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3.4 Modelos de Parâmetros Distribuídos

3.4.2 Modelos Dependentes da Frequência

Nessa classe de modelos são considerados os efeitos da frequência sobre os parâmetros dos cabos, assim, os modelos atuam em uma determinada faixa de frequência. A partir de modelos dependentes da frequência, é possível representar com maior precisão uma LT e seus fenômenos, como a propagação de ondas, o estudo de transitórios, sobretensões, entre outros. A utilização de modelos no domínio da frequência implica na necessidade da posterior transformação da resposta ao domínio do tempo [28,52].

Nesse contexto, destacam-se fragilidades relacionadas à complexidade dos cálculos e ao elevado tempo de simulação computacional para a obtenção da solução de modelos depen- dentes da frequência [45], visto que a resolução desses modelos envolve inúmeras técnicas matemáticas e computacionais, tais como a aproximação de parâmetros por funções racio- nais e exponenciais, a utilização de convolução recursiva, transformada inversa de Fourier, técnica do vector tting, dentre outras [39]. De modo geral, os modelos dependentes da frequência podem ser classicados em modelos desenvolvidos no domínio modal e modelos no domínio de fases.

Modelos no Domínio Modal

Os modelos desenvolvidos no domínio modal são largamente utilizados na modelagem matemática de LTs, pois seus parâmetros consideram a dependência da frequência. De modo geral, uma transformação modal é aplicada às variáveis de entrada, obtendo-se três modos de propagação desacoplados, com isso cada modo (ou fase do sistema) tem uma velocidade de propagação e uma matriz impedância (ou admitância). Esses modos são os autovalores dos sistemas de equações que descrevem o comportamento de uma LT, e a matriz de transformação é, portanto um conjunto linearmente independente dos autovalores

Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 32

do sistema. Uma transformação inversa é aplicada na resposta obtida, de modo que os resultados sejam apresentados em componentes de fase [35,39].

Os modelos modais podem ser subdivididos em duas categorias: (i) modelos que con- sideram a matriz de transformação modal invariante com a frequência e, (ii) modelos que consideram essa matriz dependente da frequência [39]. O desenvolvimento desses modelos inicia com Dommel (1969) [16] que, baseando-se no trabalho de d'Alembert, propõe a re- solução das Equações do Telégrafo através do método de Bergeron, mas considerando as perdas da linha a partir de resistências concentradas (conforme a Figura 3.7). O modelo proposto constitui-se como base para os estudos posteriores e origina os modelos imple- mentados em diferentes versões do Electromagnetic Transients Program (EMTP), principal software utilizado na modelagem de LTs, sobretudo em pesquisas relacionadas ao estudo de transitórios eletromagnéticos [28].

Dentre as pesquisas que propõem modicações e avanços em relação aos primeiros mo- delos desenvolvidos, destacam-se, em ordem cronológica, as realizadas por Budner (1970), Snelson (1972) - um dos primeiros pesquisadores a considerar a dependência da frequência nos parâmetros da linha -, Meyer e Dommel (1974), e Semlyen e Dabuleanu (1975), que representam a função de propagação e da admitância característica através da função ex- ponencial, utilizam a técnica da convolução recursiva para resolução, e ainda justicam a utilização de uma matriz de transformação real e invariante com a frequência, armando que para uma ampla faixa de frequências a matriz de transformação é praticamente constante. Ainda podem ser citadas as pesquisas desenvolvidas por Ametani (1976) e Semlyen (1981), dentre outras propostas de modicação e extensão de modelos [38]. Destaca-se ainda o mo- delo proposto por J. Marti (1982) [35], que congura-se como um dos modelos matemáticos mais utilizados na simulação de transitórios eletromagnéticos em LTs de energia elétrica aéreas.

De modo geral, os modelos que consideram apenas a variação dos parâmetros com a frequência (e não a matriz de transformação), apresentam validade restrita, pois perdem precisão quando aplicados a linhas aéreas fortemente assimétricas ou em cabos subterrâneos [39]. Assim, foram desenvolvidos os modelos que consideram a matriz de transformação dependente da frequência, destacando-se o estudo desenvolvido por L. Marti (1988) [37], que propõe um modelo matemático para a simulação de LTs compostas por cabos subterrâneos de alta tensão, elaborando uma versão modicada do algoritmo apresentado por J. Marti.

