Modelo ARX para elastomassas com degrau e com ruído

A presença do ruído é um fator importante neste processo. Devido a sua característica aleatória, em cada simulação são gerados valores diferentes para parâmetros e índices estatísticos. Perante essa situação, foram realizadas 10 simulações para cada temperatura de estudo com o objetivo de se obter os valores médios destes dados.

De forma similar ao observado para o modelo ARX sem ruído, um dos métodos de se verificar a eficiência da estimação dos parâmetros foi comparando o valor do erro médio percentual absoluto para as diferentes topologias e temperaturas. A topologia ponte dupla apresentou uma oscilação do erro médio percentual absoluto variando de 0,00433% a 0,34403%, enquanto que na topologia dobradiça essa variação ficou entre 0,00260% a 0,44425%. Novamente, os valores obtidos para o erro médio percentual absoluto foi considerado satisfatório por apresentarem valores próximos de zero. Os valores para o erro médio percentual para ambas as topologias em estudo está apresentada na tabela 4.5.

Tabela 4.5: Erro médio percentual absoluto da estimação dos parâmetros para ponte dupla e dobradiça, ambas com ruído.

273k 293k 313k 333k 353k 373k Média Ponte Dupla 0,00433 0,13827 0,25936 0,24508 0,34403 0,22541 0,2027

Dobradiça 0,00260 0,13415 0,21832 0,31351 0,38959 0,44425 0,2504

O comparativo entre o modelo real e a resposta do modelo estimado foi realizado para todas as temperaturas de estudo topologias. A figura 4.5 representa uma das temperaturas de estudo, onde se observa a presença apenas do regime de operação transitório. A força aplicada a partir do instante zero, tendo a posição inicial da elastomassa o ponto zero e um sinal de entrada na forma degrau contaminado com ruído gera o movimento oscilatório do deslocamento. Com o decorrer do tempo, o movimento oscilatório tende a diminuir a amplitude, mas nunca chegando ao regime de operação permanente devido à presença do ruído.

Figura 4.5: Comparativo entre o modelo real e a resposta estimada pelo modelo ARX na temperatura de 303K para (a) ponte dupla com ruído e (b) dobradiça com ruído.

Na figura 4.5 é possível observar a sobreposição da dinâmica do modelo estimado sobre a resposta real, ou seja, o modelo reproduz perfeitamente a dinâmica real em todo o processo transitório, tanto para as estruturas ponte dupla quanto para as dobradiças.

A avaliação quantitativa foi feita através do erro percentual entre a dinâmica experimental da plataforma de testes em relação ao modelo estimado. Verificou-se no regime transitório das elastomassas ponte dupla um índice de erro máximo crescente com o aumento da temperatura, variando de 0,1% (273K) até 8,1% (373K) nos instantes iniciais das simulações. Para o regime transitório das elastomassas com dobradiça, o erro máximo também apresentou comportamento crescente, variando de 0,12% (273K) até 6,3% (373K) nos instantes iniciais. Após estes instantes, o erro diminui consideravelmente, permanecendo oscilando próximo de 0% para ambas as estruturas.

De forma análoga ao realizado para o degrau sem ruído, os parâmetros foram estimados pelas equações 4.1 a 4.5. Os valores médios dos parâmetros estimados (além dos máximos e mínimos) para as diferentes temperaturas nas elastomassas ponte dupla e dobradiça, ambas com ruído, encontram-se nas tabelas 4.6 e 4.7, respectivamente. As variações observadas nos parâmetros se devem às variações de temperatura e a consequente alteração no módulo de Young.

Tabela 4.6: Parâmetros estimados do modelo ARX nas diferentes temperaturas de estudo para elastomassas ponte dupla com ruído.

T(k) 273 293 313 333 353 373 ̂ _{mínimo -0,674925 -0,673507 -0,674129 -0,673001 -0,670801 -0,668486} ̂ _médio -0,674938 -0,673524 -0,674152 -0,673032 -0,670608 -0,668509 ̂ _{máximo -0,674951 -0,673541 -0,674175 -0,673063 -0,670615 -0,668532} ̂ _mínimo 0,95965 0,95738 0,955650 0,952708 0,949342 0,947208 ̂ _médio 0,95971 0,95749 0,955655 0,952714 0,949356 0,947214 ̂ _máximo 0,95977 0,95760 0,955660 0,952732 0,949371 0,947234 ̂ _mínimo 0,220402 0,247671 0,275943 0,303771 0,324368 0,35497 ̂ _médio 0,220413 0,247688 0,275952 0,303779 0,324379 0,35497 ̂ _máximo 0,220427 0,247698 0,275963 0,303788 0,324386 0,35487 ̂ _mínimo 0,428802 0,437464 0,440275 0,457582 0,464551 0,46413 ̂ _médio 0,428813 0,437479 0,440283 0,457596 0,464562 0,46414 ̂ _máximo 0,428825 0,437483 0,440297 0,457602 0,464571 0,46414 ̂ _mínimo 0,215308 0,240830 0,269581 0,284345 0,317819 0,34991 ̂ _médio 0,215317 0,240854 0,269588 0,284361 0,317824 0,34991 ̂ _máximo 0,215327 0,240863 0,269594 0,284373 0,317841 0,34992

Tabela 4.7: Parâmetros estimados do modelo ARX nas diferentes temperaturas de estudo para elastomassas dobradiça com ruído.

