Baseada em Dados Reais da Rede de Distribuição
Primária de Energia Elétrica
Andressa Tais Diefenthäler
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dra. Orientadora
Paulo Sérgio Sausen, Dr. Coorientador
Ijuí, RS, Brasil c
Modelagem Matemática de Linhas de Transmissão
Baseada em Dados Reais da Rede de Distribuição
Primária de Energia Elétrica
Andressa Tais Diefenthäler
Dissertação de Mestrado apresentada em Fevereiro, 2019Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dra. Orientadora
Paulo Sérgio Sausen, Dr. Coorientador
Euzeli Cipriano dos Santos, Dr. Componente da Banca Mauricio de Campos, Dr.
Componente da Banca
Ijuí, RS, Brasil, Fevereiro, 2019
Agradecimentos
À Deus, pela vida e pela oportunidade desta conquista.À minha família e amigos, pelo amor, paciência, con ança e apoio recebido.
Aos colegas e professores do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, especialmente aos professores orientadores Airam Sausen e Paulo Sausen, e ao Prof. Dr. Maurício de Campos, pelas signi cativas contribuições.
À UNIJUÍ e ao Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), pela estrutura e laboratórios.
Às concessionárias de distribuição de energia elétrica DEMEI e CERILUZ, pela dispo-nibilidade para a aquisição dos dados utilizados no desenvolvimento da pesquisa.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES), pelo aporte nanceiro à pesquisa.
A crescente demanda pelo fornecimento de energia elétrica de qualidade, aliada às tendências da geração distribuída e da migração dos sistemas elétricos para redes inteligentes, requerem o desenvolvimento de testes e simulações computacionais, o que é possível através da mode-lagem matemática dos sistemas de distribuição, principalmente das Linhas de Transmissão (LTs) de energia. Nesse contexto, na presente pesquisa é realizada a modelagem matemática de segmentos da rede de distribuição primária de energia elétrica a partir de dados reais. Isso é realizado visando a validação e a análise comparativa de modelos matemáticos de LTs. Inicialmente, a partir de dados medidos de dois segmentos (linhas curtas) da rede pri-mária de distribuição de duas concessionárias da região noroeste do estado do Rio Grande do Sul, é calculado o fator de desequilíbrio de tensão em ambos os segmentos, aplicando os métodos IEEE, NEMA e CIGRÉ. Veri cado que ambos os segmentos são equilibrados, é realizada a modelagem matemática das LTs com os softwares Matlab/Simulink e PSCAD, abrangendo a implementação e simulação dos modelos PI, Bergeron, Modal (J. Marti) e de Fases (Universal Line Model). Os resultados obtidos possibilitam a validação dos modelos, e a análise comparativa quanto a acurácia e desempenho computacional. Observa-se que o circuito equivalente ao modelo PI no Simulink representa acuradamente os dois segmentos de rede, sendo considerado como o modelo adequado para a predição da tensão de saída de uma linha curta de média tensão, por requerer menor número de parâmetros, apresen-tar acurácia equivalente e menor tempo de simulação computacional quando comparado aos demais modelos de LTs de energia. Além disso, nesta pesquisa é proposta e validada uma modi cação da equação correspondente ao modelo PI para linhas curtas, incluindo características da carga conectada ao sistema elétrico.
Palavras-chave: sistema elétrico de potência, modelos matemáticos de linhas de trans-missão, análise comparativa.
Abstract
The growing demand for quality electric power supply, along with the trends of distributed generation and the migration of electric systems to Smart Grids, require the development of tests and computational simulations, which is possible through the mathematical modeling of distribution systems, mainly of the energy Transmission Lines (TLs). In this context, in the present research, the mathematical modeling with real data of network segments of the primary distribution of electric power is realized. This is realized aiming the validation and the comparative analysis of TLs mathematical models. Initially, based on data measured from two segments (short lines) of the primary distribution network of two utilities com-panies in the northwestern region of Rio Grande do Sul state, the voltage unbalance factor in both segments is calculated by applying the IEEE, NEMA and CIGRÉ methods. After verifying that both segments are balanced, the mathematical modeling of TLs is realized with Matlab/Simulink and PSCAD softwares, covering the implementation and simulation of the PI, Bergeron, Modal (J. Marti) and Phases (Universal Line Model) models. The results obtained allow the validation of the models, and the comparative analysis regarding the accuracy and computational performance. It is observed that the equivalent circuit of the PI model in Simulink represents accurately both network segments, being considered as the suitable model for the prediction of the output voltage of a short medium voltage line, for requiring fewer parameters, to present equivalent accuracy and shorter computational simulation time when compared to other models of energy TLs. In addition, in this research is proposed and validated a modi cation of the PI model equation for short lines, including characteristics of the load connected to the electric system.
