1 INTRODUÇÃO
2.5 Data Envelopment Analysis (DEA)
2.5.1 Modelos multiplicativos DEA
Variáveis em forma de razão (ratio) podem ser usadas para representar o desempenho de uma produção ou serviço, como por exemplo, o número de pacotes TCP entregues em um determinado período de tempo, variáveis fractais relativas ao tráfego TCP ou qualquer outro problema em questão, etc.
Variáveis de ratio são aplicadas frequentemente como variáveis contextuais, tais como: renda per capta, taxa de desemprego, média de pessoas que recebem benefício (OLESEN et al., 2015), dentre outros tipos de variáveis que representam números reais e que são empregadas no cotidiano, para qualquer tipo de avaliação de eficiência. Além do que, variáveis de entrada e saída em forma de ratio podem ser usadas diretamente, tal como neste trabalho, sem que estas funcionem como complementos para medidas de volume, ou advindas de alguma relação entre variáveis de entrada e saída.
Segundo Olesen et al. (2015), nenhum dos modelos convencionais da DEA com CRS ou VRS são apropriados para avaliar situações nas quais as variáveis de entrada
e saída sejam ratios. De acordo com Banker et al. (1984), as suposições de fronteira de produção DEA só são verdadeiras nos padrões de CRS e VRS, caso alguns axiomas sejam satisfeitos. De modo contrário, o modelo de tecnologia de produção DEA torna- se uma extensão arbitrária do conjunto de dados em observação. Logo, a análise baseada na tecnologia de produção é geralmente incorreta quando se tem variáveis em forma de ratio, usando modelos DEA padrão (OLESEN et al., 2015).
Para remediar as deficiências de modelos com VRS, o trabalho de Emrouznejad; Amin, (2009) desenvolveu modelos quando as entradas são ratios e as saídas não, quando as saídas são ratios e as entradas não, além de um modelo em que entradas e saídas são ratios. O trabalho de Olesen et al.(2017) criou a noção de eficiência de razão potencial (potential ratio efficiency (PR)) para modelos com CRS e VRS, no qual uma DMU é eficiente, se e somente se, possuir um escore de eficiência na unidade e a soma de todas as suas folgas for igual a zero.
Segundo Førsund (1996), informações qualitativas sobre economias ou "deseconomias" de escala são baseadas no cálculo da escala de eficiência, mas estas podem ser calculadas de forma inacurada quando existe o efeito de elasticidade de escala na presença de variáveis em forma de ratio.
Contudo, esta ambiguidade pode ser solucionada de três formas: a primeira é especificar os CRS (como um dispositivo de diagnóstico, já a escolha da tecnologia é de VRS) e inspecionar se o ponto na fronteira, que corresponde a uma observação ineficiente se está crescendo ou diminuindo, segundo a unidade de referência; a segunda é inspecionar a interceptação do suporte ao hiperplano na unidade de referência; e, a terceira é calcular a eficiência em relação às três diferentes tecnologias: constante, crescente e decrescente. Lembrando que estas alternativas permitem avaliações qualitativas, ou seja, sem calcular a elasticidade de escala.
O trabalho de Banker et al. (2004) descreve que os modelos multiplicativos devem ser empregados quando é necessário realizar uma avaliação quantitativa dos retornos de escala em DEA. Os modelos multiplicativos não estão confinados a trabalhar exclusivamente com fronteira de eficiência côncavas, mas geométricas, pois elas foram designadas para permitir fronteira de eficiência, que são côncavas em algumas partes e convexas em outras.
Para clarificar o entendimento a respeito da convexidade geométrica, que permite a identificação da não-concavidade da função de produção, atente para a Figura 9.
Neste exemplo serão consideradas três DMUs com apenas uma variável de entrada e uma de saída (BANKER et al., 1984). Aqui a função de produção representa a quantidade máxima de saída que pode ser produzida por qualquer entrada especificada. As DMUs, associadas aos pontos P1 e P2, alcançam o máximo possível das saídas com as suas entradas, enquanto a DMU relacionada ao ponto P3 fica aquém do nível de produção, em relação ao valor de sua variável de entrada x3.
Para avaliar a eficiência das DMUs com apenas uma variável de entrada e uma de saída pode-se usar a formulação fracionária 2.9:
(2.9)
Onde xi e yi representam, respectivamente, as coordenadas de entrada e saída da DMU associada ao Pi, i=1,2,3. O raio tangencial da origem para a função de produção em P1 encontra-se acima do raio, através dos pontos P2 e P3, que significa que a DMU associada a P1 é eficiente e as demais não são. Logo o valor de de P1 é igual a um e os escores de eficiência, , de P2 e P3 são menores que 1. Conclui-se que as DMUs associadas aos pontos P2 e P3 são igualmente ineficientes, relativas à DMU associada com o ponto P1.
