Estruturas Altas - Estudo das Vibrações Induzidas Transversalmente ao Sentido do Vento

Estruturas Altas - Estudo das Vibrações Induzidas

Transversalmente ao Sentido do Vento

Modelo Semi-Empírico de Pinheiro

João Paulo Verde Antunes Parracho

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Prof. Doutor João Sérgio Nobre Duarte Cruz

Vogal:

Prof. Doutor Pedro António Martins Mendes

i

AGRADECIMENTOS

O meu agradecimento a todos aqueles que contribuíram para que este trabalho fosse realizado com sucesso. Em particular:

Ao Professor Sérgio Cruz pela sua orientação. Por me ter permitido estudar este tema e pela sua disponibilidade, esclarecimentos, compreensão e acompanhamento.

À minha família e, em especial, aos meus pais, devido ao seu apoio constante em todas as fases da minha vida, tanto na vertente pessoal como académica. Agradeço igualmente a determinação e a força transmitida por ambos na conclusão do meu curso, sem os quais o mesmo não teria sido possível.

Ao meu irmão, que partilhou comigo a mesma Instituição de Ensino, agradecendo ao mesmo a entreajuda disponibilizada na coordenação e gestão do mesmo espaço habitacional durante a nossa vida académica.

A todos os meus amigos mais próximos, que sempre me apoiaram e motivaram para chegar ao final deste longo ciclo.

iii

ESTRUTURAS ALTAS ‒ ESTUDO DAS VIBRAÇÕES INDUZIDAS

TRANSVERSALMENTE AO SENTIDO DO VENTO

MODELO SEMI-EMPÍRICO DE PINHEIRO

João Paulo Verde Antunes Parracho Mestrado em Engenharia Civil

Orientador: Prof. Doutor João Sérgio Nobre Duarte Cruz Provas Concluídas em Outubro de 2012

Resumo

O objectivo deste trabalho é estudar o problema das vibrações transversais aeroelásticas em torres cilíndricas circulares, devidas ao desprendimento alternado de vórtices causado pelo escoamento de um fluido. São obtidas amplitudes de deslocamento para as torres usando métodos analíticos e empíricos.

O método principal utilizado nesta análise é um modelo semi-empírico desenvolvido no domínio do tempo, proposto por Pinheiro [23]. Este método é aplicável ao caso especifico de torres isoladas de secção circular. Baseia-se em modelos bidimensionais onde os efeitos da tridimensionalidade são contabilizados através da extensão a condições reais de escoamento e da incorporação da análise modal. Estes modelos são o modelo empírico não linear de Scanlan [[26], [27]] e o oscilador acoplado de Blevins [[8], [9]]. Um modelo proposto pela mais recente regulamentação europeia (Eurocódigo 1, parte 1-4 [22]) é também descrito e analisado.

Aplica-se o método de Pinheiro a casos específicos extraídos da literatura. São realizadas comparações com resultados obtidos em ensaios de túnel de vento e com outros modelos analíticos. Estas demonstram uma boa e prometedora concordância, evidenciando o potencial do método de Pinheiro. Também é efectuada uma análise de sensibilidade para avaliar as características comportamentais do modelo. Abordam-se alguns desenvolvimentos futuros para o modelo, com o objectivo de estender a sua utilização a um âmbito mais alargado de aplicações.

Finalmente, apresentam-se as principais conclusões, juntamente com algumas sugestões e precauções para aplicação do modelo. Estas demonstram que o modelo de Pinheiro é uma boa ferramenta, sendo melhor usada com cuidado e conjuntamente com outras abordagens no projecto de uma estrutura.

Palavras-Chave: Vibrações induzidas por vórtices; Vibrações transversais ao vento; Torres

v

TALL STRUCTURES ‒ STUDY OF THE ACROSS-WIND INDUCED

VIBRATIONS

SEMI-EMPIRICAL MODEL BY PINHEIRO

João Paulo Verde Antunes Parracho Master in Civil Engineering

Advisor: Prof. Doutor João Sérgio Nobre Duarte Cruz Completed in October 2012

Abstract

The aim of this work is to study the problem of aeroelastic transversal vibrations in circular cylinder towers, due to the alternate shedding of vortices caused by a fluid flow. Displacement amplitudes for the towers are obtained using both analytical and empirical methods.

The main method proposed and used for this analysis is a time-domain semi-empirical one developed by Pinheiro [23]. This method is applicable to the specific case of circular section isolated towers. It’s based on two-dimensional models in which the three-dimensional effects are accounted for through an extension to real flow conditions and incorporation of modal analysis. These models are the empirical nonlinear model proposed by Scanlan [[26], [27]] and the coupled wake oscillator by Blevins [[8][9]]. A model proposed by the recent European regulation (Eurocode 1, part 1-4 [22]) is also described and analyzed.

The Pinheiro method is applied to specific cases extracted from the literature. Comparisons are performed with results obtained in wind tunnel tests and with other analytical models. These show good and promising results, demonstrating the potential of the Pinheiro method. A parametric analysis is also performed to assess the behavioral characteristics of the model. Some future developments for the model are mentioned, with the objective of extending its use to a wider range of applications.

Finally, the principal conclusions are presented, along with some suggestions and precautions to using the model. These show the Pinheiro model is a good tool that is best used with care and together with other approaches in the project of a structure.

Keywords: Vortex-induced vibrations; Across-wind vibration; Circular cylinder towers; Lock-in;