Keywords: electric power system, mathematical models of transmission lines, compa-rative analysis.
ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica
CA Corrente Alternada
CC Corrente Contínua
CIGRÉ Conseil International des Grands Réseaux Électriques
DEMEI Departamento Municipal de Energia Elétrica de Ijuí
EDO Equação Diferencial Ordinária
EDPs Equações Diferenciais Parciais
EMTP Electromagnetic Transients Program
FDT Fator de Desequilíbrio de Tensão
GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle
GD Geração Distribuída
IARMA Interpolated Auto-Regressive Moving Average
IEEE Institute of Electrical and Eletronics Engineers
LT Linha de Transmissão
MT Média Tensão
NEMA National Electrical Manufacturers Association
PRODIST Procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema Elétrico Na-cional
PSCAD Power Systems Computer Aided Design
QEE Qualidade da Energia Elétrica
RS Rio Grande do Sul
SEP Sistema Elétrico de Potência
ULM Universal Line Model
UNIJUÍ Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
A ampère β beta C capacitância f frequência F farad G condutância γ constante de propagação H henry H(ω) função de propagação Hz hertz I corrente elétrica IS corrente de entrada IR corrente de saída km quilômetro vi
kV quilovolt kV ar quilovolt-ampère reativo kW quilowatt l comprimento do condutor L indutância m metro Ω ohm ω velocidade angular P potência ativa
QL potência reativa indutiva
r resistência do condutor
R resistência
s segundo
S siemens
t tempo
τ tempo de propagação de onda
V Volt, tensão elétrica
VR tensão de saída x comprimento Y admitância YC admitância característica Z impedância ZC impedância característica viii
Lista de Tabelas
4.1 Con guração geométrica do sistema do DEMEI. . . 43
4.2 Parâmetros do cabo - segmento A1A2. . . 44
4.3 Amostra dos dados medidos da rede elétrica - segmento A1A2. . . 45
4.4 Con guração geométrica do sistema da CERILUZ. . . 47
4.5 Parâmetros do cabo - segmento B1B2. . . 47
4.6 Amostra dos dados medidos da rede elétrica - segmento B1B2. . . 48
5.1 Resultados do cálculo do FDT no segmento A1A2. . . 52
5.2 Resultados do cálculo do FDT no segmento B1B2. . . 53
6.1 Tempos para a simulação dos modelos. . . 56
7.1 Resultado das simulações no Matlab/Simulink para o segmento A1A2. . . 64
7.2 Resultado das simulações no PSCAD para o segmento A1A2. . . 66
7.3 Resultado das simulações no Matlab/Simulink para o segmento B1B2. . . 68
7.4 Resultado das simulações no PSCAD para o segmento B1B2. . . 69
7.5 Análise comparativa dos resultados. . . 71
7.6 Erro percentual médio para os modelos PI. . . 75
2.1 Cadeia de valor da energia elétrica (adaptado de [17]). . . 13
2.2 Matriz energética brasileira [4]. . . 14
2.3 Esquema representativo de redes elétricas inteligentes (Smart Grids) (adap-tado de [17]). . . 17
3.1 Representação do circuito elementar de uma LT [39]. . . 21
3.2 Classi cação dos modelos de LTs [15]. . . 23
3.3 Circuito equivalente ao modelo PI para linhas curtas [24]. . . 24
3.4 Circuito equivalente ao modelo PI para linhas médias [24]. . . 25
3.5 Circuito equivalente ao modelo PI para linhas longas [24]. . . 29
3.6 Circuito equivalente ao modelo de Bergeron [13]. . . 29
3.7 Circuito equivalente ao modelo de Bergeron com perdas [13]. . . 30
3.8 Circuito equivalente ao modelo J. Marti no domínio do tempo [35]. . . 33
3.9 Circuito equivalente ao modelo IARMA no domínio do tempo [45]. . . 35
4.1 Segmento da rede elétrica do DEMEI [22]. . . 43
4.2 Con guração geométrica do sistema do DEMEI. . . 44
4.3 Segmento da rede elétrica da CERILUZ [23]. . . 46
4.4 Con guração geométrica do sistema da CERILUZ. . . 47
5.1 Resultados para o fator K no segmento A1A2. . . 53
5.2 Resultados para o fator K no segmento B1B2. . . 54
