Modelagem de dependencia em series financeiras multivariadas

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Modelagem de Dependˆ

encia em S´

eries

Financeiras Multivariadas

Campinas - SP 2009

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Omar Muhieddine Franco Abbara

Modelagem de Dependˆ

encia em S´

eries

Financeiras Multivariadas

Disserta¸cão apresentada junto ao Depar-tamento de Estat´ıstica do Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica da Universidade Estadual de Campinas, para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Orientador:

Prof. Dr. Mauricio Enrique Zevallos Herencia

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computação Cient´ıfica Departamento de Estat´ıstica

Campinas - SP 2009

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v

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Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Maur´ıcio Zevallos, pela amizade e dedica¸c˜ao em todos os momentos no desenvolvimento deste trabalho.

`

A minha m˜ae, Ana Maria, e minha irm˜a, Fatme, pelo apoio e pelo amor incondi-cional.

Ao Prof. Dr. Luiz Koodi Hotta e Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira, pelos coment´arios finais que contribu´ıram para o aperfei¸coamento deste trabalho.

Aos funcion´arios da PBLM Consultoria Empresarial, em especial ao Paulo e Luiz Carlos, por compreenderem meus momentos de ausˆencia.

Aos meus amigos do mestrado de estat´ıstica na Unicamp, pelo companheirismo e por proporcionarem que minha trajet´oria em todo o mestrado fosse a mais agrad´avel poss´ıvel.

`

A todos os professores do programa de mestrado em estat´ıstica na Unicamp, pela dedica¸c˜ao e empenho nas atividades acadˆemicas.

Aos funcionários da Secretaria de Pós Gradua¸cão do IMECC/Unicamp, pela ajuda.

`

A Kjersti Aas e Daniel Berg, por fornecerem as rotinas de estima¸c˜ao do modelo de Pair Copula.

`

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ix

Resumo

A modelagem multivariada de séries financeiras se constitui em um dos mais importantes e desafiadores problemas na área de econometria financeira. Um dos modelos populares nesta área é o modelo de cópulas, dada sua flexibilidade para construir fun¸cões de distribui¸cão multivariadas que reproduzam dependências não lineares. Este trabalho está focado no estudo e aplica¸cão de modelos de cópulas com dimensão maior que três, em problemas de interdependência, contágio e gerencia-mento de risco. Primeiramente é realizada a modelagem bivariada de retornos de ´ındices considerando os mercados de Estados Unidos, os principais mercados finan-ceiros latino-americanos e europeus, utilizando copulas variando no tempo segundo a metodologia proposta por Patton(2006). Em seguida é proposta a especifica¸cão de um modelo de cópulas trivariado com parâmetros variando no tempo combinando as propostas de Patton (2006) e Aas et. al. (2009). Em terceiro lugar a análise de dependência e contagio entre os retornos estudados é feita através do uso de copulas condicionais. Esta análise, conjuntamente com a proposta do modelo trivariado de cópulas com parâmetros variando no tempo, constituem as principais contribui¸cões metodológicas deste trabalho. Finalmente, cópulas tetravariadas são empregadas na análise de risco de a¸cões negociadas no mercado à vista brasileiro.

(9)

Abstract

Multivariate modelling of financial time series is one of the most important and challenging issue in financial econometrics. One of the most popular model in this subject is copula models, mainly because its flexible properties to construct multi-variate distributions in which it is possible to reproduce nonlinear dependence. This work studies and applies copula models with dimension higher than two in issues of interdependence, contagion and risk management. At first it is fitted bivariate copula models with time-varying parameters proposed by Patton (2006) considering the north american stock markets and the most important markets of latin america and europe. After that it is proposed a trivariate copula model with time-varying parameter which combines the methodologies of Patton (2006) and Aas et. al. (2009). At third the analysis of dependence and contagion among returns under study is made through a conditional copula model. Both the analysis through a conditional copula and the trivariate copula model with time-varying parameters are the main methodological contributions of this work. Finally, 4-variate copula models are applied in risk management in brazilian stock market.

(10)

xiii

Sum´

ario

Lista de Tabelas xvii

Lista de Figuras xix

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Breve descri¸c˜ao da disserta¸c˜ao . . . 4

2 Fatos Estilizados de Séries Financeiras 7 2.1 Introdu¸cão . . . 7 2.2 Retornos . . . 7 2.3 Volatilidade condicional . . . 11 2.4 Dependência . . . 16 3 Modelos de Cópula 21 3.1 Introdu¸cão . . . 21

3.2 C´opulas e medidas de dependˆencia . . . 24

3.3 Algumas Fam´ılias de C´opulas . . . 25

3.3.1 C´opulas el´ıpticas . . . 26

3.3.2 C´opulas arquimedianas . . . 28

(11)

3.5 Modelagem . . . 33

3.5.1 Estima¸c˜ao . . . 33

3.5.2 Bondade de ajuste . . . 35

3.6 Simula¸c˜ao de c´opulas . . . 38

4 Modelagem de c´opulas multivariadas 41 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 41

4.2 Modelos Hier´arquicos Arquimedianos . . . 43

4.3 Pair Copula . . . 49

4.4 Compara¸c˜ao entre as metodologias . . . 58

5 Análise de Interdependência e Contágio 59 5.1 Introdu¸cão . . . 59

5.2 Arcabou¸co te´orico . . . 61

5.3 Dados e modelos marginais . . . 64

5.4 Modelagem Bivariada . . . 68

5.4.1 C´opulas est´aticas . . . 70

5.4.2 C´opulas com parˆametros variando no tempo . . . 72

5.5 Modelagem Trivariada . . . 83

5.5.1 Metodologia . . . 85

5.6 An´alise da interdependˆencia entre os mercados . . . 87

5.7 An´alise de cont´agio entre os mercados . . . 94

5.8 Compara¸c˜ao com a literatura . . . 98

(12)

Sum´ario xv

6 Gerenciamento de risco 101

6.1 Introdu¸c˜ao . . . 101

6.2 Dados e modelos marginais . . . 105

6.3 C´opulas estimadas . . . 107

6.4 Estima¸c˜ao do VaR e CVaR . . . 111

6.4.1 Metodologia . . . 111

6.4.2 Resultados e backtesting . . . 114

6.5 Conclus˜ao . . . 116

7 Conclus˜oes Finais 117

Apˆendice A -- Propriedades das medidas de dependˆencia 119

Apˆendice B -- Limites de Frechet-Hoeffding 123

Apêndice C -- Modelos de Cópulas Dinâmicas 125

(13)

Lista de Tabelas

2.1 Estat´ıstica descritiva dos ´ındices de bolsa do Brasil. . . 9

2.2 Compara¸c˜ao entre as medidas de dependˆencia ρ, ρS e τ . . . 18

3.1 Principais c´opulas arquimedianas . . . 28

4.1 Principais c´opulas arquimedianas para o caso d-variado . . . 42

4.2 Compara¸c˜ao entre os Modelos Hier´arquicos Arquimedianos . . . 49

4.3 Compara¸cão entre as estimativas da cópula t-Student entre D vine e uma cópula tetradimensional. . . 57

5.1 Estat´ısticas descritivas dos retornos dos ´ındices de bolsa em estudo . 67 5.2 Estimativa dos modelos marginais.Erros padrão estão dados em parênteses 69 5.3 Índices de cauda emp´ıricos . . . 70

5.4 Resultados das c´opulas est´aticas . . . 71

5.5 P-valores do teste de influência de outras variáveis na distribui¸cão condicional . . . 74

5.6 Estimativas das cópulas gaussiana com parâmetros variando no tempo 76 5.7 Estimativas das cópulas SJC com parâmetros variando no tempo . . . 77

5.8 Análise de bondade de ajuste para as cópulas gaussiana e SJC com parâmetro variando no tempo . . . 84 5.9 Resultado da cópula SJC condicionada nos EUA (estática e dinâmica) 88

(14)

xviii Lista de Tabelas 5.10 Resultados da c´opula Gaussiana condicionada nos EUA (est´atica e

dinˆamica) . . . 89

5.11 Resultados da cópula t-Student condicionada nos EUA (estática e dinâmica) . . . 90

5.12 Análise de bondade de ajuste para as cópulas trivariadas estimadas . 91 6.1 Estat´ısticas descritivas dos retornos das a¸cões em estudo . . . 105

6.2 Estimativa dos modelos marginais. Erros padrão estão dados em parênteses. . . 108

6.3 Correla¸c˜ao de Pearson e τ de Kendall das a¸coes estudadas . . . 109

6.4 Modelos de c´opulas estimados . . . 111

6.5 Estimativa das fun¸c˜oes de c´opulas . . . 112

(15)

Lista de Figuras

2.1 S´erie de Retornos do Ibovespa . . . 8

2.2 Caracter´ısticas dos retornos do Ibovespa . . . 10

2.3 Gr´afico das volatilidades estimadas do Ibovespa . . . 14

2.4 Gr´afico das autocorrela¸c˜oes dos res´ıduos padronizados . . . 15

2.5 Gráfico dos res´ıduos padronizados da série do Ibovespa e Merval, após o ajuste de um modelo AR(1)-EGARCH(1,1) com inova¸cões t-Student 19 3.1 Curvas de n´ıvel das densidades das cópulas gaussiana e t-Student com marginais N (0, 1). . . 27

