Seria conveniente poder prever analiticamente a amplitude de resposta de uma estrutura cilíndrica devido à vibração provocada pelo desprendimento de vórtices, na direcção normal ao escoamento, utilizando as pressões na superfície do cilindro obtidas através da análise do campo de fluxo do escoamento. Assim, resolvendo as equações de Navier-Stokes dependentes do tempo tendo em conta a vibração do cilindro, obter-se-iam as caracterizações da separação do escoamento e da formação de vórtices, e a pressão e forças de corte na superfície do cilindro dariam origem à força de excitação que provoca o movimento do cilindro [[8], [9]].
Utilizando esta abordagem, foram obtidas computacionalmente algumas soluções numéricas para o campo de fluxo, embora geralmente estejam limitadas a situações em que o cilindro é estacionário com números de Reynolds menores que 1000, onde o regime é laminar, ou situações em que a viscosidade do fluido é desprezada. Na generalidade dos casos práticos, uma análise integrada deste tipo para o campo de fluxo e a movimentação do cilindro não está disponível.
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Deste modo, foram desenvolvidos modelos limitados para descrever esta interacção fluido- estrutura. São modelos nos quais não existe uma resolução das equações de Navier-Stokes, mas que incorporam muitos dos efeitos dinâmicos observados experimentalmente.
Um destes modelos é o que se apresenta seguidamente. Não é aplicável a secções não circulares ou a vibrações paralelas ao escoamento, sendo essencialmente um método para estender os dados experimentais disponíveis. Não constitui uma aproximação rigorosa da interacção fluido-estrutura, mas é bastante útil na estimativa da resposta de estruturas cilíndricas circulares à acção de vibrações ressonantes devidas aos vórtices, para números de Reynolds entre 103 – 105.
Assim, o modelo oscilador acoplado de Blevins representa o fluido na esteira como um oscilador não linear auto-excitado, acoplado à estrutura. Esta ideia é devida à natureza auto- excitada do desprendimento de vórtices, de acordo com [[8], [9]], que indica que foram desenvolvidos modelos em que o coeficiente de força lateral satisfaz uma equação do tipo Van der Pol, sugerindo esta abordagem.
Um oscilador de Van der Pol é um oscilador com amortecimento não linear governado pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:
(11)
onde y é a variável dinâmica (neste caso o deslocamento) e ξ é um parâmetro (neste caso o factor de amortecimento, explicado mais adiante) que indica a não linearidade e intensidade do amortecimento. Este modelo foi proposto por Balthasar Van der Pol em 1920 quando trabalhava para a Philips como engenheiro. Uma das características essenciais deste modelo, tal como se pode aferir através da expressão (11), é exibir baixo amortecimento para amplitudes reduzidas e alto amortecimento para amplitudes elevadas [[28], [29]].
Os parâmetros do modelo oscilador acoplado são determinados ajustando graficamente uma curva aos resultados experimentais obtidos para cilindros estacionários e excitados, sendo capaz de estimar a resposta de estruturas cilíndricas elásticas no intervalo de números de Reynolds referidos no parágrafo anterior.
Consequentemente, este modelo considera um cilindro rígido, com apoios elásticos, de secção circular, embora uma secção deste tipo não seja essencial ao desenvolvimento do modelo (Figura 13).
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Figura 13. Esquema de um cilindro rígido com apoios elásticos [[8], [9], [23]].
As hipóteses simplificativas assumidas pelo modelo são as seguintes:
Fora da zona situada mais próxima da esteira do escoamento, o campo do fluxo do fluido é aproximado como sendo não viscoso.
A camada de vórtices na esteira está bem definida, tal como a sua frequência de desprendimento.
A vorticidade é gerada apenas na camada limite do cilindro e os vórtices crescem uniformemente até uma intensidade máxima e movem-se para sotavento.
O escoamento é bidimensional.
A força exercida no cilindro pelo escoamento depende apenas da velocidade e aceleração médias deste relativamente ao cilindro.
Quando um cilindro longo está estacionário, os vórtices desprendem-se ao longo do seu vão sem nenhuma relação aparente. Contudo, assim que a amplitude das vibrações aumenta, o escoamento torna-se correlacionado ao longo do vão e os vórtices desprendem-se em camadas aproximadamente bidimensionais. Isto faz com que a força devido aos vórtices em cilindros longos não possa ser correctamente caracterizada por um modelo de escoamento bidimensional, quando as amplitudes são pequenas. Por outro lado, um modelo de escoamento correlacionado geralmente sobrestima a amplitude de resposta. No entanto, o modelo bidimensional é útil para estimar a resposta devida ao desprendimento de vórtices nos casos em que as oscilações são moderadas ou elevadas, que é o caso que nos interessa e se estuda neste trabalho.
As forças no cilindro são avaliadas de acordo com a teoria da dinâmica de fluidos, através da equação fundamental da continuidade, usando a abordagem do volume de controlo finito e da variação do momento do sistema. A dedução do modelo com base nestes pressupostos é extensa e complexa, sendo obtida com base em parâmetros empirícos, estando fora do âmbito deste trabalho tal tarefa, pelo que apenas se fazem breves referências aos aspectos
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considerados mais relevantes. Nas referências [[1], [8], [9], [12]] podem encontrar-se descrições muito mais pormenorizadas da dedução do modelo.
Assim, as forças no cilindro são avaliadas a partir da equação do momento na direcção y, para o volume de controlo indicado na Figura 14. Esta equação pode ser escrita na forma seguinte:
(12)
em que Fy é a força do fluido no cilindro; Py é a força de pressão na superfície de controlo paralela ao eixo y; Sy é o momento do escoamento através da superfície de controlo; e Jy é o momento vertical no volume de controlo.