6.1 Implementação do circuito equivalente ao modelo PI no Simulink. . . 57
6.2 Implementação do modelo de Bergeron no Simulink. . . 57
6.3 Implementação do circuito equivalente ao modelo PI no PSCAD. . . 58
6.4 Implementação dos modelos de Bergeron, Modal e de Fases no PSCAD. . . . 59
6.5 Circuito equivalente ao modelo PI modi cado. . . 61
Lista de Figuras 2
7.1 Tensão de saída medida e simulada a partir dos modelos no Matlab/Simulink
para o segmento A1A2. . . 65
7.2 Erros percentuais dos modelos no Matlab/Simulink para o segmento A1A2. . 65
7.3 Tensão de saída medida e simulada a partir dos modelos no PSCAD para o segmento A1A2. . . 66
7.4 Erros percentuais dos modelos no PSCAD para o segmento A1A2. . . 67
7.5 Tensão de saída medida e simulada a partir dos modelos no Matlab/Simulink para o segmento B1B2. . . 68
7.6 Erros percentuais dos modelos no Matlab/Simulink para o segmento B1B2. . 69
7.7 Tensão de saída medida e simulada a partir dos modelos no PSCAD para o segmento B1B2. . . 70
7.8 Erros percentuais dos modelos no PSCAD para o segmento B1B2. . . 70
7.9 Tensão medida e simulada para o segmento A1A2 - modelos PI. . . 74
1 Apresentação da Dissertação 6 1.1 Introdução . . . 6 1.2 Motivação . . . 8 1.3 Objetivos da Dissertação . . . 9 1.3.1 Objetivo Geral . . . 9 1.3.2 Objetivos Especí cos . . . 9 1.4 Contribuições . . . 10 1.5 Estrutura do Documento . . . 10 2 Conceitos Iniciais 12 2.1 Introdução . . . 12
2.2 Sistema Elétrico de Potência . . . 12
2.2.1 Geração . . . 13
2.2.2 Transmissão . . . 15
2.2.3 Distribuição . . . 15
2.3 Redes Elétricas Inteligentes . . . 16
2.4 Resumo do Capítulo . . . 18
3 Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 19 3.1 Introdução . . . 19
3.2 Classi cação dos Modelos Matemáticos de LTs . . . 20
3.3 Modelos de Parâmetros Concentrados . . . 22
3.3.1 Modelo PI para Linhas Curtas . . . 23
3.3.2 Modelo PI para Linhas Médias . . . 24
3.4 Modelos de Parâmetros Distribuídos . . . 26
3.4.1 Modelos Independentes da Frequência . . . 26
3.4.2 Modelos Dependentes da Frequência . . . 31
Sumário 4
3.5 Trabalhos Correlatos . . . 37
3.6 Resumo do Capítulo . . . 40
4 Caracterização do Sistema Elétrico 42 4.1 Introdução . . . 42
4.2 Concessionária DEMEI . . . 42
4.2.1 Parâmetros do Cabo - Segmento A1A2 . . . 44
4.2.2 Aquisição de Dados - Segmento A1A2 . . . 44
4.3 Concessionária CERILUZ . . . 46
4.3.1 Parâmetros do Cabo - Segmento B1B2 . . . 47
4.3.2 Aquisição de Dados - Segmento B1B2 . . . 48
4.4 Resumo do Capítulo . . . 49
5 Equilíbrio de Tensão 50 5.1 Introdução . . . 50
5.2 Fator de Desequilíbrio de Tensão . . . 51
5.2.1 Método IEEE . . . 51
5.2.2 Método NEMA . . . 51
5.2.3 Método CIGRÉ . . . 52
5.3 Equilíbrio de Tensão nos Segmentos A1A2 e B1B2 . . . 52
5.4 Resumo do Capítulo . . . 54
6 Modelagem Matemática 55 6.1 Introdução . . . 55
6.2 Implementação dos Modelos no Matlab/Simulink . . . 56
6.3 Implementação dos Modelos no PSCAD . . . 57
6.4 Modelo PI Modi cado . . . 59
6.5 Resumo do Capítulo . . . 62
7 Simulações e Análise dos Resultados 63 7.1 Introdução . . . 63
7.2 Resultados e Validação do Segmento A1A2 . . . 63
7.3 Resultados e Validação do Segmento B1B2 . . . 67
7.4 Análise Comparativa e Discussão . . . 71
7.5 Resultados para o Modelo PI Modi cado . . . 73
8 Conclusões 77
Referências Bibliográ cas 80
A Publicações Relacionadas a Dissertação 85
A.1 Artigos Publicados . . . 85 A.2 Capítulo de Livro Publicado . . . 86
Capítulo 1
Apresentação da Dissertação
1.1 Introdução