3.2 Curvas de n´ıvel das densidades das c´opulas Clayton, Gumbel e Frank com marginais N (0, 1). . . 29

3.3 Curvas de n´ıvel da densidade da c´opula SJC. . . 30

4.1 Diagrama FNAC . . . 46

4.2 Diagrama HNAC . . . 47

4.3 Diagrama do D vine . . . 53

4.4 Diagrama do Vine Canˆonico . . . 54

4.5 Exemplo de vine regular que não pertence ao D vine e ao vine canônico 55 5.1 Evolu¸cão dos retornos dos pa´ıses analisados . . . 66

(16)

xx Lista de Figuras 5.3 Evolu¸c˜ao do ´ındice de cauda superior (coluna da esquerda) e de cauda

inferior (coluna da direita) para os mercados latino-americanos e o mercado dos EUA . . . 79 5.4 Evolu¸c˜ao do ´ındice de cauda superior (coluna da esquerda) e de cauda

inferior (coluna da direita) para os mercados latino-americanos e o mercado dos EUA (cont.) . . . 80 5.5 Evolu¸c˜ao do ´ındice de cauda superior (coluna da esquerda) e de cauda

inferior (coluna da direita) para os mercados europeus e o mercado dos EUA . . . 81 5.6 Evolu¸c˜ao da correla¸c˜ao entre os mercados latino-americanos

condi-cionada a informa¸cão dos EUA. . . 92 5.7 Evolu¸cão da correla¸cão e dos ´ındices de cauda entre Alemanha e

Inglaterra condicionada a informa¸cão dos EUA. . . 93 5.8 Compara¸cão entre a evolu¸cão do ´ındice de cauda inferior para os

mercados latino-americanos. A linha constante representa o modelo incondicional, enquanto a linha tracejada indica o caso condicional. . 96 5.9 Compara¸c˜ao da evolu¸c˜ao do ´ındice de cauda inferior entre os mercados

alemão e inglês. O gráfico de cima se refere ao modelo incondicional, enquanto o de baixo se trata do modelo condicional. . . 97 6.1 Evolu¸cão dos retornos das a¸cões analisados . . . 106 6.2 Dispersão das fun¸cões de distribui¸cão emp´ıricas das a¸cões estudadas . 110 6.3 Retornos do portfólio e VaR para α = 1% , 2,5% e 5% . . . 114

(17)

1 Introdu¸

c˜

ao

A modelagem multivariada é uma das mais importantes e desafiadoras áreas na análise de séries financeiras. Nesta área, um dos principais objetos de estudo consiste na modelagem da interdependência entre as séries financeiras. O conhecimento dela é crucial em problemas tais como gerenciamento de risco, precifica¸cão de derivativos e avalia¸cão de contágio, entre outros.

Há diversos modelos que permitem a análise multivariada de séries financeiras. Há por exemplo o modelo VAR (Vetorial Auto-Regressivo), amplamente utilizado para a modelagem da interdependência. Este modelo estabelece a interdependência e a dinâmica entre as médias das séries financeiras estudadas. Em rela¸cão aos modelos que reproduzem a interdependência no segundo momento, escolhas usuais na modelagem são os modelos da fam´ılia GARCH multivariada, como por exemplo o BEKK proposto por Engle e Kroner (1995) e o DCC, proposto por Engle (2002). Em rela¸cão a distribui¸cão adotada por estes modelos, grande parte deles assumem a hipótese de normalidade.

Uma das caracter´ısticas mais importantes da dependência entre séries financeiras é a dependência nas caudas, isto é a dependência observada entre valores extremos. No contexto de finan¸cas, esta dependência se traduz na associa¸cão entre fortes altas e/ou fortes baixas nos retornos dos ativos financeiros. Esta caracter´ıstica é central em algumas áreas de econometria de finan¸cas, como por exemplo o gerenciamento de risco.

(18)

gaus-2 1 Introdu¸cão siana não é conveniente, uma vez que esta distribui¸cão não consegue reproduzir dependência em valores extremos. Com isso, torna-se necessário o estudo de mode-los multivariados alternativos em que a não normalidade seja incorporada.

Dentre os modelos multivariados propostos, o modelo de cópulas ganha destaque sobretudo pela versatilidade que este modelo tem na constru¸cão de distribui¸cões multivariadas. Para tanto, segundo esta metodologia, é preciso conhecer as dis-tribui¸cões marginais e conhecer também uma fun¸cão, denominada cópula, que liga as marginais.

A flexibilidade do modelo de cópulas permite especificar distribui¸cões multi-variadas que, diferentemente da distribui¸cão gaussiana, permitem reproduzir de-pendência nas caudas. Por exemplo, a cópula Clayton (1978) permite reproduzir dependência somente na cauda inferior, enquanto a dependência na cauda superior é igual a zero. Outro exemplo consiste na cópula Gumbel (1960) que reproduz a dependência na cauda superior, enquanto que na cauda inferior a dependência é igual a zero. Foram propostas diversas fun¸cões de cópulas, e uma revisão acerca delas pode ser encontrada em Becerra e Melo (2008a).

Vários trabalhos foram feitos utilizando a metodologia de cópulas em econome-tria financeira. Por exemplo, Cherubini e Luciano (2001), Fortin e Kuznics (2002), Mendes (2005), Palaro e Hotta (2006) , Fantazzini (2006), Ozun e Cifter (2007), Silva Filho e Ziegelmann (2008) e Becerra e Melo (2008b), dentre outros, aplicam a metodologia de cópulas para a análise de risco. Georges et al (2001) aplicam a metodologia de cópulas para precifica¸cão de derivativos e modelagem do tempo de exerc´ıcio de op¸cões, enquanto Cherubini e Luciano (2002) e Assis e Laurini (2008) aplicam a metodologia de cópulas na precifica¸cão de derivativos e op¸cões. e Ro-driguez (2007) e Viale et. al. (2008) aplicam a metodologia de cópulas para a análise de contágio. Todos os trabalhos mencionados envolveram a estima¸cão de cópulas bivariadas.

Outra importante evidência emp´ırica que exibem as séries financeiras é o caráter ou natureza dinâmica da dependência ao longo do tempo. Desta forma, é

(19)

conve-niente incorporar parâmetros que variem no tempo nos modelos de cópulas. Patton (2006) apresenta a primeira contribui¸cão neste assunto, em que foram especificadas evolu¸cões dos parâmetros das cópulas Gaussiana e SJC na análise da dependência entre taxas de câmbio da Alemanha e Japão. Jondeau e Rockinger (2006) e Zhang e Guegan (2008) apresentam alternativas para a evolu¸cão da correla¸cão. Bartram et al. (2007) aplica o modelo de cópula Gaussiana com parâmetros variando no tempo para avaliar a altera¸cão na dependência entre os mercados financeiros europeus após a ado¸cão do Euro como moeda em alguns pa´ıses. Todas as análises destes trabalhos foram feitas para o caso bivariado.

A partir dos artigos revisados na literatura, pode-se constatar que grande parte das aplica¸cões dos modelos de cópulas se concentram no caso bivariado. Assim, um desenvolvimento natural dos modelos de cópulas consiste em modelar dimensões maiores que dois. As principais contribui¸cões neste assunto foram propostas por Savu e Trede (2006), Aas et al. (2009) e Serban et al. (2007).

O assunto principal desta disserta¸cão é a modelagem de copulas multivariadas, isto é com dimensão maior que 2. Os três objetivos espec´ıficos são: (i) aplica¸cão de modelos de cópula variando no tempo na análise de séries financeiras, (ii) propor uma metodologia para medir interdependencia e avaliar contagio entre mercados financeiros, assim como a aplica¸cão desta em dois grupos de paises, e (iii) estima¸cão do Valor em Risco (VaR) e Expected Shortfall (Valor em Risco Condicional) para um portfólio de ativos brasileiros.

A análise da interdependência entre os mercados financeiros envolverá dois gru-pos de pa´ıses. Um primeiro grupo é formado por Brasil, Argentina, México e EUA, e o segundo grupo é formado por Alemanha, Inglaterra e EUA. Será analisado o per´ıodo entre os dias 09/06/1995 e 13/08/2008. O per´ıodo estudado compreende o in´ıcio da crise financeira do subprime, e segundo nosso conhecimento este seria o primeiro trabalho que inclui o per´ıodo de 2007 a agosto de 2008 com cópulas evoluindo no tempo. O primeiro passo consistirá na análise bivariada entre os mercados de cada grupo através da metodologia de Patton (2006). Em seguida

(20)

4 1 Introdu¸cão será avaliado o efeito que o mercado norte-americano exerce sobre a dinâmica da dependência bivariada em cada grupo estudado, e para tanto será combinada as metodologias de Aas et al. (2009) e Patton (2006). Esta consiste na principal contribui¸cão metodológica desta disserta¸cão.

Finalmente, será avaliada como diferentes constru¸cões da dependência multivari-ada, através da metodologia de Aas et. al. (2009), altera as estimativas do Valor em Risco e do Valor em Risco Condicional para o retorno de quatro a¸cões de alta liquidez na Bolsa de Valores de São Paulo.

1.1 Breve descri¸

c˜

ao da disserta¸

c˜

ao

No Cap´ıtulo 2 são apresentadas as principais caracter´ısticas das séries finan-ceiras, os chamados fatos estilizados. Através de uma análise de uma série real são discutidas a não-normalidade das séries financeiras, a existência de volatilidade variando no tempo e o problema em especificar medidas de dependência coerentes para o estudo de séries financeiras. As caracter´ısticas dos retornos são discutidas na Se¸cão 2.2. Na Se¸cão 2.3 são apresentados as propriedades da volatilidade das séries, e por fim a Se¸cão 2.4 são apresentadas as principais medidas de dependência propostas na literatura.