Desse modo, diferentes pesquisadores têm proposto adaptações e avanços nos modelos matemáticos de LTs, principalmente no que se refere à estudos de transitórios eletromagné- ticos, o que dá origem a uma variedade de outros trabalhos que podem ser encontrados na

literatura técnica. Entretanto, dentre os modelos de parâmetros distribuídos dependentes da frequência no domínio modal, destaca-se a utilização do modelo de J. Marti [35], o qual estudou e avaliou os modelos de LTs até então existentes na literatura, considerando suas vantagens e desvantagens, e identicando uma série de diculdades numéricas em formu- lações anteriores. Esse modelo tem sido utilizado como modelo padrão de comparação e validação para outros modelos em diferentes pesquisas [45].

O modelo J. Marti propõe a utilização de uma matriz de transformação real e cons- tante, calculada em uma frequência especíca, para a realização das transformações entre os domínios de fase e modal. Aproximações racionais (funções racionais de fase mínima com polos e zeros reais) da impedância característica e da função de propagação são realizadas utilizando o método assintótico de Bode. As equações do modelo são desenvolvidas no do- mínio da frequência, e a solução é dada pelas relações de Woodru, sendo posteriormente transformada para o domínio do tempo [35]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é apresentado na Figura 3.8 e as principais equações são descritas a seguir:

Figura 3.8: Circuito equivalente ao modelo J. Marti no domínio do tempo [35].

Fk(ω) = Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω) (3.57)

Fm(ω) = Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω), (3.58)

Bk(ω) = [Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω)]e−γ(ω)l (3.59)

Bm = [Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω)]e−γ(ω)l. (3.60)

onde: Fk e Fm são as funções de propagação de onda progressivas e Bk e Bm as funções

regressivas. A impedância característica (Zc) e a constante de propagação (γ) podem ser

Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 34 Zc(ω) = s R(ω) + jωL(ω) G(ω) + jωC(ω) (3.61) γ(ω) =p(R(ω) + jωL(ω))(G(ω) + jωC(ω)). (3.62) De modo geral, as operações são lentas (considerando a dependência da frequência) e, para acelerar o processo, as matrizes de impedância característica e propagação são sintetizadas por meio de funções racionais, que permitem obter exponenciais no domínio do tempo, aplicando assim, técnicas de convolução recursiva. Desse modo, a resposta no domínio do tempo é obtida a partir de integrais de convolução, e a relação entre as tensões do sistema pode ser expressa por:

vm(t) − Zcim(t) = vk(t − τ ) + Zcik(t − τ ). (3.63)

A boa qualidade dessas aproximações contribui para a eciência do modelo J. Marti, que é um dos mais citados e utilizados na literatura atualmente, pois possibilita uma análise com maior grau de precisão, sendo útil para uma ampla faixa de frequências. Por outro lado, a acurácia do modelo é limitada por considerar a matriz de transformação independente da frequência [37].

Modelos no Domínio de Fases

As diculdades encontradas na modelagem de LTs utilizando matrizes de transformação modal dependentes da frequência, impulsionaram o estudo e a proposição de modelos para solucionar as equações diretamente no domínio de fases. Em geral, esses modelos são mais complexos e precisos que os modais, mas podem ser aplicados a LTs de diferentes geometrias e congurações [39]. O desenvolvimento de modelos no domínio de fases também ocorreu a partir de sucessivas propostas de modicações, visando agregar acurácia e reduzir o tempo de simulação computacional, superando limitações do sistema físico e também de métodos computacionais [38]. A elaboração de um modelo de destaque é apresentada por Noda et al. (1996) [42], que propôs um método para resolver as convoluções presentes na solução das equações de linha baseado no modelo ARMA (Auto-Regressive Moving Average). Outro modelo de destaque no domínio de fases é o proposto por Morched et al. (1999) [41], conhecido como Universal Line Model (ULM), cuja utilização tem se difundido desde a implementação no software PSCAD.

Noda (1996) propõe a utilização de um modelo denominado ARMA, que posteriormente é modicado para a obtenção da resposta no domínio do tempo através de interpolação, sendo

a implementação conhecida como IARMA (Interpolated Auto-Regressive Moving Average). Utilizando a transformada z, é proposta a representação de cada elemento das matrizes da admitância característica e função de propagação como funções racionais no domínio dis- creto, o que permite transformar as equações da linha do domínio da frequência diretamente para o domínio do tempo. Assim, o modelo evita as convoluções e problemas relacionados às matrizes de transformação [42,45]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é representado na Figura 3.9 e suas principais equações são apresentadas a seguir:

Figura 3.9: Circuito equivalente ao modelo IARMA no domínio do tempo [45].

