MANOVA não Paramétrica a um Fator

A revisão da bibliografia tem dado a conhecer o facto de a estatística não paramétrica ser utilizada em grande escala no caso univariado, mas não no caso multivariado (Pontes, 2005). Apesar de terem ocorrido tentativas isoladas, de alguns investigadores, nos anos setenta do século passado, só nos anos noventa se verificou algum desenvolvimento da investigação com testes paramétricos e não paramétricos no caso univariado, no que concerne à comparação e performance dos métodos, no entanto, no caso multivariado, pouco ou nada se investigou (Ittenbach, et al., 1993; Finch, 2005). No final dos anos noventa os testes não paramétricos multivariados começam a ser mais utilizados, sobretudo na investigação agrária, economia, psicologia e sociologia. Pontes e Corrente (2001) e Pontes (2005) referem a importância do uso de técnicas não

83

paramétricas pelo facto de estas não serem tão restritivas e não serem sensíveis à violação dos pressupostos da normalidade multivariada, simetria e homogeneidade das matrizes de variância-covariância.

Os autores consideram que a utilização destes métodos não exige que a distribuição da variável seja conhecida, uma vez que se baseiam na ordem das observações e não no seu valor. A base dos testes não paramétricos está na ordenação (ranks) dos dados e não

no seu valor intrínseco, e na aleatorização, onde se consideram todas as possíveis permutações (rearranjos) dos dados” (Pontes e Corrente, 2001, p. 180).

Pontes (2005) considera que a perda na troca do verdadeiro valor da observação pela sua ordem faz aumentar a eficiência e a compreensão dos dados. No caso de amostras de pequena dimensão, o teste de Kruskal-Wallis é mais potente do que a ANOVA e o teste U de Man-Whitney mais potente do que o t de Student para amostras independentes, mas, se estamos perante violação dos pressupostos dos testes paramétricos, e as amostras são de grande dimensão, a ANOVA e o t de Student apresentam valores elevados de potência (Marôco, 2010a).

As simulações descritas por Zimmerman (2000, 2005) demonstram que a probabilidade de erro de tipo I de testes paramétricos, como o t de Student para amostras emparelhadas, é enviesada por variâncias heterogéneas especialmente quando as dimensões das amostras são muito desiguais.

Ao longo dos anos, diversos investigadores têm sugerido que a probabilidade de erro de tipo I em alguns testes não paramétricos como é o caso do U de Mann-Whitney e do teste de Kruskal-Wallis não é influenciada pela heterogeneidade de variâncias. Porém, mais recentemente tem-se verificado que estes testes quando aplicados em amostras de menor dimensão podem apresentar uma probabilidade de erro de tipo I mais elevada, sem igualar, no entanto, a obtida no caso paramétrico. Os testes não paramétricos são normalmente associados à hipótese de igualdade de distribuições nos grupos de tratamento, em contraste com a hipótese de valores médios iguais, que é uma característica dos testes paramétricos. Ao referirem a utilização dos testes não paramétricos ou paramétricos, a maioria dos autores coloca em primeiro plano as potências dos testes, considerando que esta é superior nos testes paramétricos e por isso a probabilidade de rejeitar corretamente H0 é maior nestes testes do que nos não

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paramétricos (Marôco, 2010a). Para o autor, os testes não paramétricos só devem ser usados quando não existe uma alternativa paramétrica, ou seja, quando não é possível homogeneizar a variância, ou normalizar a variável dependente, ou ainda quando a variável dependente é qualitativa.

Os métodos não paramétricos para delineamentos multivariados são aplicados às ordens das observações e, a partir das médias das ordens e das matrizes de covariâncias das ordens, é possível obter uma extensão multivariada da estatística de Kruskal-Wallis. Tal como nos testes paramétricos, para controlo do erro de tipo I deve começar-se por fazer uma análise multivariada e se esta mostrar efeitos significativos passa-se então à análise univariada. Isto porque numa fase inicial, quando se está a testar a igualdade de g distribuições em pvariáveis dependentes, pode-se ser facilmente induzido a fazer p testes de Kruskal-Wallis, mas este facto poderá levar ao aumento do erro de tipo I.

A MANOVA não paramétrica a um fator apresenta-se como uma alternativa à correspondente metodologia paramétrica. Como já foi referido, esta técnica é considerada como uma extensão multivariada do teste de Kruskal-Wallis univariado e apenas requer que as variáveis dependentes tenham distribuição de probabilidade contínua F

 

X₁ , , F

 

X_g (Katz & McSweeney, 1980). A técnica é um procedimento de ordens em que os scores para cada uma das pvariáveis são classificados separadamente de 1 para n, com a ordem 1 para a menor observação e a ordem de n para a maior observação. Se determinadas observações estão empatadas, a cada uma destas observações é atribuída a média das ordens das observações. Após este procedimento existem p conjuntos de ordens, um conjunto para cada variável sob estudo.

