝐴 ∘ 𝜄 = 𝐼𝑑𝐴 . Assim, pelo teorema do isomorfismo, segue que, k⟨𝐴⟩/𝐾𝑒𝑟(𝐼𝑑) ≃ 𝐴. Isso nos diz que toda álgebra é o quociente de uma álgebra livre. Definição 2.1.18. Sejam 𝑋 um conjunto e 𝑆 ⊆ k⟨𝑋⟩. A álgebra livre gerada por 𝑋 e relações 𝑆 é o quociente k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩. A partir da Definição 2.1.16 é natural nos perguntarmos se o homomorfismo de k-álgebras 𝑓 pode induzir um homomorfismo de álgebras 𝑓˜ : k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴. Veremos na proposição a seguir que sob determinadas condições isto é possível..

(18) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 18. Proposição 2.1.19. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑆 um subconjunto não vazio de k⟨𝑋⟩ e 𝑓 : 𝑋 −→ 𝐴 uma função. Se 𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 satisfaz 𝑓 (𝑆) = {0}, então existe um único homomorfismo de k-álgebras 𝑓˜ : k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴 tal que 𝑓˜ ∘ 𝜋 = 𝑓 , onde 𝜋 é a projeção canônica de k⟨𝑋⟩ em k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩. Demonstração. Seja 𝑓 : 𝑋 −→ 𝐴 uma função, então pela propriedade universal da álgebra livre existe 𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 um homomorfismo de k-álgebras tal que 𝑓 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Se ∑︀ 𝑓 (𝑆) = {0} mostremos que ⟨𝑆⟩ ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ). Seja 𝑥 = 𝑖∈𝐼1,𝑛 𝑥𝑖 𝑠𝑖 𝑦𝑖 ∈ ⟨𝑆⟩, onde 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ k⟨𝑋⟩ e 𝑠𝑖 ∈ 𝑆 então 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (. ∑︁. 𝑥𝑖 𝑠 𝑖 𝑦 𝑖 ) =. 𝑖∈𝐼1,𝑛. ∑︁. 𝑓 (𝑥𝑖 )𝑓 (𝑠𝑖 )𝑓 (𝑦𝑖 ) = 0.. 𝑖∈𝐼1,𝑛. Assim, segue do teorema do isomorfismo que existe um único homomorfismo de álgebras 𝑓˜ : k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴 tal que 𝑓˜ ∘ 𝜋 = 𝑓 . Logo, (𝑓˜ ∘ 𝜋)(𝑥) = 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝛼(𝑥)) = 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝑋. Portanto, 𝑓˜ ∘ 𝜋 = 𝑓 . Exemplo 2.1.20. Fixe um inteiro 𝑁 ≥ 2 e suponha que k é um corpo contendo uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade 𝑞. Sejam 𝑋 = {ℎ, 𝑔} e 𝑅 = {ℎ𝑁 , 𝑔 𝑁 − 1, ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ}. Definimos a álgebra de Taft, denotada por 𝑇𝑁 (𝑞), como sendo a álgebra gerada por 𝑋 e relações 𝑅, ou seja 𝑇𝑁 (𝑞) = k⟨ 𝑔, ℎ | 𝑔 𝑁 = 1, ℎ𝑁 = 0, ℎ𝑔 = 𝑞𝑔ℎ ⟩. Lema 2.1.21. Seja 𝑇𝑁 (𝑞) a álgebra de Taft. Então, (i) {𝑔 𝑖 ℎ𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 } é uma base de 𝑇𝑁 (𝑞) sobre k; (ii) ℎ𝑗 𝑔 𝑖 = 𝑞 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 , para quaisquer 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 ; (iii) (−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ)𝑖 = (−1)𝑖 𝑞 −𝑖 𝑞. 𝑖(𝑖−1)2 2. 𝑔 𝑖(𝑖−1) ℎ𝑖 , para todo 𝑖 ∈ N.. Demonstração. (i) Vejamos que 𝑇𝑁 (𝑞) ≃ 𝒜𝑁 2 como álgebra, onde 𝒜𝑁 2 é a álgebra intro2 duzida no Exemplo 2.1.7. Definimos 𝑓 : 𝑋 −→ k𝑁 por 𝑓 (𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓 (ℎ) = 𝑒0,1 . Assim, pela propriedade universal da álgebra livre, existe um único homomorfismo de álgebras 2 𝑓¯ : k⟨𝑋⟩ −→ k𝑁 tal que 𝑓¯(𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓¯(ℎ) = 𝑒0,1 . Além disso, pelo Lema 2.1.8, temos que 𝑓¯(𝑔 𝑁 − 1) = 𝑓¯(𝑔)𝑁 − 𝑓¯(1) = (𝑒1,0 )𝑁 − 𝑒0,0 = 𝑒𝑁 𝑚𝑜𝑑(𝑁 ),0 − 𝑒0,0 = 𝑒0,0 − 𝑒0,0 = 0, 𝑓¯(ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = 𝑓¯(ℎ)𝑓¯(𝑔) − 𝑞 𝑓¯(𝑔)𝑓¯(ℎ) = 𝑒0,1 𝑒1,0 − 𝑞𝑒1,0 𝑒0,1 = 0,.

