A modelização de disjuntores (ou do arco elétrico) é essencial para a análise de operações de manobra em circuitos. Os objetivos principais do modelo de um disjuntor são [37]:
• Do ponto de vista do sistema, determinar todas as tensões e correntes que são produzidas dentro do próprio sistema, como resultado da ação do disjuntor;
• Do ponto de vista do disjuntor, avaliar se este será bem-sucedido quando for chamado a atuar num determinado sistema, sob um conjunto específico de características.
Apesar de existirem diversos modelos propostos, desde modelos clássicos até modelos basea- dos em algoritmos genéticos (ver [38–44]), nenhum deles considera todo o conjunto de fenómenos físicos que caracterizam um disjuntor.
Os modelos existentes podem ser divididos nas seguintes categorias [25]:
• Modelos Físicos: consideram todos os fenómenos físicos em detalhe, ou seja, o modelo é determinado a partir das leis de conservação da energia, propriedades dos meios gasosos e do plasma, e mecanismos de transferência de energia;
• Modelos Caixa-Negra: estes consideram o arco como um dipolo, o qual é caracterizado por uma função de transferência;
• Modelos de Fórmulas e Diagramas: são uma combinação dos dois modelos anteriores, complementados com um conjunto de dados obtidos empiricamente.
Destes, a representação mais adequada em aplicações computacionais de simulação de tran- sitórios é a do Modelo Caixa-Negra [45,46]. Este modelo procura descrever a interação entre o disjuntor e o circuito em que este se insere, durante o processo de interrupção. Os modelos Caixa- Negra são expressos matematicamente através de uma (ou mais) equações diferenciais. Estas incluem uma resistência (ou condutância) variável, em função de parâmetros mensuráveis como a corrente do arco, tensão do arco e outras propriedades variáveis no tempo.
Na sua forma genérica, a condutância do arco de um disjuntor isolado a gás é função da potência fornecida ao canal de plasma, da potência transferida do canal de plasma através de arrefecimento e radiação, e do tempo [30]:
g= F(Pentra, Psai,t) = iarco uarco = 1 R [Ω −1] (3.1) com
g= condutância instantânea do arco Pentra= potência fornecida ao canal de plasma
Psai= potência transferida do canal de plasma
t= tempo
iarco= corrente instantânea do arco
uarco= tensão instantânea do arco
R= resistência instantânea do arco
A condutância instantânea do arco g varia quando Pentrae Psainão se encontram em equilíbrio.
A energia acumulada no canal de plasma é dada por:
Q=
Z t 0
(Pentra− Psai)dt (3.2)
A condutância instantânea do arco, é:
g= F(Q) = F Z t 0 (Pentra− Psai)dt (3.3)
Como estamos interessados na variação da condutância, é necessário derivar a expressão3.3, ficando dg dt = dF(Q) dQ dQ dt (3.4)
Dividindo pela condutância instantânea:
1 g dg dt = 1 g dF(Q) dQ dQ dt (3.5)
Derivando a expressão3.2, e o seu resultado substituído com a expressão3.3, na expressão3.5, é possível obter-se a equação geral do arco:
d[ln(g)] dt =
F0Q)
F(Q)(Pentra− Psai) (3.6) Para resolver esta equação, têm de ser considerados alguns pressupostos. É pelos diferentes pressupostos assumidos que surge a diferenciação entre os modelos Caixa-Negra existentes.
Como supracitado, existem vários modelos referenciados na literatura, que possuem um obje- tivo comum - descrever o comportamento do arco - distinguindo-se nas diferentes interpretações físicas que realizam dos parâmetros. Na sua maioria, derivam dos modelos clássicos de Cassie [47] e Mayr [48] ou são uma combinação destes [49].
Os modelos de Cassie e de Mayr, nas suas formas diferenciais, são dados pelas seguintes expressões [50]:
• Modelo de Cassie: 1 gc dgc dt = 1 τc ug U0gc 2 − 1 ! = 1 τc i U0gc 2 − 1 ! (3.7) • Modelo de Mayr: 1 gm dgm dt = 1 τm u2g2 P0gm − 1 = 1 τm i2 P0gm − 1 (3.8) onde:
u= tensão instantânea do arco i= corrente instantânea do arco
gc= condutância instantânea do arco no modelo de Cassie
gm= condutância instantânea do arco no modelo de Mayr
τc= constante de tempo do arco no modelo de Cassie
τm= constante de tempo do arco no modelo de Mayr
U0= tensão constante do arco
P0= perdas em potência (regime estacionário)
O modelo de Cassie assume que o canal do arco possui uma temperatura, densidade de cor- rente e intensidade do campo elétrico constantes. As mudanças na condutância do arco são o resultado de alterações na secção do arco e a dissipação da energia é realizada por convecção [26]. Este modelo é útil, principalmente, para o estudo do comportamento da condutância do arco no intervalo de tempo associado às correntes mais elevadas, quando a temperatura do plasma é igual ou superior a 8000K [30].
O modelo de Mayr assume que existem variações na temperatura do arco, e que o tamanho e perfil da coluna do arco são constantes. A condução térmica é o mecanismo primário de dissipação de energia [26]. Este modelo descreve adequadamente o comportamento do arco nos instantes próximos da corrente-zero [30].
Com a utilização combinada dos dois modelos, é possível obter-se uma representação mais realista do arco elétrico. Isto justifica-se pelo facto de, para correntes elevadas, toda a queda de tensão ocorrer na equação de Cassie, mas, antes da anulação da corrente, a contribuição dada pela equação de Mayr aumentar, enquanto que a de Cassie diminui para zero. A combinação dos dois modelos é obtida pela soma da condutância instantânea de Cassie com a de Mayr:
1 g= 1 gc + 1 gm (3.9)
Ambos os modelos proporcionam uma descrição qualitativa do comportamento do arco, de- vendo, no entanto, ser utilizados com prudência quando o objetivo é a realização de uma análise quantitativa.
Estas equações foram sendo alvo de diversas modificações, as quais introduziram mais parâ- metros ou, por outro lado, definiram as equações de uma forma mais geral, tornando os modelos mais adaptativos [37,49]. Apesar disso, todos os modelos mantêm a ideia base de descrever o comportamento do arco utilizando parâmetros τ e P, com diferentes interpretações físicas.
A representação das equações do arco em programas de transitórios foi, até ao momento, definida como sendo realizável através de uma resistência variável. No entanto, esta não é a única. Existem representações alternativas válidas, no entanto, estas apresentam algumas limitações [25]: • Representação através de uma fonte de tensão: este modelo encontra-se limitado a casos em que o disjuntor se encontra entre um nó do sistema e a terra, contudo, poderá ser utilizado caso exista a opção de se introduzir uma fonte de tensão sem ligação à terra;
• Representação através de uma fonte de corrente: este modelo pode tornar-se numerica- mente instável caso seja iniciado num instante de corrente muito elevada;
Conclui-se, desta forma, que a representação através de uma resistência variável é a mais eficaz, pois permite a implementação direta das equações do arco numa estrutura de controlo associada a essa resistência.