Modelo multiplicativo dinâmico com CRS ou de janela multiplicativo (Windows

É factual que todos os modelos matemáticos precisam ser designados para solucionar o problema em questão, corrigindo possíveis causas de erros de computação. Como mencionado anteriormente, é indispensável ajustar os modelos tradicionais DEA para computar corretamente as fronteiras de eficiência, na presença de variáveis em forma de razões, transformando modelos clássicos em formas multiplicativas (BANKER; MOREY, 1986).

Como um modelo de janela DEA avalia as DMUs, dinamicamente, em várias séries temporais por DMU, logo, considere quando uma DMU utiliza m entradas para produzir s saídas por um período de tempo T. Considere o conjunto de n DMUs avaliadas, sendo t um sub-vetor das séries temporaisT (onde t=1-2-3-4-5, 2-3-4-5-6, 3-

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Linear, Interactive, and Discrete Optimizer - LINDO software for linear programmingavailable at URL:

4-5-6-7, 4-5-6-7-8, 5-6-7-8-9 e 6-7-8-9-10), com o mesmo tamanho da janela de avaliação. Sendo a ( ), referente a um vetor de entrada ( ) e um vetor de saída ( ), então o PPS dinâmico ou inter- temporal deve ser formalizado como:

{( ) } (4.7)

Considere a dimensão fractal, média da largura de banda do TCP e Hurst como, respectivamente, uma variável de entrada e duas variáveis de saídas, obtidas nas avaliações da estrutura fractal do tráfego TCP nas redes virtuais. Selecionando apenas duas DMUs (ver Tabela 15 ou 16), de acordo com , por exemplo, e (ou qualquer outra combinação) deveria criar uma unidade virtual _.

Contudo, isto não é matematicamente possível, devido ao problema da proporcionalidade, quando as variáveis de entrada ou saída não podem ser aumentadas ou diminuídas proporcionalmente, devido à falta de suporte da elasticidade de escala em modelos DEA clássicos.

Assim, a violação do axioma da proporcionalidade, dentre outros postulados, já foi apresentada no Capítulo 2. Outra questão é a convexidade, correspondente à falha na computação das somas ponderadas das variáveis usando ratios, que não corresponderão aos valores corretos, porque esse problema é causado pelo erro no cálculo dos escores de eficiência (EMROUZNEJAD; AMIN, 2009).

Trabalhos anteriores em DEA tentaram relaxar a restrição da convexidade em modelos multiplicativos e em outros modelos para corrigir esta restrição, como descrito em Emrouznejad; Amin (2009). A pesquisa de Emrouznejad et al.(2010) apresenta um modelo multiplicativo que usa o conceito de média geométrica não-dimensional (invariância da unidade), como propriedade.

No entanto, este trabalho preferiu continuar seguindo os axiomas da convexidade, proporcionalidade (EMROUZNEJAD; CABANDA, 2010), extrapolação mínima, monotonicidade (BANKER; MAINDIRATTA, 1986), etc. Assim, o uso da convexidade geométrica, para prover uma interpolação acurada das possibilidades de produção, é obrigatória quando as variáveis estão na forma de ratios.

Até este trabalho, todos os modelos multiplicativos DEA realizavam apenas avaliações estáticas. Contudo, esta tese está lançando um novo modelo de janela multiplicativo DEA (Windows multiplicative DEA (WMDEA)), apropriado para avaliações

de DMUs usando as mesmas variáveis de decisão, em vários períodos de tempo independentes, por isso é um modelo dinâmico. Porém, é necessário amplificar o tamanho do PPS para o tamanho da janela a ser analizada, como mostrada no anteriormente (equação (4.7)).

Para facilitar o entendimento, n é um símbolo relacionado ao número de DMUs, k é o número de períodos de tempo a serem avaliados, p é o tamanho da janela ( ) e w é o número total de janelas de avaliação. Todos os símbolos usados são relacionados às seguintes fórmulas na Tabela 9.