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Índice Geral

Índice Geral ... vii

Índice de Figuras ... xi

Índice de Tabelas ... xv

Simbologia ... xvii

1 – Introdução ... 1

1.1 – Descrição do Problema a analisar e o seu Contexto ... 1

1.2 – Objectivos e Estrutura do Trabalho... 3

2 - Modelação das Forças Dinâmicas do Vento devido ao

Desprendimento de Vórtices em Estruturas de Secção Circular ... 5

2.1 – Justificação do Método Escolhido ... 5

2.2 – Formulação do Método Escolhido ... 5

2.2.1 – Cilindros sob Escoamento Bidimensional ... 5

2.2.1.1 – Coeficientes de Força ... 6

2.2.1.2 – Regimes de Escoamento ... 9

2.2.1.3 – Número de Strouhal ... 11

2.2.1.4 – O Fenómeno de Trancamento ou Captura (Lock-in) ... 12

2.2.1.4.1 – Velocidade Reduzida ... 14

2.2.1.4.2 – Exemplo de outro Fenómeno de Vibração Lateral ... 16

2.2.2 – Torres Cilíndricas sob Escoamento Tridimensional ... 17

2.2.2.1 – Células de Vórtices ... 17

2.2.2.2 – Influência da Correlação Espacial ... 18

2.2.2.3 – Influência do Amortecimento Estrutural ... 19

2.2.3 – Modelos de Análise Bidimensional da Resposta induzida por

Desprendimento de Vórtices ... 20

2.2.3.1 – Forma Geral da Equação da Força Aeroelástica ... 21

viii

2.2.3.3 – Modelo Empírico Linear de R. H. Scanlan ... 30

2.2.3.3.1 – O Flutter... 30

2.2.3.4 – Modelo Empírico Não Linear de R. H. Scanlan ... 32

2.2.3.5 – Modelo Semi-Empírico de Pinheiro: Modelo Bidimensional Estendido

a 3 Dimensões para o Desprendimento Cadenciado de Vórtices em Torres ... 34

2.2.3.5.1 – Formulação do Modelo ... 34

2.2.3.5.1.1 – Obtenção dos Parâmetros H

e

ε ... 35

2.2.3.5.2 – Torre de Secção Constante sob a Acção de Vento de Velocidade

Constante ao Longo da Altura ... 37

2.2.3.5.2.1 – Resolução pelo Método de Runge-Kutta ... 39

2.2.3.5.3 – Torre de Secção Variável sob a Acção de Vento de Velocidade

Constante ao Longo da Altura ... 40

2.2.3.5.4 – Torre de Secção Variável sob a acção de Vento de Velocidade

Variável ao Longo da Altura ... 41

2.2.3.5.5 – Correlação Espacial ... 42

2.3 – Desprendimento de Vórtices segundo o Eurocódigo ... 44

2.3.1 – Cálculo da Amplitude Transversal ao Vento ... 46

2.3.2 – Cálculo da Amplitude Transversal ao Vento pelo Método 1 ... 46

2.3.2.1 – Cálculo dos Deslocamentos ... 46

2.3.2.2 – Número de Scruton ... 47

2.3.2.2.1 – Amortecimento Estrutural e Massa Equivalente ... 47

2.3.2.3 – Coeficiente de Força Lateral ... 47

2.3.2.4 – Comprimento de Correlação ... 48

2.3.2.5 – Coeficiente de Comprimento de Correlação Efectivo ... 49

2.3.2.6 – Coeficiente de Configuração Modal ... 49

2.4 – Conclusão sobre Aspectos da Formulação ... 50

3 – Exemplos de Aplicação... 51

3.1 – Descrição Geral dos Exemplos ... 51

3.2 – Exemplo 1 – Torre de Aço: Demonstração de Aplicação da Formulação

... 51

ix

3.2.1 – Modelo de Pinheiro ... 51

3.2.2 – Método do EC 1-4 ... 54

3.3 – Exemplo 2 – Haste de Madeira em Túnel de Vento ... 56

3.3.1 – Modelo de Pinheiro ... 56

3.3.1.1 – Cilindro sob a Acção de Perfil Constante de Velocidade ... 59

3.3.1.2 – Cilindro sob a Acção de Perfil Linear de Velocidade ... 61

3.3.2 – Método do EC 1-4 ... 65

3.4 – Exemplo 3 – Chaminé de Betão Armado em Itália ... 68

3.4.1 – Modelo de Pinheiro ... 68

3.4.2 – Método do EC 1-4 ... 74

3.5 – Exemplo 4 – Chaminé de Aço na Tailândia ... 76

3.5.1 – Modelo de Pinheiro ... 76

3.5.2 – Método do EC 1-4 ... 79

4 – Caracterização Complementar do Modelo de Pinheiro ... 83

4.1 – Análise de Sensibilidade a Determinados Parâmetros ... 83

4.1.1 – Influência da Forma Modal sob Perfil de Velocidade Constante ... 83

4.1.2 – Influência da Forma Modal sob Perfil de Velocidade Variável ... 85

4.1.3 – Influência da Massa ... 87

4.1.4 – Influência da Altura ... 89

4.1.5 – Influência da Dimensão da Secção Transversal ... 90

5 – Conclusões ... 93

5.1 – Sugestões para Trabalhos Futuros ... 94

xi

Índice de Figuras

Figura 1. Campo de pressões alternado na superfície de um cilindro rígido e configurações da esteira, para aproximadamente um terço do ciclo de desprendimento de vórtices (Re = 1,12x105) [9]. ... 7 Figura 2. Coeficiente de força lateral para cilindros circulares em função do número de Reynolds [23]... 8 Figura 3. Coeficiente de força lateral em função de Re para diferentes secções [23]. ... 9 Figura 4. Regimes de escoamento do fluido em torno de um cilindro de secção circular [9]... 11 Figura 5. Variação do número de Strouhal em função de Re para cilindros circulares [[9], [23]]. ... 12 Figura 6. Representação esquemática do fenómeno de trancamento (lock-in) [[23], [26]]. ... 13 Figura 7. Resposta em frequência de um cilindro rígido circular por desprendimento de vórtices, cuja frequência é fs neste caso [9]. ... 14

Figura 8. Trajectória de vibração de um modelo amortecido e elasticamente suportado [9]. .... 15 Figura 9. Resposta lateral de um modelo de edifício alto, com uma relação de secção transversal igual a 2 (comprimento / largura) [9]. ... 16 Figura 10. Representação ilustrativa das células de vórtices [23]. ... 18 Figura 11. Influência da amplitude de oscilação do cilindro circular na correlação espacial entre vórtices em dois pontos [[23], [26]]... 19 Figura 12. Resposta de um modelo de torre de secção circular em função da taxa de amortecimento estrutural, em regime subcrítico [[23], [26]]. ... 20 Figura 13. Esquema de um cilindro rígido com apoios elásticos [[8], [9], [23]]. ... 24 Figura 14. Esquema e volume de controlo para dedução do modelo do Oscilador Acoplado [[8], [9]]. ... 25 Figura 15. Decaimento livre de uma estrutura unidimensional e amortecida viscosamente. ωy é a frequência natural de vibração [9]. ... 28 Figura 16. Amplitudes de deslocamento para cilindros rígidos e cilindros estruturalmente elásticos em função do parâmetro de amortecimento reduzido [9]. ... 29 Figura 17. Esquema do modelo analítico de Pinheiro para vibrações induzidas por desprendimento de vórtices em torres esbeltas: (a) células de vórtices em torre de secção variável sob acção de vento com perfil de velocidade U(z); (b) estrutura de secção circular

xii

constante sob acção de velocidade uniforme (modelo 2D); (c) força aeroelástica generalizada Fj associada ao modo j de vibração [23]. ... 34 Figura 18. Curvas linearizadas de amplitude em função da velocidade reduzida para diferentes valores de U, utilizadas na determinação dos parâmetros H1 e ε [23]. ... 36 Figura 19. Incorporação da forma modal (b) ao modelo rígido (a) e correspondente discretização (c) [23]. ... 38 Figura 20. Torre de secção variável sob a acção de perfil de vento de velocidade constante [23]. ... 40 Figura 21. Torre de secção variável sob perfil variável de velocidade [23]. ... 41 Figura 22. Representação esquemática da correspondência entre função de forma e modo de vibração ϕ, para uma única célula de vórtices [23]. ... 43 Figura 23. Representação esquemática da correspondência entre a correlação, modo de vibração e células de vórtices [23]. ... 44 Figura 24. Exemplos de aplicação do comprimento de correlação Lj (j = 1, 2), relativamente ao primeiro e segundo modos de vibração, respectivamente [22]. ... 48 Figura 25. Representação esquemática da Torre (a) e do seu primeiro modo de vibração natural (b) [23]. ... 52 Figura 26. Resposta do cilindro rígido bidimensional equivalente à Torre, usando o modelo não linear de Scanlan, para Ucr = 1,093 (Ur = 5). ... 53 Figura 27. Amplitudes de deslocamento do cilindro rígido bidimensional equivalente à Torre, em função de Ur, usando o modelo não linear de Scanlan. ... 53 Figura 28. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 54 Figura 29. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o Método 1 do EC 1-4. ... 55 Figura 30. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o Método 1 do EC 1-4 e com amortecimento estrutural ξ = 0,005. ... 56 Figura 31. Representação esquemática da haste cilíndrica no túnel de vento [4]. ... 57 Figura 32. Dimensões da secção transversal da haste cilíndrica [4]. ... 57 Figura 33. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil constante de velocidade, para correlação teórica total. ... 59

