O Geoplano mais comum é feito com uma base de madeira, quadrada, onde se dispõem pregos, dispostos de forma a constituírem uma malha. Faz-se acompanhar de um conjunto e elásticos coloridos que desenham as figuras pretendidas e de papel ponteado, onde
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os alunos podem desenhar os trabalhos realizados. É um material manipulativo, apropriado para trabalhar diversos conceitos.
Ao ensino da geometria, estão associados materiais manipuláveis, onde os alunos podem experienciar e concretizar os diversos conceitos geométricos, para que numa fase posterior, possam tirar conclusões, no sentido de uma melhor compreensão dos conceitos. De acordo com o Programa do Ensino da Matemática (ME,2007) “O estudo da geometria deve ter como base tarefas que proporcionem oportunidades para observar, analisar, relacionar e construir figuras geométricas e de operar com elas.” (p.36). Acrescentando, ainda, a importância do recurso a instrumentos de medida e desenho, bem como materiais manipuláveis. De entre os materiais manipuláveis selecionados é referenciado o geoplano. No decorrer das indicações metodológicas, são dadas indicações da pertinência deste tipo de materiais “Todos estes instrumentos e materiais são um apoio importante para a aprendizagem em Geometria, em particular na exploração, análise e resolução de problemas de natureza geométrica...”.
Segundo os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), reconhecer que os objetos possuem atributos mensuráveis constitui o primeiro passo para o estudo da medida. À medida que os alunos, avançam na escola o conjunto dos atributos mensuráveis deverá ampliar-se, assim como o aprofundamento das relações entre os diversos atributos. De acordo com Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), existem diversas investigações que revelam que alguns alunos, já no 2º e 3ºciclos, não estão convictos da conservação do comprimento, da área..., e outros esquecem a unidade usada para os medir, o que leva à necessidade de um maior reforço das competências relacionadas com a medida. Ainda, segundo a mesma fonte, no que diz respeito ao conceito de perímetro e área, são mencionados os materiais manipuláveis, entre eles o geoplano, para os trabalhar, de modo a que os alunos possam realizar tarefas que envolvam decomposição de figuras e sucessivos rearranjos, relacionando estas duas grandezas.
O geoplano é um material manipulável, ao qual, vários documentos, acima citados, fazem referência, aquando da sugestão de materiais manipulativos, usados no ensino da geometria. Os conceitos de áreas e perímetros, que os alunos nem sempre distinguem facilmente, encontram no geoplano um excelente material para a sua introdução, ampliação e aprofundamento do seu conhecimento.
23 De acordo com Serrazina e Matos (1988):
“Muitas vezes o perímetro e a área são introduzidos através de fórmulas. Mais tarde é pedido aos alunos que determinem o “comprimento à volta”, ou o “espaço ocupado”, e muitos não são capazes de reconhecer aquelas ideias (...) Os alunos devem passar por muitas experiências concretas construídas por eles próprios, até chegarem à compreensão da utilização das fórmulas.” (p.114)
A introdução de jogos educacionais nas escolas veio ajudar os professores no processo de motivação dos alunos e, simultaneamente, torná-los os principais agentes na construção do seu conhecimento. O jogo do geoplano insere-se num conjunto que visa proporcionar, aos alunos, maior interação e integração, estimulando a compreensão de certos conceitos, mais fácil e rapidamente concretizáveis nesta ferramenta. De acordo com Moraes et al. (2008), o jogo do geoplano enriquece a formação geral do aluno, auxiliando-o a ampliar a sua linguagem a adquirir estratégias de resolução de problemas e de planeamento de ações, a desenvolver a sua capacidade de realizar estimativa e cálculos mentais, a iniciar-se nos métodos de investigação científica, a estimular a sua concentração, raciocínio, perseverança e criatividade, a promover a troca de ideias através de trabalhos de grupo, a estimular a compreensão de regras, perceção espacial, discriminação visual e fixação de conceitos. Este jogo foi introduzido pelo matemático Italiano Caleb Gattegno em 1961, como sendo um material manipulativo confinado à construção de conceitos de geometria plana, bem como o ensino de frações..., As atividades trabalhadas podem proporcionar, segundo Moraes et al. (2008) o trabalho com a lateralidade, a identificação e reprodução de figuras geométricas, a identificação e diferenciação de unidades de medida, a compreensão das ideias de semelhança e congruência, a identificação e comparação de propriedades de figuras, a produção de figuras semelhantes a outras dadas, a medição e comparação de áreas e perímetros para a compreensão das diferenças entre tais conceitos, o trabalho como uma forma para o cálculo da área de um polígono e o desenvolvimento do conceito de ângulo, entre outros.
