distinto de correla¸c˜ao. Entretanto a dependˆencia entre todos os poss´ıveis pares de vari´aveis aleat´orias ser˜ao expressos por uma c´opula gaussiana bivariada, o que imp˜oe uma restri¸c˜ao quanto a natureza da dependˆencia entre as vari´aveis.
Para contornar esses problemas, uma alternativa seria modelar a distribui¸c˜ao conjunta das vari´aveis a partir de c´opulas bivariadas e/ou a partir de c´opulas de dimens˜ao menor que d, e depois essas c´opulas s˜ao combinadas de tal forma que capture apropriadamente toda a distribui¸c˜ao conjunta. O modelo proposto, desta forma, se configura como um modelo hier´arquico de c´opulas, na medida em que h´a uma sobreposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de c´opulas a serem estimadas. Assim, evita-se o problema de impor a mesma estrutura de dependˆencia para todos os poss´ıveis pares ou todos os subgrupos de vari´aveis.
No intuito do par´agrafo anterior, foram propostas duas alternativas para con- stru¸c˜ao de modelos de c´opulas multivariados. A primeira consiste nos Modelos Hier´arquicos Arquimedianos, consolidado por Savu e Trede (2006), e a Pair Cop- ula, consolidado por Aas et. al. (2009). Os detalhes de cada metodologia s˜ao apresentadas nas se¸c˜oes a seguir.
4.2
Modelos Hier´arquicos Arquimedianos
As primeiras propostas de modelos hier´arquicos arquimedianos foram apresen- tadas por Joe (1997), Embrechts et. al. (2003) e Whelan (2004). O trabalho mais recente que unifica as propostas anteriores foi feita por Savu e Trede (2006), cuja metodologia ser´a apresentada a seguir. Os Modelos Hier´arquicos Arquimedianos podem ser encarados como uma estrat´egia para o estudo da existˆencia de grupos de s´eries que apresentam padr˜ao similar no tocante a estrutura de dependˆencia.
O Modelo Hier´arquico Arquimediano est´a estruturado em L n´ıveis, de tal forma que no n´ıvel 1 um grupo de p (p ≤ d) vari´aveis ´e agrupada em n1 c´opulas arquime-
dianas, expressa por C1,j,j = 1, ..., n1, da seguinte forma: C1,j(u1,j) = ϕ−11,j
X
u1,j
ϕ1,j(u1,j), (4.4)
em que ϕi,j denota a fun¸c˜ao geradora da c´opula C1,j e uj corresponde ao conjunto de vari´aveis de u1, ..., ud que pertencem a qualquer c´opula C1,j, para j = 1, ..., n1. Cada c´opula C1,j deve pertencer a classe arquimediana, entretanto podem pertencer a fam´ılias diferentes (como as fam´ılias Frank, Gumbel e Clayton), por´em deve-se satisfazer certas condi¸c˜oes. Este assunto ser´a retomado mais adiante.
Para ilustrar o procedimento, considere um exemplo pentavariado (d = 5) em que, no n´ıvel 1, o interesse ´e estimar para um grupo contendo as trˆes primeiras vari´aveis (u1, u2, u3) e um segundo grupo contendo as duas demais vari´aveis, u4 e u5. Para cada grupo ser´a especificado uma c´opula Clayton, cuja dimens˜ao ser´a igual a 3 para o primeiro grupo e igual a 2 para o segundo. Assim, a c´opula do primeiro grupo, denotado por C1,1 ´e expressa por:
C1,1(u1, u2, u3) =1 − 3 + (u−θ1,1
1 + u −θ1,1 2 + u −θ1,1 3 ) − 1 θ1,1 , (4.5)
em que θ1,1 ´e o parˆametro associado a c´opula C1,1. A c´opula do segundo grupo, denotada por C1,2, ´e expressa por:
C1,2(u4, u5) =1 − 2 + (u−θ1,2 4 + u −θ1,2 5 ) − 1 θ1,2 , (4.6)
em que θ1,2 ´e o parˆametro associado a c´opula C1,2.
