modelo dinâmico

O modelo dinâmico é composto das mesmas estruturas empregadas pelo modelo

cinemático, com exceção dos motions. Ele simula a fisiologia do movimento de pinça lateral a

partir da aplicação de torques externos que emulam os efeitos dos esforços exercidos pela

musculatura, tendões e ligamentos da mão humana nesse movimento. Nele, a ação da força

gravitacional será desconsiderada.

Há uma grande diversidade de trabalhos que estudam os esforços musculares e de

tendões empregados nas posturas de pinças. No entanto, todos os trabalhos encontrados pela

autora, até o momento, consistem em medições de forças e momentos em equilíbrio estático da

mão. A ausência de dados fez necessária a elaboração de uma metodologia de obtenção de

torques variantes no tempo necessários para causar o movimento de pinça lateral no modelo

quando aplicados aos seguimentos da mão.

O processo de obtenção do modelo dinâmico foi organizado dentro das etapas seguintes:

1 – Aquisição de imagens do movimento de pinça lateral;

2 – Obtenção das trajetórias angulares dos seguimentos descritas no tempo a partir do

processamento de imagens com o software Halcon;

3 – Obtenção dos torques em função de deslocamentos, velocidades e acelerações

angulares via Euler Lagrange;

4 – Cálculo de deslocamentos, velocidades e acelerações angulares a partir do

processamento de dados da etapa 2;

nas etapas 3 e 4;

6 – Inserção dos torques para composição do modelo dinâmico.

3.4.1 Aquisição de imagens do movimento de pinça lateral

A execução do movimento de pinça lateral foi filmada com o objetivo de gerar dados

que possibilitassem a medição das trajetórias angulares dos seguimentos da mão humana

durante a execução do movimento de pinça lateral. As imagens foram adquiridas nos planos

frontal e sagital. No primeiro, as imagens foram focadas no movimento do primeiro metacarpo

e falanges proximal e distal do polegar. O polegar se moveu de forma semelhante ao necessário

para a formação da pinça lateral. Enquanto isso os demais dígitos foram mantidos estáticos.

Analogamente, na filmagem em plano sagital o polegar foi conservado em posição estática e os

demais dígitos se deslocaram conforme o exigido para a composição da pinça. Foram feitas

marcações no metacarpo e falanges proximal, medial e distal do indicador. A Figura 29 e a

Figura 30 apresentam as marcações e planos utilizados para aquisição de imagens.

Figura 29 – Aquisição de imagem em plano frontal para medição das trajetórias

angulares descritas pelos seguimentos do polegar

Figura 30 – Aquisição de imagem em plano sagital para medição das trajetórias

angulares descritas pelos seguimentos do indicador

Fonte: Arquivo pessoal da autora.

3.4.2 Processamento de imagens para a obtenção das trajetórias no tempo das articulações

O software de processamento de imagens MVTec HALCON foi utilizado na obtenção

de dados de trajetória angular a partir das imagens do movimento de pinça obtidas na etapa

anterior. A separação da região de interesse (retas de marcação) dos demais elementos presentes

nas imagens sob análise foi feita através da limiarização simplificada (thresholding) em

conjunto com um critério de seleção por tamanho de área. A imagem é adquirida em RGB e é

primeiramente convertida em escala de cinza. A partir do histograma da imagem é escolhido

um tom de cinza como ponto limítrofe. Os pixels com tons de cinza menores que o tom limítrofe

serão incluídos na região de interesse e todos os pixels com tons de cinza maiores que o limítrofe

serão excluídos da análise. No entanto, detalhes indevidos à análise, como por exemplo sombras

das dobras dos tecidos moles, poderão ser separados juntamente com as regiões de interesse.

