O radical de um módulo

Nesta subseção definiremos o radical de um módulo à esquerda e apresentaremos algumas propriedades sobre este, com o objetivo de introduzirmos uma classe especial de k-álgebras de dimensão finita, à saber, as álgebras de Nakayama. Os resultados expostos nesta subseção podem ser encontrados em (ASSEM; SIMSON; SKOWROŃSKI, 2006). Definição 2.2.91. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O radical de 𝑀 , denotado por 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ), é a interseção de todos os submódulos à esquerda maximais de 𝑀 .

Exemplo 2.2.92. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Considere 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda. Cla- ramente 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴) = 𝐽 (𝐴).

Vejamos agora algumas propriedades do radical de um 𝐴-módulo à esquerda. Proposição 2.2.93. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 e 𝑁 dois 𝐴-módulos à esquerda finitamente gerados. Então, as seguintes afirmações são válidas.

(i) Seja 𝑚 ∈ 𝑀 . Então, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) se e somente se 𝑓 (𝑚) = 0, para qualquer homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑆, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples;

(ii) 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁 ) = 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 );

(iii) Considere 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Então,

𝑓 (𝑟𝑎𝑑(𝑀 )) ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ); (iv) 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = 𝐽 (𝐴)𝑀 .

Demonstração. (i) Seja 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑆 um homomorfismo não nulo de 𝐴-módulos à esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Vejamos que 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) é um submódulo à es- querda maximal de 𝑀 . De fato, considere 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 ), então pelo teorema do homomorfismo, existe um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) −→ 𝑆 tal que 𝑓 ∘ 𝜋 = 𝑓 . Assim, 𝑓 (𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 )) é um submódulo à esquerda de 𝑆. Como 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples, 𝑓 (𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 )) = {0} ou 𝑓 (𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 )) = 𝑆. Porém, 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) ̸= {𝑀 }, pois 𝑓 é não nula. Logo, 𝑓 (𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓 )) = 𝑆 e, consequen- temente, pela Proposição 2.2.43 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ) é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Logo, 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓 ). Reciprocamente, seja 𝐿 um submódulo à esquerda maximal

de 𝑀 . Pela Proposição 2.2.43 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Considere

𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝐿 a projeção canônica. Por hipótese, 𝜋(𝑚) = 0 então 𝑚 ∈ 𝐿, pois 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝐿. Logo, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ).

(ii) Seja 𝑥 = (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁 ), com 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑛 ∈ 𝑁 . Consideremos 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑆 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda sim- ples. Definimos, 𝐹 : 𝑀 ⊕ 𝑁 −→ 𝑆 por 𝐹 (𝑚′, 𝑛′) = 𝑓 (𝑚′). É fácil ver que, 𝐹 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Como 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁 ), pelo item (i), 0 = 𝐹 (𝑥) = 𝐹 (𝑚, 𝑛) = 𝑓 (𝑚). Logo, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). De maneira análoga, mostramos que 𝑛 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ). Portanto, 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ). Reciprocamente, seja 𝑥 = (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ). Consideremos 𝑓 : 𝑀 ⊕ 𝑁 −→ 𝑆 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Definimos 𝐹 : 𝑀 −→ 𝑆 por 𝐹 (𝑚′) = 𝑓 (𝑚′, 0). É fácil ver que, 𝐹 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Como 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) temos que 0 = 𝐹 (𝑚) = 𝑓 (𝑚, 0). Analogamente, definimos 𝐺 : 𝑁 −→ 𝑆 por 𝐺(𝑛) = 𝑓 (0, 𝑛). Claramente 𝐺 é um homomorfismo de 𝐴-módulos e como 𝑛 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ) temos que 0 = 𝐺(𝑛) = 𝑓 (0, 𝑛). Logo, 𝑓 (𝑚, 𝑛) = 𝑓 (𝑚, 0) + 𝑓 (0, 𝑛) = 0, e portanto pelo item (i) 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁 ).

