Modelos Dependentes da Frequência

Nessa classe de modelos são considerados os efeitos da frequência sobre os parâmetros dos cabos, assim, os modelos atuam em uma determinada faixa de frequência. A partir de modelos dependentes da frequência, é possível representar com maior precisão uma LT e seus fenômenos, como a propagação de ondas, o estudo de transitórios, sobretensões, entre outros. A utilização de modelos no domínio da frequência implica na necessidade da posterior transformação da resposta ao domínio do tempo [28,52].

Nesse contexto, destacam-se fragilidades relacionadas à complexidade dos cálculos e ao elevado tempo de simulação computacional para a obtenção da solução de modelos depen- dentes da frequência [45], visto que a resolução desses modelos envolve inúmeras técnicas matemáticas e computacionais, tais como a aproximação de parâmetros por funções racio- nais e exponenciais, a utilização de convolução recursiva, transformada inversa de Fourier, técnica do vector tting, dentre outras [39]. De modo geral, os modelos dependentes da frequência podem ser classicados em modelos desenvolvidos no domínio modal e modelos no domínio de fases.

Modelos no Domínio Modal

Os modelos desenvolvidos no domínio modal são largamente utilizados na modelagem matemática de LTs, pois seus parâmetros consideram a dependência da frequência. De modo geral, uma transformação modal é aplicada às variáveis de entrada, obtendo-se três modos de propagação desacoplados, com isso cada modo (ou fase do sistema) tem uma velocidade de propagação e uma matriz impedância (ou admitância). Esses modos são os autovalores dos sistemas de equações que descrevem o comportamento de uma LT, e a matriz de transformação é, portanto um conjunto linearmente independente dos autovalores

Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 32

do sistema. Uma transformação inversa é aplicada na resposta obtida, de modo que os resultados sejam apresentados em componentes de fase [35,39].

Os modelos modais podem ser subdivididos em duas categorias: (i) modelos que con- sideram a matriz de transformação modal invariante com a frequência e, (ii) modelos que consideram essa matriz dependente da frequência [39]. O desenvolvimento desses modelos inicia com Dommel (1969) [16] que, baseando-se no trabalho de d'Alembert, propõe a re- solução das Equações do Telégrafo através do método de Bergeron, mas considerando as perdas da linha a partir de resistências concentradas (conforme a Figura 3.7). O modelo proposto constitui-se como base para os estudos posteriores e origina os modelos imple- mentados em diferentes versões do Electromagnetic Transients Program (EMTP), principal software utilizado na modelagem de LTs, sobretudo em pesquisas relacionadas ao estudo de transitórios eletromagnéticos [28].

Dentre as pesquisas que propõem modicações e avanços em relação aos primeiros mo- delos desenvolvidos, destacam-se, em ordem cronológica, as realizadas por Budner (1970), Snelson (1972) - um dos primeiros pesquisadores a considerar a dependência da frequência nos parâmetros da linha -, Meyer e Dommel (1974), e Semlyen e Dabuleanu (1975), que representam a função de propagação e da admitância característica através da função ex- ponencial, utilizam a técnica da convolução recursiva para resolução, e ainda justicam a utilização de uma matriz de transformação real e invariante com a frequência, armando que para uma ampla faixa de frequências a matriz de transformação é praticamente constante. Ainda podem ser citadas as pesquisas desenvolvidas por Ametani (1976) e Semlyen (1981), dentre outras propostas de modicação e extensão de modelos [38]. Destaca-se ainda o mo- delo proposto por J. Marti (1982) [35], que congura-se como um dos modelos matemáticos mais utilizados na simulação de transitórios eletromagnéticos em LTs de energia elétrica aéreas.

De modo geral, os modelos que consideram apenas a variação dos parâmetros com a frequência (e não a matriz de transformação), apresentam validade restrita, pois perdem precisão quando aplicados a linhas aéreas fortemente assimétricas ou em cabos subterrâneos [39]. Assim, foram desenvolvidos os modelos que consideram a matriz de transformação dependente da frequência, destacando-se o estudo desenvolvido por L. Marti (1988) [37], que propõe um modelo matemático para a simulação de LTs compostas por cabos subterrâneos de alta tensão, elaborando uma versão modicada do algoritmo apresentado por J. Marti.