Para evitar que isso ocorra um critério de seleção por tamanho de área foi utilizado em conjunto

com o threshold na separação dos marcadores. Nesse critério, as regiões devem ter uma

quantidade de pixels dentro de um limite pré-estabelecido para sua seleção como região de

interesse. Dessa forma, as marcações devem ter espessura com dimensão superior às dimensões

do sombreamento das dobras da mão. Após selecionar as regiões, o software as aproxima por

retas e fornece o ângulo em graus entre as retas e a horizontal da imagem, conforme ilustra a

Figura 31-A (indicador) e a Figura 31-B (polegar). Para obtenção dos ângulos em questão, o

software calcula a média entre todos os pontos da região do traçado. Disso, se configura um

vetor 2D. A partir do produto escalar entre esse vetor e o vetor unitário na horizontal da imagem

se obtém a posição angular da marcação. Os dados de ângulos de cada região no tempo são

então exportados para utilização nas etapas seguintes.

Figura 31 – Interface do HALCON após a seleção das regiões de interesse e

fornecimento dos ângulos que as marcações fazem com a horizontal

(A) (B)

Fonte: Arquivo pessoal da autora.

3.4.3 Obtenção dos torques via Euler Lagrange

A partir da dinâmica de manipuladores é possível calcular os torques externos aplicados

na direção das coordenadas generalizadas com o intuito de mover os seguimentos do

manipulador com deslocamentos, velocidades e acelerações pré-estabelecidos. Uma das

ferramentas utilizadas na determinação dos torques é a formulação de Euler Lagrange,

apresentada na Equação 2 (OLIVEIRA, 2016).

𝑑

𝑑𝑡

[

^𝜕𝐿_𝜕𝜃̇

] −

_𝜕𝜃^𝜕𝐿

= 𝜏 (2)

Em que τ é o torque generalizado, θ é a posição angular e L, Equação 3, é o lagrangeano,

dado pela diferença entre as energias cinética (T) e potencial (V) do sistema, (OLIVEIRA,

2016).

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (3)

As falanges dos dígitos indicador a mínimo foram aproximadas por seguimentos

conectados entre si em cadeia aberta, conforme ilustra a Figura 32. Essa simplificação

possibilitou a determinação via Euler Lagrange dos torques externos necessários para vencer a

inércia dos seguimentos e movimentá-los até a formação da postura de pinça lateral em função

das posições, velocidades e acelerações angulares. Os índices 1, 2 e 3 indicam as variáveis no

sentido proximal para distal e, portanto, pertencentes às falanges proximal, medial e distal,

respectivamente. As posições angulares θ são os menores ângulos medidos em relação ao

massa a partir do início do seguimento, onde a articulação entre elementos está localizada. m e

I correspondem às inércias do elemento, massa e momento de inércia de massa,

respectivamente. Kt representa a rigidez de uma mola torcional que caracteriza os efeitos dos

ligamentos presentes nas articulações. O software Maple foi utilizado para a determinação dos

torques.

A partir do diagrama presente na Figura 32, as coordenadas cartesianas dos centros de

massa cm1, cm2 e cm3 são dadas pelas Equações 4 a 9.

𝑥1 = 𝑐𝑚1 cos (𝜃1(𝑡)) (4)

𝑦1 = 𝑐𝑚1 sin (𝜃1(𝑡)) (5)

𝑥2 = 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1(𝑡)) + 𝑐𝑚2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡)) (6)

𝑦2 = 𝑙1 𝑠𝑖𝑛(𝜃1(𝑡)) + 𝑐𝑚2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡)) (7)

𝑥3 = 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1(𝑡)) + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡)) + 𝑐𝑚3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡) + 𝜃3(𝑡))

(8)

𝑦3 = 𝑙1 𝑠𝑖𝑛(𝜃1(𝑡)) + 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡)) + 𝑐𝑚3 𝑠𝑖𝑛(𝜃1(𝑡) + 𝜃2(𝑡) + 𝜃3(𝑡))

(9)

Figura 32 – Representação das falanges dos dígitos indicador a mínimo na forma de

seguimentos conectados entre si em cadeia aberta

Fonte: Arquivo pessoal da autora.

