Modelo Retorno Variável de Escala (BCC VRS)

Banker, Charnes e Cooper (1984) propõem o modelo retorno variável de escala, conhecido como VRS (Variable Returns to Scale). No VRS, Banker, Charnes e Cooper (1984) argumentam que uma DMU não pode ser comparada com todas as DMUs de um determinado setor, mas com as DMUs que operam em escala semelhante à sua.

Diferente do modelo CRS, no modelo VRS a função produção não é linear, podendo ser dividida em dois tipos de rendimentos de escala na fronteira eficiente: o primeiro tipo seria o modelo com retorno decrescente de escala, em que um aumento nos inputs provoca um aumento proporcionalmente menor nos outputs. O segundo tipo seria o modelo com retorno crescente de escala, em que um aumento nos outputs é proporcionalmente maior ao aumento nos inputs (COOK; TONE; ZHU, 2014; FERREIRA; GOMES, 2009). O modelo VRS é representado pelas equações (12), (13) e (14): = ∑_∑ # #" +_{! !" "} = _∑∑ _{! !" +}# #" (12) Sujeito a: ∑ # # + ∑ ! ! ≤ 1 " ∑∑ ! ! + ≤# # = 1, 2 … (13) ui e vj > 0; u e v sem restrição de sinal

(14) Onde:

ui = peso calculado para o output i

yio = quantidade do output i para unidade em análise vj = peso calculado para o input j

xjo = quantidade do input j para unidade em análise

yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor u = variável de retorno de escala

v = variável de retorno de escala do denominador z = número de unidades em avaliação

m = número de outputs n = número de inputs

Para Mariano et al. (2006), as variáveis u e v possuem a função de garantir que as restrições das DMU’s que operam em escala diferente da DMU em análise não limitem sua função objetivo. Lins e Meza (2000) indicam que a inclusão das variáveis u e v servem para definir a combinação linear convexa no modelo VRS. Com essa variável é possível avaliar o retorno de escala em que a DMU está operando. Se o valor de u for maior que zero, a DMU opera com retornos decrescentes à escala; se o valor de u for menor que zero, opera com retornos crescentes à escala; e se o valor for igual a zero, considera-se que a DMU opera com retornos constantes à escala (COOK; TONE; ZHU, 2014; FERREIRA; GOMES, 2009). A variável v também pode ser utilizada para estimar o tipo de escala de uma DMU, porém deve ser interpretada de maneira oposta ao u, ou seja: caso v maiores que zero, os retornos serão crescentes; se v for igual a zero, os retornos serão constantes; e caso v for menor que zero, os retornos serão decrescentes. Os retornos de escala não são necessariamente iguais para as duas orientações (COOK; TONE; ZHU, 2014).

A Figura 6 ilustra o modelo VRS e as orientações para input e output. O modelo VRS deve ser utilizado quando não existe proporcionalidade entre as variáveis (inputs e outputs) das DMU’s que estão sendo analisadas. Nesse sentido, pode-se exemplificar a utilização do modelo VRS para um benchmarking externo, em que as DMUs definidas (podem ser diferentes empresas) não possuem amplitude semelhante entre si (por exemplo, uma pequena empresa comparada a uma empresa de porte).

Figura 6: Orientações do modelo VRS

Fonte: Adaptado de Souza (2014).

Quanto à orientação, deve-se defini-la para input quando o objetivo é minimizar as entradas e manter as saídas constantes. O modelo com orientação para output objetiva maximizar as saídas e manter as entradas constantes (COOK; TONE; ZHU, 2014).

O processo de linearização do modelo VRS utiliza os mesmos procedimentos do modelo CRS. A convexidade do modelo VRS é gerada por meio da inclusão das variáveis u e v. Para Eslami e Khoveyni (2013), o modelo VRS orientado a input é representado pelas equações (15), (16), (17) e (18):

= # #" + (15) Sujeito a: # # + − ! ! ≤ 0 = 1, 2 … (16) ! !" = 1 (17) ui e vj > 0; : ; :< #çã" = :#% >, # = 1, … , % (18) Onde:

ui = peso calculado para o output i

yio = quantidade do output i para unidade em análise

yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor vj = peso calculado para o input j

xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor xjo = quantidade do input j para unidade em análise

u = variável de retorno de escala do numerador v = variável de retorno de escala do denominador z = número de unidades em avaliação

m = número de outputs n = número de inputs

Para Eslami e Khoveyni (2013), o modelo VRS orientado a output é representado pelas equações (19), (20), (21) e (22):

= ! !" + (19) Sujeito a: # # − − ! ! ≤ 0 = 1, 2 … (20) # #" = 1 (21) ui e vj > 0; : ; :< #çã" = :#% >, # = 1, … , ;, ! = 1, … , % (22) Onde:

vj = peso calculado para o input j

xjo = quantidade do input j para unidade em análise ui = peso calculado para o output i

yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor yio = quantidade do output i para unidade em análise

u = variável de retorno de escala do numerador v = variável de retorno de escala do denominador z = número de unidades em avaliação

n = número de inputs

Nesse modelo não há a relação de proporcionalidade entre os inputs e outputs, ou seja, não é considerada que a relação existente de eficiência seja mantida linear de zero a infinito e sim alterações nos inputs ou outputs da curva no decorrer do tempo. A Figura 7 apresenta um resumo das técnicas tradicionais de análise envoltória de dados, suas orientações, aplicações e objetivos.

Figura 7: Aplicações dos modelos DEA

Fonte: Elaborado pelo autor com base em Gilsa (2012).

O Gráfico 4 ilustra a relação hipotética da fronteira de eficiência dos modelos VRS e CRS. Também é exibido a eficiência de escala, representada no gráfico pela distância das unidades eficientes do modelo com retornos variáveis de escala (VRS) para a linha da fronteira com retornos constantes de escala (CRS).

Gráfico 4: Fronteira VRS e CRS

Fonte: Elaborado pelo autor com base em Ferreira e Gomes (2009, p. 124).

Após a apresentação dos modelos CRS e VRS, discutem-se os conceitos referentes aos tipos de eficiência que são calculados pela técnica da análise envoltória de dados.