O Cap´ıtulo 3 apresenta resumidamente a Teoria de Cópulas com ênfase no caso bivariado. Na Se¸cão 3.1 é apresentada a defini¸cão de modelos de cópulas e sua modelagem, enquanto a Se¸cão 3.2 trata da rela¸cão da fun¸cão de cópulas com as medidas de dependência apresentadas na Se¸cão 2.4. Algumas fam´ılias de fun¸cões de cópulas são apresentadas nas Se¸cões 3.3 e a extensão desses modelos para o caso com parâmetros variando no tempo são apresentados na Se¸cão 3.4. A estratégia de modelagem, que envolve a estima¸cão e a análise de bondade de ajuste, é apresentada na Se¸cão 3.5 e, por fim, algoritmos para simular amostras de modelo de cópulas é apresentado na Se¸cão 3.6.

(21)

cópulas envolvendo dimensões maior que dois: os Modelos Hierárquicos Arquimedi-anos, propostos por Savu e Trede (2006), e os modelos Pair Copula, propostos por Aas et al. (2009). Este cap´ıtulo complementa a exposi¸cão do Cap´ıtulo 3, na qual foram discutidas basicamente cópulas bivariadas. Na Se¸cão 4.2 são apresentados os modelos Hierárquicos Arquimedianos, enquanto que na Se¸cão 4.3 é apresentada a metodologia de Pair Copula. Por fim a Se¸cão 4.4 é dedicada a compara¸cão das duas metodologias em termos das vantagens e desvantagens de cada uma.

No Cap´ıtulo 5 a metodologia de cópulas é aplicada na análise da interdependência e contágio entre os principais mercados financeiros latino-americanos, europeus e os Estados Unidos. Na Se¸cão 5.2 é feita uma breve discussão referente ao arcabou¸co teórico de contágio. Na Se¸cão 5.3 são apresentados os dados utilizados na aplica¸cão, assim como a estima¸cão dos modelos marginais. A Se¸cão 5.4 apresenta os resultados bivariados da modelagem de cópulas, bem como os primeiros resultados referentes à análise de interdependência. A Se¸cão 5.5 apresenta a modelagem trivariada, em que é proposto um modelo trivariado com parâmetro variando no tempo. Aqui é combinado o modelo Pair Copula de Aas et. al. (2009) com a abordagem de Patton (2006). Esta é a principal contribui¸cão metodológica desta disserta¸cão. Uma revisão cr´ıtica da análise da evolu¸cão da dependência entre os mercados financeiros estuda-dos, com base nos resultados da Se¸cão 5.5, está presente na Se¸cão 5.6, enquanto a análise de contágio é realizada na Se¸cão 5.7. A Se¸cão 5.8 faz uma compara¸cão dos resultados obtidos neste cap´ıtulo com trabalhos similares em que foram aplicadas as metodologia de cópulas. Por fim, a Se¸cão 5.9 apresenta as conclusões deste cap´ıtulo. No Cap´ıtulo 6 o modelo de Pair Copula é aplicado na estima¸cão do Valor em Risco (VaR) e do VaR condicional (CVaR) para retornos de quatro ativos de alta liquidez negociados na Bolsa de Valores de São Paulo. Esta metodologia admite várias decomposi¸cões de cópulas. Assim, será avaliado o impacto da decomposi¸cão escolhida na estima¸cão do VaR e do CVaR. Na Se¸cão 6.2 é apresentada uma análise exploratória dos dados em estudo, bem como as estimativas dos modelos marginais cujos res´ıduos padronizados são utilizados para estimar os modelos de cópulas apre-sentadas na se¸cão 6.3. A Se¸cão 6.4 apresenta os resultados e análise do backtesting

(22)

6 1 Introdu¸cão das estimativas do VaR e ES, bem como os resultados obtidos. Finalmente a Se¸cão 6.5 apresenta as conclusões deste cap´ıtulo.

Por fim, no Cap´ıtulo 7 são consignadas as conclusões finais do trabalho e são listadas alguns temas de pesquisa futuras.

(23)

2 Fatos Estilizados de S´

eries

Financeiras

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo são apresentadas as principais caracter´ısticas das séries finan-ceiras, os chamados fatos estilizados. Através de uma análise de uma série real são discutidas a não-normalidade das séries financeiras, a existência de volatilidade variando no tempo e o problema em especificar medidas de dependência coerentes para o estudo de séries financeiras. As caracter´ısticas dos retornos são discutidas na Se¸cão 2.2. Na Se¸cão 2.3 são apresentados as propriedades da volatilidade das séries, e por fim a Se¸cão 2.4 são apresentadas as principais medidas de dependência propostas na literatura.

2.2 Retornos

Seja Pt o pre¸co de um determinado ativo, e seja rt = ln(Pt/Pt−1) o respectivo retorno. A t´ıtulo de exemplifica¸cão, a Tabela 2.1 a seguir apresenta as estat´ısticas descritivas dos retornos do Ibovespa, principal ´ındice de bolsa do Brasil1_{. O Gráfico} 2.1 apresenta a evolu¸cão dos retornos do Ibovespa apresentados. A partir deste gráfico é possivel verificar que a mais forte queda deste ´ındice (baixa de -17,21%) ocorreu nos finais de 1998 enquanto a mais forte alta (de 28,82%) ocorreu no in´ıcio de 1999.

(24)

8 2 Fatos Estilizados de S´eries Financeiras tempo Retor nos 1996 1998 2000 2002 2004 2006 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

(25)

Tabela 2.1: Estat´ıstica descritiva dos ´ındices de bolsa do Brasil. Estat´ıstica Valor média (x104₎ _8,38 máximo 0,29 m´ınimo -0,17 variância (x104₎ _5,21 curtose 16,30 assimetria 0,30

Teste Jarque Bera (p-valor) 0,00 n´umero de observa¸c˜oes 2961

A partir da Tabela 2.1, pode-se constatar que os retornos apresentados possuem curtose elevada (maior do que 3), indicando que esta série apresenta caudas pesadas. Isto constitue-se em uma importante caracter´ıstica das séries financeiras, em que é poss´ıvel identificar a ocorrência de eventos extremos, isto é, fortes altas e fortes baixas comparada com a evolu¸cão “normal” dos mercados. Além disso, a série apresentam pequena assimetria e média próxima de zero.

A caracter´ıstica das caudas pesadas influencia, consequentemente, a especi-fica¸cão adequada da distribui¸cão a ser utilizada na modelagem dos retornos. Isto é evidenciado a partir dos resultados do teste de Jarque-Bera, em que para a série em estudo rejeita-se a hipótese nula de normalidade com valor-p menor que 1%.

A Figura 2.2 apresenta algumas caracter´ısticas da série de retornos do Ibovespa. O Quadro (A) apresenta o histograma, o Quadro (B) apresenta o gráfico de proba-bilidade normal e os Quadros (C) e (D) apresentam a fun¸cão de autocorrela¸cão da série e de seu quadrado, respectivamente.

A existência de caudas pesadas nas séries financeiras pode ser visualizada na Figura 2.2, Quadro (B), em que é apresentado o gráfico de probabilidade normal. Constata-se para valores grandes dos quantis teóricos os quantis do Ibovespa se afastam do valor esperado supondo que a distribui¸cão é N (0, 1).

No que se refere a dinˆamica do n´ıvel dos retornos, a principal caracter´ıstica consiste na presen¸ca de pouca ou nenhuma presen¸ca de autocorrela¸c˜ao. Neste caso,

(26)

10 2 Fatos Estilizados de S´eries Financeiras Quadro (A) Ibovespa Densidade −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0 5 10 15 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Quadro (B)

Quantis da Distribuição Normal Padrão

Quantis dos retor

nos do Ibo v espa 0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagens A utocorrelação do Ibo v espa Quadro (C) 0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagens A utocorrelação do quadr ado do Ibo v espa Quadro (D)

(27)

a dinamica poderia ser capturada atrav´es dos modelos AR(1) ou MA(1), expressos por Yt = φYt1+ ǫt e Yt= ǫt+ θǫt−1, com parˆametros φ ou θ pequenos.

2.3 Volatilidade condicional

Outra caracter´ıstica encontrada na análise de séries de retornos é que a volati-lidade, entendida como o grau de variabilidade dos mercados, evolui no tempo. Por exemplo, em per´ıodos de turbulência financeira a volatilidade dos retornos é maior comparada com per´ıodos “normais”. Para exemplificar, na Figura 2.1, é poss´ıvel constatar que a volatilidade dos retornos do Ibovespa aumenta, por exemplo, em per´ıodos de crise, como o in´ıcio de 1999 (crise da desvaloriza¸cão do Real) e o se-gundo semestre de 2001 (crise na Argentina). Alguns modelos que reproduzem esta caracter´ısticas são descritos nesta se¸cão.

A principal caracter´ıstica das séries de retornos referente a estrutura de cor-rela¸cão, e a presen¸ca simultânea de ausência ou pequena correla¸cão no n´ıvel das séries e a existência de estrutura de correla¸cão no quadrado das séries. Por exemplo, a Figura 2.2, Quadro (D), apresenta a fun¸cão de autocorrela¸cão para o quadrado dos retornos do Ibovespa, e a partir deste gráfico é poss´ıvel constatar que o quadrado dos retornos do Ibovespa apresenta correla¸cão serial, diferentemente dos retornos.