Desse modo, diferentes pesquisadores têm proposto adaptações e avanços nos modelos matemáticos de LTs, principalmente no que se refere à estudos de transitórios eletromagné- ticos, o que dá origem a uma variedade de outros trabalhos que podem ser encontrados na

literatura técnica. Entretanto, dentre os modelos de parâmetros distribuídos dependentes da frequência no domínio modal, destaca-se a utilização do modelo de J. Marti [35], o qual estudou e avaliou os modelos de LTs até então existentes na literatura, considerando suas vantagens e desvantagens, e identicando uma série de diculdades numéricas em formu- lações anteriores. Esse modelo tem sido utilizado como modelo padrão de comparação e validação para outros modelos em diferentes pesquisas [45].

O modelo J. Marti propõe a utilização de uma matriz de transformação real e cons- tante, calculada em uma frequência especíca, para a realização das transformações entre os domínios de fase e modal. Aproximações racionais (funções racionais de fase mínima com polos e zeros reais) da impedância característica e da função de propagação são realizadas utilizando o método assintótico de Bode. As equações do modelo são desenvolvidas no do- mínio da frequência, e a solução é dada pelas relações de Woodru, sendo posteriormente transformada para o domínio do tempo [35]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é apresentado na Figura 3.8 e as principais equações são descritas a seguir:

Figura 3.8: Circuito equivalente ao modelo J. Marti no domínio do tempo [35].

Fk(ω) = Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω) (3.57)

Fm(ω) = Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω), (3.58)

Bk(ω) = [Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω)]e−γ(ω)l (3.59)

Bm = [Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω)]e−γ(ω)l. (3.60)

onde: Fk e Fm são as funções de propagação de onda progressivas e Bk e Bm as funções

regressivas. A impedância característica (Zc) e a constante de propagação (γ) podem ser

Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 34 Zc(ω) = s R(ω) + jωL(ω) G(ω) + jωC(ω) (3.61) γ(ω) =p(R(ω) + jωL(ω))(G(ω) + jωC(ω)). (3.62) De modo geral, as operações são lentas (considerando a dependência da frequência) e, para acelerar o processo, as matrizes de impedância característica e propagação são sintetizadas por meio de funções racionais, que permitem obter exponenciais no domínio do tempo, aplicando assim, técnicas de convolução recursiva. Desse modo, a resposta no domínio do tempo é obtida a partir de integrais de convolução, e a relação entre as tensões do sistema pode ser expressa por:

vm(t) − Zcim(t) = vk(t − τ ) + Zcik(t − τ ). (3.63)

A boa qualidade dessas aproximações contribui para a eciência do modelo J. Marti, que é um dos mais citados e utilizados na literatura atualmente, pois possibilita uma análise com maior grau de precisão, sendo útil para uma ampla faixa de frequências. Por outro lado, a acurácia do modelo é limitada por considerar a matriz de transformação independente da frequência [37].

Modelos no Domínio de Fases

As diculdades encontradas na modelagem de LTs utilizando matrizes de transformação modal dependentes da frequência, impulsionaram o estudo e a proposição de modelos para solucionar as equações diretamente no domínio de fases. Em geral, esses modelos são mais complexos e precisos que os modais, mas podem ser aplicados a LTs de diferentes geometrias e congurações [39]. O desenvolvimento de modelos no domínio de fases também ocorreu a partir de sucessivas propostas de modicações, visando agregar acurácia e reduzir o tempo de simulação computacional, superando limitações do sistema físico e também de métodos computacionais [38]. A elaboração de um modelo de destaque é apresentada por Noda et al. (1996) [42], que propôs um método para resolver as convoluções presentes na solução das equações de linha baseado no modelo ARMA (Auto-Regressive Moving Average). Outro modelo de destaque no domínio de fases é o proposto por Morched et al. (1999) [41], conhecido como Universal Line Model (ULM), cuja utilização tem se difundido desde a implementação no software PSCAD.

Noda (1996) propõe a utilização de um modelo denominado ARMA, que posteriormente é modicado para a obtenção da resposta no domínio do tempo através de interpolação, sendo

a implementação conhecida como IARMA (Interpolated Auto-Regressive Moving Average). Utilizando a transformada z, é proposta a representação de cada elemento das matrizes da admitância característica e função de propagação como funções racionais no domínio dis- creto, o que permite transformar as equações da linha do domínio da frequência diretamente para o domínio do tempo. Assim, o modelo evita as convoluções e problemas relacionados às matrizes de transformação [42,45]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é representado na Figura 3.9 e suas principais equações são apresentadas a seguir:

Figura 3.9: Circuito equivalente ao modelo IARMA no domínio do tempo [45].