xiii

Figura 34. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil constante de velocidade, para correlação teórica parcial. ... 60 Figura 35. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil linear de velocidade, para correlação teórica total. ... 61 Figura 36. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil linear de velocidade, para correlação teórica parcial. ... 62 Figura 37. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil linear de velocidade, para correlação teórica total, com nova discretização e janela de lock-in. ... 64 Figura 38. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil linear de velocidade, para correlação teórica parcial, com nova discretização e janela de lock-in. ... 64 Figura 39. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil constante de velocidade para o primeiro modo de vibração, para correlação teórica total. ... 66 Figura 40. Amplitude de resposta do cilindro sob perfil constante de velocidade para o primeiro modo de vibração, para correlação teórica parcial. ... 67 Figura 41. Chaminé de betão armado, localizada em Trieste, Itália [11]... 68 Figura 42. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,01. ... 69 Figura 43. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,005. ... 70 Figura 44. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,001. ... 70 Figura 45. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,01, com nova janela de lock-in. ... 72 Figura 46. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,005, com nova janela de lock-in. ... 72 Figura 47. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,001, com nova janela de lock-in. ... 73 Figura 48. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade para o primeiro modo de vibração, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,01. ... 74 Figura 49. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade para o primeiro modo de vibração, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,005. ... 75 Figura 50. Amplitude de resposta da chaminé sob perfil constante de velocidade para o primeiro modo de vibração, para uma taxa de amortecimento ξ = 0,001. ... 75 Figura 51. (a) Chaminé de aço com 90 m de altura em Rayong, Tailândia. (b) Dimensões básicas da chaminé [[2], [5]]. ... 77

xiv

Figura 52. Amplitudes de deslocamento da chaminé segundo o método de Pinheiro, para várias taxas de amortecimento. ... 78 Figura 53. Amplitudes de deslocamento da chaminé segundo o método do Eurocódigo, para várias taxas de amortecimento. ... 80 Figura 54. Primeiros três modos de vibração naturais da torre encastrada com H = 34 m e D = 0,5 m [23]. ... 83 Figura 55. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para os três primeiros modos de vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 84 Figura 56. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para os três primeiros modos de vibração e sob perfil variável de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 86 Figura 57. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para diferentes valores de massa por unidade de comprimento e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 88 Figura 58. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para diferentes valores de altura e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 89 Figura 59. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para diferentes valores de diâmetro exterior e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro. ... 91

xv

Índice de Tabelas

Tabela 1. Diferentes classificações dos regimes de escoamento laminar bidimensional em função de Re [23]. ... 10 Tabela 2. Amplitudes absolutas máximas de deslocamento da chaminé segundo os métodos de Pinheiro e Vickery-Basu, para várias taxas de amortecimento. ... 78 Tabela 3. Amplitudes absolutas máximas de deslocamento da chaminé segundo os métodos de Pinheiro, Vickery-Basu e do Eurocódigo, para várias taxas de amortecimento. ... 80

xvii

Simbologia

Ay − amplitude de deslocamento do cilindro ou estrutura Ay

1 − amplitude de deslocamento associada a taxa de amortecimento ξ1

Ay₂ − amplitude de deslocamento associada a taxa de amortecimento ξ₂ a

i − constante adimensional (i = 1, 2, 3 e 4)

B − corda; largura do tabuleiro; dimensão ao longo do vento da estrutura

b - comprimento de metade da corda de um aerofólio; dimensão transversal da estrutura;

diâmetro exterior do cilindro de base circular

C − coeficiente de força

C

D − coeficiente de força de arrasto

C

F − coeficiente de forças oblíquas

C_L − coeficiente de força lateral Ch − coeficiente de rigidez

c − constante de amortecimento mecânico ch − coeficiente de amortecimento viscoso clat − coeficiente de força lateral

clat,0 − valor básico de clat

D − diâmetro do cilindro; diâmetro característico D_cel − diâmetro característico de uma célula de vórtices D

i − diâmetro equivalente de uma região de célula de vórtices

e − espessura de um cilindro

F − vector das forças nodais

F − força Aeroelástica F

j − força modal aeroelástica

Fy − força aeroelástica na direcção y Fm_{j − força modal j}

fc − factor de correlação

fe − frequência de excitação; frequência de oscilação

f_{n − frequência natural de vibração}

fs − frequência de desprendimento de vórtices (Hz) f_{v − frequência de desprendimento de vórtices (Hz)} f1 − frequência do primeiro modo de vibração H − altura

Hi

* _{− funções adimensionais de K (i = 1, 2, 3)}

H_{1 − parâmetro linear de amortecimento aerodinâmico} H

xviii

h − deslocamento de translação na direcção transversal ao vento Jy − momento vertical na direcção y

L − comprimento longitudinal do cilindro

L − matriz diagonal de comprimentos de influência

Lh − força lateral de sustentação aerodinâmica por unidade de vão Lj − comprimento de correlação

l − comprimento; altura ou vão da estrutura lj − comprimento da estrutura entre dois nodos

l_{k − comprimentos de influência}

K − constante de proporcionalidade; frequência reduzida; coeficiente de configuração modal;

rigidez elástica da estrutura

KW − coeficiente de comprimento de correlação efectivo

k − rigidez elástica; frequência reduzida M_{j − massa modal}

m − massa por unidade de comprimento; número de antinodos da estrutura em vibração m_{cel − massa por unidade de comprimento na célula}

m_{e − massa equivalente por unidade de comprimento}

m(s) − massa por unidade de comprimento ao longo do vão s

n − número de zonas em que, simultaneamente, ocorre excitação por desprendimento de

vórtices

Py − força de pressão na direcção y Re − número de Reynolds (UD/v)

S − número de Strouhal (fD/U); momento estático Sc − número de Scruton

St − número de Strouhal

Sy − momento do escoamento na direcção y T − período natural; indicação de matriz transposta t − tempo

U − velocidade de escoamento U_{cr − velocidade crítica}

U_{i − velocidade de escoamento na célula i} U_{r − velocidade reduzida}

U_{r(cr) − velocidade reduzida crítica}

ut − velocidade de translação da esteira de vórtices V − velocidade

V_{o − velocidade do vento a uma altura Ho}

Y − vector de amplitudes modais ou coordenadas generalizadas

Y_{j − amplitudes modais ou coordenadas generalizadas do modo j}

xix

yF(s) − deslocamento ao longo do vão s

yF,max − deslocamento máximo

y − vector de deslocamentos nodais

− oscilações transversais do fluido

z − comprimento ou altura ao longo do cilindro; variável de substituição no método de

Runge-Kutta

z₁, z₂ − posição para correlação; variáveis de substituição no método de Runge-Kutta

Sub-Índices

i − referente a uma célula de vórtices j − referente a um modo j

k − referente a um nó

Letras Gregas

α – ângulo de fase; ângulo de rotação da secção

ε – parâmetro não linear de amortecimento aerodinâmico δr – parâmetro de amortecimento reduzido; número de Scruton