(19) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 19. e, 𝑓¯(ℎ𝑁 ) = 𝑓¯(ℎ)𝑁 = (𝑒0,1 )𝑁 = 0. Portanto, 𝑓¯ induz um único homomorfismo de álgebras 2 𝑓 ′ : 𝑇𝑁 (𝑞) −→ k𝑁 , satisfazendo 𝑓 ′ (𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓 ′ (ℎ) = 𝑒0,1 . Definimos 𝜙 : 𝒜𝑁 2 −→ 𝑇𝑁 (𝑞) por 𝜙(𝑒𝑖,𝑗 ) = 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 , para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 . Pelo Lema 2.1.8, 𝑓 ′ ∘ 𝜙(𝑒𝑖,𝑗 ) = 𝑓 ′ (𝑔 𝑖 ℎ𝑗 ) = 𝑓 ′ (𝑔)𝑖 𝑓 ′ (ℎ)𝑗 = (𝑒1,0 )𝑖 (𝑒0,1 )𝑗 = 𝑒𝑖,0 𝑒0,𝑗 = 𝛾(0 + 𝑗)𝑞 0.0 𝑒𝑖⊕0,0+𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗 , ou seja, 𝑓 ′ ∘ 𝜙 = 𝐼𝑑𝒜𝑁 2 . Por outro lado, temos que 𝜙 ∘ 𝑓 ′ (𝑔) = 𝜙(𝑒1,0 ) = 𝑔 1 ℎ0 = 𝑔 e (𝜙 ∘ 𝑓 ′ )(ℎ) = 𝜙(𝑒0,1 ) = 𝑔 0 ℎ1 = ℎ, ou seja, 𝜙 ∘ 𝑓 ′ = 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) . Logo, 𝑇𝑁 (𝑞) ≃ 𝒜𝑁 2 como k-álgebra, e em particular, concluímos que dimk (𝑇𝑁 (𝑞)) = 𝑁 2 e {𝑔 𝑖 ℎ𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 } é base de 𝑇𝑁 (𝑞). (ii) Provemos que o resultado vale por indução sobre 𝑗. Claramente se 𝑗 = 0, então 𝑔 𝑖 = 𝑞 0 𝑔 𝑖 , para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁 −1 . Se 𝑗 = 1, vejamos que ℎ𝑔 𝑖 = 𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁 −1 . De fato, para 𝑖 = 0 é claro, e para 𝑖 = 1 temos que ℎ𝑔 = 𝑞𝑔ℎ. Suponha que ℎ𝑔 𝑖 = 𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ e mostremos que ℎ𝑔 𝑖+1 = 𝑞 𝑖+1 𝑔 𝑖+1 ℎ, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁 −1 . Então, ℎ𝑔 𝑖+1 = 𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ𝑔 = (𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ)𝑔 = 𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 𝑞𝑔ℎ = 𝑞 𝑖+1 𝑔 𝑖+1 ℎ. Com isso, suponha que o resultado vale para 𝑗 e mostremos que vale para 𝑗 + 1. Assim, ℎ𝑗+1 𝑔 𝑖 = ℎℎ𝑗 𝑔 𝑖 = ℎ(𝑞 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 ) = 𝑞 𝑖𝑗 (ℎ𝑔 𝑖 )ℎ𝑗 = (𝑞 𝑖𝑗 𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ)ℎ𝑗 = 𝑞 𝑖(𝑗+1) 𝑔 𝑖 ℎ𝑗+1 . (iii) Faremos a prova por indução sobre 𝑖. Porém inicialmente provaremos algumas afirmações que serão utilizadas para tal. Tomemos 𝑧 = −𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ e notemos que 𝑧𝑔 = 𝑞𝑔𝑧. Com efeito, 𝑧𝑔 = (−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ)𝑔 = −𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ𝑔 = −𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 𝑞𝑔ℎ = −𝑔 𝑖 ℎ. Por outro lado, 𝑞𝑔𝑧 = 𝑞𝑔(−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ) = −𝑔 𝑖 ℎ. Além disso, pelo mesmo argumento utilizado no item (ii), podemos ver que 𝑧 𝑖 𝑔 = 𝑞 𝑖 𝑔𝑧 𝑖 , para todo 𝑖 ∈ N. Mostremos por 𝑖(𝑖−1) indução sobre 𝑖 que (𝑔𝑧)𝑖 = 𝑞 2 𝑔 𝑖 𝑧 𝑖 , para todo 𝑖 ∈ N. Claramente vale para 𝑖 = 1. Suponha que seja válido para 𝑖 e mostremos que vale para 𝑖 + 1. De fato, (𝑔𝑧)𝑖+1 = (𝑔𝑧)𝑖 (𝑔𝑧) = (𝑞 =𝑞. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑔 𝑖 𝑞 𝑖 𝑔𝑧 𝑖 𝑧 = 𝑞. 𝑔 𝑖 𝑧 𝑖 )(𝑔𝑧) = 𝑞. 𝑖(𝑖−1) +𝑖 2. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑔 𝑖 (𝑧 𝑖 𝑔)𝑧. 𝑔 𝑖+1 𝑧 𝑖+1 = 𝑞. (𝑖+1)𝑖 2. 𝑔 𝑖+1 𝑧 𝑖+1 .. 𝑖(𝑖−1)2. Finalmente, provemos que (−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ)𝑖 = (−1)𝑖 𝑞 −𝑖 𝑞 2 𝑔 𝑖(𝑖−1) ℎ𝑖 , para todo 𝑖 ∈ N. Para 𝑖 = 1 é claro. Suponhamos que o resultado seja válido para 𝑖 e vejamos que vale para 𝑖 + 1. (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)𝑖+1 = (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)(−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)𝑖 = (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)(𝑔(−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ))𝑖 = (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)(𝑔𝑧)𝑖 = (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)(𝑞 = −𝑞 −1 𝑞. 𝑖(𝑖−1) 2. = (−𝑞 −1 𝑞. 𝑔 𝑖 (ℎ𝑔 𝑖 )𝑧 𝑖 = −𝑞 −1 𝑞. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑖(𝑖−1) 2. 𝑞 𝑖 𝑔 2𝑖 ℎ)(−𝑞 −1 𝑔 𝑖−1 ℎ)𝑖 .. 𝑔𝑖𝑧𝑖). 𝑔 𝑖 (𝑞 𝑖 𝑔 𝑖 ℎ)𝑧 𝑖.