Todas as c´opulas do n´ıvel 1, denotadas por C1,j, s˜ao agregadas, por sua vez, no n´ıvel l = 2 e em n2 c´opulas, atrav´es da seguinte equa¸c˜ao:
C2,j(C1,j) = ϕ−12,j X
C1,j
ϕ2,j(C2,j). (4.7)
4.2 Modelos Hier´arquicos Arquimedianos 45
sua vez, em uma c´opula Clayton bivariada C2,1 no n´ıvel 2. Assim, a c´opula C2,1 ´e igual a: C2,1(C1,1, C1,2) =1 − 2 + (C−θ2,1 1,1 + C −θ2,1 1,2 ) − 1 θ2,1. (4.8)
Neste exemplo, a c´opula C2,1 incorpora toda a estrutura de dependˆencia envol- vendo o vetor aleat´orio u = (u1, u2, u3, u4, u5) e isto foi feito atrav´es de trˆes fun¸c˜oes de c´opulas Clayton, uma com dimens˜ao igual a 3 e as demais com dimens˜ao igual a 2. Para efeito de compara¸c˜ao, considere uma ´unica c´opula Clayton pentavariada, denotada por CD, cuja express˜ao ´e igual a:
CD = 1 − 5 + (u−θD 1 + u −θD 2 + u −θD 3 + u −θD 4 + u −θD 5 ) − 1 θD. (4.9)
Toda a dependˆencia da c´opula CD ´e controlada pelo parˆametro θD, enquanto na c´opula C2,1 a dependˆencia no vetor aleat´orio ´e controlada por trˆes parˆametros: θ1,1, θ1,2 e θ2,1. Note que se a especifica¸c˜ao CD for verdadeira e for proposto o modelo de c´opulas C2,1, ent˜ao θ1,1= θ1,2. Entretanto, se o modelo C2,1 for o verdadeiro, propor uma c´opula CDir´a impor que para quaisquer pares de vari´aveis, o parˆametro de dependˆencia seja θD o que implica em uma restri¸c˜ao e que pode conduzir a interpreta¸c˜oes errˆoneas.
Em termos gerais, este procedimento continua at´e atingir o n´ıvel L, em que ape- nas uma ´unica fun¸c˜ao de c´opulas ´e estimada. Para o exemplo analisado, L = 2, mas a estrutura poderia ter mais n´ıveis. ´E importante observar que, no exemplo exposto, no primeiro n´ıvel foram incorporadas todas as vari´aveis. Contudo, ´e poss´ıvel que nem todas as vari´aveis aleat´orias sejam inclu´ıdas no primeiro n´ıvel, podendo ser por exemplo que uma delas passe a ser incorporada a partir do n´ıvel 2.
Para garantir que a estrutura proposta se constitua em um modelo hier´arquico, deve-se satisfazer que o n´umero de c´opulas deve decrescer para cada n´ıvel, sendo que no ´ultimo n´ıvel deve-se conter apenas uma ´unica c´opula.
deve-se assegurar outras restri¸c˜oes, a saber: i) todas as fun¸c˜oes inversas dos geradores ϕ−1i,j devem ser completamente mon´otonas, bem como ϕl+1,i ◦ ϕ−1i,j para todo l = 1, ..., L e j = 1, ..., nl, i = 1, ..., nl+1 e ii) A dependˆencia estimada para cada n´ıvel deve decrescer, ou θl+1,i < θl,j para todo l = 1, ..., L, j = 1, ..., nl e i = 1, ..., nl+1. A ´ultima condi¸c˜ao diz que a dependˆencia deve ser maior dentro de cada grupo comparada com a dependˆencia entre grupos.
A seguir ser˜ao apresentados alguns exemplos de modelos hier´arquicos arquime- dianos. O primeiro exemplo, proposto por Embrechts et. al. (2003) ´e o Fully Nested Archimedean Copulas(FNAC), cujo esquema gr´afico, para um caso com dimens˜ao igual a 5, ´e apresentado na Figura 4.1. Nesta figura, em L = 0 est˜ao as vari´aveis analisadas e em L = 1 ´e expressa a c´opula C1,1 envolvendo u1 e u2. No n´ıvel 2 ´e expressa a c´opula C2,1entre C1,1 e u3e assim sucessivamente at´e atingir o n´ıvel 5 em que todas as vari´aveis foram englobadas. As setas indicam quais vari´aveis/c´opulas participam e em que n´ıvel elas s˜ao agregadas.
L = 0 u1 %% K K K K K K K K K K u2 u3 u4 u5 L = 1 C1,1(u1, u2) (( P P P P P P P P P P P P L = 2 C2,1(C1,1, u3) (( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q L = 3 C3,1(C2,1, u4) (( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q L = 4 C4,1(C3,1, u5)
4.2 Modelos Hier´arquicos Arquimedianos 47
Neste exemplo, a fun¸c˜ao de c´opula ´e igual a:
C(u1, ..., u5) = ϕ−14,1(ϕ4,1(ϕ−13,1(ϕ3,1(ϕ−12,1(ϕ2,1(ϕ−11,1(ϕ1,1(u1) (4.10) +ϕ1,1(u2))) + ϕ(u3))) + ϕ3,1(u4))) + ϕ4,1(u5)).