δs - amortecimento estrutural, expresso pelo decremento logarítmico

ρ – massa específica do fluido/material; massa volúmica do ar

η – amplitude adimensional ξ – taxa de amortecimento

ξ1 – taxa de amortecimento associada à amplitude Ay1

ξ2 – taxa de amortecimento associada à amplitude Ay2

ξf – taxa de amortecimento do fluido

ξj – taxa de amortecimento do modo j

ξT – taxa de amortecimento total

ω – frequência circular de oscilação; frequência circular de excitação ωe – frequência circular de excitação; frequência circular de oscilação

ωj – frequência natural da estrutura referente ao modo j

ωv – frequência circular de desprendimento de vórtices

ωy – frequência circular natural do cilindro

γ – parâmetro geométrico dependente da forma modal do cilindro μr – relação de massa

xx

– matriz de função de forma

ϕj – forma modal j

ϕ(s) – configuração modal da estrutura ao longo do vão s ϕmax – valor máximo do vector próprio de um modo

crit - velocidade crítica do vento

m - valor característico da velocidade média do vento referida a períodos de 10 minutos m,Lj - velocidade média do vento no centro do comprimento de correlação efectivo

1

1 – Introdução

1.1 – Descrição do Problema a analisar e o seu Contexto

O comportamento de edifícios altos sob a acção do vento é uma área de investigação relativamente nova na história da engenharia estrutural e do vento, com cerca de 40 anos de estudo, e tem-se revelado cada vez mais importante.

Historicamente, as estruturas antigas eram construídas com materiais que estavam disponíveis no próprio local, ou perto deste, tendo uma altura e resistência limitada pela resistência desses mesmos materiais. Estas estruturas eram geralmente pouco esbeltas e pesadas para que a acção do vento representasse um problema. À medida que a tecnologia foi melhorando e materiais mais sofisticados foram sendo desenvolvidos, a altura das estruturas e a sua esbelteza aumentaram. Estas novas estruturas têm uma maior flexibilidade e menor amortecimento, resultado do seu menor peso volúmico. Assim, estas estruturas são mais susceptíveis a movimentos induzidos pelo vento e dimensioná-las para resistir a este fenómeno é uma área de crescente importância. As estruturas que exemplificam estes casos são, tipicamente, os pórticos de pontes, os edifícios altos e as chaminés e torres, que devido às suas propriedades mecânicas são muito sensíveis ao vento.

O vento é a principal acção que induz flexão nestas estruturas, provocando vários efeitos e comportamentos resultantes das vibrações a ele associadas. Devido à flexibilidade destas estruturas, podem ocorrer grandes amplitudes de deslocamento, velocidades e acelerações, podendo provocar danos na estrutura e em partes não estruturais como paredes e fachadas, além de estragos em objectos interiores susceptíveis ao movimento. Estes efeitos podem ainda causar desconforto nas pessoas que se encontram na edificação, através de acelerações que poderão induzir náuseas e sensações de insegurança. Em torres metálicas, por exemplo, pode ocorrer a redução da sua vida útil devido à fadiga e os sinais das torres de telecomunicações podem ser perturbados devido à vibração das antenas.

A acção do vento pode ser abordada em dois grandes grupos: aerodinâmica ou aeroelástica. As acções aerodinâmicas do vento provocam efeitos nas estruturas que não dependem do seu movimento, enquanto das acções aeroelásticas resultam efeitos dependentes da vibração das estruturas, tais como as denominadas forças auto-excitadas, pois é estabelecida uma interacção entre o fluido e o movimento da estrutura que modifica as condições de escoamento do fluido no contorno do corpo a vibrar.

2

Existem vários fenómenos aeroelásticos, dos quais as instabilidades por galope, instabilidade aerodinâmica, galope na esteira de vórtices e as vibrações devidas ao desprendimento alternado de vórtices são exemplos.

O desprendimento cadenciado de vórtices tem sido estudado amplamente ao longo dos anos, sendo uma acção susceptível de provocar vibrações de grandes amplitudes, principalmente quando ocorre o fenómeno chamado de “lock-in”, também conhecido como trancamento ou captura de vórtices. Este ocorre quando, devido à velocidade do vento, a frequência do desprendimento é próxima da frequência natural transversal da estrutura, originando a separação dos vórtices segundo esta última frequência, para uma determinada faixa de velocidade do vento.

O caso mais comum no estudo deste fenómeno é o de um cilindro rígido e fixo disposto horizontalmente, sob a acção de escoamento laminar e uniforme, podendo ser simulado por um escoamento bidimensional em que os vórtices se desprendem todos com a mesma intensidade e frequência. Contudo, nos casos reais, existem parâmetros que tornam esta avaliação mais complexa, provocando efeitos tridimensionais que alteram o escoamento e a formação dos vórtices. Alguns dos factores que alteram as condições de análise são, por exemplo, as dimensões finitas da estrutura e a variação da sua secção transversal, a variação da velocidade do vento ao longo da sua altura e a influência da turbulência, a existência de outras estruturas ligadas à estrutura original, como escadas e plataformas de observação e a presença de outras construções nas proximidades.

Este trabalho foca-se no estudo específico das estruturas isoladas de torres e chaminés de secção circular, sob a acção de vibrações transversais devidas ao desprendimento alternado de vórtices, porque são o tipo de estruturas cujo comportamento ao vento está melhor estudado. Assim, é possível obter e comparar resultados para estas estruturas de um modo bastante fidedigno com a realidade através de modelos teóricos e empíricos, evitando (ou diminuindo) o recurso a ensaios em túnel de vento, que são habitualmente mais morosos e dispendiosos. Para torres ou outros edifícios com outras secções, a interacção com o vento é geralmente mais complexa, não existindo actualmente formulação estritamente teórica ou empírica que permita obter resultados satisfatórios, sendo utilizados então os ensaios em túnel de vento como principal forma de modelação e dimensionamento.

Para modelar este fenómeno existem várias propostas de diversos autores, tendo em comum o facto de originarem sempre no caso simples do fluxo bidimensional. Podem ser empregues modelos analíticos, empíricos ou semi-empíricos. Estes últimos destacam-se no caso das torres, devendo sempre que possível contabilizar os factores que provocam efeitos tridimensionais no escoamento, os quais foram referidos em cima. A abordagem geralmente utilizada é a construção de modelos empíricos, igualando depois os seus resultados à

3

realidade através de uma escolha ponderada de parâmetros correspondentes às características mais condicionantes do fenómeno. Esta construção pode ser baseada em medições in-situ de torres ou de ensaios em túnel de vento.

Este trabalho concentra-se essencialmente na obtenção de estimativas da amplitude transversal máxima esperada associada à vibração de torres. Na engenharia de vento muitas vezes é suficiente saber apenas esse parâmetro para proceder à análise e dimensionamento da estrutura.

Apesar de todos os desenvolvimentos recentes, inclusive da dinâmica fluido-computacional, ainda existem hoje em dia bastantes dificuldades na modelação tridimensional do problema específico aqui tratado, devido ao elevado número de parâmetros e consequente complexidade que podem afectar o comportamento das estruturas. Este facto é atestado ao analisar as discrepâncias existentes entre os diferentes modelos semi-analíticos e métodos de cálculo sugeridos por diversos regulamentos.

1.2 – Objectivos e Estrutura do Trabalho

Pode-se considerar como principal objectivo deste trabalho abordar e estudar o problema das vibrações transversais aeroelásticas devidas ao desprendimento alternado de vórtices em torres de secção circular, usando modelos analíticos e empíricos, comparando depois os resultados que daí advêm com os obtidos através de outras formulações teóricas e experimentais.