(20) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 20. Pela hipótese de indução, temos (−𝑞 −1 𝑔 𝑖 ℎ)𝑖+1 = (−𝑞 −1 𝑞. (𝑖−1)𝑖 2. 𝑞 𝑖 𝑔 2𝑖 ℎ)((−1)𝑖 𝑞 −𝑖 𝑞. 𝑖(𝑖−1)2 2. 𝑔 𝑖(𝑖−1) ℎ𝑖 ). = −(−1)𝑖 𝑞 −1 𝑞. (𝑖−1)𝑖 2. 𝑞. 𝑖(𝑖−1)2 2. 𝑔 2𝑖 (ℎ𝑔 𝑖(𝑖−1) )ℎ𝑖. = (−1)𝑖+1 𝑞 −1 𝑞. (𝑖−1)𝑖 2. 𝑞. 𝑖(𝑖−1)2 2. 𝑔 2𝑖 𝑞 𝑖(𝑖−1) 𝑔 𝑖(𝑖−1) ℎℎ𝑖. = (−1)𝑖+1 𝑞 −1 𝑞. (𝑖−1)𝑖 2. 𝑞. 𝑖(𝑖−1)2 2. 𝑞 𝑖(𝑖−1) 𝑔 2𝑖 𝑔 𝑖(𝑖−1) ℎ𝑖+1. = (−1)𝑖+1 𝑞 −𝑖−1 𝑞. (𝑖+1)𝑖2 2. = (−1)𝑖+1 𝑞 −(𝑖+1) 𝑞. 𝑔 2𝑖+𝑖(𝑖−1) ℎ𝑖+1. (𝑖+1)𝑖2 2. 𝑔 (𝑖+1)𝑖 ℎ𝑖+1 ,. como queríamos. Lema 2.1.22. O ideal à esquerda gerado por ℎ é um ideal bilateral de 𝑇𝑁 (𝑞). Demonstração. Seja 𝑥 = Lema 2.1.21 (ii), temos ℎ𝑥 = ℎ(. ∑︀. 𝑖,𝑗∈𝐼𝑁 −1. 𝛼𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 ∈ 𝑇𝑁 (𝑞), 𝛼𝑖𝑗 ∈ k, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁 −1 . Então, pelo. 𝛼𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 ) =. ∑︁. 𝑖,𝑗∈𝐼𝑁 −1. 𝑥ℎ = (. ∑︁. ∑︁. 𝑞 𝑖 𝛼𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗+1 ∈ 𝑇𝑁 (𝑞)ℎ,. 𝑖,𝑗∈𝐼𝑁 −1 𝑖 𝑗. 𝛼𝑖𝑗 𝑔 ℎ )ℎ = ℎ. 𝑖,𝑗∈𝐼𝑁 −1. ∑︁. 𝑞 −𝑖 𝛼𝑖𝑗 𝑔 𝑖 ℎ𝑗 ∈ ℎ𝑇𝑁 (𝑞).. 𝑖,𝑗∈𝐼𝑁 −1. Logo, pela Observação 2.1.12 temos que 𝑇𝑁 (𝑞)ℎ é um ideal bilateral de 𝑇𝑁 (𝑞). A álgebra de Taft definida no exemplo acima tem uma estrutura adicional, à saber a de álgebra de Hopf, o que será mostrado na terceira seção deste capítulo.. 2.2 Módulos sobre álgebras Nesta seção apresentaremos a definição e alguns resultados importantes de módulos sobre uma álgebra. O objetivo é estabelecer algumas propriedades que serão fundamentais ao longo deste trabalho e que envolvem classes especiais de módulos, módulos livres, projetivos, injetivos e indecomponíveis. Por fim, introduziremos o conceito de semissimplicidade e desenvolveremos um pouco da teoria necessária para o próximo capítulo. Os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em (MILIES, 1972), (LAM, 1991), (ROTMAN, 2009), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011), (ASSEM; SIMSON; SKOWROŃSKI, 2006), (LINCKELMANN, 2018), (LEINSTER, 2014) e (CHEN, 2002). Definição 2.2.1. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Um 𝐴-módulo à esquerda é um par (𝑀, 𝜇𝑀 ) onde 𝑀 é um k-espaço vetorial e 𝜇𝑀 : 𝐴 ⊗ 𝑀 −→ 𝑀 é uma transformação linear tal que.

(21) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 21. os seguintes diagramas são comutativos: 𝐴⊗𝐴⊗𝑀. 𝐼𝑑𝐴 ⊗𝜇𝑀. /. 𝐴⊗𝑀 𝜇𝑀. 𝑚𝐴 ⊗𝐼𝑑𝑀. . 𝐴⊗𝑀. 𝜇𝑀. /. . 𝑀. k⊗𝑀. 𝑢𝐴 ⊗𝐼𝑑𝑀. /𝐴⊗𝑀 𝜇𝑀. 𝜂. #. . 𝑀.. A aplicação 𝜇𝑀 é chamada de ação de 𝐴 sobre 𝑀 , diremos também que 𝐴 age sobre 𝑀 . Denotaremos 𝜇𝑀 (𝑎 ⊗ 𝑚) simplesmente por 𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Assim, a comutatividade do primeiro diagrama da Definição 2.2.1 pode ser reescrita na forma: (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎(𝑏𝑚), para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Enquanto, a comutatividade do segundo diagrama significa simplesmente que: 1𝐴 𝑚 = 𝑚, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 . De maneira análoga podemos definir 𝐴-módulo à direita. Os resultados que serão apresentados neste trabalho valem tanto para 𝐴-módulos à esquerda quanto para 𝐴módulos à direita, e as demonstrações são feitas de maneira análoga. Exemplo 2.2.2. Todo k-espaço vetorial é um k-módulo à esquerda com as operações usuais. Exemplo 2.2.3. Toda k-álgebra 𝐴 é um 𝐴-módulo à esquerda via multiplicação. Denotaremos 𝐴 com estrutura de 𝐴-módulo à esquerda (respectivamente à direita) por 𝐴 𝐴 (respectivamente 𝐴𝐴 ). Definição 2.2.4. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um k-subespaço vetorial de 𝑀 . Dizemos que 𝑁 é um 𝐴-submódulo à esquerda de 𝑀 , ou simplesmente, um submódulo à esquerda de 𝑀 se 𝜇𝑀 (𝐴 ⊗ 𝑁 ) ⊆ 𝑁 . Exemplo 2.2.5. Claramente os 𝐴-submódulos à esquerda de uma k-álgebra 𝐴 são os ideais à esquerda de 𝐴. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 ⊆ 𝑀 um submódulo à esquerda de 𝑀 . Considere 𝑀/𝑁 como k-espaço vetorial, e definimos 𝜇𝑀/𝑁 : 𝐴 ⊗ 𝑀/𝑁 −→ 𝑀/𝑁 por 𝜇𝑀/𝑁 (𝑎 ⊗ 𝑚) = 𝑎𝑚. Dessa forma, 𝑀/𝑁 possui estrutura de 𝐴-módulo à esquerda. Além disso, podemos notar que existe uma correspondência biunívoca entre os submódulos à esquerda do quociente 𝑀/𝑁 e os submódulos à esquerda de 𝑀 que contém 𝑁 . Ou seja,.