Um segundo exemplo consiste em, no primeiro n´ıvel, agrupar as vari´aveis com base em algum crit´erio a priori para combin´a-las em seguida nos n´ıveis seguintes. Este modelo recebe o nome de HNAC (Hierarchical Nested Archimedean Copulas). O exemplo discutido em detalhes nesta se¸c˜ao, dado pelas equa¸c˜oes 4.5, 4.6 e 4.8, faz parte deste grupo. A Figura 4.2 a seguir apresenta um esquema gr´afico do exemplo explorado. As setas indicam quais vari´aveis/c´opulas foram utilizadas em cada n´ıvel.
L = 0 u1 && M M M M M M M M M M M u2 u3 uukkkkkkk kkkk kkkkk u4 u5 yyssss ssss ss
L = 1 C1,1(u1, u2, u3)
(( R R R R R R R R R R R R R C1,2(u4, u5) vvmmmmm mmmm mmm L = 2 C2,1(C1,1, C1,2)
Figura 4.2: Diagrama HNAC A equa¸c˜ao da c´opula utilizada na Figura 4.2 ´e:
C(u1, ..., u5) = ϕ−12,1(ϕ2,1(ϕ−11,1(ϕ1,1(u1) + ϕ1,1(u2) (4.11) +ϕ1,1(u3))) + ϕ2,1(ϕ−11,2(ϕ1,2(u4) + ϕ1,2(u5)))).
Savu e Trede (2006) implementaram um modelo similar ao dado pela equa¸c˜ao (4.11) para modelar um conjunto de retornos de a¸c˜oes, e estes dados foram agrupados de acordo com os setores da economia em que cada empresa avaliada pertencia.
A estimativa dos parˆametros dos modelos Hier´arquicos Arquimedianos ´e feita atrav´es do m´etodo de M´axima Verossimilhan¸ca, como apresentado na Se¸c˜ao 3.5.1.
Nestes modelos, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ser muito complexas, uma vez que a mesma depende do n´umero de vari´aveis, do n´umero de fun¸c˜oes de c´opulas e da maneira que as hierarquias foram especificadas.
Os procedimentos de bondade de ajuste e simula¸c˜ao para os Modelos Hier´arquicos Arquimedianos foram os descritos nas Se¸c˜oes 3.5.2 e 3.6. Assim, para simular atrav´es do m´etodo de simula¸c˜ao condicional e fazer a an´alise de bondade de ajuste de um mo- delo Hier´arquico Arquimediano, ´e preciso calcular as fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao condi- cional F (uk|uk−1, ..., u1), para k = 2, ..., d, atrav´es da seguinte equa¸c˜ao:
F (uk|uk−1, ..., u1) = ∂
k−1C(u1, ..., uk) ∂u1· · · ∂uk−1
.∂k−1C(u1, ..., uk−1)
∂u1· · · ∂uk−1 (4.12) As express˜oes de cada c´opula C(u1, ..., uk) ser˜ao diferentes em fun¸c˜ao da hier- arquia adotada e da fun¸c˜oes de c´opulas adotadas para cada modelo de c´opula. ´E importante notar que, dependendo do modelo hier´arquico adotado, poder´a resul- tar em fun¸c˜oes condicionais de dif´ıcil deriva¸c˜ao e express˜oes anal´ıticas complexas, e que poder´a implicar em rotinas de simula¸c˜ao ineficientes em termos de tempo de gera¸c˜ao.
A seguir ser´a feita uma an´alise, com base em simula¸c˜oes, do que ocorre com as estimativas dos parˆametros quando se especifica um modelo errado. Foi simulado uma amostra de 1.000 observa¸c˜oes para o caso pentavariado de cada um dos seguintes modelos: i) ´unica fun¸c˜ao de c´opula Clayton englobando todas as vari´aveis e θ = 1; ii) modelo FNAC com parametros θ1,1 = 1, 7, θ2,1 = 1, 5, θ3,1 = 1 e θ4,1 = 0, 5; e iii) modelo HNAC igual ao da Figura 4.2, com parˆametros θ1,1 = 1, 7, θ1,2 = 1, 5 e θ2,1 = 1. Para cada uma dessas amostras foram estimados trˆes modelos: (i), uma ´
unica fun¸c˜ao de c´opula Clayton, (ii) FNAC com todas as c´opulas Clayton, e (iii) HNAC, igual ao apresentado pela Figura 4.2.
A compara¸c˜ao entre as estimativas est´a apresentada na Tabela 4.2. Duas con- clus˜oes s˜ao obtidas com base nos resultados apresentados nesta tabela. Primeiro, o valor estimado do parˆametro da c´opula Clayton pentavariada se localiza em uma posi¸c˜ao intermedi´aria entre os valores dos parˆametros verdadeiros quando a amostra