Uma fam´ılia de modelos capaz de reproduzir volatilidades que evoluem no tempo, assim como os conglomerados de volatilidade, são os modelos de variância condi-cional heterocedástica, proposto originalmente por Engle (1982) com a formula¸cão do modelo ARCH (Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity). Um modelo ARCH de ordem p, denotado por ARCH(p), é expresso por:

yt = ut = σtǫt, (2.1) σ2_t = β0+ p X i=1 αiu2_i, (2.2)

(28)

12 2 Fatos Estilizados de Séries Financeiras de distribui¸cão para estes erros são a distribui¸cão normal padrão, a t-Student com ν graus de liberdade, ou a Distribui¸cão Generalizada do Erro, também conhecida como GED (Generalized Error Distribution). A distribui¸cão especificada para ǫt irá fornecer a distribui¸cão condicional F (yt|Ωt−1), em que Ωt−1 = (yt−1, yt−2, ...) representa o conjunto de informa¸cão até o instante t − 1.

Em modelos da fam´ılia ARCH, é importante distinguir a variância incondicional da variância condicional. Por exemplo, no processo ARCH(1) a variância incondi-cional de Yt é:

V ar(Yt) = β0

1 − α1. (2.3)

enquanto que a variancia condicional de Yt dada a informa¸c˜ao passada Ωt−1 ´e dada por σ2

t da equacao (2.2). Desta forma, pode-se constatar que nos modelos ARCH a variância incondicional é fixa, enquanto que a variância condicional varia no tempo. Nesta disserta¸cão será considerada como volatilidade a variancia condicional, a qual evolui no tempo.

Uma extensão do modelo ARCH foi sugerido por Bollerslev (1986), no chamado Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH). Evidência emp´ırica mostra que este modelo permite modelar a volatilidade de maneira mais parcimoniosa (isto é, com menor número de parâmetros) comparado com o modelo ARCH. A equa¸cão de evolu¸cão da volatilidade de um modelo GARCH(p, q) é dado por: σt2 = β0+ p X i=1 αiu2i + q X i=1 βiσ2i. (2.4)

Tanto os modelos ARCH quanto os modelos GARCH impõem uma estrutura simétrica para a evolu¸cão da volatilidade, porém sabe-se que a volatilidade se com-porta diferentemente em fun¸cão de boas not´ıcias (retornos positivos) e de not´ıcias ru-ins (retornos negativos). Esta propriedade é denominada como alavancagem (lever-age effects). Uma classe de modelos que permite incorporar esta propriedade foi

(29)

proposta por Nelson (1991) em que ´e apresentado o modelo EGARCH (Exponential Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity), no qual:

ln(σt2) = ω + p X

i=1

αi|ǫt−i| + γiut−i σt−i + q X i=1 βiln(σ2t−i). (2.5) ´

E importante notar que se ǫt−i> 0 (boas not´ıcias), então o efeito na volatilidade é igual a (1+γi|ǫt−i|), e no caso em que ǫt−i< 0 (más not´ıcias) o efeito na volatilidade é igual a (1 − γi|ǫt−i|). Se γi < 0, então as más not´ıcias exercem maior impacto na volatilidade do que as boas not´ıcias, o que é esperado.

Outros modelos foram propostos para incluir o efeito alavanca na evolu¸c˜ao da volatilidade. Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) propoem o modelo TARCH, e Ding, Granger e Engle (1993) propoem o modelo PGARCH.

Seja Y1, ..., YN a série de retornos observada. O modelo geral da evolu¸cão dos retornos é dado pela seguinte equa¸cão:

Yt = µt+ ut, (2.6)

ut = σtǫt. (2.7)

em que µté a média condicional e σt a volatilidade. A média condicional µt engloba um intercepto e pode incluir estrutura AR(1) ou MA(1), discutido anteriormente, e a evolu¸cão de σt é dado pelos modelos GARCH, EGARCH, ou qualquer outro do grupo de modelos de variância condicional heterocedástica.

O método usual para estima¸cão dos modelos de variância condicional hete-rocedásticas citadas é o método de Máxima Verossimilhan¸ca. Seja a fun¸cão de verossimilhan¸ca:

(30)

14 2 Fatos Estilizados de Séries Financeiras O estimador de Máxima Verossimilhanca é definido como:

ˆ

Φ = arg sup

Φ ln L(Φ|Ω

N). (2.9)

Propriedades dos estimadores de m´axima verossimilhan¸ca podem ser encontrada em Gourieroux (1997).

Para ilustrar o ajuste de modelos da fam´ıla GARCH, foram estimados modelos AR(1) - EGARCH(1,1) com inova¸cões t-Student, com ν graus de liberdade, para os retornos do Ibovespa. As equa¸cões (2.10) apresentam os resultados da estima¸cão,

IBOVt = 0, 0012 + 0, 0362IBOVt−1+ ut,

ut = σIBOV,tǫt, (2.10)

ln(σ2IBOV,t) = −0, 3174 + 0, 1643|ǫt−1| − 0, 1033ut−1_σt−1 + 0, 9599 ln(σt−12 ),

ut ∼ t(ˆv = 8, 897).

A volatilidade estimada para o Ibovespa é apresentada na Figura 2.3. Constata-se a partir desta figura que a volatilidade é alta nos finais de 1997 (per´ıodo da criConstata-se asiática) e finais de 1998 até in´ıcio de 1999 (crises russa e brasileira).

95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Volatilidade do Ibovespa

Figura 2.3: Gr´afico das volatilidades estimadas do Ibovespa

(31)

definidos como:

et = Yt− ˆµt ˆ

σt . (2.11)

onde µt e σt foram definidos nas equa¸c˜oes (2.6) e (2.7).

Caso o modelo (ambos média condicional e volatilidade) foi adequadamente especificado, ele não deverá apresentar estrutura de correla¸cão, tanto nos res´ıduos quanto nos quadrados dos mesmos. O Gráfico 2.4 apresenta a autocorrela¸cão dos res´ıduos padronizados e de seu quadrado do modelo ECARCH expresso nas equa¸cões (2.10). Verifica-se com estes gráficos que o modelo AR(1) - EGARCH(1,1) é um modelo apropriado, na medida em que não há estrutura de correla¸cão nos res´ıduos padronizados e nos seus quadrados.

0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagens A utocorrelação 0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Defasagens A utocorrelação do quadr ado

Figura 2.4: Gr´afico das autocorrela¸c˜oes dos res´ıduos padronizados

Por outro lado, um problema em econometria de finan¸cas é examinar a de-pendência de dois ´ındices. Considere, por exemplo, que um modelo apropriado de volatilidade foi ajustado para os retornos do Merval (o principal ´ındice de bolsa do mercado argentino). A idéia é examinar a dependência entre os res´ıduos

(32)

padroniza-16 2 Fatos Estilizados de Séries Financeiras dos do Ibovespa e do Merval uma vez retirada a correla¸cão entre os n´ıveis dessas séries.

Assim, uma pergunta relevante é se ainda restou alguma dependência que não pode ser capturada pelas correla¸cões. Então torna-se necessária, por exemplo, o estudo de outras medidas de dependência, que serão abordadas na Se¸cão 2.4.

2.4 Dependˆ

encia

Nesta se¸cão será discutido o problema de estimar o grau de dependência entre duas séries financeiras. Será dado enfoque especial nas propriedades e limita¸cões do uso da correla¸cão linear como medida de dependência.

Dentre todas as medidas de dependência, a correla¸cão de Pearson, denotada por ρ, é uma das medidas mais populares para mensurar a associa¸cão entre duas variáveis aleatórias. Esta medida é expressa por:

ρ = p Cov(X, Y )

Var(X)Var(Y ) (2.12)

A popularidade da correla¸cão como medida de dependência resulta do fato de que parte significativa da análise estat´ıstica segue o suposto de normalidade ou usa distribui¸cões el´ıpticas2_{. Embrechts et. al. (2002) apresenta maiores detalhes sobre} o tema.

Apesar da sua popularidade, a correla¸cão linear apresenta as seguintes limita¸cões: 1. Var(X) e Var(Y ) devem ser finitas, ou então a correla¸cão não será definida 2. Independência de 2 variáveis aleatórias implica em ρ=0, por outro lado se ρ=0

não implica em independência. Para que isso ocorra, basta por exemplo que a dependência entre elas seja não linear

2_{Uma distribui¸cão el´ıptica, a grosso modo, é definida quando sua densidade conjunta é expressa}

como uma fun¸cão de uma forma quadrática de suas marginais. A distribui¸cão gaussiana e a

(33)

3. A correla¸cão linear não é invariante sob transforma¸cões não lineares

Assim, surge o problema de quais propriedades uma medida de dependência deve ter. Estas propriedades são discutidas no Apêndice A.

Por causa das limita¸cões da correla¸cão linear, foram propostas medidas alterna-tivas de dependência. Um primeiro conjunto trata-se da correla¸cão de postos (rank correlation), do qual fazem parte a correla¸cão de Spearman (ρS) e o tau de Kendall (τ ) definidas como:

ρS = ρ(F (X), F (Y )), (2.13)

τ = P ((X1− X2)(Y1− Y2) > 0) − P ((X1− X2)(Y1− Y2) < 0), (2.14) em que (X1, Y1) e (X2, Y2) são dois pares de variáveis aleatórias independentes. Em outros termos, a correla¸cão de Spearman é a correla¸cão de Pearson calculada com base nas fun¸cões de distribui¸cão de X e Y , em vez das variáveis originais, e o tau de Kendall é a diferen¸ca da probabilidade de ocorrerem pares concordantes e discordantes.