Segundo Leivas (2012) a palavra geoplano vem do inglês “geoboards” ou do francês “geoplans” onde “geo” vem de geometria e plano, tábua ou tabuleiro ou superfície plana dando origem à palavra. Existem diversos tipos de geoplano. De acordo com Serrazina e Matos (1988), chama-se “geoplano 3x3” àquele onde a malha é quadrada e tem três pregos de cada lado (9 pregos no total) (ver fig. 1); do mesmo modo “geoplano de 5x5” tem uma malha quadrada de cinco pregos em cada lado; o “geoplano de 10x10” possui uma malha quadrada de dez pregos de lado; O “geoplano isométrico” ou triangular tem uma malha de pregos
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hexagonal, (ver fig.2); Os “geoplanos circulares”, que podem ser de dois tipos, constituídos por vinte e quatro pregos igualmente espaçados dispostos sobre uma circunferência (ver fig.3) e outro que além dos pregos do geoplano anterior possui, ainda, doze pregos dispostos sobre uma outra circunferência concêntrica com a anterior com metade do raio (ver fig.4).
Figura 1 - "Geoplano 5 x 5"
Figura 2 - "Geoplano Isoperimétrico"
Figura 3 - "Geoplano Circular"
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O modelo do geoplano, simulado no computador, tem como características tornar o geoplano mais flexível e rápido e, consequentemente, mais variado e diria até mais criativo, aumentando o potencial do geoplano enquanto objeto físico. Papert et al. (1980), usou o termo de “objeto-de-pensar-com”, referindo-se a objetos que usados facilitam a construção de muitos conceitos matemáticos, sendo o geoplano um objeto que permite uma variedade de situações que procuram desenvolver uma linguagem propícia ao cálculo de áreas e perímetros, podemos também identificá-lo como um “objeto-de-pensar-com”. No computador, o seu potencial é aumentado, tendo em conta a variedade aliada à velocidade de processamento de informação, no caso do geoplano, fundamental, no que diz respeito à descoberta, mas essencialmente, à exercitação e prática de determinados conteúdos. Não é de todo aceitável que o geoplano computacional substitua o geoplano, enquanto objeto físico, onde são explorados outro tipo de exercícios que requerem uma experimentação concreta e permitem, mais tarde, um nível de abstração maior, exigido quando se trabalha com o geoplano computacional. O computador pode, no entanto, enriquecer as possibilidades de atividades oferecidas pelo geoplano. Considero, assim, que o geoplano computacional pode ser associado, tal como o geoplano, enquanto objeto físico, à expressão “objeto-de-pensar-
com”, quando explorado corretamente, bem como orientado pelo professor, que deve
minimizar, em ambos, as intervenções, remetendo-se ao papel de um mero orientador das descobertas dos alunos.
A utilização das tecnologias é, hoje, uma constante no nosso dia-a-dia, a que as crianças têm acesso, cada vez mais precocemente, e para a qual têm revelado grande aptidão e rapidez de aprendizagem, estando, assim, familiarizadas e predispostas à sua utilização, nos mais diversos contextos. No contexto de ensino aprendizagem, as novas tecnologias, quando são alvo de uma utilização adequada e se rentabiliza todo o seu potencial, tornam-se uma mais-valia, na aprendizagem e/ou sistematização dos mais diversos conteúdos na área da Matemática. No que diz respeito à geometria, as tecnologias, nomeadamente jogos computacionais, criam contextos dinâmicos e possibilitadores de um maior número de experiências que permitem generalizações e sistematizações dos diversos conceitos. Segundo Breda et al. (2011), ao trabalhar com programas de geometria dinâmica, a aprendizagem dos alunos é auxiliada pela resposta que a tecnologia pode dar. Podendo explorar-se relações, formular e testar conjeturas. O trabalho desenvolvido com o geoplano computacional vem enriquecer a exploração do geoplano enquanto material manipulável, não o substituindo, de modo algum, mas permitindo um alargar de experiências. Os alunos podem construir, no geoplano, um número de figuras geométricas que, posteriormente, poderão num programa de
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computador, com maior rapidez, obter um número mais elevado de figuras, num espaço de tempo menor, permitindo-lhes generalizar o objeto de estudo, a uma série de outras situações análogas. Digamos que o geoplano computacional surge no prolongamento da utilização do geoplano material, conduzindo o aluno a outro tipo de experiências, que têm por base o trabalho desenvolvido no material manipulável.
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Capítulo 3
Metodologia
O objetivo do estudo realizado consiste em analisar as tarefas empreendidas pelos alunos, no geoplano material e no geoplano computacional, de modo a poder compreender todo o processo inerente ao cumprimento das tarefas, permitindo-me concluir quais as potencialidades e limitações da sua utilização, bem como as estratégias usadas e as dificuldades com que se deparam os alunos, aquando da resolução das mesmas. Assim, para concretizar este propósito, pretendo dar resposta às seguintes questões de estudo: (i) Que potencialidades e limites evidencia o geoplano na resolução de tarefas, envolvendo os conceitos de perímetro e de área de figuras planas? (ii) Que estratégias e dificuldades os alunos apresentam para a resolução de tarefas, com o geoplano, envolvendo as noções de perímetro e área de figuras planas? Neste capítulo, irei apresentar a metodologia adotada que norteou a realização desta investigação. Numa primeira fase, serão descritas, bem como justificadas, as opções metodológicas gerais do estudo, seguindo-se os instrumentos adotados na recolha de dados e os procedimentos usados na sua análise.