Nos últimos anos, o Sistema Elétrico de Potência (SEP) brasileiro tem passado por modi cações, principalmente no que se refere à incorporação de novas tecnologias na rede elétrica, visto que esse sistema foi desenvolvido na metade do século XX, e deve atender às novas necessidades relacionadas ao crescente consumo de energia e ao atendimento da demanda com segurança e qualidade. Dentre as principais motivações para a modernização dos SEPs, destaca-se o aumento da con abilidade (com a redução de falhas e interrupções no fornecimento de energia), e a possibilidade do sistema oferecer suporte a novos equipamentos e à geração descentralizada de energia elétrica a partir de fontes renováveis, i.e., à Geração Distribuída (GD) [1,2].
Nesse sentido, é de fundamental importância a incorporação de tecnologias de informa-ção, computação e automação no SEP atual, transformando os sistemas em redes elétricas inteligentes, o que possibilita o uxo bidirecional de energia e de informações entre a con-cessionária e os consumidores, permitindo a comunicação e o controle da rede elétrica em tempo real [34,44]. Com a inserção de novos recursos à rede são necessários estudos prévios relacionados à alocação ótima dos equipamentos e aos impactos que eles podem ocasionar, principalmente nos sistemas de distribuição de energia elétrica. Nesse contexto, a modela-gem matemática torna-se uma ferramenta relevante, pois através dela é possível representar, simular, e prever a dinâmica do sistema elétrico real com a adição das tecnologias das re-des inteligentes, permitindo avaliar o comportamento da rede sob diferentes condições, e determinar os níveis de tensão e corrente, diagnosticando as perdas, de modo a gerenciar e planejar o fornecimento e a expansão dos sistemas de energia com e ciência e segurança.
Dentre os principais componentes de um sistema de distribuição que podem ser
dos, destacam-se as Linhas de Transmissão (LTs), responsáveis pelo transporte da energia elétrica das usinas geradoras até os consumidores nais. Na literatura técnica são apre-sentados diferentes circuitos elétricos e modelos matemáticos de LTs, os quais podem ser classi cados de acordo com a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência [39,45]. Inserido nesse contexto, o Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), da Univer-sidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), tem realizado estudos relacionados à modelagem matemática de LTs. Schreiber [46] aplicou um modelo de parâmetros concentrados independente da frequência, o modelo PI para linhas curtas, em um circuito em escala reduzida, que representava um segmento da rede do Departamento Municipal de Energia Elétrica da cidade de Ijuí (DEMEI), constatando que o modelo PI descreve satisfatoriamente o trecho simulado em relação a transmissão em altas frequências, no que se refere à representação da transmissão de um sinal Power Line Communication (PLC).
Em outro estudo, Silva [48] desenvolveu a modelagem matemática de um segmento da rede primária (i.e., Média Tensão (MT)) desta concessionária, considerando o modelo PI para linhas curtas, o qual foi validado a partir da aquisição de grandezas e dados reais medidos da rede elétrica; os resultados obtidos demonstraram que o modelo PI, acrescido das propostas de modi cações apresentadas em sua pesquisa, capturou satisfatoriamente as características do trecho modelado. Desse modo, trabalhos anteriores desenvolvidos no GAIC dedicaram-se à modelagem matemática de um segmento da rede de distribuição de energia elétrica, considerando o modelo PI. Entretanto, foi desprezada a natureza distribuída dos parâmetros, além da in uência da frequência sobre o sistema. Destaca-se que esses aspectos podem se tornar relevantes em estudos futuros, no que se refere à transformação da rede elétrica atual em uma rede inteligente. Assim, a aplicação de outros modelos matemáticos da literatura que consideram esses fatores é necessária, possibilitando analisar e justi car a escolha de um modelo adequado aos objetivos do estudo que será realizado.