As propriedades de ρS e τ são apresentadas no Apêndice A. A principal van-tagem de ρS e τ , comparado com a correla¸cão linear, é que estas medidas são in-variantes a quaisquer transforma¸cões monótonas. Por outro lado, seu cálculo não envolve manipula¸cões simples das matrizes de variâncias e covariâncias, como a cor-rela¸cão linear.

Para ilustrar o comportamento das medidas ρ, ρS e τ , veja a Tabela 2.2 a seguir. Foram simulados 1.000 observa¸cões de uma distribui¸cão normal bivariada com correla¸cão igual a 0,5 e, para esta amostra, foram calculadas as estimativas das medidas de dependência para duas fun¸cões não lineares. Pode-se constatar que os valores de ρ se alteram nos três casos, inclusive é diferente de 1 no par (X, X3_{) em} que há dependência perfeita entre as variáveis. As medidas τ e ρS não se alteraram entre os pares (X, Y ) e (X, Y3_{) e são iguais a 1 para o par (X, X}3_{), indicando que} τ e ρS identificarm associa¸cão perfeita neste par, o que é esperado.

(34)

18 2 Fatos Estilizados de S´eries Financeiras

Tabela 2.2: Compara¸c˜ao entre as medidas de dependˆencia ρ, ρS e τ

Pares ρ ρS τ

X, Y 0,508 0,506 0,351 X, Y2 _0,015 _-0,001 _-0,001 X, Y3 _0,368 _0,506 _0,351 X, X3 _0,780 _1,000 _1,000

Há um segundo conjunto de medidas que capturam a dependência nas caudas, isto é capturam a dependência entre as variáveis aleatórias em eventos extremos e que assumem grande importância na análise de séries financeiras. Estas medidas, conhecidas como ´ındices de caudas, são definida como:

λl= lim u→0+P (Y < F −1 Y (u)|X < FX−1(u)), (2.15) λu = lim u→1−P (Y > F −1 Y (u)|X > F −1 X (u)). (2.16)

em que λl e λurepresentam os ´ındices de cauda inferior e superior, respectivamente, e F_X−1(·) e FY−1(·) representam as fun¸cões quantil de X e Y . A grosso modo, λlmede a probabilidade de uma variável estar abaixo de um certo valor pequeno dado que a outra variável está abaixo de um certo valor, e analogamente λlmede a probabilidade de uma variável estar acima de um certo valor alto dado que a outra está acima de um certo valor. Estas medidas são utilizadas para capturar associa¸cão entre variáveis em eventos extremos, isto é, entre valores muito pequeno e/ou muito grande das variáveis. Por exemplo, no contexto da análise de séries financeiras, λl mede a associa¸cão entre fortes baixas de dois retornos, enquanto λu mede a associa¸cão entre as fortes altas.

Se λl e λu pertencem ao intervalo (0,1], o par de variáveis aleatórias é dito ser assintoticamente dependente, ou seja há um grau de dependência entre os valores extremos das variáveis. No caso em que λl = λu = 0, então este par é dito assin-toticamente independente. Pode-se encarar a existência de dependência nas caudas como uma extensão da caracter´ıstica de não normalidade para o caso multivariado, na medida em que para a distribui¸cão normal ambos os ´ındices de caudas são iguais

(35)

a zero.

A dependência nas caudas configura uma das mais importantes caracter´ısticas da análise multivariada de retornos de ativos financeiros. A Figura 2.5 ilustra esta caracter´ıstica para as fun¸cões de distribui¸cão emp´ıricas dos res´ıduos padronizados do modelo AR(1)-EGARCH(1,1) para os ´ındices Ibovespa e Merval. Constata-se, a partir deste gráfico, que há um acúmulo de observa¸cões próximos aos pontos (0,0) e (1,1), o que é evidência de dependência nas caudas. Se o par de retornos fosse assintoticamente independente, então não deveria ser observado esses acumulos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Merval Ibovespa

Figura 2.5: Gráfico dos res´ıduos padronizados da série do Ibovespa e Merval, após o ajuste de um modelo AR(1)-EGARCH(1,1) com inova¸cões t-Student As medidas de dependência apresentadas anteriormente são úteis para descrever a dependência, porém há outra metodologia, a Teoria de Cópulas, a qual permite modelar a dependencia assim como expressar as medidas ρ, ρS e τ em termos das fun¸cões de copulas. Como fazer isto é discutido no cap´ıtulo a seguir

(36)

21

3 Modelos de C´

opula

Neste cap´ıtulo é apresentada resumidamente a Teoria de Cópulas com ênfase no caso bivariado, enquanto a modelagem de dimensões maiores que dois será discutida no Cap´ıtulo 4. Na Se¸cão 3.1 é apresentada a defini¸cão de modelos de cópulas e sua modelagem, enquanto a Se¸cão 3.2 trata da rela¸cão da fun¸cão de cópulas com as medidas de dependência apresentadas na Se¸cão 2.4. Algumas fam´ılias de fun¸cões de cópulas são apresentadas nas Se¸cões 3.3 e a extensão desses modelos para o caso com parâmetros variando no tempo são apresentados na Se¸cão 3.4. A estratégia de modelagem, que envolve a estima¸cão e a análise de bondade de ajuste, é apresentada na Se¸cão 3.5 e, por fim, algoritmos para simular amostras de modelo de cópulas é apresentado na Se¸cão 3.6.

Revisões úteis da teoria de cópulas são Nelsen (1999), Becerra e Melo (2008a) e Trivedi e Zimmer (2005), entre outros.

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Uma fun¸cão de cópulas pode ser definida como uma distribui¸cão multivariada cujas marginais são uniformemente distribu´ıdas no intervalo [0,1], ou seja, U (0, 1)1_. O resultado mais conhecido no que se refere a sua aplica¸cão está associado ao Teo-rema de Sklar (1959), que é enunciado a seguir.

Seja x = (X1, ..., Xd) um vetor aleatório, C : Rd _{→ R uma fun¸cão de cópulas,}

(37)

F (x1, ..., xd) uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta qualquer com marginais Fxi(xi),

i = 1, ..., d; então o teorema garante que existe uma fun¸cão de cópula C de tal forma que: F (x1, ..., xd) = C(Fx1(x1), ..., Fxd(xd)), (3.1) ou, analogamente, C(u1, ..., ud) = F (F−1 x1 (u1), ..., F −1 xd (ud)). (3.2)

Seja a densidade da c´opula, definida por: c(Fx1(x1), ..., Fxd(xd)) = ∂

d_{C(Fx1(x1), ..., Fxd(xd))}

∂Fx1(x1) · · · ∂Fxd(xd) . (3.3) Ent˜ao, a densidade multivariada de x ´e igual a:

f (x1, ..., xd) = c(Fx1(x1), ..., Fxd(xd)) d Y i=1

fxi(xi). (3.4)

O Teorema de Sklar garante que, se as variáveis aleatórias em questão forem cont´ınuas, então há uma única fun¸cão de cópulas que relaciona a distribui¸cão con-junta com suas distribui¸cões marginais.

A partir deste ponto, a exposi¸cão sobre a teoria de cópulas será focada no caso bivariado.

Pode-se constatar, a partir da equa¸cão (3.4), que a densidade de um vetor bivari-ado (X, Y ), fx,y(x, y), é fatorada pelas suas marginais e pela densidade da cópula, a qual captura a informa¸cão contida da estrutura de dependência entre as variáveis X e Y . Como medir esta dependência será abordado na Se¸cão 3.2.

A equa¸cão (3.4) constitui uma importante ferramenta da fun¸cão de cópulas para a constru¸cão de distribui¸cões bivariadas. Assim, para construir uma distribui¸cão bivariada, é preciso:

(38)

3.1 Introdu¸c˜ao 23

1. As marginais fx(x) e fy(y)

2. A fun¸cão de densidade de cópula c(·, ·), que estabelece a dependência entre as densidades marginais fx(x) e fy(y).

Desta forma, é poss´ıvel construir distribui¸cões multivariadas com considerável flexibilidade. Por exemplo, pode-se construir uma distribui¸cão multivariada a partir de uma cópula t-Student com ν graus de liberdade enquanto cada uma de suas marginais seguem distribui¸cão t-Student com ν1 e ν2 graus de liberdade. Se, em vez de considerar esta constru¸cão de cópulas fosse considerada a distribui¸cão t-Student multivariada com ν graus de liberdade, suas marginais iriam seguir obrigatoriamente distribui¸cão t-Student com os mesmos graus de liberdade ν. Outro exemplo consiste em considerar as marginais com distribui¸cão gama, enquanto a fun¸cão de cópulas é gaussiana. Se em vez desta constru¸cão de cópulas mencionada fosse adotado uma distribui¸cão multivariada gaussiana, suas marginais seguiriam obrigatoriamente distribui¸cão normal. Em resumo, a abordagem de cópulas permite, com grande flexibilidade, construir distribui¸cões multivariadas de maneira anal´ıtica. Este fato traz uma importante contribui¸cão na modelagem, uma vez que é poss´ıvel construir padrões de dependência entre as séries com grande flexibilidade.

Apesar da grande flexibilidade obtida pela metodologia de cópulas, há limites nos valores em que a dependência assume. Esta limita¸cão é dada, principamente, pelos limites de Hoeffding e Frechét, discutidos no Apêndice B.