As componentes cartesianas das velocidades foram calculadas como a derivada das

posições em função do tempo. As energias cinética e potenciais dos seguimentos são dadas

pelas Equações 10 a 15.

𝑇1 = (1/2) 𝑚1 (𝑥1̇

2

+ 𝑦1̇

2

) + (1/2) 𝐼1

(𝜃1

̇ (𝑡))

2

(10)

𝑉1 = 𝑚1 𝑔 𝑦1 + (1/2) 𝑘𝑡1 (

𝜃1

(𝑡))

2

(11)

𝑇2 = (1/2) 𝑚2 (𝑥2̇

2

+ 𝑦2̇

2

) + (1/2) 𝐼2 (

𝜃1

̇ (𝑡) +

𝜃2

̇ (𝑡))

2

(12)

𝑉2 = 𝑚2 𝑔 𝑦2 + (1/2) 𝑘𝑡2 (

𝜃2

(𝑡))

2

(13)

𝑇3 = (1/2) 𝑚3 (𝑥3̇

2

+ 𝑦3̇

2

) + (1/2) 𝐼3 (

𝜃1

̇ (𝑡) +

𝜃2

̇ (𝑡) +

𝜃3

̇ (𝑡))

2

(14)

𝑉3 = 𝑚3 𝑔 𝑦3 + (1/2) 𝑘𝑡3 (

𝜃3

(𝑡))

2

(15)

Os lagrangeanos são dados pela diferença entre as energias cinética e potencial de cada

seguimento e o lagrangeano total (Ltotal) é dado pela soma dos três lagrangeanos, como

apresentado nas Equações 16 a 19.

𝐿1 = 𝑇1 − 𝑉1 (16)

𝐿2 = 𝑇2 − 𝑉2 (17)

𝐿3 = 𝑇3 − 𝑉3 (18)

𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 (19)

Os torques aplicados à cada um dos três seguimentos são calculados a partir do

lagrangeano total, Equações 20 a 22.

𝜏1 =

_𝑑𝑡^𝑑

[

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃1̇

] −

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃1

(20)

𝜏2 =

_𝑑𝑡^𝑑

[

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃2̇

] −

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃2

(21)

𝜏3 =

_𝑑𝑡^𝑑

[

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃3̇

] −

^{𝜕𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}_𝜕𝜃3

(22)

3.4.4 Cálculo de deslocamentos, velocidades e acelerações angulares no tempo

A etapa 2 descrita na seção 4.4.2 forneceu os ângulos das falanges do indicador e

falanges e metacarpo do polegar medidos em graus com relação à horizontal. Esses dados foram

utilizados no cálculo das posições, velocidades e acelerações entre seguimentos, conforme as

referências do diagrama apresentado na Figura 32.

O software MATLAB da MathWorks

^®

foi utilizado para possibilitar as operações. No

indicador, o ângulo θ1 foi calculado a partir da subtração entre o ângulo da falange proximal

em relação à horizontal e do metacarpo 2, também em relação à horizontal. De forma similar,

os ângulos θ2 e θ3 foram calculados como a diferença entre os ângulos em relação à horizontal

da falange medial e proximal e distal e medial, respectivamente. Como forma de simplificação,

as trajetórias angulares dos dígitos médio, anelar e mínimo foram aproximadas às trajetórias do

indicador.

Os dados das trajetórias obtidas do processamento de imagens são proporcionais aos

comprimentos dos seguimentos dos dígitos da autora. Portanto, foi necessário adequar os dados

às proporções dos comprimentos dos seguimentos do modelo geométrico. Para isso, os dados

de trajetórias foram normalizados, utilizando como valores iniciais e finais das trajetórias os

dados medidos do modelo cinemático antes e após a aplicação dos motions, respectivamente.

Todas as posições angulares foram transformadas de graus para radianos.