(iii) Seja 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). Consideremos 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑆 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Definimos, 𝐹 : 𝑀 −→ 𝑆 por 𝐹 (𝑚) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑚). Claramente 𝐹 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda e como 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) temos que 0 = 𝐹 (𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓 (𝑥)). Portanto, 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁 ). (iv) Seja 𝑁 um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Pela Proposição 2.2.43 temos que 𝑀/𝑁 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Então, 𝑎(𝑏 + 𝑁 ) = 𝑎𝑏 + 𝑁 = 0, para todo 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴) e 𝑏 ∈ 𝑀 , assim, 𝑎𝑏 ∈ 𝑁 e 𝐽 (𝐴)𝑀 ⊆ 𝑁 . Portanto, 𝐽 (𝐴)𝑀 ⊆ ⋂︀

𝑁 ∈ℳ𝑎𝑥(𝑀 )𝑁 ,

onde ℳ𝑎𝑥(𝑀 ) denota o conjunto de todos os submódulos à esquerda maximais de 𝑀 .

Resta mostrarmos que 𝐽 (𝐴)𝑀 ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). Seja 𝑚 ∈ 𝑀 e consideramos 𝑓𝑚: 𝐴 −→ 𝑀

dada por 𝑓𝑚(𝑎) = 𝑎𝑚, para todo 𝑎 ∈ 𝐴. Vejamos que 𝑓𝑚 é um homomorfismo de 𝐴-

módulos à esquerda. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , então 𝑓𝑚(𝑏𝑎) = (𝑏𝑎)𝑚 = 𝑏(𝑎𝑚) = 𝑏𝑓𝑚(𝑎).

Sejam 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴) = 𝐽 (𝐴) e 𝑚 ∈ 𝑀 . Assim, pelo item (iii), temos que 𝑎𝑚 = 𝑓𝑚(𝑎) ∈

𝑓𝑚(𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴)) = 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ).

Observação 2.2.94. Prova-se por indução que 𝑟𝑎𝑑(⊕𝑖∈𝐼𝑛𝑀𝑖) = ⊕𝑖∈𝐼𝑛𝑟𝑎𝑑(𝑀𝑖).

Lema 2.2.95. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Se 𝑀 é semissimples, então 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = {0}.

Demonstração. Suponhamos que 𝑀 seja um 𝐴-módulo semissimples. Então, 𝑀 = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑟𝑆𝑖,

onde cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Pela Observação 2.2.94 temos que

𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑟𝑟𝑎𝑑(𝑆𝑖). Como 𝐽 (𝐴)𝑆𝑖 = {0}, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟, então 𝑟𝑎𝑑(𝑆𝑖) = {0}, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟.

Portanto, 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = {0}.

Proposição 2.2.96. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, as seguintes afirmações são válidas

(i) O 𝐴-módulo à esquerda 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) é semissimples e é um 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à es- querda;

(ii) Se 𝐿 é um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples, então 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊆ 𝐿.

Demonstração. (i) Como 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = 𝐽 (𝐴)𝑀 , vejamos que 𝐽 (𝐴)(𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 )) = {0}. De fato, sejam 𝑎 ∈ 𝐽 (𝐴) e 𝑚 ∈ 𝑀 . Assim, 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). Logo, 𝐽 (𝐴)(𝑀/𝐽 (𝐴)𝑀 ) = {0} e, pela Proposição 2.2.90 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) é semissimples. Além disso, pela Observação 2.2.6 segue que 𝑀 é 𝐴/𝐽 (𝐴)-módulo à esquerda.

(ii) Suponha que 𝐿 seja um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Considere 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝐿 a projeção canônica. Pelo item (iii) da Proposição 2.2.93, 𝜋(𝑟𝑎𝑑(𝑀 )) ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀/𝐿). Como 𝑀/𝐿 é semissimples então pelo Lema 2.2.96, 𝑟𝑎𝑑(𝑀/𝐿) = {0}. Assim, 𝜋(𝑟𝑎𝑑(𝑀 )) ⊆ {0}, e assim 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝐿.

Como consequência das proposições anteriores temos o seguinte corolário que nada mais é que a recíproca do Lema 2.2.95.

Corolário 2.2.97. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Se 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = {0}, então 𝑀 é semissimples.