Esta caracterização pode ser satisfatória em alguns casos, mas não para casos nos quais existem variáveis na forma de ratio. Assim, faz-se necessário sintonizar os modelos CCR e BCC para localizar as diferenças de escala, apresentadas pelos pontos P2 e P3, usando uma função de produção log-linear para gerar uma fronteira com convexidade geométrica, tal como na Figura 9.
Figura 9 - Raio ilimitado (ray unboundness) x fronteira geométrica
Fonte: (BANKER et al., 1984)
Na Figura 10, que também ilustra a fronteira geométrica, considere que pontos eficientes como B e C seriam classificados como ineficientes por modelos radiais, que estimam uma fronteira linear por partes como o BCC e o CCR. Se em uma aplicação empírica existem razões, a priori, para acreditar que produtos marginais estão crescendo ou diminuindo em uma certa região, então os modelos log-lineares são os modelos DEA apropriados para executar estes tipos de avaliações.
Segundo Banker; Maindiratta (1986), a modificação ao BCC, que permitia representar produtos marginais crescentes/decrescentes em forma de ratio, foi a principal contribuição daquele trabalho. É interessante notar que em modelos multiplicativos DEA a função de produção estimada tem a forma de S (s-shaped) (COOK; ZHU, 2014), que não é possível no BCC. Portanto, modelos multiplicativos DEA são modelos não-radiais.
Figura 10 - Convexidade geométrica dos modelos multiplicativos DEA, com fronteira
em forma de S
Fonte: (BANKER; MAINDIRATTA, 1986).
O principal efeito de trocar a convexidade padrão pela geométrica é que a fronteira de produção é estimada segundo os envelopes Cobb-Douglas (log-linear), em vez de uma fronteira linear por partes (COOK; ZHU, 2015). Vale ressaltar que o modelo multiplicativo DEA de Banker; Maindiratta (1986) tratou da estimação do VRS e do MPSS, além de agregar índices como a eficiência técnica e a de escala que podem ser empregados em situações nas quais as saídas não competem, característica de modelos não-radiais. Modelos multiplicativos DEA proporcionam avaliações dotadas de propriedades não-dimensionais, ou de unidades invariantes (COOPER et al., 2007).
Para ilustrar um dos principais problemas, o da proporcionalidade, ao se usar variáveis em forma de razão ou ratio, considere dois hospitais cujas variáveis estão na Tabela 2. Os Hospitais A e B, em análise, terão uma variável de entrada (número de pacientes) e duas variáveis de saída (números de tratamentos e taxa de sucesso no tratamento). Considere o Hospital C como uma média simples dos Hospitais A e B, ou seja, o Hospital virtual C foi criado pela combinação linear convexa dos Hospitais A e B com pesos iguais (0,5) para ambos. Sendo assim, o Hospital C deveria ser uma combinação convexa possível, com valor de 1000 para o número de pacientes, já o
número de tratamentos seria de 440, com uma taxa de sucesso nos tratamentos de 50%.
No entanto, esta taxa de sucesso deveria ser de 44%, mas que não pode ser alcançada, pois o axioma da proporcionalidade é violado ao se usar modelos tradicionais DEA com variáveis na forma de ratio. Variáveis de ratio podem ser relacionadas a alguma razão das variáveis de entrada e saída, ou simplesmente variáveis que usam números reais sem nenhuma relação entre as variáveis de entrada e saída, como é o caso deste trabalho. Este problema acontece devido ao fato de que os denominadores das duas razões (ratio), em análise, são diferentes, o que, de fato, irá acontecer em muitas avaliações no cotidiano.
Partindo deste mesmo raciocínio, a propriedade da convexidade também será violada, porque nesta assume-se que, dadas duas combinações de entrada x saída produzíveis, sua média deveria ser também produzível.
Tabela 2–Exemplo do problema da proporcionalidade em modelos DEA padrão
Hospital Número de Pacientes (Entrada) Número de Tratamentos (Saída) Taxa de Sucesso no Tratamento (Saída) A 1200 240 20% B 800 640 80% C = 0,5 A + 0,5 B 1000 440 50% (incorreto), 44% (correto)
Fonte: dados da pesquisa/2019.
