2.3 CONCEITOS GERAIS SOBRE PRODUTIVIDADE E EFICIÊNCIA
2.3.4 Modelos DEA para Retorno Constante de Escala (CRS) e Retorno
Os modelos CCR (Charnes Cooper e Rhodes), permite uma avaliação objetiva da eficiência global e identifica as fontes e estimativas de montantes das ineficiências identificadas (KASSAI, 2002). Esse modelo opera com retornos constantes de escala e constrói uma superfície linear por partes, não paramétrica, envolvendo os dados (SOUZA, 2014). No modelo CRS existe uma função de produção linear e a inclinação da reta representa essa função de produção que determina os rendimentos constantes de escala (PIRAN, 2015). A seguir, as equações (1), (2) e (3) ilustram fórmulas para se calcular o modelo CRS.
MAXpo = ∑∑
(1)
Sujeito a:
∑
$
%> 0 (3)
Onde:ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
n = número de inputs
A equação (1) consiste na função objetivo do modelo, a qual tem a função de maximizar os outputs e a equação (2) representa as restrições do modelo, que limitam a produtividade de todas as DMUs calculadas na primeira equação, inclusive a DMU que está sendo avaliada.
Os modelos CRS podem ser orientados para inputs ou outputs. Os modelos orientados para inputs têm como objetivo identificar quais DMUs consumiram os menores níveis de inputs, mantendo os mesmos níveis de outputs. Nesses casos, o objetivo dos modelos é minimizar as entradas e manter as saídas constantes. Os modelos orientados para outputs têm como objetivo identificar quais DMUs obtiveram os melhores resultados quanto aos seus outputs, mantendo constantes os seus
inputs. Desta forma, os modelos com a orientação para outputs objetivam maximizar
as saídas e manter constantes as entradas de um sistema produtivo.
As equações utilizadas para o cálculo dos modelos DEA orientados a inputs, são descritos por Souza (2014) como sendo:
Sujeito a:
)
= 1
∑
∑
≤ 1 )
− )
≤ 0,
= 1,2 … #
$
%> 0
Onde:ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
n = número de inputs
As equações utilizadas para o cálculo dos modelos DEA orientados a inputs, são descritos por Souza (2014) como sendo:
MAX po =
∑
1
+
= ,-. /0 )
+Sujeito a:
∑
∑
≤ 1 )
− )
≤ 0,
= 1,2 … #
$
%> 0
Onde:ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
n = número de inputs
Além do modelo DEA utilizado para retornos constantes de escala (CRS), existe o modelo VRS, que é utilizado para retornos variáveis de escala. Para os casos em que as DMUs avaliadas tenham proporções que se distanciam, não cabe avaliá- las sob os mesmos critérios de eficiência, e por isso, Banker, Charnes e Cooper (1984) propuseram o modelo para retorno variável de escala, conhecido como VRS (Variable
Returns to Scale). Nesses casos, devido ao fato de possibilitar que a tecnologia exiba
propriedades de retornos à escala diferentes ao longo de sua fronteira, esse modelo admite que a produtividade máxima varie em função da escala de produção (BELLONI, 2000).
De acordo com Ferreira (2009), existem dois modelos VRS, com diferentes orientações. O primeiro seria um modelo com retorno decrescente de escala, onde os aumentos nos inputs provocam aumentos proporcionalmente menores nos outputs. O segundo modelo seria um modelo com retorno crescente de escala, onde o aumento obtido nos outputs é proporcionalmente maior do que o aumento dos inputs em uma DMU.
Para Souza (2014), diferente dos modelos CRS, os modelos VRS têm função de produção não linear e por isso podem ser divididas nesses dois modelos com diferentes orientações. Como esse modelo admite que a produtividade máxima varie em função da escala de produção, permite também a utilização de DMUs de portes completamente diferentes. Outra consideração importante sobre os modelos VRS feita por Mariano et al (2006), é que a única diferença entre os modelos CRS e VRS está no acréscimo de uma variável “u” no numerador, ou então, de uma variável “v” no denominador, conforme demonstram as equações a seguir.
Equação para um modelo VRS, conforme apresentado por Souza (2014):
,12 3 =∑∑
+ 3 ,12 3 = ∑∑
+
Sujeito a:
∑
∑
+ ≤ 1 3 ∑∑ + ≤ 1
= 1,2 … #
$
%> 0
u e v sem restrição de sinal
Onde:
ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
Para os modelos VRS orientados a input, Souza (2014) e Piran (2015) apresenta as seguintes equações:
,12 = )
+
Sujeito a:
)
+ − )
≤ 0,
= 1,2 … #
)
= 1
ui e vj > o; u e v sem restrição de sinal, i=1, ...m,j = 1, ..., n
Onde:
ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
n = número de inputs
Para os modelos VRS orientados a output, Souza (2014) e Piran (2015) apresentam as seguintes equações:
Sujeito a:
)
− − )
≤ 0,
= 1,2 … #
)
= 1
ui e vj > o; u e v sem restrição de sinal, i=1, ...m,j = 1, ..., n
Onde:
ui = peso calculado para o output i
vj = peso calculado para o input j
yio = quantidade de output i para unidade em análise
xjo = quantidade do input j para unidade em análise
yik = quantidade do output i para unidade k de um determinado setor
xjk = quantidade do input j para unidade k de um determinado setor
z = número de unidades em avaliação m = número de outputs
n = número de inputs
De acordo com Mariano et al (2006), A produtividade de uma DMU pode ser calculada pela tangente da reta que sai da origem e passa por essa DMU. No caso do modelo CRS, as DMUs eficientes são exclusivamente aquelas que possuem uma produtividade máxima que, com os coeficientes calculados pelo modelo, é sempre igual a um. Sendo assim, pode-se concluir que a fronteira de eficiência de um modelo CCR será uma reta com inclinação de 45º como representado na Figura 6.
Figura 6: Representação do modelo CRS orientado a input e output Eixo y: Ov
Eixo x: Iv Fonte: Adaptado de Mariano (2006)
Na Figura 6 estão representadas as orientações para input e para output, onde pode-se perceber, a partir das relações trigonométricas, que para todo modelo CRS (em que a fronteira é uma reta de 45º) a eficiência calculada pelo modelo orientado ou output é igual a calculada pelo modelo orientado ao input. A Figura 7 representa as fronteiras dos modelos CRS e VRS.
Figura 7: Representação do modelo VRS
Para este trabalho será adotado o modelo CRS e será calculada a eficiência técnica dos equipamentos buscando apoiar a proposta de construção de uma métrica alternativa que possa unir a DEA com o OEE.