5.1
Modelo de Ising de spin 2 com diluic¸˜ao por s´ıtios
A maior diferenc¸a entre os modelos de Ising de spin 1/2 e o de spin 2 ´e que, no primeiro caso, as vari´aveis de spins assumem dois estados discretos, por exemplo ±1, enquanto que no segundo caso, tem-se um modelo de vari´aveis discretas em que as mesmas assumem cinco estados, a saber S = −2, −1, 0, 1, 2. Esse conjunto maior de estados que as vari´aveis de spins podem assumir implica, em geral, em diagramas de fases mais ricos do ponto de vista da quantidade de fases que o sistema f´ısico pode assumir (CRUZ-FILHO; GODOY; ARRUDA, 2013;
ERTAS¸; DEVIREN; KESKIN, 2012), dessa forma torna-se interessante descrever as propriedades termodinˆamicas desses modelos com S > 1/2 com o intuito de obter resultados pass´ıveis de aplicac¸˜ao a v´arios tipos de sistemas magn´eticos. O modelo de Ising de spin 2 ´e extremamente ´util para a descric¸˜ao de ligas Fe-Al devido ao fato de que os ´ıons de Fe+2, presentes em tal liga, terem spin S = 2 (KITTEL, 1996;KOEBLER et al., 2003).
A hamiltoniana que descreve o modelo de Ising de spin 2 ferromagn´etico, com campo magn´etico externo aplicado, ´e descrita da seguinte forma:
H = −X hi,ji JijSizS z j − µBH X i iSiz, (5.1)
em que Siz s˜ao componentes de spins, S = 2, na direc¸˜ao z, isotr´opicas, colineares, orientadas na direc¸˜ao z (da´ı o ´ındice z na vari´avel Si), localizadas num s´ıtio i de uma rede regular e o
somat´ario ´e feito sobre os vizinhos mais pr´oximos; Jij ≡ Jij, sendo que a vari´avel iassume
o valor 1 se o s´ıtio for ocupado ou 0 se o s´ıtio n˜ao for ocupado; µB ´e o magneton de Bohr
e H ´e campo magn´etico externo. A utilizac¸˜ao do modelo de Ising spin 2 com a presenc¸a do termo de campo cristalino na hamiltoniana, Equac¸˜ao (5.1) n˜ao ´e ´util porque, como j´a citado por Costabile et al. (2014) e Lara, Diosa e Lozano (2013), tal procedimento foi realizado no trabalho de Dias e Plascak (2011), por´em com resultados pif´ıos quando comparados com os obtidos por
modelos com S = 1/2. Dessa forma, a adoc¸˜ao de um modelo com campo cristalino apenas iria complicar a soluc¸˜ao do problema e n˜ao traria respostas satisfat´orias para a correta descric¸˜ao do diagrama de fases das ligas Fe-Al.
As vari´aveis i obedecem `a seguinte distribuic¸˜ao de probabilidades:
P (i) = pδ(i − 1) + qδ(i), (5.2)
em que p ´e a concentrac¸˜ao de s´ıtios ocupados por spins e q ´e a concentrac¸˜ao de s´ıtios vazios, de tal forma que p + q = 1. Dessa forma, dada uma grandeza f´ısica Q(Jij) que obedec¸a `a uma
distribuic¸˜ao de probabilidades como a da Equac¸˜ao (5.2), para obter seu valor m´edio, deve-se efetuar, al´em da m´edia t´ermica sobre um determinado intervalo de temperatura, tamb´em uma m´edia configuracional, da seguinte forma:
h Q(Jij) ic= Z c Q(Jij) Y ij P (Jij) dJij, (5.3)
em que P (Jij) representa a distribuic¸˜ao de probabilidades relacionada com a vari´avel Jij e
R
c
denota a intregac¸˜ao sobre todas as configurac¸˜oes poss´ıveis dos spins na rede.
Em geral, a interac¸˜ao de troca Jij pode variar de s´ıtio a s´ıtio. Neste trabalho, ser´a con-
siderado, a princ´ıcpio, um Jij = J que ´e constante a menos que (e isso ser´a visto quando
da aplicac¸˜ao do modelo `as ligas Fe-Al) se considere a dependˆencia da mesma com relac¸˜ao `a concentrac¸˜ao q de s´ıtios vazios na rede. O sinal de J tamb´em determina o tipo de sistema magn´etico que o modelo descreve, a saber:
• J > 0 na hamiltoniana (5.1), sistema ferromagn´etico.