Figura 14. Esquema e volume de controlo para dedução do modelo do Oscilador Acoplado [[8], [9]].
O comportamento do fluido pode ser modelado como um oscilador não linear. Então, a equação acoplada não linear do oscilador fluido auto-excitado, derivada da equação anterior, é:
(13)
A equação de movimento do cilindro é:
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Tem-se nas equações anteriores:
(15) (16) (17)
(18) (19) (20) em que:
ut – velocidade de translação da esteira de vórtices ωv – frequência circular de desprendimento de vórtices
ωy – frequência circular natural do cilindro
K – constante de proporcionalidade
m – massa do cilindro por unidade de comprimento, incluindo a massa adicionada do
fluido, que é igual à massa do fluido deslocada pelo cilindro
k – rigidez dos apoios por unidade de comprimento
ξ – amortecimento viscoso da estrutura
ξf – amortecimento viscoso do fluido
ξT – coeficiente de amortecimento total efectivo
a0, a1, a2, a3, a4 – constantes adimensionais obtidas experimentalmente
ẇ – medida da magnitude das oscilações transversais do fluido na esteira, em termos
de velocidade
O primeiro termo do lado direito da equação (13) é um amortecimento negativo que representa a extracção de energia do fluido a partir do fluxo livre e a conversão dessa energia em oscilações transversais do fluido. O segundo termo do lado direito representa um parâmetro não linear que limita a amplitude das oscilações do fluido. O lado esquerdo da equação representa a interacção entre o fluido na esteira e a camada limite do cilindro, que vai controlar o desprendimento de vórtices. As forças do fluido sobre o cilindro, devido às oscilações transversais do fluido, são representadas pelo lado direito da equação (14). Estas forças não são independentes do movimento do cilindro, que exerce uma reacção igual mas de sentido oposto sobre o fluido, representada pelos dois últimos termos do lado direito da equação (13).
Os parâmetros do modelo são obtidos a partir de resultados experimentais de desprendimento de vórtices em cilindros estacionários e em movimento forçado.
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As amplitudes de deslocamento máximas na condição de ressonância (faixa de trancamento) podem ser expressas em função de uma variável muito útil, formada pelo produto do rácio da massa com o factor de amortecimento (parâmetros explicados em seguida). Esta variável é o amortecimento reduzido δr, também chamado de número de Scruton:
(21)
Esta amplitude aumenta inversamente ao amortecimento reduzido até se atingir um determinado limite. De acordo com [[8], [9]], este modelo pode ser empregue para avaliar as amplitudes na ressonância de estruturas elásticas com forma cilíndrica e circular, para intervalos de Re entre 2 x 102 e 2 x 105.
A expressão anterior tem alguns parâmetros adimensionais importantes em estudos deste género, que importam destacar. O rácio entre a massa do modelo e o fluido deslocado por este é proporcional a:
(22)
onde m, como já se referiu, normalmente inclui a massa estrutural e a massa adicional de fluido deslocado pelo movimento do modelo. Esta relação fornece uma medida dos efeitos de flutuação e da inércia do modelo comparativamente à do fluido, mas é geralmente usada para medir a susceptibilidade de estruturas leves às vibrações induzidas pelo escoamento. Existe um aumento da tendência destas vibrações à medida que a densidade do fluido aumenta relativamente à densidade estrutural.
Por sua vez, a energia dissipada pela estrutura à medida que esta vibra é caracterizada por:
(23)
onde é o factor de amortecimento ou rácio de amortecimento, como se referiu acima. Para estruturas lineares e amortecidas viscosamente, é igual ao logaritmo natural do rácio das amplitudes de quaisquer dois ciclos sucessivos de uma estrutura ligeiramente amortecida em decaimento livre, como se mostra na Figura 15.
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Figura 15. Decaimento livre de uma estrutura unidimensional e amortecida viscosamente. ωy é a frequência
natural de vibração [9].
Se a energia fornecida ao modelo for menor do que a energia dissipada pelo amortecimento, as vibrações induzidas pelo escoamento diminuirão. O factor de amortecimento é frequentemente desprezado porque a sua avaliação requer a execução de medições estruturais dinâmicas. No entanto, o amortecimento é geralmente o mecanismo utilizado para limitar as vibrações e as suas medições devem ser efectuadas em testes de oscilação livre.
Assim, as amplitudes de deslocamento máximas para uma estrutura cilíndrica no modo natural de vibração j são obtidas, na ressonância, por:
(24)
Resultados experimentais indicam valores para a1 = 0,44; a2 = 0,2 e a4 = 0,38.
A expressão anterior pode ser rescrita na forma:
29
onde γ é um parâmetro geométrico que depende da forma modal, dado por:
(26)
A Figura 16 mostra os resultados teóricos deste modelo em comparação com resultados experimentais. Verifica-se que, quando o amortecimento estrutural se aproxima de zero, a amplitude máxima normalizada para o cilindro rígido atinge um limite de, sensivelmente, 1,37D. Este limite é possivelmente causado pela desordem no desprendimento de vórtices, que vai provocar uma redução na componente de excitação da força do fluido, à medida que a amplitude aumenta. Observa-se também que, para amplitudes menores ou iguais a 0,1D, os resultados teóricos são maiores que os experimentais.
Figura 16. Amplitudes de deslocamento para cilindros rígidos e cilindros estruturalmente elásticos em função do parâmetro de amortecimento reduzido [9].
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