(22) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 22. para cada 𝐴-submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 com 𝐾 ⊇ 𝑁 está associado um 𝐴-submódulo à esquerda 𝑋 de 𝑀/𝑁 . Reciprocamente, para cada 𝐴-submódulo à esquerda 𝑋 de 𝑀/𝑁 está associado um 𝐴-submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 com 𝐾 ⊇ 𝑁 . Observação 2.2.6. Sejam 𝐼 um ideal de 𝐴 e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, 𝑀 é 𝐴/𝐼-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚, para todo 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 , se e somente se 𝐼𝑀 = {0}. Com efeito, suponha que 𝑀 seja um 𝐴/𝐼-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚, para todo 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 . Em particular, para todo 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑚 ∈ 𝑀 , temos que 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚 = 0𝑚 = 0. Logo, 𝐼𝑀 = {0}. Reciprocamente, considere a aplicação 𝜇 : 𝐴/𝐼 × 𝑀 → 𝑀 dada por 𝜇(𝑎, 𝑚)=𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Note que 𝜇 está bem definida, pois dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴/𝐼 tais que 𝑎 = 𝑏, então 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼. Logo, 0 = (𝑎 − 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 − 𝑏𝑚 = 𝑎𝑚 − 𝑏𝑚, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 . É fácil ver que 𝜇 é uma função bilinear, então pela propriedade universal do produto tensorial segue que existe uma única transformação linear 𝜇 : 𝐴/𝐼 ⊗ 𝑀 → 𝑀 tal que 𝜇 ∘ 𝜔 = 𝜇, onde 𝜔 : 𝐴/𝐼 × 𝑀 → 𝐴/𝐼 ⊗ 𝑀 é uma função bilinear. Claramente 𝑎(𝑏𝑚) = (𝑎𝑏)𝑚 e 1𝐴 𝑚 = 𝑚, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴/𝐼 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Vejamos a seguir algumas definições que serão importantes no decorrer desta seção. Definição 2.2.7. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝑁 um submódulo à esquerda de 𝑀 , 𝑁 ̸= 𝑀 . Dizemos que 𝑁 é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 se para qualquer submódulo à esquerda 𝑁 ′ de 𝑀 , satisfazendo 𝑁 ⊆ 𝑁 ′ ⊆ 𝑀 , então 𝑁 ′ = 𝑁 ou 𝑁 ′ = 𝑀 . Exemplo 2.2.8. Os submódulos à esquerda maximais de 𝐴 𝐴 são precisamente os ideais à esquerda maximais de 𝐴. Definição 2.2.9. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O anulador de 𝑀 é o conjunto 𝐴𝑛𝑛𝐴 (𝑀 ) = {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑎𝑚 = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 }. Observemos que dados 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴 (𝑀 ) temos (𝑎𝑥)𝑚 = 𝑎(𝑥𝑚) = 0 e (𝑥𝑎)𝑚 = 𝑥(𝑎𝑚) = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 . Logo, 𝑎𝑥 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴 (𝑀 ) e 𝑥𝑎 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴 (𝑀 ), ou seja, o anulador de 𝑀 é um ideal de 𝐴. Pela Observação 2.2.6, 𝑀 é um 𝐴/𝐴𝑛𝑛𝐴 (𝑀 )-módulo à esquerda via 𝑎 ¯𝑚 = 𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Definição 2.2.10. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, (𝑀, 𝜇𝑀 ) e (𝑁, 𝜇𝑁 ) 𝐴-módulos à esquerda. Uma transformação linear 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda se o seguinte diagrama é comutativo: 𝐴⊗𝑀. 𝐼𝑑𝐴 ⊗𝑓. /. 𝐴⊗𝑁. 𝜇𝑀. 𝜇𝑁. . 𝑀. 𝑓. /. . 𝑁..

(23) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 23. Ou seja, 𝑓 (𝑎𝑚) = 𝑎𝑓 (𝑚), para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Exemplo 2.2.11. Seja 𝑓 : 𝐴 −→ 𝐵 um homomorfismo sobrejetor de k-álgebras. Se 𝑀 é um 𝐵-módulo à esquerda, então 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda via ação induzida por 𝑓 , ou seja, dados 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑎𝑚 = 𝑓 (𝑎)𝑚. Exemplo 2.2.12. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal de 𝐴, então 𝜋 : 𝐴 → 𝐴/𝐼 é um homomorfismo sobrejetor de k-álgebras. Assim, se 𝑀 é um 𝐴/𝐼-módulo à esquerda, então 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝜋(𝑎)𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Observação 2.2.13. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑉 um k-espaço vetorial. Considere 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) = {𝑇 : 𝑉 −→ 𝑉 | 𝑇 é transformação linear}. É fácil ver que, 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) é uma k-álgebra com a multiplicação dada pela composição e unidade dada pela identidade. Note que se 𝑉 é um 𝐴-módulo à esquerda via 𝜇(𝑎 ⊗ 𝑣) = 𝑎𝑣, para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 então existe 𝜌 : 𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) homomorfismo de álgebras. Com efeito, defina 𝜌 : 𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) por 𝜌(𝑎)(𝑣) = 𝜌𝑎 (𝑣) = 𝑎𝑣, para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 . Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 temos que, 𝜌𝑎𝑏 (𝑣) = (𝑎𝑏)𝑣 = (𝑎𝑏)𝑣 = 𝑎(𝑏𝑣) = 𝜌𝑎 (𝜌𝑏 (𝑣)) = (𝜌𝑎 ∘ 𝜌𝑏 )(𝑣). Assim, 𝜌(𝑎𝑏) = 𝜌𝑎𝑏 = 𝜌𝑎 ∘ 𝜌𝑏 = 𝜌(𝑎) ∘ 𝜌(𝑏). Além disso, 𝜌(1𝐴 ) = 𝜌1𝐴 (𝑣) = 1𝐴 𝑣 = 𝑣 = 𝐼𝑑𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) (𝑣), para todo 𝑣 ∈ 𝑉 . Portanto, 𝜌 é um homomorfismo de álgebras. Reciprocamente, se 𝜌 : 𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) é um homomorfismo de álgebras então, é fácil verificar que, 𝑉 é um 𝐴-módulo à esquerda via 𝑎𝑣 = 𝜌𝑎 (𝑣), para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 . A seguir iremos discutir brevemente sobre sequências exatas de módulos. Definição 2.2.14. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Sejam {𝑀𝑖 }𝑖∈𝐼 uma família de 𝐴-módulos à esquerda e {𝑓𝑖 : 𝑀𝑖 −→ 𝑀𝑖+1 }𝑖∈𝐼 uma família de homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Dizemos que o diagrama 𝑓𝑖−1 𝑓𝑖+1 𝑓𝑖 · · · −→ 𝑀𝑖 −→ 𝑀𝑖+1 −→ · · · é uma sequência exata se, 𝐼𝑚(𝑓𝑖 ) = 𝐾𝑒𝑟(𝑓𝑖+1 ), para todo 𝑖 ∈ 𝐼. 𝑓. 𝑔. Exemplo 2.2.15. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. A sequência 0 −→ 𝑀 −→ 𝑁 é exata se e somente se 𝑔 é um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. De fato, se a 𝑓 𝑔 sequência 0 −→ 𝑀 −→ 𝑁 é exata então, 𝐼𝑚(𝑓 ) = 𝐾𝑒𝑟(𝑔). Como 𝐼𝑚(𝑓 ) = {0} temos que, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = {0} e, consequentemente, 𝑔 é injetora. Reciprocamente, se 𝑔 é injetora então, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = {0}. Como 𝐼𝑚(𝑓 ) = {0} segue que 𝐼𝑚(𝑓 ) = 𝐾𝑒𝑟(𝑔). 𝑓. 𝑔. De maneira análoga, podemos mostrar que a sequência 𝑀 −→ 𝑁 −→ 0 é exata se e somente se 𝑓 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Disso decorre que, a sequência 𝑓 0 −→ 𝑀 −→ 𝑁 −→ 0 é exata se e somente se 𝑓 é um isomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda..

(24) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 24 𝑓. 𝑔. Definição 2.2.16. Uma sequência exata do tipo 0 −→ 𝑀 −→ 𝑁 −→ 𝐾 −→ 0 é dita uma sequência exata curta. Exemplo 2.2.17. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um submó𝑖 𝜋 dulo à esquerda de 𝑀 . Então, a sequência 0 −→ 𝑁 −→ 𝑀 −→ 𝑀/𝑁 −→ 0, onde 𝜋 é a projeção canônica, é claramente uma sequência exata curta. 𝑓. 𝑔. Observação 2.2.18. Dada a sequência exata curta 0 −→ 𝑀 −→ 𝑁 −→ 𝐾 −→ 0. Considere 𝑀 ′ = 𝐼𝑚(𝑓 ). Claramente 𝑀 ′ é um submódulo à esquerda de 𝑁 . Como 𝑔 é sobrejetora, 𝑁/𝐾𝑒𝑟(𝑔) ≃ 𝐾. Mas, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓 ) e assim 𝑁/𝐼𝑚(𝑓 ) ≃ 𝐾. Além disso, 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ) e como 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) = {0}, temos que, 𝑀 ≃ 𝑀 ′ . Logo, a sequência 𝑖 𝜋 0 −→ 𝑀 ′ −→ 𝑁 −→ 𝑁/𝑀 ′ −→ 0 é exata. Isso nos diz que, toda sequência exata curta tem a forma da sequência do Exemplo 2.2.17. Proposição 2.2.19. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Consideremos a seguinte sequência exata curta de 𝐴-módulos 𝑓 𝑔 0 −→ 𝑁 −→ 𝑀 −→ 𝐾 −→ 0. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) 𝑀 ≃ 𝑁 ⊕ 𝐾; (ii) Existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝜓∘𝑓 = 𝐼𝑑𝑁 ; (iii) Existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜑 : 𝐾 −→ 𝑀 tal que 𝑔∘𝜑 = 𝐼𝑑𝐾 . Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponhamos que 𝑀 ≃ 𝑁 ⊕ 𝐾. Como 𝑓 é injetora segue pelo teorema do homomorfismo de módulos que, 𝑁 ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ). Dessa forma, dado 𝑚 ∈ 𝑀 , temos 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 , onde 𝑚1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) e 𝑚2 ∈ 𝐾. Assim, existe um único 𝑛 ∈ 𝑁 tal que 𝑓 (𝑛) = 𝑚1 . Definimos 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 por 𝜓(𝑚) = 𝑛. Assim, 𝜓 está bem definida e é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. De fato, sejam 𝑚, 𝑚′ ∈ 𝑀 então 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 , com 𝑚1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) e 𝑚2 ∈ 𝐾 e 𝑚′ = 𝑚′1 + 𝑚′2 , com 𝑚′1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) e 𝑚′2 ∈ 𝐾. Então, 𝜓(𝑚 + 𝑚′ ) = 𝜓(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚′1 + 𝑚′2 ) = 𝑦, onde 𝑓 (𝑦) = 𝑚1 + 𝑚′1 . Por outro lado, 𝜓(𝑚) + 𝜓(𝑚′ ) = 𝑧 + 𝑧 ′ , onde 𝑓 (𝑧) = 𝑚1 e 𝑓 (𝑧 ′ ) = 𝑚′1 . Então, 𝑓 (𝑦) = 𝑚1 + 𝑚′1 = 𝑓 (𝑧) + 𝑓 (𝑧 ′ ) = 𝑓 (𝑧 + 𝑧 ′ ). Como 𝑓 é injetora, 𝑦 = 𝑧 + 𝑧 ′ . Logo, 𝜓(𝑚 + 𝑚′ ) = 𝜓(𝑚) + 𝜓(𝑚′ ). Agora, dado 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑀 , 𝜓(𝑎𝑚) = 𝜓(𝑎𝑚1 + 𝑎𝑚2 ) = 𝑤, onde 𝑓 (𝑤) = 𝑎𝑚1 . Por outro lado, 𝑎𝜓(𝑚) = 𝑎𝑧, onde 𝑓 (𝑧) = 𝑚1 . Assim, 𝑎𝑚1 = 𝑎𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑎𝑧) e como 𝑓 é injetora 𝑤 = 𝑎𝑧, ou seja, 𝜓(𝑎𝑚) = 𝑎𝜓(𝑚). Além disso, para todo 𝑛 ∈ 𝑁 , temos que 𝑓 (𝑛) se escreve unicamente como 𝑓 (𝑛) + 0 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) ⊕ 𝐾, logo (𝜓 ∘ 𝑓 )(𝑛) = 𝜓(𝑓 (𝑛)) = 𝜓(𝑓 (𝑛) + 0) = 𝑛 = 𝐼𝑑𝑁 (𝑛)..