Para tal, utiliza-se um modelo semi-empírico desenvolvido no domínio do tempo proposto por Pinheiro [23], aplicável ao caso específico de torres isoladas de secção circular, baseado em modelos bidimensionais nos quais se incluem os efeitos da tridimensionalidade através de uma extensão a condições reais de escoamento. Também se aplica um modelo proposto pela mais recente regulamentação europeia (Eurocódigo 1, parte 1-4 [22]), procedendo-se à comparação dos resultados obtidos com ambos os métodos. As comparações realizadas apresentam resultados auspiciosos, demonstrando o potencial do método de Pinheiro [23].

A estrutura deste trabalho encontra-se dividida em cinco capítulos, incluindo a presente introdução. Estes foram organizados de modo a caracterizar melhor o tema em estudo.

O primeiro capítulo apresenta uma breve introdução sobre as forças aerodinâmicas e aeroelásticas devidas ao vento, com foco no fenómeno de trancamento do desprendimento cadenciado de vórtices. São referidas as implicações deste fenómeno em torres, assim como as formas e métodos mais comuns de as analisar e modelar.

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O segundo capítulo é dedicado à revisão dos conceitos teóricos básicos da acção transversal do vento em cilindros de secção circular. Descrevem-se as forças que surgem quando o cilindro está estacionário e os efeitos que o seu movimento tem na separação dos vórtices durante o escoamento. São referidos os factores condicionantes deste fenómeno, assim como alguns parâmetros que interferem com o escoamento, sempre sob a perspectiva da aplicação em torres. São depois referidos e detalhados dois modelos específicos de forças induzidas por desprendimento de vórtices em cilindros rígidos sob escoamento sub-crítico, que servem de base para a apresentação de um terceiro modelo. Este modelo semi-empírico de avaliação das amplitudes de resposta em torres de secção circular constante e variável, vibrando devido à separação dos vórtices, é então apresentado e analisado de forma mais aprofundada. Seguidamente, é caracterizado este mesmo fenómeno do desprendimento de vórtices em torres segundo a formulação proposta pela regulamentação europeia do EC 1-4. São, finalmente, referidos alguns aspectos sobre ambas as abordagens escolhidas, tais como limitações, vantagens e potencialidades, para as melhor situar no panorama geral.

No terceiro capítulo procede-se à aplicação do modelo semi-empírico referido em cima a casos específicos, extraídos da literatura disponível, comparando-se os seus resultados não só com resultados experimentais obtidos em túnel de vento, como com outros obtidos por diferentes formulações, onde se inclui o método do EC 1-4. Analisam-se os resultados obtidos, concluindo-se sobre o desempenho do modelo e o seu potencial.

No quarto capítulo efectua-se uma análise de sensibilidade do modelo, procedendo-se à variação de determinados parâmetros específicos e analisando os resultados dessa variação, de modo a aferir sobre as características comportamentais do modelo. Abordam-se também alguns desenvolvimentos futuros que podem ser empregues ao modelo, com o objectivo de estender a sua utilização a um âmbito mais alargado de aplicações.

Por último, no quinto capítulo, finaliza-se o trabalho apresentando-se as principais conclusões a que se chegaram, juntamente com algumas sugestões e precauções para aplicação do modelo.

5

2 - Modelação das Forças Dinâmicas do Vento

devido

ao

Desprendimento

de

Vórtices

em

Estruturas de Secção Circular

2.1 – Justificação do Método Escolhido

Para estimar os efeitos da interacção entre as forças aerodinâmicas e os movimentos das estruturas no fenómeno de desprendimento de vórtices (e em qualquer outro fenómeno aeroelástico), seria necessário, em princípio, resolver as equações de Navier-Stokes para o escoamento com condições de fronteira dependentes do tempo e das próprias soluções. Este tipo de problema é extremamente complexo e constitui um desafio para as capacidades analíticas existentes na actualidade. Também é um problema difícil de resolver pelos métodos da dinâmica fluido-computacional (CFD – “computational fluid dynamic”), apesar de existir um progresso contínuo a ser feito nesta área.

Dadas as limitações dos procedimentos numéricos e analíticos, a caracterização aerolástica do desprendimento de vórtices depende geralmente de testes em laboratório e da modelação empírica. Assim, na abordagem seguida na maior parte dos modelos utilizados para descrever este fenómeno, não se procede à resolução das equações de Navier-Stokes. São modelos limitados mas que incorporam muitos dos efeitos observados experimentalmente na interacção fluido-estrutura. É um destes modelos que é utilizado e analisado neste trabalho. Não constitui uma aproximação rigorosa do fenómeno em estudo, mas a sua simplicidade e facilidade de aplicação tornam-no bastante útil na obtenção de estimativas razoáveis para a resposta de estruturas cilíndricas circulares às vibrações provocadas pelos vórtices.

2.2 – Formulação do Método Escolhido

2.2.1 – Cilindros sob Escoamento Bidimensional

Neste ponto são apresentados conceitos respeitantes ao escoamento bidimensional em cilindros, que é caracterizado pela velocidade do fluido ser nula relativamente à direcção normal ao plano do fluxo. Assim, o padrão do escoamento é sempre o mesmo nos planos perpendiculares a esta direcção normal, situação que se considera que ocorre quando o comprimento dos corpos é muito longo, sendo idealmente infinitos.

6

2.2.1.1 – Coeficientes de Força

Ao acontecer o escoamento de um fluido com uma determinada velocidade U sobre um corpo não aerodinâmico, vai ocorrer uma variação alternada das pressões na superfície desse corpo ao longo do tempo. Assim, desenvolvem-se forças periódicas sobre o corpo quando existe a separação sucessiva de vórtices em cada lado do cilindro. Os campos oscilantes de pressão e a força resultante são mostrados na Figura 1, para uma parte do ciclo de desprendimento.

A pressão elevada do fluido que se desenvolve na zona de barlavento do corpo (neste caso, um cilindro) impele as camadas limites sobre ambos os lados do cilindro. Contudo, as forças de pressão que se desenvolvem não são suficientes para forçar estas camadas limites à volta da parte posterior de corpos pouco aerodinâmicos (“bluff bodies”), com números de Reynolds elevados. Assim, ocorre a separação das camadas em cada lado da superfície do cilindro, perto da sua secção mais ampla, formando duas camadas de “corte” a sotavento, que limitam a esteira. Como a parte interna destas outras camadas move-se mais vagarosamente que a respectiva parte externa que está em contacto com o fluxo livre, elas vão enrolar-se em remoinhos.

Qualquer estrutura com uma parte traseira pouco aerodinâmica liberta turbilhões em escoamentos subsónicos, e as faixas destes turbilhões tendem a ser bastante similares independentemente da estrutura envolvida. Se não existir nenhum obstáculo para o movimento do cilindro na direcção transversal à incidência do fluido, as forças periódicas referidas anteriormente vão interagir com a movimentação do cilindro, originando as vibrações induzidas por desprendimento de vórtices.

7

Figura 1. Campo de pressões alternado na superfície de um cilindro rígido e configurações da esteira, para aproximadamente um terço do ciclo de desprendimento de vórtices (Re = 1,12x105_{) [9].}

As forças periódicas F são geralmente escritas em termos adimensionais por coeficientes de força C:

(1)

em que:

 – massa específica do fluido

8

Usam-se CD (coeficiente de força na direcção do vento (Drag) – arrasto) e CL (coeficiente de força na direcção perpendicular ao vento (Lift) – lateral ou de sustentação) para decompor as forças CF em componentes perpendiculares (Figura 1). As forças CD desenvolvem-se na frequência individual dos vórtices, enquanto CL actua na frequência de desprendimento de cada par de vórtices.