Além de vincular as fun¸cões de distribui¸cão marginais com a sua conjunta, a fun¸cão de cópula também permite resgatar a informa¸cão da distribui¸cão condicional, através da seguinte equa¸cão:

FX|Y(X|Y ) = ∂C(Fx(x), Fy(y))

∂Fy(y) . (3.5)

Cabe destacar que se X e Y seguem uma distribui¸c˜ao U (0, 1), ent˜ao F (X|Y ) = ∂C(x,y)

∂y

(39)

análise pressupõe o conhecimento, a priori, da fun¸cão de cópula. Existe também um enfoque não paramétrico para a análise de cópulas através da cópula emp´ırica ( ˆC), definida por Deheuvels (1978). A cópula emp´ırica é expressa por:

b C i n, j n = 1 n n X k

1{u1,k≤_u1,k(i),u2,(i)≤u2,(j)}, (3.6)

para i, j = 1, ..., n. Por uma vez, a densidade da c´opula emp´ırica ´e dada por: b c i n, j n = ( ₁

n se (u1,(i), u2,(j)) for um elemento da amostra,

0 caso contr´ario. (3.7)

O estudo da cópula emp´ırica permite uma avalia¸cão inicial da estrutura de dependência sem a necessidade de se impor qualquer expressão para a fun¸cão de cópulas. Esta fun¸cão pode orientar a escolha da cópula. Por exemplo Palaro e Hotta (2006) avaliam a bondade de ajuste do modelo através da distância quadrática entre cópulas estimadas e a cópula emp´ırica. Nesta disserta¸cão a cópula emp´ırica será uti-lizada para avaliar, preliminarmente, a dependência nas caudas através dos ´ındices de cauda emp´ıricos, que serão apresentados na Se¸cão 3.2

3.2 C´

opulas e medidas de dependˆ

encia

As medidas de dependência discutidas na Se¸cão 2.4 podem ser escritos em termos da fun¸cão de cópulas. Assim, o ρS de Spearman e o τ de Kendall são expressos por:

ρs = 12 Z Z [0,1]2 C(u1, u2)du1du2− 1, (3.8) τ = 4 Z Z

[0,1]2C2(u1, u2)dC1(u1, u2) − 1.

E os ´ındices de caudas s˜ao escritos como: λu= lim u→1− ¯ C(u, u) 1 − u , λl= limu→0+ C(u, u) u ,

(40)

3.3 Algumas Fam´ılias de C´opulas 25

em que ¯C(u1, u2)=1 - u1 - u2 + C(u1, u2) denota a cópula de sobrevivência2_. As medidas de dependência também podem ser expressas através das fun¸cões de cópulas emp´ıricas ˆC(·, ·). Nelsen (1999) mostra que as medidas de dependência ρs e κ são expressas por:

ˆ ρs = 12 n2_{− 1} n X j=1 n X i=1 " b C i n, j n − i n − j n # , (3.9) ˆ κ = 2n n − 1 n X j=2 n X i=2 " b C i n, j n b Ci − 1 n , j − 1 n (3.10) − bC i n, j − 1 n b Ci − 1 n , j n # .

Por sua vez, os ´ındices de cauda emp´ıricos podem ser calculados a partir dos gr´aficos das seguintes equa¸c˜oes:

ˆ λu(q) = 1−2q+ ˆ_1−qC(q,q), para q> 1 2 ˆ λl(q) = C(q,q)ˆ_q , para q< 1 2 (3.11)

como fun¸cão de q. Os valores emp´ıricos dos ´ındices de cauda são obtidos visual-mente a partir dos gráficos de ˆλu(q) e ˆλl(q) avaliados quando q → 1 e q → 0, respectivamente.

3.3 Algumas Fam´ılias de C´

opulas

Nesta se¸cão serão apresentadas as fam´ılias de cópulas mais utilizadas na lite-ratura de econometria de finan¸cas: cópulas el´ıpticas e arquimedianas. Há outras fam´ılias de cópulas; como a cópula de Valor Extremo, Farlie-Gumbel-Morgenstein, Fréchet, dentre outras; que não serão apresentadas neste trabalho. Ver Nelsen (1999) para maiores detalhes.

2_{A cópula de sobrevivência vincula as fun¸cões de sobrevivência marginais com a conjunta, de}

(41)

3.3.1 C´

opulas el´ıpticas

A primeira fam´ılia de cópulas que será apresentada nesta se¸cão será a cópula el´ıptica. Para se obter uma cópula el´ıptica, com base na equa¸cão (3.2), basta que a fun¸cão de distribui¸cão conjunta F perten¸ca a fam´ılia el´ıptica, como a normal e a t-Student. Assim, se for especificado F (·) = Φ(·) e F−1_{(·) = Φ}−1_{(·), em que} Φ(·) e Φ−1_{(·) são a fun¸cão de distribui¸cão acumulada e a fun¸cão quantil da normal} padrão respectivamente, é obtida a cópula Gaussiana e Φ2é a fun¸cão de distribui¸cão acumulada bivariada normal padrão.

A partir da equa¸cão (3.2) é poss´ıvel expressar a cópula Gaussiana (CG) da seguinte forma:

CG(u1, u2|ρ) = Φ2(Φ−1(u1), Φ−1(u2)). CG(u1, u2|ρ) = Z Φ−1_(u 1) −∞ Z Φ−1_(u 2) −∞ 1 2π(1 − ρ2₎ expn−x 2_{− 2ρxy + y}2 2(1 − ρ2₎ o dxdy. (3.12)

O parâmetro da cópula CG é a correla¸cão linear, ρ. Para esta cópula, os ´ındices de cauda são iguais a zero, indicando que as variáveis aleatórias são assintoticamente independentes, ou dito de outra forma não possui dependência em eventos extremos.

Por sua vez, a c´opula t-Student ´e expressa por: CT(u1, u2|ρ, ν) = T2,ν(T−1 1,ν(u1), T1,ν−1(u2)) CT(u1, u2|ρ, ν) = Z T_1,ν−1(u1) −∞ Z T_1,ν−1(u2) −∞ Γ(ν+2 2 ) Γ(ν 2) p (πν)2_{(1 − ρ}2₎ expn1 +x 2_{− 2ρxy + y}2 ν(1 − ρ2₎ o−ν+2 2 dxdy, (3.13)

em que Td,ν é a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da t-Student d variada.

A cópula t-Student possui dois parâmetros: a correla¸cão (ρ), e o parâmetro ν que representa os graus de liberdade. Para esta cópula ambos os ´ındices de cauda

(42)

3.3 Algumas Fam´ılias de C´opulas 27 s˜ao iguais a: λu= λl= 2Tν+1−√ν + 1 r 1 − ρ 1 + ρ . (3.14)

Assim, a cópula t-Student permite reproduzir a dependência entre os valores extremos da distribui¸cão, porém ela impõe que essa dependência seja da mesma magnitude para ambas as caudas, o que pode ser um fator limitante na análise dos dados por exemplo quando estudamos ganhos e perdas.

A Figura 3.1 compara as curvas de n´ıvel das densidades de distribui¸cões com cópulas gaussiana (ρ=0,5) e t-Student (ρ=0,5 e ν=3) considerando as marginais como N (0, 1). Nesta figura pode-se visualizar que a cópula t-Student permite re-produzir a dependência nas caudas, diferentemente da cópula gaussiana. Assim, por exemplo, verifique que a área da densidade da t-Student na região [-2,5;-1,5] x [-2,5;-1,5] é maior que a área nesta mesma região para a cópula Gaussiana.

Cópula t−Student, ρ = 0.5, ν = 3 −2 −1 0 1 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Cópula gaussiana, ρ = 0.5 −2 −1 0 1 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura 3.1: Curvas de n´ıvel das densidades das c´opulas gaussiana e t-Student com marginais N (0, 1).

(43)

3.3.2 C´

opulas arquimedianas

Seja ϕ(·) uma fun¸cão [0,1] → [0,∞) diferenciável duas vezes no intervalo (0,1) com as seguintes propriedades: i) ϕ(1) = 0, ϕ′_{(t) < 0 (primeira derivada decrescente)} e ϕ′′_{(t) > 0 (fun¸cão convexa), e ii) ϕ(0) = ∞. A partir da fun¸cão ϕ(·) satisfazendo} estas propriedades, define-se a cópula arquimediana, da segunte forma:

C(u1, u2) = ϕ−1(ϕ(u1) + ϕ(u2)) (3.15) onde ϕ(·) é chamada fun¸cão geradora da cópula arquimediana.

As cópulas arquimedianas apresentam as seguintes propriedades: i) são simétricas, no sentido em que C(u1, u2) = C(u2, u1) e ii) são associativas, pois C(u1, C(u2, u3)) = C(C(u1, u2), u3)

Com base na equa¸c˜ao (3.15), a densidade da c´opula pode ser expressa por: c(u1, u2) = ϕ

′′_{(C(u1, u2))ϕ}′_(u1)ϕ′_(u2)

[ϕ′_{(C(u1, u2))]}3 (3.16)

A partir de diferentes fun¸cões ϕ(·) obtém-se diferentes especifica¸cões para C(u1, u2). Na Tabela 3.1 são apresentadas a fun¸cão geradora e a especifica¸cão de algumas das cópulas arquimedianas mais populares.