T(k) 273 293 313 333 353 373 ̂ _{mínimo -0,854342 -0,854335 -0,852831 -0,850974 -0,853795 -0,848421} ̂ _médio -0,854351 -0,854341 -0,852837 -0,850981 -0,853801 -0,848443 ̂ _{máximo -0,854362 -0,854352 -0,852845 -0,850994 -0,853816 -0,848457} ̂ _mínimo 0,962642 0,961342 0,959203 0,957712 0,955274 0,95312 ̂ _médio 0,962657 0,961354 0,959223 0,957721 0,955283 0,954322 ̂ _máximo 0,962665 0,961367 0,959237 0,957736 0,955297 0,954338 ̂ _mínimo 0,23617 0,261801 0,286574 0,304902 0,328541 0,35884 ̂ _médio 0,23617 0,261811 0,286583 0,304922 0,328565 0,35904 ̂ _máximo 0,23618 0,261821 0,286598 0,304942 0,28587 0,35923 ̂ _mínimo 0,452517 0,450101 0,45416 0,46165 0,472152 0,454914 ̂ _médio 0,452534 0,450105 0,45417 0,46165 0,472163 0,454949 ̂ _máximo 0,452558 0,450109 0,45417 0,46165 0,472178 0,454978 ̂ _mínimo 0,229878 0,254565 0,274536 0,297532 0,308617 0,346554 ̂ _médio 0,229902 0,254588 0,274546 0,297573 0,308646 0,346578 ̂ _máximo 0,229918 0,254598 0,27569 0,297594 0,308664 0,346595 O comparativo dos erros entre os dados da plataforma de testes e o modelo estimado foi analisado para as diferentes temperaturas e topologias. A topologia ponte dupla apresentou erro máximo de 3,8% enquanto que as dobradiças 3,4%. Em virtude da baixa discrepância apresentada, o método pode ser considerado efetivo. A figura 4.6 mostra este erro para uma das temperaturas do estudo em ambas as topologias.

Figura 4.6: Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) de elastomassas na temperatura de 313K para (a) ponte dupla e (b) com dobradiça, ambas com ruído.

A análise do índice estatístico RMSE também foi considerada satisfatória. Os valores próximos de zero para o índice indicam pouca variação entre os parâmetros obtidos e os parâmetros estimados. O índice estatístico RMSE obtidos nas simulações das diferentes temperaturas foram organizados e suas médias estão representadas na tabela 4.8.

Tabela 4.8: Média do valor do índice RMSE para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS com ruído.

RMSE Ponte Dupla Dobradiça

Valor Mínimo 2,31236x10-4 2,58512x10-4

Valor Médio 2,31282x10-4 2,58556x10-4

Valor Máximo 2,31328x10-4 2,586x10-4

A validação cruzada foi realizada com a aplicação de um sinal sinusoidal com amplitude de N, obtendo as respostas das elastomassas. De forma análoga à observada nas estruturas sem ruído, foi observado que a resposta do modelo obtido para as topologias ponte dupla apresentou uma amplitude menor que o modelo real. Para as dobradiças, a análise foi semelhante, porém apresentando uma diferença maior entre a amplitude do modelo obtido e a amplitude do modelo real. A verificação destas respostas permitiu concluir que os valores preditos pelo modelo e os valores experimentais demonstram que a representação encontrada prediz de forma satisfatória a dinâmica do processo. O processo de validação cruzada foi realizado para todas as temperaturas em estudo, sendo considerado satisfatório em todas. A Figura 4.7 apresenta a aplicação deste processo para uma das temperaturas.

Figura 4.7: Resposta do modelo ARX obtido para a temperatura de 313K em (a) ponte dupla com ruído e (b) com dobradiça e ruído.

O método de mínimos quadrados (4.6) foi utilizado para obter um conjunto de equações lineares escritas na forma y=a1 + a2x que permitem realizar o cálculo dos

parâmetros para qualquer temperatura do intervalo de 273K a 373K das elastomassas ponte dupla com ruído (4.9) e elastomassas dobradiça com ruído (4.10).

[ ] [ ] (4.9) e [ ] [ ] (4.10)

onde representa a temperatura na qual deseja-se obter os parâmetros; a1 e a2 são

constantes que representam os coeficientes linear a angular, respectivamente.

De forma análoga ao modelo sem ruído, para comprovar a eficiência das equações (4.9) e (4.10), foram calculados os valores de θ para uma temperatura qualquer para ambas as estruturas e, a seguir, foram obtidos os valores dos θ para a mesma temperatura através da

plataforma de testes. A análise comparativa dos valores mostrou um erro relativo percentual inferior a 10-3, o que comprova a eficiência da técnica aplicada.