Ruídos nos sinais devido à movimentação da câmera e variações nas intensidades de

iluminação durante as gravações foram atenuados através da aplicação de um filtro. Esse foi

projetado como filtro IIR Butterworth, passa-baixas, com frequência de amostragem igual

30Hz, frequência de corte igual a 3Hz, atenuação de 3dB na banda passante e atenuação de

-60dB a 15Hz. O filtro foi implementado através da função filtfilt(), cujos argumentos são os

vetores contendo as funções de transferência dos filtros, Equações 23 e 24, e o sinal que deverá

ser filtrado, posições angulares θ. As velocidades e acelerações angulares foram determinadas

pelas derivadas primeira e segunda das posições angulares em relação ao tempo.

𝑎 = [1.00000 − 0.50865] (23)

𝑏 = [0.24568 0.24568] (24)

3.4.5 Determinação dos torques variantes no tempo

As etapas 3 e 4, presentes nas seções 4.4.3 e 4.4.4, forneceram os torques em função das

posições, velocidades e acelerações angulares e as posições, velocidades e acelerações

angulares como funções do tempo. A partir da combinação dos dados adquiridos nessas etapas

foram determinados os torques como funções do tempo utilizando o MATLAB. Os dados de

entrada foram baseados no modelo geométrico utilizado. As massas de cada falange foram

calculadas como a soma da massa das falanges de tecidos moles e de corpo ósseo. Os

comprimentos dos seguimentos foram obtidos pela medição da distância entre pontos no

MotionView, sendo esses os pontos de origem das juntas e extremidade distal das falanges

distais. As posições relativas dos centros de massa forma medidas de forma semelhante:

distância entre os pontos de origem das juntas e dos centros de massa em posição distal às

juntas.

Na literatura disponível foram encontrados valores aproximados de módulos de

elasticidade do tecido dos ligamentos. No entanto, até o momento a autora não encontrou

nenhum material contendo a aproximação de constante elástica torcional que pudesse simular

os efeitos dos ligamentos nas articulações. Tendo em vista esses fatores, as constantes elásticas

foram consideradas nulas no cálculo dos torques em função do tempo.

O cálculo dos momentos de inércia foram feitos pela aproximação dos seguimentos por

cilindros, cujos diâmetros e comprimentos foram medidos a partir da distância entre pontos da

superfície dos corpos de tecidos moles. O sistema de coordenadas de inércia está localizado no

centro de massa dos corpos de tecidos moles tem direção do eixo z paralela à direção do eixo z

do sistema de coordenadas da articulação em posição proximal à esse corpo. Dessa forma, os

eixos z e x do sistema de coordenadas do CM do corpo estão transversais ao corpo e o eixo y

está longitudinal ao corpo. Os momentos de inércia de massa Ixx, Iyy e Izz podem ser

calculados conforme as Equações 25 e 26 (MERIAM, 2009). A Tabela 10 apresenta os dados

utilizados nos cálculos dos momentos de inércia e torques.

𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝑧𝑧 = (1/12) 𝑚 (3 (𝑑/2)

2

+ 𝑙

2

) + 𝑚 ((𝑙/2) − 𝑐𝑚)

2

(25)

Tabela 10 – Dados dos seguimentos utilizados no cálculo dos momentos de inércia de

massa e torques externos

Dígito Seguimento ^Comprimento

(l)[mm]

Posição CM (cm)

[mm]

Diâmetro (d)

[mm]

Massa (m)

[g]