Para testarmos a igualdade das distribuições em todas as variáveis e grupos usamos a MANOVA não paramétrica e as hipóteses: H0:F

 

X1 F

 

X2  F

 

Xg

vs. ₁: , :

 

_l

 

,

l

H l l F F 



 X  X com l l, 



1, ,g



onde F X

 

_l é a função de distribuição multivariada de X_l



X_l1,X_l2, ,X_lp



, com l1, , .g No caso do traço de Pillai aplicado às ordens, a estatística de teste é 2 1 2_{ }

1 ~ _{p g}      V Σ V_V (Marôco, 2010;

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dos desvios dos primeiros



g1



grupos de médias das ordens dos respetivos valores esperados sob a validade de H0 e pode escrever-se como:

   1

_

_

 1

_

_

1 1 1 / 2, , g 1 / 2 , j j j g R n R  n      _     _ V j1, , ;p onde _g1_p1



1, 2, , p



     V V V V

e Σ é a matriz de variância-covariância do vetor aleatório _v V. Os desvios relativos ao grupo g são inferidos dos anteriores



g1



grupos. Para

1 g l l n n  



, o vetor aleatórioV

é aproximadamente normal multivariado com matriz de covariâncias Σ de _V, característica máxima p g



1 .



Sob H0, E

 

V 0 tornando ,

2

 uma variável aleatória qui-quadrado central com p g



1



graus de liberdade. Valores elevados de 2 indicam que existem diferenças entre Ve o valor esperado para V sob a validade de

H0. Assim a hipótese nula é rejeitada, ao nível de significância  sempre que

 

2 2

1- ; p g-1

  (Katz & McSweeney, 1980, p. 284).

A metodologia utilizada por Katz e McSweeney (1980) é a estatística 2 que pode ser apresentada como 2



₁



_,

R

n TP

   onde n é a dimensão da amostra global e

R

TP é o traço de Pillai calculado a partir de ordens das observações (Marôco, 2010a; Zwick, 1985). Rejeita-se H ao nível de significância de ₀  se 2 ₁2_{;p g 1} ou se p-

value do teste for menor ou igual a 



pvalue



.

A outra metodologia multivariada é calculada a partir do Lambda de Wilks aplicado às ordens e é obtido por LW_R  W_R / T_R , em que as matrizes W_R e T_R são as matrizes derivadas de W e T sendo as observações substituídas pelas respetivas ordens. De acordo com a metodologia de “transformação de ordens”, o teste paramétrico é aplicado às ordens e a distribuição da estatística de teste LW_R é aproximada à do Lambda de Wilks paramétrico. These testing procedure are known to

perform better than their classical counterparts especially when the data are from a heavy-tailed distribution (Nath & Pavur, 1985, p. 298).

Quando n  a distribuição de _n_l  1



pg



/ 2 ln_ LW_R é aproximada à distribuição qui-quadrado com p g



1



graus de liberdade, em que ln LW é o logaritmo natural do lambda de Wilks. Os autores consideraram que X é substituído _li

pela ordem correspondente. Desta forma cada X_li m é substituído pela ordem correspondente, R_li m , sendo R_li m a ordem referente ao i-ésimo sujeito, no l-ésimo grupo, em que l1, , ,g m1, ,p e i1, ,n_l e 1R_li m n. A média das ordens por

86

grupo na i-ésima variável pode escrever-se como  ,

li m R l1, ,g e i1, ,nl e  

_

_

1 1 1 / 2 l li n g m l i R n n    



. O vetor da média das ordens V_j nas j1, ,p variáveis dependentes é definido em termos de desvio do primeiro grupo de médias das ordens e respetivos valores esperados e pode escrever-se como:  





 

1 1 / nl , m m j  n



_i Rli V com 1, , j p e i1, , ;nl onde





1 2 , , , p l  l l l

V V V V , definindo-se a matriz de variância- covariância do vetor aleatório

V

como V

 

v_ij , ,i j1, 2, , .p

A estatística 2 pode ser calculada através do lambda

 

_R de Wilks aplicado às ordens das observações e escreve-se como 2    



n 1



pg



/ 2 ln



LW_R onde n é a dimensão da amostra global (Nath & Pavur, 1985; Todorov & Filzmoser, 2009, 2010; Van Aelst & Willems, 2011). Rejeita-se H ao nível de significância ₀  se

 

2 2

1 ;p g 1

 _{ } ou se pvalue .

3.3 Referências Bibliográficas

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No documento A medida e as escalas de avaliação da saúde das populações neonatais e pediátricas : estudo de simulação de Monte Carlo com variáveis ordinais (páginas 103-111)