Tabela 3.1: Principais c´opulas arquimedianas

Nome ϕ(t) ϕ−1(t) Clayton θ−1(t−θ− 1) (1 − t)− 1 θ Gumbel (− ln(t))−θ exp(−t− 1 θ)

Frank − lnexp(−θt−1)_{exp(−θ−1)} −θ−1_{ln(1 + e}−t_(e−θ_{− 1))}

Nome C(u1, u2|θ) Valores de θ Clayton (u−θ 1 + u−θ2 − 1)− 1 θ [0,∞) Gumbel exp(−(˜uθ 1+ ˜uθ2) 1 θ) [1,∞) em que ˜u1= − ln(u1) Frank −1 θln 1+(exp(−θu1−1))(exp(−θu2−1)) exp (−θ−1) (-∞,∞)

(44)

3.3 Algumas Fam´ılias de C´opulas 29

Como ilustra¸cão, as curvas de n´ıvel de cada fun¸cão de cópula apresentadas na Tabela 3.1 estão apresentadas na Figura 3.2. Nesta figura são apresentadas curvas de n´ıvel das densidades das cópulas Clayton (θ=1), Gumbel (θ=1,5) e Frank (θ=1). Em todos os modelos as marginais foram especificadas como N (0, 1).

Cópula Clayton, θ = 1 −2 0 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Cópula Gumbel, θ = 1.5 −2 0 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Cópula Frank, θ = 1 −2 0 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura 3.2: Curvas de n´ıvel das densidades das c´opulas Clayton, Gumbel e Frank com marginais N (0, 1).

A partir dos gráficos apresentados na Figura 3.2, constata-se que a cópula Clay-ton permite reproduzir a dependência na cauda inferior, enquanto a cópula Gumbel reproduz a dependência na cauda superior e, por fim, a cópula Frank não permite reproduzir dependência nas caudas. Isto pode ser visualizado comparando, por exemplo, a área na região [-2,5;-1,5] x [-2,5;-1,5] de cada cópula para avaliar a de-pendência na cauda inferior, e de maneira similar avaliar a região [1,5;2,5] x [1,5;2,5] para avaliar a cauda superior. De fato, a partir das equa¸cões (2.15) e (2.16) e das expressões das cópulas da Tabela 3.1, pode-se calcular que para a cópula Clayton, λl = 2−1

θ e λu = 0; para a c´opula Gumbel, λl = 0 e λu = 2 − 2− 1

θ; e para a Frank,

todos os ´ındices de cauda s˜ao iguais a zero.

(45)

uniparamétricas, na medida que a estrutura de dependência é controlada por ape-nas um parâmetro. Há um grupo de cópulas arquimediaape-nas que são biparamétricas, sendo a mais popular a cópula Joe-Clayton (JC), apresentada por Joe (1997). A equa¸cão da referida cópula é apresentada a seguir:

CJC(u1, u2|λu, λl) = 1 − (1 − {[1 − (1 − u1)κ]−γ (3.17) +[1 − (1 − u2)κ]−γ − 1}1/γ)1/κ,

κ = 1/log2(2 − λu), γ = −1/log2(λl). (3.18) Os ´ındices de cauda da cópula JC são iguais a λu e λl. A cópula JC possui um inconveniente que, mesmo no caso γ = κ, ainda há dependência assimétrica nas caudas. Para contornar este problema, Patton (2006) propõe a cópula Symmetrized Joe Clayton (SJC), a qual é definida como:

CSJC(u1, u2|λu, λl) = 0.5[CJC(u1, u2|λu, λl) (3.19) +CJC(1 − u1, 1 − u2|λl, λu) + u1+ u2− 1].

A Figura 3.3 apresenta a curva de n´ıvel para a cópula SJC com λl=0,6 e λu=0,3, com marginais iguais a N (0, 1). Pode-se observar nesta figura que a cópula SJC permite reproduzir dependência assimétrica nas caudas.

Cópula SJC, λl = 0,6 e λu = 0,3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

(46)

3.4 C´opulas com parˆametros variando no tempo 31

3.4 C´

opulas com parˆ

ametros variando no tempo

A evidência emp´ırica encontrada em grande parte da literatura de econometria de finan¸cas aponta que a dependência entre séries financeiras é dinâmica, isto é muda com o tempo. Portanto, é conveniente definir cópulas que permitam reproduzir esta propriedade.

Nesta se¸cão serão apresentados modelos de cópulas com os parâmetros variando no tempo. Estas permitem reproduzir mudan¸cas no comportamento da dependência entre variáveis aleatórias, o qual é um aspecto crucial na modelagem em algumas aplica¸cões importantes em econometria de finan¸cas, como por exemplo contágio, que será discutido no Cap´ıtulo 5. Esta se¸cão é toda baseada no trabalho de Patton (2006). Há outros trabalhos que propõem alternativas diferentes para especificar a cópula dinâmica, como por exemplo Zhang e Guegan (2008), Jondeau e Rockinger (2006) e Serban et. al. (2007). Uma breve apresenta¸cão deles se encontra no Apêndice C.

A incorpora¸cão de estrutura variante no tempo nos parâmetros das cópulas consiste em uma reparametriza¸cão do modelo; ou, em outros termos, os parâmetros são re-especificados de tal forma que inclua a dinâmica temporal. O parâmetro ρ das cópulas Gaussiana e t-Student3 _{é reescrito da seguinte forma:}

ρt = ˜Λδ0+ δ1ρt−1+ δ21 k k X i=1 F−1(u1,t−i)F−1(u2,t−i), (3.20) ˜ Λ(x) = tanh(x/2). (3.21)

Se a c´opula for Gaussiana, F (·) = Φ(·). Por sua vez, se a c´opula for t-Student, F (·) = T (·).

As equa¸cões de evolu¸cão dos parâmetros para a cópula SJC estão especificadas

3_{Originalmente Patton (2006) propôs a especifica¸cão da equa¸cão (3.20) unicamente para a}

(47)

a seguir:

λu,t = Λ(θ1,u+ θ2,uλu,t−1+ θ3,u1 k k X i=1 |u1,t−i− u2,t−i|), (3.22) λl,t = Λ θ1,l+ θ2,lλl,t−1+ θ3,l1 k k X i=1 |u1,t−i− u2,t−i|, (3.23) Λ(x) = (1 + exp(x))−1. (3.24)

Serão adotadas neste trabalho as equa¸cões de evolu¸cão dos parâmetros expressas pelas equa¸cões (3.20), (3.22) e (3.23) paras as cópulas Gaussiana, t-Student e SJC. Permanece um tema em aberto, até o momento da conclusão deste trabalho, o estudo e proposi¸cão de metodologias para verificar se a equa¸cão de evolu¸cão foi especificada de forma correta.

De maneira teórica, a especifica¸cão do modelo com parâmetros variando no tempo exige o conceito de cópula condicional, proposto por Patton (2006) e definido por:

F (u1, u2|V ) = C(F (u1|V ), F (u2|V )|V ). (3.25) Para especificar que os parâmetros variem no tempo é preciso conhecer a evolu¸cão do passado das séries temporais em estudo. Neste sentido, especifica-se v = Ωt−1, em que Ωt−1 representa o conjunto de informa¸cão até o instante t − 1.

Todas as propriedades de cópulas apresentadas anteriormente (sejam elas, (i) capturar a dependência entre as variáveis aleatórias e (ii) ser única quando as variáveis envolvidas forem cont´ınuas), continuam válidas para a cópula condicional. Isto é, o Teorema de Sklar é válido para a cópula condicional em rela¸cão as dis-tribui¸cões condicionais. Para que a fun¸cão C(·, ·|v) seja realmente uma cópula, é preciso que todas as distribui¸cões condicionais e a cópula sejam condicionadas na mesma variável aleatória. Caso as marginais sejam condicionadas em diferentes

(48)

3.5 Modelagem 33

vari´aveis v1 e v2, ´e preciso garantir a seguinte propriedade:

Fx|v1(X|V1) = Fx|V1,V2(x|V1, V2) (3.26)

Fy|v2(Y |V2) = Fy|V1,V2(y|V1, V2) (3.27)

para quaisquer (X, Y, V1, V2).

Uma forma de avaliar (3.26) e (3.27) foi sugerida por Patton (2006). Este procedimento foi implementado na Se¸c˜ao 5.4.2.

3.5 Modelagem

O procedimento de modelagem de cópulas consiste nos seguintes passos: i) es-colha do modelo apropriado de cópulas, ii) estima¸cão dos parâmetros do modelo, e iii) análise de diagnóstico, para se avaliar se o modelo de cópulas foi apropriadamente escolhido.

Esta se¸cão se dedica a apresentar os procedimentos para estimar (subse¸cão 3.5.1) e proceder a análise de bondade de ajuste (subse¸cão 3.5.2) dos modelos de cópulas especificado.

3.5.1 Estima¸

c˜

ao

O método mais usual na estima¸cão dos parâmetros da cópula é o método de Máxima Verossimilhan¸ca, que será discutido em detalhes nesta se¸cão. Pode-se aplicar outros métodos como, por exemplo, GMM (Generalized Method of Moments), que não será abordado neste trabalho, mas pode ser encontrado em Prokhorov e Schmidt (2006).

Seja (X1, Y1),...,(Xn, Yn) uma amostra aleatória bivariada de interesse na mode-lagem, e seja Θ = (θ, φx, φy) o vetor de parâmetros a ser estimado. θ consiste no vetor (ou escalar) de parâmetros de dependência entre X e Y , enquanto φ_xe φ_y são

(49)

os vetores de parâmetros da distribui¸cão marginal de X e Y , respectivamente. Nesta se¸cão será considerado que o modelo tem parâmetros fixos, entretanto a metodologia apresentada pode ser implementada para o caso de parâmetros variando no tempo. Com base na densidade bivariada de um vetor aleatório, expresso pela equa¸cão (3.4), a fun¸cão de log-verossimilhan¸ca é dada por:

ln L = n X i=1 ln c(FX(xi), FY(yi)|θ) + n X i=1 ln fx(xi|φx) + n X i=1 ln fy(yi|φy) (3.28) Então o estimador de Máxima Verossimilhan¸ca é:

ˆ

Θ= arg sup Θ

ln L (3.29)

Cabe destacar que, em geral, não há solu¸cão anal´ıtica para a equa¸cão (3.29), e a maximiza¸cão da fun¸cão é feita numericamente.

