O seguinte exemplo serve apenas para demonstrar a aplicação da formulação semi-empírica de Pinheiro e do método do EC 1-4, detalhando os passos envolvidos na obtenção dos resultados finais.
Assim, considera-se por simplificação uma torre encastrada e livre de altura total H = 34 m, com secção constante de diâmetro exterior D = 0,5 m e espessura e = 4,8 mm. O material constituinte é o aço, que tem uma densidade ρaço = 7850 kg/m3, o que dá uma massa por unidade de comprimento m = 58,6 kg/m, aproximadamente. Adopta-se uma taxa de amortecimento ξ = 0,01.
Utilizou-se o software de cálculo estrutural SAP2000 para efectuar a discretização da torre em 34 elementos finitos, obtendo-se depois a sua frequência natural f1 = 0,437 e o correspondente primeiro modo de vibração, representado na Figura 25, através de uma análise modal. A velocidade reduzida crítica é Ur(cr) = 5, de acordo com a expressão (8) e a Figura 25, o que dá uma velocidade crítica Ucr = 1,093 m/s, para a qual se obtém o deslocamento transversal máximo.
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Seguidamente, usa-se o modelo oscilador acoplado de Blevins, considerando um cilindro rígido equivalente à torre em análise. Através da expressão (21), obtém-se o número de Scruton δr = 23,57, o que dá uma amplitude máxima na ressonância Ay(Blevins) = 22,82 mm, segundo a expressão (25).
Para se poder determinar os parâmetros H1 e ε através do modelo de Scanlan são necessários dois valores da taxa de amortecimento, que são geralmente considerados um maior e outro menor que o amortecimento da estrutura inicial. Assim, adoptam-se ξ1 = 0,75ξ e ξ2 = 1,25ξ e, repetindo os passos do parágrafo anterior, obtêm-se Ay1 = 31,09 mm e Ay2 = 17,97 mm para δr1 = 17,68 e δr2 = 29,47, respectivamente. Através das expressões (37) (38) calculam-se, finalmente, os parâmetros H1 = 14,15 e ε = 517,66, referentes a Ur(cr) = 5.
Figura 25. Representação esquemática da Torre (a) e do seu primeiro modo de vibração natural (b) [23].
Deste modo, usando a equação (30) do modelo empírico não linear de Scanlan e resolvendo-a pelo método de Runge-Kutta através do programa MATLAB, obtém-se a resposta no tempo da oscilação do cilindro rígido bidimensional, cuja amplitude máxima de deslocamento é Ay(Scanlan) = 25,3 mm para a velocidade crítica Ucr = 1,093 m/s, conforme mostra a Figura 26. Existe uma ligeira diferença de cerca de 10% entre as amplitudes obtidas pelos modelos de Blevins e Scanlan, porque a variação das amplitudes de deslocamento em função do amortecimento é não linear.
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Figura 26. Resposta do cilindro rígido bidimensional equivalente à Torre, usando o modelo não linear de Scanlan, para Ucr = 1,093 (Ur = 5).
Na Figura 27 apresenta-se a curva da variação da amplitude do cilindro rígido bidimensional em função da velocidade reduzida do vento. Para tal, variam-se os valores da velocidade Ur para valores diferentes de 5 e tiram-se as amplitudes correspondentes Ay1 e Ay2, fazendo uma interpolação linear baseada na Figura 18. Calculam-se novamente os parâmetros H1 e ε e repete-se o método descrito em cima, tirando-se assim a amplitude de resposta Ay(Scanlan) quando o estado de regime oscilatório estável for alcançado depois de uma determinada janela de tempo. De notar que se desprezaram os resultados para velocidades reduzidas menores que 4 ou maiores que 6, uma vez que as amplitudes obtidas são muito pequenas, sendo praticamente nulas.
Figura 27. Amplitudes de deslocamento do cilindro rígido bidimensional equivalente à Torre, em função de Ur,
usando o modelo não linear de Scanlan.