Neste trabalho, só se abordam fenómenos relacionados com a direcção transversal à incidência do vento, sendo assim CL o único coeficiente de força que é utilizado. CL apresenta uma variação com o número de Reynolds, de acordo com a Figura 2, onde existe uma região crítica correspondente à mudança brusca de valor. A forma da secção transversal, a rugosidade superficial e a intensidade de turbulência do vento também influenciam CL, como se observa na Figura 3.

9

Figura 3. Coeficiente de força lateral em função de Re para diferentes secções [23].

2.2.1.2 – Regimes de Escoamento

O crescimento da camada limite e a separação do escoamento relativamente ao corpo são determinados pelas forças do fluido ao nível microscópico. A camada limite é impelida sobre o corpo pela inércia do escoamento. A fricção viscosa na superfície do corpo retarda o escoamento e a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas no fluido é:

onde D é a dimensão do corpo na direcção perpendicular ao escoamento e é a viscosidade cinemática do fluido, que é igual à viscosidade absoluta dividida pela densidade do fluido. Esta relação, chamada de número de Reynolds (Re), é utilizada na avaliação da espessura da camada limite e da transição de escoamento laminar para turbulento. A separação do escoamento da parte de trás de corpos pouco aerodinâmicos (“bluff bodies”) também é uma função do número de Reynolds.

Existem diferentes classificações para os regimes de escoamento, que variam consoante os autores. A Tabela 1 resume as faixas do número de Reynolds para cada regime de escoamento, segundo duas organizações diferentes.

10 Regime Re Regime Re Subcrítico 1x104 < Re < 1x105 Subcrítico 300 < Re < 2x105 Crítico 1x105 < Re < 5x105 Crítico 2x105 < Re < 5x105 Supercrítico 5x105 < Re < 5x106 Supercrítico 5x105 < Re < 3x106 Ultracrítico Re > 5x106 Hipercrítico Re > 3x106 Tabela 1. Diferentes classificações dos regimes de escoamento laminar bidimensional em função de Re [23].

Assim, a formação dos vórtices num cilindro circular depende do número de Reynolds (Re). Os regimes principais de desprendimento de vórtices de um cilindro circular constam na Figura 4. Para números de Reynolds baixos, o escoamento não se separa da superfície do cilindro. Este fenómeno de separação só ocorre quando se aumenta Re, aparecendo um par fixo de turbilhões imediatamente atrás do cilindro. Continuando a aumentar Re até perto de 150, estes turbilhões alongam-se até que um deles se desprende, formando uma faixa de vórtices laminar que se soltam em cadeia. A partir daqui, dá-se a transição para uma esteira turbulenta, que se torna totalmente turbulenta para Re entre 300 e 3x105, em que o regime é chamado então de subcrítico. Tem este nome porque ocorre exactamente antes do aparecimento da camada limite turbulenta no cilindro, que ocorre aproximadamente para números de Reynolds à volta de 3x105, dependendo da turbulência do escoamento livre e da rugosidade da superfície. Nesta situação, o ponto de separação do fluido desloca-se para sotavento e a esteira torna-se mais estreita e desorganizada, com uma banda larga de frequências de desprendimento. Para valores de Re mais elevados ( ≥ 3,5x106), em regime denominado de supercrítico, há o restabelecimento da faixa de vórtices alternados, desta vez com uma esteira turbulenta. Costumam-se designar os vórtices alternados, seja qual for o regime em que aconteçam, de vórtices de Kárman.

Neste trabalho, considera-se apenas o regime de escoamento subcrítico, que é aquele em que os vórtices se desprendem numa frequência bem definida. Neste regime, os valores de Re variam, aproximadamente, entre 300 e 3x105 (Figura 4).

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Figura 4. Regimes de escoamento do fluido em torno de um cilindro de secção circular [9].

2.2.1.3 – Número de Strouhal

Um parâmetro importante para caracterizar o desprendimento cadenciado de vórtices numa dada secção é o número de Strouhal (S), que depende de Re, e representa a constante de proporcionalidade entre a frequência predominante e a velocidade de escoamento dividida pela dimensão :

 – frequência de desprendimento de vórtices

 – dimensão característica do corpo, projectada num plano normal à velocidade de escoamento

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 – velocidade média do fluido

Além das variáveis anteriores, S depende ainda do ângulo de ataque e das características do escoamento, da oscilação do corpo e da rugosidade superficial. Para valores de Re de transição, a frequência de desprendimento corresponde à frequência dominante de uma banda ampla de frequências existentes.

Para cilindros circulares, o número de Strouhal varia com Re conforme mostra a Figura 5.

Figura 5. Variação do número de Strouhal em função de Re para cilindros circulares [[9], [23]].

2.2.1.4 – O Fenómeno de Trancamento ou Captura (Lock-in)

Um fenómeno bastante importante neste processo de desprendimento é o fenómeno de trancamento ou captura (lock-in), que depende da frequência com que os vórtices são criados.

Já se referiu anteriormente que os vórtices desprendidos pela passagem do fluido geram pressões alternadas que fazem vibrar o cilindro, com pequenas amplitudes a menos que a frequência de desprendimento seja próxima da natural da estrutura. Por sua vez, quando a frequência de desprendimento dos vórtices é igual ou próxima da frequência natural, o cilindro desenvolve grandes deslocamentos e o seu movimento começa a interagir com o fluido,

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modificando a própria formação dos vórtices, aumentando a sua energia e forçando a sua frequência a aproximar-se da natural.

Assim, a frequência natural do cilindro passa a controlar o desprendimento de vórtices, para uma certa faixa de velocidades de escoamento, que fica aproximadamente à volta de 25% do valor da frequência natural, de acordo com resultados experimentais.

A Figura 6 evidencia este fenómeno, demonstrando que a frequência de desprendimento é constante na faixa de trancamento e linear nos restantes intervalos, segundo a equação (3), onde S é o coeficiente angular da recta. A Figura 7 mostra resultados experimentais de deslocamentos transversais à direcção do vento para cilindros rígidos, com diferentes taxas de amortecimento. O lock-in verifica-se para valores de velocidade reduzida Ur (velocidade normalizada, relativamente à frequência natural e diâmetro do cilindro) entre 5 e 7, com amplitudes máximas para Ur(cr) (velocidade reduzida na condição crítica, onde a frequência de desprendimento de vórtices é igual à frequência natural do cilindro) em torno de 6.

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Figura 7. Resposta em frequência de um cilindro rígido circular por desprendimento de vórtices, cuja frequência é fs neste caso [9].

2.2.1.4.1 – Velocidade Reduzida

O conceito de velocidade reduzida pode ser demonstrado pela Figura 8, que mostra o modelo de um edifício bidimensional, suportado elasticamente e amortecido, submetido à acção de um escoamento uniforme. As vibrações laterais deste modelo podem ser descritas em termos de parâmetros não dimensionais que governam o escoamento do fluido, o modelo e a sua interacção.

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Figura 8. Trajectória de vibração de um modelo amortecido e elasticamente suportado [9].