Tabela 9 - Fórmulas usadas para computar alguns índices do modelo de janela

multiplicativo DEA

Descrição Fórmula

Número de janelas

Número de DMUs em cada janela

Número de diferentes DMUs

Número total de DMUs ( ) ( )

Fonte: dados da pesquisa/2019

O modelo WMDEA é orientado às saídas, porque seu objetivo é maximizar as variáveis de saída, mantendo as entradas constantes. Sua formulação busca os valores mais baixos da dimensão fractal, mas principalmente valores maiores das médias da largura de banda do TCP e memória fractal (Hurst). Baseado no PPS multiplicativo ao longo do tempo, o modelo de janela multiplicativo DEA com CRS e orientação às saídas, em sua forma inicial é dado por:

(4.9)

∏

∏

Para converter as inequações e identificação das restrições das folgas/excessos ( ) da equação (4.9), é obrigatório adicionar estes coeficientes multiplicativos

na formulação para entradas e saídas respectivamente, então:

∏ (4.10) _∏

Segundo Banker et al. (1984), modelos multiplicativos DEA são classificados como estimadores de retorno de escala, sendo ativados para realizar uma acurada estimação de elasticidade de escala (BANKER et al., 2004). Modelos multiplicativos são apropriados para serem empregados em problemas que exibam convexidade geométrica, i.e., sua função de produção é não-côncava em algumas regiões, com o PPS sendo não-convexo, como exemplificado pelas três variáveis usadas nas avaliações nas redes virtuais. Então, o modelo de estimação linear dos métodos tradicionais DEA precisa ser modificado pela função de produção log-linear por partes, ao longo do tempo com o seguinte PPS:

̂ {( ̂ ̂ )| ∑ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ } (4.11)

Assim, ̂ ̂ são ligados ao processo de transformação logarítmica das variáveis, de entrada e saída coletivamente, para alcançarem a correta elasticidade de escala da fronteira de eficiência. A aplicação de logaritmos em (4.10) introduz a formulação do modelo de janela multiplicativo DEA com CRS e orientação às saídas, na sua forma log-linear a seguir:

(4.12)

∑ ̂ ̂

O uso do circunflexo (^) nas variáveis de entrada e saída em (4.12) está representando a transformação logarítmica das variáveis em forma de ratios. Além disso, por ser um modelo de maximização, o cálculo do escore de eficiência deve ser computado pelo inverso do valor ótimo obtido em (4.12), em cada série temporal da janela de avaliação por DMU. Assim, para obter o escore de eficiência de cada DMU sobre o tempo em uma janela realize a computação abaixo:

(4.13)

Finalmente, para completar a avaliação com o modelo WMDEA calcule a média do escore_de_eficiênciada por janela, bem como calcule a média de todos os escore_de_eficiência em todas as janelas por , para gerar o ranqueamento.

O modelo WMDEA foi implementado no LINDO, bem como foi feita uma completa transformação logarítmica dos dados para executar o modelo de janela multiplicativo DEA no DEA-SOLVER9 e PIM-DEA10, no qual os resultados foram novamente todos idênticos.

O WMDEA deve ser aplicado quando as DMUs possuem diversas séries temporais independentes, avaliando o mesmo conjunto de variáveis de entrada e saída em janelas de tempo diferentes. O objetivo desta avaliação dinâmica é avaliar o comportamento das DMUs ao longo de vários períodos de tempo distintos. Por isso, este o WMDEA é adequado para comparar DMUs dinamicamente quando todas as variáveis estiverem em forma de ratio, ou seja, o modelo pode ser aplicado para resolver problemas além do apresentado nesta tese.

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DEA-SOLVER – Mais informações e descrições disponíveis na URL URL: http://www.saitech- inc.com/products/prod-dsp.asp

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Performance Improvement Management (PIM-DEA) – Informações disponíveis na URL: http://deazone.com/en/software and http://www.deasoftware.co.uk/