Ik(ω) = Yc(ω)Vk(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vm(ω) + Im(ω) (3.64)

Im(ω) = Yc(ω)Vm(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vk(ω) + Ik(ω), (3.65)

onde: H(ω) é a matriz de deformação de onda no domínio de fase, dada por H(ω) = ejωτe−Γ(ω)l (Γ(ω) é a matriz de propagação constante), τ é o tempo de propagação mínimo da onda, e Yc é a matriz de admitância característica. Transformando as equações (3.64) e

(3.65) para o domínio do tempo tem-se:

ik(t) = yc(t) ∗ vk(t) − i0k(t) (3.66)

im(t) = yc(t) ∗ vm(t) − i0m(t), (3.67)

e:

i0k(t) = hT(t) ∗ [yc(t) ∗ vm(t − τ ) + im(t − τ )] (3.68)

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onde: h(t) é a transformada de Fourier inversa de H(ω). Para modelar a admitância Y (ω) com os modelos ARMA, a operação de convolução é representada por:

yc(t) ∗ v(t) = yc0v(t) + yc1(t) ∗ v(t − ∆t), (3.70)

onde: yc0 é uma matriz constante. Transformando para o domínio do tempo, a partir da

equação (3.70), as equações básicas do método no domínio de fases são dadas por:

ik(t) = yc0vk(t) − [i0k(t) − yc1(t) ∗ vk(t − ∆t)], (3.71)

im(t) = yc0vm(t) − [i0m(t) − yc1(t) ∗ vm(t − ∆t)]. (3.72)

Em 1999, é proposto o modelo ULM [41], cuja utilização tem se difundido por demonstrar aplicabilidade em LTs de diferentes geometrias. A principal característica desse modelo é a representação da matriz de propagação por meio de funções racionais (utilizando o método vector tting, um ajuste vetorial), considerando os polos e os tempos de atraso associados aos modos; já a matriz da admitância característica, é obtida diretamente no domínio de fases. A pesquisa também arma que os autovalores da matriz de propagação podem ser obtidos a partir de uma matriz de transformação real e constante, calculada em uma frequência sucientemente alta (por exemplo, 1MHz) [41].

Outra consideração importante acerca deste modelo é a realização do agrupamento de modos que apresentam tempos de propagação semelhantes, o que amplia a sua eciência computacional (já que reduz o número de convoluções), mas às vezes pode produzir insta- bilidades numéricas [39, 41]. Desse modo, o modelo ULM opera com base no princípio de que a dependência da frequência total de um sistema de transmissão pode ser representada por duas funções de transferência (matrizes): a função de propagação H(ω) e a admitância característica YC(ω) [41]. As principais equações, derivadas das Equações do Telégrafo, são

dadas por: YcVk− Ik = 2HTImr = 2Iki (3.73) YcVm− Im = 2HTIkr = 2Imi, (3.74) onde: H(ω) = e−γ(ω)l (3.75) Yc(ω) = Z−1γ. (3.76)

As matrizes H(ω) e Yc(ω) são aproximadas e substituídas por funções racionais equiva-

lentes, que podem ser descritas por:

Hij(jω) = n X k=1 [ Nk X m=1 cmk−ij jω − pmk ]e−jωτk, (3.77)

onde: n é o número de modos, Nk é a ordem de aproximação (número de polos) para o

modo k, cmk−ij é o resíduo da função racional para o modo k, pmk são os polos da função

racional aproximada para o modo k, e τk é o tempo de propagação (atraso) do modo k.

Yc−ij(jω) = dij+ n X k=1 ck−ij jω − pk , (3.78)

onde: d é uma constante real, ck−ij é o resíduo e pk os polos. No domínio do tempo, as

equações são obtidas a partir do circuito equivalente de Norton, cujas fontes históricas de corrente são calculadas a cada passo de tempo. Considerando a implementação computaci- onal do modelo no domínio do tempo apresentada na literatura [25], tem-se:

Ik(n) = GVk(n) − Ihisk(n) (3.79)

Ikr(n) = Ik(n) − Iki(n) (3.80)

Iki(n + 1) = H ∗ Imr(n − τ ) (3.81)

Ihisk(n + 1) = Yc0 ∗ Vk(n) − 2Iki(n + 1). (3.82)

Por m, destaca-se que os principais circuitos elétricos e modelos matemáticos de LTs de energia apresentados nessa seção são os mais citados na literatura técnica [35,41,42], sendo possível ainda encontrar outras formulações e propostas de modicação de tais modelos que são menos utilizados nas pesquisas relacionadas.

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