À medida que o modelo vibra no escoamento, traça a trajectória mostrada na Figura 8. Para vibrações estáveis, a extensão da trajectória para um ciclo é igual a U/fn, onde U é a velocidade do fluido e fn a frequência de vibração, assumindo-a igual à frequência natural da estrutura. A largura da trajectória é igual a 2Ay onde Ay é a amplitude da vibração. Estas dimensões da trajectória podem ser relacionadas com as dimensões do modelo:

O primeiro destes parâmetros, na expressão (4), é a velocidade reduzida ou velocidade adimensional, e o seu inverso é a frequência adimensional. O segundo parâmetro, na expressão (5), é a amplitude de oscilação adimensional. A largura máxima do modelo (D), na direcção perpendicular ao escoamento, é geralmente usada na obtenção destes parâmetros porque esta largura tende a controlar a largura da esteira do fluido. É frequente o modelo interagir intensamente com componentes periódicas da esteira próxima do fluido, quando a velocidade reduzida é pequena (<10).

Por outro lado, na velocidade crítica Ucr, a frequência de desprendimento de vórtices fv é igual à frequência natural da estrutura fn,

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Assim:

E, portanto:

2.2.1.4.2 – Exemplo de outro Fenómeno de Vibração Lateral

Não é só o mecanismo de desprendimento de vórtices devido ao escoamento que provoca fenómenos de vibrações laterais em estruturas. A Figura 9 demonstra este aspecto, que convém realçar.

Figura 9. Resposta lateral de um modelo de edifício alto, com uma relação de secção transversal igual a 2 (comprimento / largura) [9].

Na figura anterior, a amplitude das vibrações devidas ao escoamento de um modelo de edifício é demonstrada em função da velocidade reduzida e do factor de amortecimento (parâmetro explicitado mais adiante). Os dois picos da amplitude de vibração são causados por diferentes mecanismos associados ao escoamento. Sabe-se que, para números de Reynolds acima de 1000, ocorre o desprendimento periódico de vórtices para uma frequência igual a com igual aproximadamente a 0,2. A ressonância do modelo do edifício (em que ) é, portanto, esperada para uma velocidade crítica reduzida ( ) igual a . Assim, o

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primeiro pico é causado pelo desprendimento de vórtices. Verifica-se que ao aumento do amortecimento corresponde uma diminuição acentuada destas vibrações. Por outro lado, para , dá-se início a uma instabilidade aerodinâmica chamada de galope, que provoca vibrações que geralmente aumentam com a velocidade reduzida. Estas vibrações são similares ao clássico flutter em aeronaves, com a excepção de que são auto-limitativas para determinados tipos de geometria. Este tema escapa, contudo, ao contexto do presente trabalho, pelo que se deixa o seu desenvolvimento para a literatura especializada.

2.2.2 – Torres Cilíndricas sob Escoamento Tridimensional

Existem várias condições que influenciam o escoamento, conferindo-lhe efeitos tridimensionais com maior ou menor complexidade, quando comparados com o caso ideal de cilindros longos e rígidos com comportamento bidimensional. Estes factores influenciam, consequentemente, as vibrações de torres devidas ao vento. Entre eles temos as dimensões finitas das torres que provocam alterações do fluxo nas suas extremidades, a alteração da sua secção transversal e a presença de acessórios acoplados ao longo do seu comprimento e a variação da velocidade do vento em altura, por exemplo. Seguidamente, destacam-se algumas apreciações que se consideram relevantes sobre esta questão.

2.2.2.1 – Células de Vórtices

Um aspecto que importa realçar é que, de acordo com observações experimentais, o desprendimento cadenciado de vórtices em cilindros ou em corpos pouco aerodinâmicos desenvolve-se em células de vórtices.

Verifica-se que ao longo do comprimento da torre (Figura 10) existem trechos onde a frequência fv é constante, cada um com o seu próprio número de Strouhal tendo, portanto, cada célula o seu próprio diâmetro D e velocidade U de escoamento, de acordo com a equação (3). O facto de estes dois últimos parâmetros poderem variar ao longo da altura da torre é, precisamente, uma das razões por que se formam estas células.

No entanto, este mecanismo de formação das células não está ainda bem esclarecido, sabendo-se apenas que diversos factores podem afectar o seu comprimento, tais como a secção transversal da torre e a sua variação ao longo da altura, as condições de contorno e a rugosidade superficial da torre, o próprio movimento da estrutura na interacção com o fluido e também o perfil de velocidade deste fluido que incide sobre o corpo. Resultados experimentais indicam que o comprimento das células tende a variar entre 3 a 10 vezes o diâmetro da secção [23].

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Salienta-se, contudo, que a determinação das células de vórtices é muito importante na avaliação das respostas induzidas por desprendimento de vórtices.

Figura 10. Representação ilustrativa das células de vórtices [23].

2.2.2.2 – Influência da Correlação Espacial

A resposta de uma estrutura à acção dos vórtices desagregados na sua esteira depende das suas propriedades mecânicas, das propriedades do próprio escoamento e da forma complexa como estes aspectos interagem. Referem-se duas características relevantes que são essenciais considerar.

Uma importante consideração é a correlação espacial na formação dos vórtices, que é uma medida dos efeitos tridimensionais do escoamento na esteira do cilindro. As vibrações próximas ou na frequência de desprendimento de vórtices têm um forte efeito organizador na esteira do escoamento, provocando um aumento considerável da correlação da separação de vórtices ao longo do eixo do cilindro. Tal fenómeno pode ser observado na Figura 11, correspondendo uma correlação igual a 1 a um escoamento bidimensional, em que os vórtices se desprendem uniformemente ao mesmo tempo e com frequências idênticas ao longo do vão do cilindro. Verifica-se que ampliando a amplitude de oscilação adimensional η faz com que a correlação espacial dos vórtices aumente substancialmente relativamente ao cilindro estático (η = 0).

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Figura 11. Influência da amplitude de oscilação do cilindro circular na correlação espacial entre vórtices em dois pontos [[23], [26]].

2.2.2.3 – Influência do Amortecimento Estrutural

As amplitudes de oscilação de estruturas cilíndricas devidas ao escoamento são, por sua vez, influenciadas pela massa do corpo, a rigidez estrutural e o amortecimento mecânico. A Figura 12 mostra o efeito do amortecimento estrutural sobre as oscilações transversais de uma torre encastrada, com secção circular d e altura h, sob a acção de vento laminar com velocidade uniforme V. Verifica-se que a amplitude de oscilação adimensional η diminui mais de dez vezes à medida que a taxa de amortecimento aumenta de 0,002 para 0,009. Esta diminuição é não só devida ao amortecimento, como também à perda de correlação espacial que se observa para pequenas vibrações, conforme demonstrado na Figura 11. De notar que neste caso a amplitude de oscilação da torre varia com a altura.

Refira-se que, numa estrutura alta, o amortecimento geralmente tem valores que são inferiores a 0,01 (1%).

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Figura 12. Resposta de um modelo de torre de secção circular em função da taxa de amortecimento estrutural, em regime subcrítico [[23], [26]].

2.2.3 – Modelos de Análise Bidimensional da Resposta induzida

por Desprendimento de Vórtices

Vários fenómenos aeroelásticos precisam de ser tidos em conta no dimensionamento de determinadas estruturas, tais como torres, edifícios altos, pontes suspensas, cabos, etc. Nem todos estes fenómenos são presentemente completamente compreendidos, existindo apenas algumas formulações teóricas para modelar forças aerodinâmicas em corpos oscilatórios, partindo de princípios básicos [[26], [27]].