(25) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 25. (ii) ⇒ (i) Suponhamos que exista 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝜓 ∘ 𝑓 = 𝐼𝑑𝑁 . Vejamos agora que 𝑀 ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ) ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Seja 𝑚 ∈ 𝑀 , tomamos 𝑥 = 𝑓 (𝜓(𝑚)) ∈ 𝑀 e consideramos 𝑦 = 𝑚 − 𝑥 ∈ 𝑀 . Então, 𝜓(𝑦) = 𝜓(𝑚 − 𝑥) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑥) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑓 (𝜓(𝑚))) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑚) = 0, ou seja, 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Logo, 𝑚 = 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) + 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Seja 𝑧 ∈ 𝐼𝑚(𝑓 ) ∩ 𝐾𝑒𝑟(𝜓) então, existe 𝑛 ∈ 𝑁 tal que 𝑓 (𝑛) = 𝑧 e assim 𝑛 = 𝜓(𝑓 (𝑛)) = 𝜓(𝑧) = 0, donde segue que 𝑧 = 0. Portanto, 𝑀 ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ) ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Como 𝑓 é injetora, 𝑁 ≃ 𝐼𝑚(𝑓 ). Pelo teorema do homomorfismo de módulos à esquerda, temos que 𝐾 ≃ 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑔), e pela sequência ser exata, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓 ). Logo, 𝐾 ≃ (𝐼𝑚(𝑓 ) ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝜓))/𝐼𝑚(𝑓 ) ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Analogamente, (i) é equivalente a (iii). Definição 2.2.20. Uma sequência exata curta que satisfaz uma, e portanto todas, as condições da Proposição 2.2.19 é dita uma sequência exata curta que cinde.. 2.2.1 Módulos livres, projetivos e injetivos Começaremos esta subseção introduzindo o conceito de módulos livres e mostrando algumas propriedades importantes sobre estes módulos. Posteriormente, iremos definir e apresentar alguns resultados sobre módulos projetivos e injetivos. Os resultados apresentados nesta subseção podem ser encontrados em (MILIES, 1972), (LAM, 1991), (ROTMAN, 2009), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011) e (LEINSTER, 2014). Dado uma k-álgebra 𝐴, denotaremos por 𝐴(𝐼) o conjunto de todas as sequências quase nulas (𝜆𝑖 )𝑖∈𝐼 onde 𝜆𝑖 ∈ 𝐴, para todo 𝑖 ∈ 𝐼, ou seja, 𝜆𝑖 ̸= 0 exceto para um número finito de índices 𝑖 ∈ 𝐼. Notemos que 𝐴(𝐼) é a soma direta ⊕𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 , onde cada somando é igual a 𝐴. Seja {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 um conjunto de elementos de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 . Um elemento 𝑚 ∈ 𝑀 é uma combinação linear de {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 se existe (𝜆𝑖 )𝑖∈𝐼 ∈ 𝐴(𝐼) tal que ∑︀ 𝑚 = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 . Notemos que esta soma está bem definida, pois só um número finito de somandos é não nulo. Dizemos que {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 gera 𝑀 se qualquer elemento de 𝑀 pode ser escrito como uma combinação linear finita de elementos de {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 . Além disso, um conjunto {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 de elementos de 𝑀 é dito linearmente independente ou livre se para ∑︀ toda sequência quase nula (𝜆𝑖 )𝑖∈𝐼 ∈ 𝐴(𝐼) tal que 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 = 0 tivermos que 𝜆𝑖 = 0, para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Definição 2.2.21. Um conjunto {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 de elementos de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é uma base de 𝑀 se é linearmente independente e gera 𝑀 . Dizemos ainda, que 𝑀 é livre se existe uma base para 𝑀 . Observação 2.2.22. Notemos que sempre existe um conjunto de geradores de M, ao menos o próprio 𝑀 ..