Ik(ω) = Yc(ω)Vk(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vm(ω) + Im(ω) (3.64)

Im(ω) = Yc(ω)Vm(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vk(ω) + Ik(ω), (3.65)

onde: H(ω) é a matriz de deformação de onda no domínio de fase, dada por H(ω) = ejωτe−Γ(ω)l (Γ(ω) é a matriz de propagação constante), τ é o tempo de propagação mínimo da onda, e Yc é a matriz de admitância característica. Transformando as equações (3.64) e

(3.65) para o domínio do tempo tem-se:

ik(t) = yc(t) ∗ vk(t) − i0k(t) (3.66)

im(t) = yc(t) ∗ vm(t) − i0m(t), (3.67)

e:

i0_k(t) = hT(t) ∗ [yc(t) ∗ vm(t − τ ) + im(t − τ )] (3.68)

Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 36

onde: h(t) é a transformada de Fourier inversa de H(ω). Para modelar a admitância Y (ω) com os modelos ARMA, a operação de convolução é representada por:

yc(t) ∗ v(t) = yc0v(t) + yc1(t) ∗ v(t − ∆t), (3.70)

onde: yc0 é uma matriz constante. Transformando para o domínio do tempo, a partir da

equação (3.70), as equações básicas do método no domínio de fases são dadas por:

ik(t) = yc0vk(t) − [i0k(t) − yc1(t) ∗ vk(t − ∆t)], (3.71)

im(t) = yc0vm(t) − [i0m(t) − yc1(t) ∗ vm(t − ∆t)]. (3.72)

Em 1999, é proposto o modelo ULM [41], cuja utilização tem se difundido por demonstrar aplicabilidade em LTs de diferentes geometrias. A principal característica desse modelo é a representação da matriz de propagação por meio de funções racionais (utilizando o método vector tting, um ajuste vetorial), considerando os polos e os tempos de atraso associados aos modos; já a matriz da admitância característica, é obtida diretamente no domínio de fases. A pesquisa também arma que os autovalores da matriz de propagação podem ser obtidos a partir de uma matriz de transformação real e constante, calculada em uma frequência sucientemente alta (por exemplo, 1MHz) [41].

Outra consideração importante acerca deste modelo é a realização do agrupamento de modos que apresentam tempos de propagação semelhantes, o que amplia a sua eciência computacional (já que reduz o número de convoluções), mas às vezes pode produzir insta- bilidades numéricas [39, 41]. Desse modo, o modelo ULM opera com base no princípio de que a dependência da frequência total de um sistema de transmissão pode ser representada por duas funções de transferência (matrizes): a função de propagação H(ω) e a admitância característica YC(ω) [41]. As principais equações, derivadas das Equações do Telégrafo, são

dadas por: YcVk− Ik = 2HTImr = 2Iki (3.73) YcVm− Im = 2HTIkr = 2Imi, (3.74) onde: H(ω) = e−γ(ω)l (3.75) Yc(ω) = Z−1γ. (3.76)

As matrizes H(ω) e Yc(ω) são aproximadas e substituídas por funções racionais equiva-

lentes, que podem ser descritas por:

Hij(jω) = n X k=1 [ Nk X m=1 cmk−ij jω − pmk ]e−jωτk_, (3.77)

onde: n é o número de modos, Nk é a ordem de aproximação (número de polos) para o

modo k, cmk−ij é o resíduo da função racional para o modo k, pmk são os polos da função

racional aproximada para o modo k, e τk é o tempo de propagação (atraso) do modo k.

Yc−ij(jω) = dij+ n X k=1 ck−ij jω − pk , (3.78)

onde: d é uma constante real, ck−ij é o resíduo e pk os polos. No domínio do tempo, as

equações são obtidas a partir do circuito equivalente de Norton, cujas fontes históricas de corrente são calculadas a cada passo de tempo. Considerando a implementação computaci- onal do modelo no domínio do tempo apresentada na literatura [25], tem-se:

Ik(n) = GVk(n) − Ihisk(n) (3.79)

Ikr(n) = Ik(n) − Iki(n) (3.80)

Iki(n + 1) = H ∗ Imr(n − τ ) (3.81)

Ihisk(n + 1) = Yc0 ∗ Vk(n) − 2Iki(n + 1). (3.82)

Por m, destaca-se que os principais circuitos elétricos e modelos matemáticos de LTs de energia apresentados nessa seção são os mais citados na literatura técnica [35,41,42], sendo possível ainda encontrar outras formulações e propostas de modicação de tais modelos que são menos utilizados nas pesquisas relacionadas.