Como no modelo sem ruído, a variação dos parâmetros que foram obtidos para as diferentes temperaturas está associada ao módulo de Young. A variação da constante de elasticidade em função da variação da temperatura faz com que as elastomassas se tornem mais maleáveis, ocasionando na variação dos parâmetros.

Os resultados obtidos pelos testes de validação do modelo matemático identificado indicam sua capacidade de explicar a dinâmica linear contida nos dados, uma vez que não foram detectadas correlações acentuadas nos resíduos de identificação. O desempenho comportamental do modelo também foi satisfatório mesmo com a inserção de um ruído ao sinal degrau.

A média do tempo de estimação dos parâmetros das estruturas elastomassas ponte dupla e ponte dupla com dobradiça, sem e com ruído, foi analisada e organizada como apresentada pela tabela 4.9. Entretanto, é importante destacar que as funções de monitoramento de tempo no MATLAB levam em conta toda e qualquer ação adicional realizada pelo computador, ou seja, o período de tempo real despendido para a execução do programa poderia ser menor.

Tabela 4.9: Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARX para elastomassas ponte dupla e ponte dupla com dobradiça, com e sem com ruído.

Sinal de entrada Ponte Dupla Dobradiça

Degrau sem ruído 0,13s 0,14s

5 CONCLUSÕES

5.1 Considerações

Considerando o objetivo proposto neste estudo, foi possível obter um modelo matemático da dinâmica linear de MEMS baseados em deformação elástica e ação eletrostática exposta a perturbações térmicas. O modelo foi obtido a partir da teoria de Identificação de Sistemas com o uso de técnicas de modelagem matemática caixa cinza. Na verificação da eficiência da estimação dos parâmetros do modelo obtido, foi utilizado: o erro médio percentual absoluto; a sobreposição da dinâmica do modelo estimado sobre a resposta real; o comparativo dos erros entre os dados da plataforma de teste e o modelo estimado; e a análise do índice estatístico RMSE. Na análise da eficiência do modelo obtido, foi utilizada a validação cruzada.

O erro médio percentual absoluto entre o modelo real e o obtido foi considerado satisfatório, apresentando valores máximos de 0,0084% e 0,0044% para a estrutura ponte dupla e dobradiça, respectivamente, ambas sem a presença de ruído. Para as estruturas com ruído, o erro médio percentual absoluto apresentou oscilações de 0,00433% a 0,34403% para a ponte dupla e oscilações de 0,00260% a 0,44425 para a dobradiça. Pelo fato do erro médio percentual absoluto ser menor que 0,5% para ambas as estruturas, com ou sem a presença de ruído, foi possível afirmar que o modelo obtido reproduz o modelo real de forma satisfatória.

Na análise gráfica da dinâmica do modelo estimado sobre a resposta real foi observada a quase total sobreposição dos modelos, o que é um indicativo da boa reprodução do modelo real. A sobreposição foi verificada para ambas as estruturas, com ou sem ruído. A avaliação quantitativa foi feita através do erro percentual entre a dinâmica experimental da plataforma de testes em relação ao modelo estimado. O índice de erro máximo para cada simulação cresceu com o aumento da temperatura, variando de 0,06% até 1,3% para ponte dupla e de 0,12% a 1,20% para dobradiças, ambas sem ruído. Já para as estruturas com ruído, o erro máximo variou de 0,1% a 8,1% para a ponte dupla e de 0,12% a 6,3% para as dobradiças. As pequenas variações do erro máximo também foi um fator que permitiu verificar a eficiência do modelo obtido.

Os valores apresentados pelo índice estatístico RMSE permitiu concluir que houve pouca variação entre os parâmetros obtidos e os parâmetros estimados. Para as estruturas sem ruído, esses índices ficaram em torno de 1x10-4 enquanto que para as estruturas com

ruído ficou em torno de 2x10-4. Em razão da proximidade de zero destes valores, foi possível verificar quanto próximo os parâmetros obtidos estão dos parâmetros reais, e consequentemente a eficácia do método.

A validação cruzada comprovou a eficiência do modelo obtido pelo fato do mesmo ter respondido de forma conveniente para dados diferentes daqueles utilizados na estimação, predizendo de forma satisfatória a dinâmica do processo.

Um dado importante observado foi o efeito provocado pelo fator térmico. Para ambas as estruturas, observou-se um aumento significativo do erro relativo percentual entre a plataforma de testes e o modelo estimado com o aumento da temperatura. Isso se deve ao fato de que o módulo de Young diminui com o aumento da temperatura, o que permite explicar o comportamento estrutural das elastomassas. Estas apresentaram um aumento da amplitude inicial à medida que a temperatura foi aumentando, além do aumento da distância entre a posição inicial e a posição final da estrutura. A redução do módulo de Young tornou o material componente das estruturas mais maleáveis, sujeito a uma deformação maior, o que justifica o comportamento observado.