Deste modo, na maior parte das investigações são estabelecidos modelos empíricos onde o essencial da aerodinâmica é obtido através da experimentação. Os modelos analíticos correspondentes incluem então apenas os parâmetros suficientes para corresponder às características observadas mais condicionantes dos fenómenos em estudo. Assim, é preciso ter cuidado na aplicação destes modelos, pois pequenos mas importantes detalhes da interacção fluido-estrutura podem não ser considerados, devendo também proceder-se a uma calibração dos modelos para que os seus parâmetros estejam no domínio de aplicação do protótipo equivalente.

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Assim, os modelos empíricos descritos em seguida aplicam-se a situações que podem ser consideradas, aproximadamente, a duas dimensões. Na verdade, os efeitos tridimensionais estão sempre presentes, devido a vários factores como o ajustamento do escoamento nos limites de cilindros finitos, variação da secção transversal do corpo, escoamento não uniforme ou ainda a incoerência espacial do desprendimento de vórtices. A informação sobre estes efeitos tridimensionais é, na maior parte dos casos, escassa e tem de ser obtida através de experiências em túneis de vento.

Apenas o caso mais simples de um cilindro longo com superfície rígida e deslocamentos de corpo inteiro na direcção transversal ao escoamento é tratado em seguida. É assumido que o escoamento imediato tem velocidade média uniforme, que os deslocamentos são os mesmos em todos os pontos do corpo, que este está apoiado elasticamente e possui amortecimento mecânico na direcção transversal ao sentido do fluido e que está impedido de se deslocar na respectiva direcção paralela [[26], [27]].

Sob a acção do desprendimento dos vórtices na esteira do cilindro, este vai ser impulsionado periodicamente, mas produzindo apenas uma resposta pequena a não ser que a frequência do desprendimento se aproxime da frequência natural do cilindro na direcção transversal ao fluido. Perto desta frequência é induzido um maior movimento do corpo e este começa a interagir com o escoamento. Observa-se experimentalmente que, neste ponto, a frequência natural do corpo controla o fenómeno do desprendimento de vórtices, ocorrendo o chamado lock-in, tal como referido em cima e esquematizado na Figura 6 e Figura 7.

Nenhum método analítico capaz de representar na totalidade o comportamento de um corpo elástico pouco aerodinâmico sob a acção de separação de vórtices existe actualmente. No entanto, tem-se revelado frutífero construir modelos empíricos e igualar o seu desempenho à realidade através de uma escolha criteriosa de parâmetros. As referências indicadas em [[26], [27]] permitem ter uma ideia da literatura existente nesta área.

O modelo proposto tem como ponto de partida outros modelos, sendo combinado o modelo empírico não linear desenvolvido por Scanlan com o modelo oscilador acoplado de Blevins, com aplicação da análise modal. Este modelo e abordagem foram propostos por Pinheiro [23].

2.2.3.1 – Forma Geral da Equação da Força Aeroelástica

Assumindo que o cilindro circular referenciado em cima está fixo não só na direcção transversal como também na direcção paralela ao vento, uma primeira aproximação razoável para a força por unidade de comprimento actuando no cilindro é dada por:

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onde ω1 = 2πSU/D, ρ é a massa específica do ar e os outros parâmetros são já conhecidos.

No entanto, quando o cilindro pode oscilar na direcção transversal, esta expressão simples para a força de excitação é inadequada. Se y for o deslocamento do cilindro na direcção lateral ao vento, então a equação do movimento é escrita na forma seguinte:

onde m é a massa do cilindro, c a constante de amortecimento mecânico, k a rigidez elástica e

F a função de excitação por unidade de comprimento induzida pelo fluido, que pode ser

dependente do deslocamento y e das suas derivadas, assim como do tempo.

Muito esforço foi já dispendido em encontrar por meios empíricos uma expressão adequada para F que se ajuste aos factos observados, cuja complexidade vai depender do detalhe com que as observações são feitas e da precisão requerida para as previsões subsequentes do modelo [[26], [27]].

2.2.3.2 – Modelo Oscilador Acoplado de Blevins

Seria conveniente poder prever analiticamente a amplitude de resposta de uma estrutura cilíndrica devido à vibração provocada pelo desprendimento de vórtices, na direcção normal ao escoamento, utilizando as pressões na superfície do cilindro obtidas através da análise do campo de fluxo do escoamento. Assim, resolvendo as equações de Navier-Stokes dependentes do tempo tendo em conta a vibração do cilindro, obter-se-iam as caracterizações da separação do escoamento e da formação de vórtices, e a pressão e forças de corte na superfície do cilindro dariam origem à força de excitação que provoca o movimento do cilindro [[8], [9]].

Utilizando esta abordagem, foram obtidas computacionalmente algumas soluções numéricas para o campo de fluxo, embora geralmente estejam limitadas a situações em que o cilindro é estacionário com números de Reynolds menores que 1000, onde o regime é laminar, ou situações em que a viscosidade do fluido é desprezada. Na generalidade dos casos práticos, uma análise integrada deste tipo para o campo de fluxo e a movimentação do cilindro não está disponível.

23

Deste modo, foram desenvolvidos modelos limitados para descrever esta interacção fluido-estrutura. São modelos nos quais não existe uma resolução das equações de Navier-Stokes, mas que incorporam muitos dos efeitos dinâmicos observados experimentalmente.

Um destes modelos é o que se apresenta seguidamente. Não é aplicável a secções não circulares ou a vibrações paralelas ao escoamento, sendo essencialmente um método para estender os dados experimentais disponíveis. Não constitui uma aproximação rigorosa da interacção fluido-estrutura, mas é bastante útil na estimativa da resposta de estruturas cilíndricas circulares à acção de vibrações ressonantes devidas aos vórtices, para números de Reynolds entre 103 – 105.

Assim, o modelo oscilador acoplado de Blevins representa o fluido na esteira como um oscilador não linear excitado, acoplado à estrutura. Esta ideia é devida à natureza auto-excitada do desprendimento de vórtices, de acordo com [[8], [9]], que indica que foram desenvolvidos modelos em que o coeficiente de força lateral satisfaz uma equação do tipo Van der Pol, sugerindo esta abordagem.

Um oscilador de Van der Pol é um oscilador com amortecimento não linear governado pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:

onde y é a variável dinâmica (neste caso o deslocamento) e ξ é um parâmetro (neste caso o factor de amortecimento, explicado mais adiante) que indica a não linearidade e intensidade do amortecimento. Este modelo foi proposto por Balthasar Van der Pol em 1920 quando trabalhava para a Philips como engenheiro. Uma das características essenciais deste modelo, tal como se pode aferir através da expressão (11), é exibir baixo amortecimento para amplitudes reduzidas e alto amortecimento para amplitudes elevadas [[28], [29]].

Os parâmetros do modelo oscilador acoplado são determinados ajustando graficamente uma curva aos resultados experimentais obtidos para cilindros estacionários e excitados, sendo capaz de estimar a resposta de estruturas cilíndricas elásticas no intervalo de números de Reynolds referidos no parágrafo anterior.

Consequentemente, este modelo considera um cilindro rígido, com apoios elásticos, de secção circular, embora uma secção deste tipo não seja essencial ao desenvolvimento do modelo (Figura 13).