• J < 0 na hamiltoniana (5.1), sistema antiferromagn´etico.
• J = 0, sistema de spins n˜ao interagentes.
´
E importante salientar que o campo magn´etico tamb´em pode variar de s´ıtio a s´ıtio, de forma que poderia ser escrito, na Equac¸˜ao (5.1), para o termo envolvendo o campo, µBPiHi· Si. No
caso de spins n˜ao interagentes, como anteriormente salientado, a presenc¸a do campo magn´etico ´e de fundamental importˆancia para o ordenamento dos mesmos (em baixas ou altas temperatu- ras). O sinal negativo adotado no segundo termo `a direita da Equac¸˜ao (5.1) indica que o sentido de orientac¸˜ao preferencial dos spins ´e o mesmo do campo aplicado, sendo esta a configurac¸˜ao que minimiza a energia do sistema (para spins interagentes ou n˜ao).
dada pela distribuic¸˜ao de Boltzmann (STANLEY, 1971;HUANG, 1987): P (Si) =
e−βH(Si)
Z , (5.4)
em que Z ´e func¸˜ao de partic¸˜ao do sistema, que ser´a descrita de forma sucinta mais adiante, β ≡ 1/kBT , em que kB ´e a constante de Boltzmann e T ´e a temperatura, e H ´e a hamil-
toniana do sistema. Uma das quest˜oes pertinentes a esse modelo ´e a seguinte: “Dada uma configurac¸˜ao para um spin localizado numa posic¸˜ao i, qual a probabilidade de outro spin loca- lizado na posic¸˜ao j assumir a mesma configurac¸˜ao?” Para responder a tal questionamento, ´e necess´ario descrever o sistema por meio de sua func¸˜ao de partic¸˜ao, o que nem sempre ´e poss´ıvel de se fazer de forma exata.
Desse modo, a busca pela descric¸˜ao das vari´aveis termodinˆamicas do sistema ao qual se aplica esse modelo se d´a da mesma forma que no caso de spin 1/2, ou seja, procura-se descrever a func¸˜ao de partic¸˜ao do sistema, por´em tal procedimento n˜ao ´e de f´acil execuc¸˜ao para sistemas que apresentam um n´umero maior que dois estados, muito embora, em baixas temperaturas, os estados favorecidos s˜ao aqueles em que S = ±2 e o modelo de spin 2 reduz-se ao modelo de Ising de spin 1/2 (COSTABILE et al., 2014).
A partir da hmailtoniana dada pela Eq. (5.1) pode-se escrever a func¸˜ao de partic¸˜ao do sistema e, dela, a energia livre de Helmholtz, como definido abaixo:
Z = X
Si
e−βH(Si), (5.5)
F = −kBT ln Z. (5.6)
O grande de problema para se chegar a uma soluc¸˜ao para as Eqs. (5.5) e (5.6) ´e a infini- dade de graus de liberdade que existem em uma rede regular de spins, o que torna a resoluc¸˜ao anal´ıtica do problema muito dif´ıcil. Encontrar a func¸˜ao de partic¸˜ao significa resolver o mo- delo de Ising exatamente e, at´e o momento, n˜ao h´a tal resoluc¸˜ao para o modelo de Ising em trˆes dimens˜oes. A alternativa ´e buscar por soluc¸˜oes aproximadas ou simulac¸˜ao computacional do modelo numa rede com um n´umero finito de spins. Essas soluc¸˜oes podem trazer luz sobre quest˜oes tais como “Qual a configurac¸˜ao t´ıpica dos spins da rede numa dada temperatura?”, ou “Se houver variac¸˜ao da temperatura, o sistema descrito passar´a por algum tipo de transic¸˜ao de fase? Se for o caso, qual ser´a o tipo de transic¸˜ao?”.
Uma das t´ecnicas desenvolvidas para a busca de soluc¸˜oes de equac¸˜oes relacionadas a mo- delos como o de Ising e ´util para a resposta de muitas das quest˜oes levantadas acima ´e a T´ecnica
do Operador Diferencial, utilizada para esse fim pela primeira vez por Honmura e Kaneyoshi (1979). Na pr´oxima sec¸˜ao, ser˜ao descritas as caracter´ısticas gerais dessa t´ecnica, que posteri- ormente ser´a utilizada para a obtenc¸˜ao de alguns dos diagramas de fase t´ıpicos do modelo de Ising de spin 2.