(26) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 26. Exemplo 2.2.23. O 𝐴-módulo à esquerda 𝐴 é um módulo livre com base {1𝐴 }. Exemplo 2.2.24. Seja 𝐴 uma k-álgebra e 𝑛 um inteiro tal que 𝑛 ≥ 1 então o produto cartesiano de 𝐴𝑛 é um 𝐴-módulo à esquerda livre com base {𝑒𝑖 }𝑖∈𝐼 , onde 𝑒𝑖 é a 𝑛-upla que tem 1 na posição 𝑖 e zero nas demais. Mais geralmente, dada uma k-álgebra 𝐴, consideremos a soma direta 𝐴(𝐼) . Indicaremos por 𝑒𝑘 o elemento 𝑒𝑘 = (𝑚𝑖 )𝑖∈𝐼 tal que 𝑚𝑘 = 1 e 𝑚𝑖 = 0 se 𝑖 ̸= 𝑘. O conjunto {𝑒𝑘 }𝑘∈𝐼 é uma base de 𝐴(𝐼) , chamada de base canônica. Portanto, 𝐴(𝐼) é um 𝐴-módulo livre. Definição 2.2.25. Um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é dito finitamente gerado se existe um conjunto finito de elementos que gera 𝑀 . A proposição a seguir mostra que para definirmos um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 , onde 𝑀 é livre, é suficiente defini-lo na base. Proposição 2.2.26. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda, {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 uma base de 𝑀 e {𝑛𝑖 }𝑖∈𝐼 um subconjunto qualquer de 𝑁 . Então, existe um único homomorfismo de 𝐴módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝑓 (𝑚𝑖 ) = 𝑛𝑖 , para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Demonstração. Seja 𝑚 = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 ∈ 𝑀 , com (𝜆𝑖 )𝑖∈𝐼 ∈ 𝐴(𝐼) . Definimos 𝑓 (𝑚) = ∑︀ ∑︀ Sejam 𝑚1 = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 , 𝑚2 = 𝑖∈𝐼 𝜆′𝑖 𝑚𝑖 ∈ 𝑀 e 𝛼 ∈ k. Então, ∑︀. 𝑓 (𝛼𝑚1 + 𝑚2 ) =. ∑︁. (𝛼𝜆𝑖 + 𝜆′𝑖 )𝑛𝑖 = 𝛼. =𝛼. 𝜆𝑖 𝑛𝑖 +. 𝑖∈𝐼. 𝑖∈𝐼. ∑︁. ∑︁. 𝜆𝑖 𝑛𝑖 +. 𝑖∈𝐼. ∑︁. ∑︁. ∑︀. 𝑖∈𝐼. 𝜆𝑖 𝑛𝑖 .. 𝜆′𝑖 𝑛𝑖. 𝑖∈𝐼. 𝜆′𝑖 𝑛𝑖 = 𝛼𝑓 (𝑚1 ) + 𝑓 (𝑚2 ).. 𝑖∈𝐼. Portanto, 𝑓 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Suponha que exista outro homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 ′ : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝑓 ′ (𝑚𝑖 ) = 𝑛𝑖 , para todo ∑︀ 𝑖 ∈ 𝐼. Então, dado 𝑚 = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 , temos 𝑓 ′ (𝑚) = 𝑓 (. ∑︁ 𝑖∈𝐼. 𝜆𝑖 𝑚𝑖 ) =. ∑︁ 𝑖∈𝐼. 𝜆𝑖 𝑓 ′ (𝑚𝑖 ) =. ∑︁. 𝜆𝑖 𝑛𝑖 = 𝑓 (𝑚).. 𝑖∈𝐼. Portanto, 𝑓 = 𝑓 ′ . Proposição 2.2.27. Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é uma imagem epimórfica de um módulo livre. Demonstração. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑋 = {𝑚𝑖 }𝑖∈𝐼 um conjunto de geradores de 𝑀 . Considere {𝑒𝑖 }𝑖∈𝐼 base de 𝐴(𝐼) . Pela Proposição 2.2.26, 𝑓 : 𝐴(𝐼) −→ 𝑀 ∑︀ ∑︀ dada por 𝑓 ( 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑒𝑖 ) = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Resta.

(27) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 27. mostrar que, 𝑓 é sobrejetora. De fato, seja 𝑦 = 𝑖∈𝐼 𝜆𝑖 𝑚𝑖 ∈ 𝑀 . Tome então ∑︁ ∑︁ 𝑓 ( 𝜆𝑖 𝑒𝑖 ) = 𝜆𝑖 𝑚𝑖 = 𝑦. ∑︀. 𝑖∈𝐼. ∑︀. 𝑖∈𝐼. 𝜆𝑖 𝑒𝑖 ∈ 𝐴(𝐼) ,. 𝑖∈𝐼. Definição 2.2.28. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. Dizemos que um 𝐴-módulo à esquerda 𝑃 é projetivo se dado um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 e um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑔 : 𝑃 −→ 𝑁 existe um único homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda ℎ : 𝑃 −→ 𝑀 tal que o seguinte diagrama é comutativo 𝑃 ℎ. 𝑀. ~ 𝑓. 𝑔. /. . /. 0.. 𝑁. Exemplo 2.2.29. Todo 𝐴-módulo à esquerda livre é projetivo. Com efeito, seja 𝐿 um 𝐴-módulo à esquerda livre com base {𝑥𝑖 }𝑖∈𝐼 . Dados dois 𝐴-módulos à esquerda 𝑀 e 𝑁 , 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda e 𝑔 : 𝐿 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Mostremos que sempre existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda ℎ : 𝐿 −→ 𝑀 tal que o seguinte diagrama é comutativo 𝐿 ℎ. 𝑀. ~ 𝑓 /. . 𝑔. 𝑁. /. 0.. Para cada 𝑥𝑖 da base de 𝐿, temos que 𝑔(𝑥𝑖 ) ∈ 𝑁 e como 𝑓 é sobrejetora então existe 𝑚𝑖 ∈ 𝑀 tal que 𝑓 (𝑚𝑖 ) = 𝑔(𝑥𝑖 ), 𝑖 ∈ 𝐼. Defina ℎ(𝑥𝑖 ) = 𝑚𝑖 . Pela Proposição 2.2.26 ℎ : 𝐿 −→ 𝑀 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Vejamos que 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔. Então, 𝑓 (ℎ(𝑥𝑖 )) = 𝑓 (𝑚𝑖 ) = 𝑔(𝑥𝑖 ), para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Logo, o diagrama acima é comutativo e consequentemente, 𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Em particular, segue do exemplo acima que toda k-álgebra vista como 𝐴-módulo à esquerda é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Proposição 2.2.30. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑃 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (i) 𝑃 é projetivo; (ii) Se existe um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 e 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑃 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, então 𝑃 é isomorfo a um somando direto de 𝑀 ; (iii) Existe um 𝐴-módulo à esquerda livre 𝐿 tal que 𝐿 = 𝑃 ⊕ 𝑄, para algum 𝐴-módulo à esquerda 𝑄..