De acordo com o PPS anterior, já definido em Banker; Maindiratta (1986), foram demonstrados alguns dos axiomas que são retificados ao serem empregados modelos multiplicativos DEA, quando existem variáveis em forma de ratio, são eles:
1) Convexidade geométrica – Se ( ) são escalares não negativos, tal que ∑ , então ( ) , onde ∏ e
∏ . Enfim, a suposição da convexidade se dá quando dadas duas
DMUs, com suas respectivas variáveis de entrada-saída, produzem uma DMU virtual com os valores médios entre as variáveis de entrada-saída em análise. Logo, a convexidade geométrica prevê a elasticidade de escala para contornar o problema da convexidade.
2)
Monotonicidade. (a) Se ( ) ( ) , (b) Se ( )( ) .
3)
Inclusão de observações – todos os vetores das variáveis de entrada-saída( ) .
4)
Extrapolação mínima – P é a interseção de todos os conjuntos ̅,satisfazendo os três postulados anteriores.
5)
Raio ilimitado – Se ( ) ( ) (Banker et al., 1984). Este postulado é equivalente a assumir que o PPS exibe CRS em tudo e implica que se o vetor ( ) é eficiente, então qualquer outro vetor ( ) Suponha que o PPS exiba VRS como na Figura 11. Na Figura 11 os pontos A e B são eficientes, porque fazem parte da fronteira de eficiência do PPS. Contudo, um raio partindo da origem, até o ponto A dominará todos os pontos localizados abaixo do raio. Este raio será o envelope estimado do conjunto de produção, e é relativo a este envelope estimado, sendo o ponto B considerado como ineficiente. Nesta Figura 11, k é uma constante positiva.
Figura 11- O envelople, raio ilimitado e VRS
Fonte: (Emrouznejad; Cabanda, 2010)
Juntamente com estes quatro postulados, foram também apresentados alguns problemas como o da convexidade e da proporcionalidade (Emrouznejad; Cabanda, 2010) quando são usados modelos DEA tradicionais, nos quais as variáveis de entrada-saída estão na forma de ratios, como é o caso deste trabalho, conforme pode ser observado nas Tabelas (12, 13, 15 e 16) com os dados das DMUs, que representam hipervisores de rede distintos para montagem de redes virtuais.
As Tabelas 12 e 13 representam o comportamento do tráfego TCP, em uma única série temporal (modelos multiplicativos DEA estáticos) e em várias séries temporais independentes entre si (modelo de janela multiplicativo), como pode ser visto nas Tabelas 15 e 16.
Para abarcar a convexidade geométrica, monotonicidade, inclusão de observações e extrapolação mínima, Banker; Maindiratta (1986) propuseram uma função de produção log-linear estática atrelado ao PPS multiplicativo abaixo:
{( )| ∏ ∏ } (2.10)
Usando uma estratégia diferente da desta tese, outros trabalhos anteriores usando DEA propuseram relaxar o axioma da convexidade, tanto nos modelos multiplicativos, quanto em outros, para contornar esta e outras restrições. Uma miríade destas estratégias pode ser encontrada em Emrouznejad; Amin (2009).
Pesquisadores usaram diferentes modelos multiplicativos DEA para resolver diversos problemas, por exemplo, Emrouznejad et al. (2016) desenvolveram um modelo multiplicativo para ranquear diversas técnicas de previsão do tempo, usando variáveis de entrada e saída na forma de ratios.
Um modelo multiplicativo ambiental (multiplicative environmental data envelopment analysis (ME-DEA)) foi usado por Valadkhani et al. (2016) para avaliar o desempenho dos 46 países que produziam mais poluentes de dióxido de carbono no mundo. Charnes et al. (1996) propuseram um modelo multiplicativo para comparar a indústria de empresas aéreas na América Latina.
Ademais, Emrouznejad; Cabanda (2010) implementaram a formulação denominada de multiplicative non-parametric corporate performance (MNCP) para avaliar o desempenho de 27 indústrias do Reino Unido, usando seis variáveis financeiras na forma de ratios. Similarmente, Emrouznejad et al. (2012) introduziram dois modelos DEA para comparar as eficiências relativas de DMUs, com variáveis de intervalo usando ratios para comparar 20 bancos como DMUs.
Resumindo, nenhum trabalho anterior a este implementou modelos multiplicativos DEA estáticos e/ou dinâmico para avaliar o comportamento fractal do tráfego TCP em redes virtuais, com o intuito de predizer qual das ferramentas em análise é a mais indicada para prestar serviços de redes virtualizadas mais suaves, com maior desempenho da largura de banda do TCP e memória ao longo do tempo.
No capítulo 3 serão apresentados os modelos multiplicativos propostos por este trabalho, em concomitância com a metodologia de avaliação fractal por etapas (Stepwise Performance Evaluation Framework of Fractal Structure of TCP traffic on Virtual Networks), desenvolvida na perspectiva de um sistema especialista.