Demonstração. Suponha que 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) = {0}. Assim, 𝑀 ≃ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) e pela Proposição 2.2.96 (i) temos que 𝑀 ≃ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Logo, 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples.

Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Note que para cada 𝑖 ≥ 1, definimos 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ) = 𝐽 (𝐴)}𝑖_{𝑀 e 𝑟𝑎𝑑}0_{(𝑀 ) = 𝑀 . Então, 𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑}𝑖−1_{(𝑀 )), pois}

𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 ) = 𝐽 (𝐴)𝑖𝑀 = 𝐽 (𝐴)𝐽 (𝐴)𝑖−1𝑀 = 𝐽 (𝐴)𝑟𝑎𝑑𝑖−1(𝑀 ) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖−1(𝑀 )). Então, 𝑟𝑎𝑑𝑖+1_{(𝑀 ) = 𝑟𝑎𝑑}(_𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 )) = 𝐽 (𝐴)𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ), e assim 𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ) ⊆ 𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ). Mais}

ainda, se 𝑟𝑎𝑑𝑖+1_{(𝑀 ) = 𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ), para algum 𝑖 ≥ 0 então 𝐽 (𝐴)(𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 )) = 𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ). Logo,}

pelo Lema 2.2.82 temos que 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ) = {0}. Além disso, 𝑟𝑎𝑑}𝑛_{(𝑀 ) = {0}, para algum}

𝑛≥ 1, visto que, 𝐽 (𝐴) um ideal à esquerda nilpotente. Agora, se 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ) ̸= 𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ),}

𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ) é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Com efeito, sabemos que}

𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀 )) = 𝐽 (𝐴)(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀 )) = 𝐽 (𝐴)(𝐽 (𝐴)𝑖𝑀/𝐽 (𝐴)𝑖+1𝑀 ) = {0}. Logo, pelo Corolário 2.2.97, 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ) é semissimples.}

A partir da discussão feita acima, temos a seguinte cadeia decrescente de submó- dulos à esquerda de 𝑀 , existe um 𝑛 (mínimo) tal que 𝑀

tal que os 𝐴-módulos à esquerda 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ), 𝑖 ∈ 𝐼}

𝑛−1 são semissimples. Cha-

mamos está cadeia de série radical de 𝑀 ou de série de Loewy de 𝑀 . O número 𝑛 é dito o comprimento de Loewy do módulo à esquerda 𝑀 , e denotaremos por ℓℓ(𝑀 ). Com isso, podemos concluir que os 𝐴-módulos à esquerda finitamente gerados semissimples são os 𝐴-módulos à esquerda de comprimento de Loewy igual a 1.

Observação 2.2.98. Sejam 𝑀𝑖 e 𝑁𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, 𝐴-módulos à esquerda finitamente gerados.

Pela Observação 2.2.94, ℓℓ(⊕𝑛∈𝐼1,𝑛𝑀𝑛) = 𝑚𝑎𝑥{ℓℓ(𝑀𝑖) | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛}.

Corolário 2.2.99. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, ℓℓ(𝑀 ) ≤ ℓℓ(𝐴𝐴).

Demonstração. Consideremos ℓℓ(𝑀 ) = 𝑛 e ℓℓ(𝐴𝐴) = 𝑘. Assim, 𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑀 ) = {0} e

𝑟𝑎𝑑𝑘₍

𝐴𝐴) = 𝐽 (𝐴)𝑘 = {0}. Como 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 ) = 𝐽 (𝐴)𝑖𝑀 = 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴)𝑖𝑀 , para todo 𝑖 ≥ 0,

então 𝑛 ≤ 𝑘.

A seguir veremos uma importante caracterização de módulos uniseriais a partir da série radical do 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 .

Proposição 2.2.100. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, as seguintes condições são equivalentes

(i) 𝑀 é uniserial;

(ii) a série radical é uma série de composição de 𝑀 ; (iii) ℓ(𝑀 ) = ℓℓ(𝑀 ).

Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponhamos que 𝑀 seja uniserial e consideremos 𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛 = {0}

a única série de composição de 𝑀 . Em particular, 𝑀1 é o único submódulo à esquerda

maximal de 𝑀 , já que todo submódulo à esquerda de 𝑀 é um termo em uma série de composição. Consequentemente, 𝑀1 = 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). Além disso, como 𝑀 é uniserial então

𝑀1 também é uniserial. Assim, de maneira análoga temos que 𝑀2 = 𝑟𝑎𝑑(𝑀1), donde

segue que 𝑀2 = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑(𝑀 )) = 𝑟𝑎𝑑2(𝑀 ). Repetindo este argumento segue que a série

𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛= {0} é a série radical de 𝑀 .

(ii) ⇒ (iii) Imediato.

(iii) ⇒ (i) Como ℓ(𝑀 ) = ℓℓ(𝑀 ) = 𝑛. Então, 𝑀=𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) ⊇ 𝑟𝑎𝑑2_{(𝑀 ) ⊇ · · · ⊇ 𝑟𝑎𝑑}𝑛_{(𝑀 )={0}}

é uma série de composição de 𝑀 . Logo, 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 )/𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ), para todo 𝑖 ∈ 𝐼}

1,𝑛−1 é

simples. Pela Proposição 2.2.43, 𝑟𝑎𝑑𝑖+1_{(𝑀 ) é submódulo à esquerda maximal de 𝑟𝑎𝑑}𝑖_{(𝑀 ).}

maximais de 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ) temos que 𝑟𝑎𝑑}𝑖+1_{(𝑀 ) é o único submódulo à esquerda maximal de}

𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ). Em particular, 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ) é o único submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Seja}

𝑁 um submódulo à esquerda não trivial de 𝑀 . Então, 𝑁 ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ). Seja 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛−1 o

maior índice tal que 𝑁 ⊆ 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 ). Como 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀 ) é o único submódulo à esquerda maximal de 𝑟𝑎𝑑𝑖_{(𝑀 ) e 𝑁 𝑟𝑎𝑑}𝑖+1(𝑀 ) temos que 𝑁 = 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀 ). Logo, a série radical de 𝑀 é formada por todos os submódulos à esquerda de 𝑀 , ou seja, ela é a única. Portanto, 𝑀 é uniserial.

A seguir enunciaremos um lema que nos diz que se o comprimento de Loewy de

𝐴𝐴 é igual ao comprimento de Loewy do 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 e 𝑀 é indecomponível,

então 𝑀 é projetivo e injetivo. A demonstração deste resultado é bem construtiva, e envolve várias propriedades sobre módulos indecomponíveis, projetivos, injetivos e outros conceitos que não foram apresentados neste trabalho, por esta razão optamos por omití-la do texto. A demonstração deste resultado pode ser vista em (CHEN, 2002).

Lema 2.2.101. ([Lema 3.5. CHEN, 2002]) Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita auto-injetiva com ℓℓ(𝐴𝐴) = 𝑛. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda com ℓℓ(𝑀 ) = 𝑛, então

𝑀 contém um somando direto projetivo e indecomponível. Mais ainda, se 𝑀 é indecom- ponível, então 𝑀 é projetivo e injetivo.

Para finalizar esta subseção vamos apresentar a definição de álgebra de Nakayama. Definição 2.2.102. Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita. Dizemos que 𝐴 é uma álgebra de Nakayama se todo 𝐴-módulo à esquerda projetivo e indecomponível é uniserial e todo 𝐴-módulo à esquerda injetivo e indecomponível é uniserial.

O teorema a seguir será fundamental para garantir que os módulos indecompo- níveis da álgebra de Taft que serão calculados no Lema 3.1.9 (ii) são os únicos módulos indecomponíveis nesta álgebra.

Teorema 2.2.103. ([Teorema 3.5, ASSEM; SIMSON; SKOWROŃSKI, 2006 ]) Seja 𝐴 uma k-álgebra de Nakayama. Então, todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 finitamente gerado e indecomponível é isomorfo a um 𝐴-módulo à esquerda da forma 𝑃/𝑟𝑎𝑑𝑛_{(𝑃 ), para algum}

𝑃 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado, projetivo e indecomponível com 𝑛 ∈ 𝐼1,ℓℓ(𝑃 ).