(28) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 28. Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponha que 𝑃 seja um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑃 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Como 𝑃 é projetivo, temos que o seguinte diagrama é comutativo 𝑃 ℎ. 𝑀. ~ 𝑓. 𝐼𝑑𝑃. . /𝑃. / 0.. Assim, a seguinte sequência exata curta de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓. 𝑖. 0 −→ 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) −→ 𝑀 −→ 𝑃 −→ 0 cinde. Pela Proposição 2.2.19 temos que 𝑀 ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) ⊕ 𝑃 . (ii) ⇒ (iii) Pela Proposição 2.2.27 existe um 𝐴-módulo à esquerda livre 𝑀 e um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑃 . Logo, por hipótese 𝑃 é isomorfo a um somando direto de 𝑀 . (iii) ⇒ (i) Seja 𝐿 um 𝐴-módulo à esquerda livre tal que 𝐿 = 𝑃 ⊕ 𝑄 para algum 𝐴-módulo à esquerda 𝑄. Sejam 𝑀 , 𝑁 𝐴-módulos à esquerda, 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um epimorfismo de 𝐴módulos à esquerda e 𝑔 : 𝑃 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Provemos que existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda ℎ : 𝑃 −→ 𝑀 tal que 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔. Como 𝐿 = 𝑃 ⊕ 𝑄, todo 𝑥 ∈ 𝐿 se escreve de forma única como 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 onde 𝑥1 ∈ 𝑃 e 𝑥2 ∈ 𝑄. Claramente 𝑔 : 𝐿 −→ 𝑁 dada por 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑔(𝑥1 ) é um homomorfismo de 𝐴-módulo à esquerda. Pelo Exemplo 2.2.29 temos que 𝐿 é projetivo. Dessa forma, temos o seguinte diagrama 𝐿o 𝜄 𝑃 . 𝑔. ℎ′. 𝑀. 𝑓. /. . 𝑔. 𝑁. /. 0.. Definindo ℎ = ℎ′ ∘ 𝜄 temos, (𝑓 ∘ ℎ)(𝑦) = (𝑓 ∘ (ℎ′ ∘ 𝜄))(𝑦) = ((𝑓 ∘ ℎ′ ) ∘ 𝜄)(𝑦) = (𝑔 ∘ 𝜄)(𝑦) = 𝑔(𝜄(𝑦)) = 𝑔(𝑦), para todo 𝑦 ∈ 𝑃 . Logo, 𝑃 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Definição 2.2.31. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Uma cobertura projetiva para 𝑀 é um par (𝑃, 𝑓 ), onde 𝑃 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo e 𝑓 : 𝑃 −→ 𝑀 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que se 𝑁 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo e 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑃 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda com 𝑓 ∘ 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑀 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, então 𝑔 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. A seguir iremos enunciar um teorema que garante a existência da cobertura projetiva para todo 𝐴-módulo à esquerda..

(29) Capítulo 2. Pré-Requisitos. 29. Teorema 2.2.32. ([Teorema 8.4., SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011]) Todo 𝐴-módulo à esquerda possui uma cobertura projetiva. Observação 2.2.33. Seja 𝑃 um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Então (𝑃, 𝐼𝑑𝑃 ) é a cobertura projetiva de 𝑃 . De fato, seja 𝑁 um 𝐴-módulo à esquerda projetivo e 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑃 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que 𝐼𝑑𝑃 ∘𝑔 : 𝑁 −→ 𝑃 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Então, claramente 𝑔 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Proposição 2.2.34. Sejam (𝑃1 , 𝑓1 ) e (𝑃2 , 𝑓2 ) coberturas projetivas de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 . Então, 𝑃1 ≃ 𝑃2 . Demonstração. Sejam 𝑓1 : 𝑃1 −→ 𝑀 e 𝑓2 : 𝑃2 −→ 𝑀 dois epimorfismos de 𝐴-módulos à esquerda. Como 𝑃1 e 𝑃2 são 𝐴-módulos à esquerda projetivos temos que os seguintes diagramas são comutativos 𝑃1 ℎ. 𝑃2 ℎ′. 𝑓1. ~ 𝑓2 /𝑀 𝑃2. /. 𝑓2. ~ 𝑓1 /𝑀 𝑃1. 0,. /. 0.. Ou seja, 𝑓2 ∘ ℎ = 𝑓1 e 𝑓1 ∘ ℎ′ = 𝑓2 . Assim, 𝑓2 ∘ ℎ : 𝑃1 −→ 𝑀 e 𝑓1 ∘ ℎ′ : 𝑃2 −→ 𝑀 são epimorfismos de 𝐴-módulos à esquerda. Como (𝑃1 , 𝑓1 ) e (𝑃2 , 𝑓2 ) são coberturas projetivas de 𝑀 , ℎ e ℎ′ são epimorfismos de 𝐴-módulos à esquerda. Além disso, 𝑓1 = 𝑓2 ∘ ℎ = (𝑓1 ∘ ℎ′ ) ∘ ℎ = 𝑓1 ∘ (ℎ′ ∘ ℎ). Logo, ℎ′ ∘ ℎ = 𝐼𝑑𝑃1 . Por outro lado, 𝑓2 = 𝑓1 ∘ ℎ′ = (𝑓2 ∘ ℎ) ∘ ℎ′ = 𝑓2 ∘ (ℎ ∘ ℎ′ ). Assim, ℎ ∘ ℎ′ = 𝐼𝑑𝑃2 . Logo, 𝑃1 ≃ 𝑃2 . Definição 2.2.35. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. Dizemos que um 𝐴-módulo à esquerda 𝐼 é injetivo se dado um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 e um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑔 : 𝑀 −→ 𝐼, existe um único homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda ℎ : 𝑁 −→ 𝐼 tal que o seguinte diagrama é comutativo 0. /. 𝑀 𝑔. ~. 𝑓. /𝑁 ℎ. 𝐼.. Exemplo 2.2.36. Todo k-espaço vetorial 𝑉 é um k-módulo à esquerda injetivo. De fato, sejam 𝑈 e 𝑊 dois k-espaços vetoriais tais que 𝑓 : 𝑈 −→ 𝑊 é uma transformação linear injetora e 𝑔 : 𝑈 −→ 𝑉 uma transformação linear. Seja {𝑢𝑖 }𝑖∈𝐼 uma base de 𝑈 . Como 𝑓 é injetora, {𝑓 (𝑢𝑖 )}𝑖∈𝐼 é linearmente independente em 𝑊 . Estendendo {𝑓 (𝑢𝑖 )}𝑖∈𝐼 a uma base de 𝑊 , {𝑓 (𝑢𝑖 )}𝑖∈𝐼 ∪ {𝑤𝑗 }𝑗∈𝐽 e escolhendo {𝑣𝑗 }𝑗∈𝐽 um conjunto qualquer de vetores.