Finalmente, calculam-se os valores das amplitudes utilizando o modelo de Pinheiro. Os passos são em tudo semelhantes ao indicado anteriormente, com a diferença de que agora se procede
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à incorporação da forma modal Ф(z) do primeiro modo de vibração natural da torre, utilizando para tal as equações (40) e (47) (48). Resolvendo pelo método de Runge-Kutta para cada par de valores H1 e ε em função de Ur, obtém-se os resultados da Figura 28. A amplitude máxima correspondente a Ur = 5 é Ay(Pinheiro) = 33 mm.
Figura 28. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de
vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o modelo semi-empírico de Pinheiro.
3.2.2 – Método do EC 1-4
Aplica-se agora a formulação do EC 1-4 para o desprendimento de vórtices, nomeadamente o Método 1, na análise da torre do exemplo corrente.
A massa equivalente por unidade de comprimento para o primeiro modo de vibração é m1,e = 55,35 kg/m, próximo do valor adoptado anteriormente, resultando num número de Scruton δr = 22,27, também ligeiramente diferente. O número de Strouhal é S = 0,18, de acordo com o quadro E.1 do EC 1-4, o que dá uma velocidade crítica superior vcrit,1 = 1,214 m/s (Ucr).
Tal como na formulação anterior, variam-se os valores da velocidade reduzida Ur para calcular diferentes amplitudes, o que torna irrelevante o cálculo da velocidade média vm. Assim, o valor básico do coeficiente de força lateral é clat,0 = 0,7, de acordo com a figura E.2 do EC 1-4, que é igual à Figura 2 do presente trabalho.
É preciso proceder de modo iterativo para calcular o comprimento de correlação, uma vez que este é função do deslocamento máximo da estrutura. Assim, admite-se que a relação
é menor que 0,1, ou seja, um deslocamento no topo da torre inferior a 50 mm, obtendo-se um comprimento de correlação L1 = 3 m. Consequentemente, os valores do coeficiente de
0 5 10 15 20 25 30 35 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 A m p litu d e (m m )
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comprimento de correlação efectivo e do coeficiente de configuração modal são KW = 0,272 e K = 0,122, respectivamente.
Com os valores calculados anteriormente, aplica-se finalmente a equação (66) para calcular as amplitudes de deslocamento da torre para as diferentes velocidades de escoamento do vento, obtendo-se os resultados da Figura 29.
Figura 29. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de
vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o Método 1 do EC 1-4.
De notar que a amplitude máxima obtida é de 16 mm, cerca de metade da calculada pelo método de Pinheiro. Isto acontece porque o método do EC 1-4 é muito sensível à grandeza do amortecimento estrutural ξ. Se adoptássemos um valor sensivelmente correspondente à média
dos valores propostos pelo quadro F.2 do EC 1-4 para chaminés de aço, teríamos um amortecimento estrutural ξ = 0,005, aproximadamente, que é metade do considerado no método de Pinheiro (ξ = 0,01). Obteríamos então, com este valor do amortecimento, um deslocamento máximo de cerca de 32 mm, como mostra a Figura 30, que é bastante próximo da amplitude máxima de 33 mm calculada pela formulação de Pinheiro.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 A m p litu d e (m m )
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Figura 30. Amplitudes de deslocamento da Torre encastrada e livre em função de Ur, para o primeiro modo de
vibração e sob perfil constante de velocidade de escoamento, usando o Método 1 do EC 1-4 e com amortecimento estrutural ξ = 0,005.
Verifica-se também que o andamento das amplitudes nos gráficos anteriores tem apenas um ramo ascendente, atingindo um valor de pico e estabilizando depois nesse valor máximo. Este patamar constante inicia-se por volta de valores de velocidade reduzida Ur = 6,7. Já o andamento das amplitudes pelo método de Pinheiro tem dois ramos, um ascendente e outro descendente, atingindo-se o valor de pico para Ur = 5. Isto acontece porque a formulação do EC 1-4 consiste numa simples multiplicação de parâmetros que aumentam com o crescimento da velocidade do vento, até atingirem um certo limite a partir do qual permanecem constantes, e daí a amplitude ser sempre fixa para velocidades reduzidas maiores que 6,7.
Por último, constata-se que o valor máximo da amplitude de deslocamento da torre é atingido para diferentes valores de velocidade reduzida, para cada um dos dois métodos, sendo esta mais elevada pelo Eurocódigo.