Polegar

Metacarpo ^{35,3 17,7 18,5 68,8}

Falange proximal ^{21,2 6,4 12,1 24,1}

Falange distal ^{22,2 7,5 10,5 13,3}

Indicador

Metacarpo ^{54,5 25,4 5,7 11,8}

Falange proximal ^{29,3 9,7 12,8 42,5}

Falange medial ^{19,3 6,3 10,6 16,1}

Falange distal ^{17,7 5,2 6,2 8,5}

Médio

Metacarpo ^{57,7 28,5 7,3 11,7}

Falange proximal ^{27,8 9,5 12,6 33,8}

Falange medial ^{20,3 6,3 10,5 18,0}

Falange distal ^{22,5 8,0 9,1 11,1}

Anelar

Metacarpo ^{48,9 22,3 6,5 10,2}

Falange proximal ^{32,6 14,0 12,1 29,4}

Falange medial ^{14,5 4,6 9,6 13,8}

Falange distal ^{23,8 12,1 7,7 9,4}

Mínimo

Metacarpo ^{40,4 20,2 5,4 5,8}

Falange proximal ^{22,3 10,3 10,4 18,6}

Falange medial ^{16,8 6,8 9,3 10,2}

Falange distal ^{15,7 5,7 8,6 4,5}

Fonte: Arquivo pessoal da autora.

3.4.6 Inserção dos torques para composição do modelo dinâmico.

Os valores de torques e tempo foram inseridos no MotionView a partir de entidades

curve com interpolação akima. Forças e torques externos podem ser modelados no MotionView

a partir da entidade force. Às entradas dessas entidades foram associadas as curvas de torques

no tempo. O ponto de aplicação escolhido foram os pontos em que estão localizadas as juntas

respectivas aos torques aplicados. A ação dos torques foram relacionadas aos corpos em posição

distal à articulação e as reações aos corpos em posição proximal. Os markers de referência

utilizados foram os mesmos associados às juntas. A Tabela 11 contém a relação de torques,

pontos de aplicação e ação e reação sobre corpos.

Tabela 11 – Elementos associados aos torques externos aplicados

Torque Ponto de aplicação Ação Reação

τ1 Junta metacarpofalangeana Falange proximal Metacarpo

τ2 Junta interfalangeana proximal Falange medial Falange proximal

τ3 Junta interfalangeana distal Falange distal Falange medial

3.4.7 Determinação dos torques do polegar

O movimento da ATMC é tridimensional e as imagens são adquiridas em duas

dimensões. Desse modo não é possível, com os instrumentos disponibilizados no presente

trabalho, caracterizar a trajetória do movimento da ATMC. Além disso, para identificação das

trajetórias angulares da ATMC, ainda que em duas dimensões, seria necessário identificar com

precisão a localização do osso trapézio e pontos sobre os tecidos moles da mão filmada que

pudessem determinam as direções dos movimentos de adução/abdução, extensão/flexão e

rotação da ATMC. Sem as identificações em questão não é possível escolher o plano de

filmagem e pontos de marcação na mão da autora para definição de alguma das direções de

movimentos da ATMC. Portanto, foram determinadas via processamento de imagens apenas as

trajetórias das articulações interfalangeana e metacarpofalangeana do polegar. Como forma de

simplificação do modelo, será considerado apenas o movimento angular da ATMC na direção

de adução/abdução. Essa direção é dada como a rotação do primeiro metacarpo em torno do

eixo cuja direção é a mesma da reta que liga os pontos MPR4 e MPR5, Figura 28, conforme a

definição de Barroso (2007). No presente modelo, essa é a direção de orientação do crosspin

da junta e o movimento é dado pela rotação do marker I em torno do marker J (crosspin). A

trajetória da ATMC na direção em questão é semelhante à curva de trajetória da articulação

metacarpofalangeana do polegar, normalizada com os valores máximo e mínimo de

deslocamento obtidos do modelo cinemático. Os torques externos aplicadas às articulações do

polegar foram calculados via Euler Lagrange de forma semelhante ao ocorrido com os demais

dígitos.

4 RESULTADOS

Nesse capítulo serão apresentados os resultados obtidos no desenvolvimento do modelo

biomecânico da mão proposto no presente trabalho. A organização dos resultados seguirá uma

ordem semelhante à dada metodologia. Primeiramente serão apresentados os resultados do

modelo geométrico e em seguida os resultados dos modelos cinemático e dinâmico.

No documento PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Aline de Faria Lemos (páginas 52-62)