Joe e Xu (1997) propõem o procedimento IFM (Inference Function for Margins) que consiste em duas etapas: i) estimativa de φxe φy por Máxima Verossimilhan¸ca utilizando para tanto as fun¸cões de verossimilhan¸ca do modelo marginal, e ii) utilizar

ˆ

β_xe ˆβ_y para estimar θ. Este procedimento corresponde a seguinte equa¸c˜ao: ˆ

θ = arg sup θ

ln L(X, Y, θ, ˆφ_x, ˆφ_y) (3.30)

No procedimento descrito na equa¸cão (3.29) todos os parâmetros da distribui¸cão conjunta são estimados conjuntamente, e na equa¸cão (3.30) os parâmetros das marginais e da cópula são estimados em separado. O custo computacional envolvido no método IFM é menor, tendo em vista que a fun¸cão de verossimilhan¸ca é mais sim-ples e é reduzido o numero de parâmetros. Uma compara¸cão entre os dois métodos de estima¸cão pode ser encontrada em Joe e Xu (1997)

(50)

3.5 Modelagem 35

3.5.2 Bondade de ajuste

Avaliar se o modelo de cópulas captura apropriadamente a estrutura de de-pendência entre as variáveis aleatórias é equivalente a avaliar se a verdadeira dis-tribui¸cão de (X1, ..., Xd) é dada por F (x1, ..., xd).

A literatura relacionada ao tema possui um grande número de metodologias que permitem avaliar se (X1, ..., Xd) segue a distribui¸cão F (x1, ..., xd). Uma compara¸cão exaustiva entre elas pode ser encontrada em Berg (2007) e Genest et. al. (2009). Nesta disserta¸cão foram utilizados duas metodologias para a análise de bondade de ajuste: os testes baseados nas transformadas integral de probabilidade (PIT - Probability Integral Transformation) e o teste dos hits, apresentado por Patton (2006).

Considere as seguintes defini¸c˜oes de Transformada Integral de Probabilidade (T ) definidas para v.a. cont´ınua como:

T (X1,t) = F (X1,t) (3.31)

T (X2,t) = F (X2,t|X1,t) ...

T (Xd,t) = F (Xd,t|Xd−1,t, ..., X1,t)

Sob a hipótese nula de que a verdadeira distribui¸cão seja dada pela fun¸cão de dis-tribui¸cão multivariada F (x1, ..., xd), então o vetor aleatório T (Xt) = (T (X1,t), ..., T (Xd,t)) deve ter distribui¸cão uniforme multivariada independentes na região (0, 1)d_{, ou} U (0, 1)d_{. Para avaliar se T (Xt) ∼ U(0, 1)}d _{um dos procedimentos mais adotados} é calcular St=Pd_i=1Φ−1_{(T (Xd,t)) e testar se St}_{é distribuido por uma qui-quadrado} com d graus de liberdade. Por sua vez, para se testar esta hipótese pode-se adotar os testes de Kolmogorov-Smirnov (KS) e o teste de Anderson Darling (AD), cujas

(51)

estat´ısticas do teste est˜ao expressas nas equa¸c˜oes a seguir: KS = sup x | ˆF (x) − F (x)|, (3.32) AD = −n − 1 n n X i=1 (2i − 1)[ln( ˆF (xj)) + ln(1 − ˆF (xn−i+1))], (3.33)

em que ˆF (x) denota a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica de X.

A estat´ıstica do teste de Kolmogorov-Smirnov converge para uma distribui¸cão de Kolmogorov, independentemente da distribui¸cão sob a hipótese nula. Entretanto, a distribui¸cão da estat´ıstica do teste AD é sens´ıvel a distribui¸cão adotada. Até o presente momento não foi proposto nenhuma tabula¸cão da distribui¸cão da estat´ıstica AD quando a hipótese nula é dada por uma distribui¸cão qui-quadrada. Para con-tornar esta limita¸cão, pode ser seguido o procedimento de bootstrap sugerido por Genest et. al. (2006), que consiste nos seguintes passos:

1. Encontre estimadores consistentes de θ 2. Simule n amostras de c´opulas com θ = ˆθ

3. Para cada amostra, calcule a estat´ıstica desejada

4. Com base nos n valores da estat´ıstica encontrados, calcule a propor¸cão dos valores que são maiores que o valor da estat´ıstica obtida na amostra original. Os testes dos hits, diferentemente daqueles baseados nas PITs, consiste em uma compara¸cão das probabilidades do vetor aleatório se encontrar em alguma região do suporte da distribui¸cão com a frequência emp´ırica obtida com os dados em análise. Esta metodologia se restringe aos modelos de cópulas bivariadas, diferentemente dos testes baseados nos PITs que podem ser implementados para qualquer dimensão. Este teste foi proposto por Patton (2006), e toda discussão a seguir está relacionado a esse artigo.

Considere Rj k_j=0 parti¸c˜oes do suporte da distribui¸c˜ao, seja Πt =ΠRj

k

j=1 a

(52)

3.5 Modelagem 37

probabilidade obtida do modelo. Al´em disso, defina os hits Hj,t = I(xt,yt)∈Rj, uma

variável indicadora que verifica se a observa¸cão (xt, yt) pertence a região Rj em estudo. O teste dos hits avalia a bondade de ajuste do modelo em J regiões através de uma regressão log´ıstica, expressa pela seguinte equa¸cão:

Πj,t = Π(Zj,t, βj, pj,t) = Λ λ(Zj,t, βj) − ln 1 − pj,t pj,t (3.34)

em que Λ(·) é a transforma¸cão log´ıstica. λ(Zj,t, βj) é uma fun¸cão linear de uma constante, do número de hits no dia anterior, nos últimos 5 dias e nos últimos 10 dias, e βj um vetor de coeficientes associado a cada uma dessas variáveis.

Foram consideradas 7 regiões do suporte da distribui¸cão definidos da seguinte forma: (i) ambas as séries estão abaixo do 10o _{percentil; (ii) ambas as séries estão} acima do 90o _{percentil, (iii) ambas as séries estão entre o 10}o _{e o 25}o _{percentil, (iv)} ambas as séries estão entre o 75o _{e o 90}o _{percentil, (v) ambas as séries estão entre} o 25o _{e o 75}o _{percentil, (vi) uma das séries está abaixo dos 10}o _{percentil e a outra} está acima do 75o _{percentil (vii) O oposto da região 6.}

Os parâmetros βj podem ser estimados por Máxima Verossimilhan¸ca, e para testar se o modelo captura a estrutura de dependência apropriadamente na região Rjé similar ao teste βj=0 e isto pode ser feito pelo teste de razão de verossimilhan¸ca. A análise apresentada avalia isoladamente a j-ésima região. Para avaliar em conjunto todas as regiões, defina Mt =

k X

j=0

jI(wt ∈ Rj), ou seja, a nova variável Mt dirá em que região pertence um par de observa¸cões. Para isso, utiliza-se as mesmas regiões definidas para o teste dos hits, definindo adicionalmente a região zero como aquela que não pertence a nenhuma das 7 detalhadas anteriormente, e também se utiliza a mesma especifica¸cão para λ(Zj,t, βj). Desta forma, avaliar se o modelo captura todas as regiões simultaneamente consiste em testar se Mt ∼ Multinomial(Πt), contra a hipótese alternativa de que Mt ∼ Multinomial(Pt).

(53)

O modelo que é estimado para esta hipótese é expresso por: Π1(Z1,t, β, p1,t) = Λ λ(Z1,t, β) − ln 1 − p1,t p1,t , (3.35) Πj(Z1,t, β, p1,t) = h1 − j−1 X i=1 ΠiiΛ λ(Zj,t, β) − ln 1 − pj,t pj,t , (3.36) Π0 = 1 − k X i=1 Πj. (3.37)

A análise do teste é procedida de maneira similar ao teste de uma única região. ´

E testado se β = 0 pelo m´etodo de Raz˜ao de Verossimilhan¸ca.

3.6 Simula¸

c˜

ao de c´

opulas

Nesta se¸cão serão apresentadas as principais metodologias para simular ob-serva¸cões a partir de uma fun¸cão de cópula especificada. Aqui será apresentada a metodologia para o caso multivariado, em que a fun¸cão de cópulas envolve di-mensões maiores ou iguais que dois.

O primeiro procedimento, o mais utilizado para simular uma amostra de n observa¸cões obtida através de uma fun¸cão de cópula C(u1, ..., ud) d-dimensional é obtido através da Simula¸cão Condicional (conditional sampling). Este procedimento utiliza basicamente a equa¸cão (3.5) que expressa a fun¸cão de distribui¸cão condicional com base em uma derivada parcial da fun¸cão de cópula (do qual origina o nome do algoritmo).

Este algoritmo consiste nos seguintes passos:

1. Gere u=(u1, ..., ud) com distribui¸cão U (0, 1)d _{independentes. u1} _{é a primeira} variável de interesse.

2. Calcula as fun¸c˜oes (quase) inversas de F (u2|u1), F (u3|u2, u1),...,F (ud|ud−1, ..., u1), expressa por F−1_{(uj|uj−1, ..., u1), para j = 2, ..., d.}