Na literatura técnica é apresentada uma variedade de modelos, sendo que a maior parte das pesquisas dedica-se à modelagem matemática de LTs para a análise de distúrbios como transientes eletromagnéticos, considerando principalmente LTs longas de alta tensão. Além disso, são utilizados parâmetros estimados e dados de entrada dos modelos simulados com-putacionalmente, não sendo realizada, na maioria dos casos, a validação dos modelos com base em dados de um sistema elétrico real [38, 45]. Desse modo, evidencia-se a necessidade da análise comparativa dos diferentes modelos matemáticos de LTs da literatura, conside-rando a utilização de dados reais medidos da rede elétrica para a simulação e validação, possibilitando determinar a acurácia de cada modelo.
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8
Nesse sentido, o objetivo principal deste trabalho de dissertação é realizar a modelagem matemática de segmentos da rede de distribuição primária de energia elétrica, visando a validação e a análise comparativa de modelos matemáticos de LTs a partir de dados reais. Para isso, inicialmente, é realizada uma revisão bibliográ ca dos principais modelos matemáticos de LTs, os quais são classi cados de acordo com a natureza dos parâmetros (concentrados ou distribuídos) e a dependendência da frequência. São selecionados um modelo de cada categoria, i.e., modelos PI, Bergeron, Modal (J. Marti) e de Fases (Universal Line Model (ULM)), os quais são simulados para cada caso, e comparados a nível de acurácia e desempenho computacional, considerando a predição da tensão de saída em um sistema elétrico. Também é proposta a modi cação da equação do modelo PI para linhas curtas, considerando grandezas relacionadas à carga conectada no sistema elétrico. Os modelos são simulados e validados a partir de dados reais medidos de dois segmentos (LTs curtas) da rede elétrica de MT, pertencentes a duas concessionárias de distribuição de energia elétrica da região noroeste do estado do Rio Grande do Sul (RS), o Departamento Municipal de Energia de Ijuí (DEMEI) e a Cooperativa Regional de Energia e Desenvolvimento Ijuí Ltda - CERILUZ DISTRIBUIÇÃO, as quais a partir desse momento são denominadas DEMEI e CERILUZ, respectivamente. As implementações dos modelos são realizadas com o auxílio dos softwares Matlab/Simulink e PSCAD (Power Systems Computer Aided Design).
O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação. Na Seção 1.3 são descritos os objetivos geral e especí cos. Na Seção 1.4 são citadas as principais contribuições deste trabalho para a modelagem matemática de LTs de energia elétrica. Na Seção 1.5 é apresentada a estrutura deste documento.
1.2 Motivação
O desenvolvimento tecnológico, aliado à crescente demanda e à tendência de descentra-lização da geração de energia elétrica, têm evidenciado a necessidade da atuadescentra-lização do SEP brasileiro, visto que este foi desenvolvido no século XX, e requer a incorporação de novas tecnologias para garantir o fornecimento de energia com segurança e qualidade, o que é possível a partir da transformação dos sistemas em redes elétricas inteligentes. A inserção de novos recursos e ferramentas provoca alterações signi cativas na rede, principalmente nos sistemas de informação, medição e proteção do SEP, o que requer planejamento em relação à alocação ótima dos equipamentos, e também a avaliação dos impactos que podem ser ocasionados por tais alterações. Nesse contexto, destaca-se a necessidade de representar e simular os sistemas elétricos computacionalmente, o que é possível a partir da modelagem
matemática de redes de distribuição de energia. Esta con gura-se como uma das principais motivações para o desenvolvimento deste trabalho de dissertação.
Entre os principais elementos que compõem uma rede elétrica destacam-se as LTs, res-ponsáveis pelo transporte de energia. Na literatura técnica são apresentados diferentes modelos matemáticos para a representação desses sistemas, entretanto, grande parte das pesquisas concentra-se na análise de distúrbios como transientes eletromagnéticos, e não utiliza grandezas medidas da rede elétrica real para a simulação e validação dos modelos. Nesse sentido, destaca-se a necessidade de uma análise comparativa de modelos matemáticos de LTs para a predição da tensão de saída em um sistema elétrico, considerando dados reais medidos da rede de MT, o que possibilita validar e determinar a acurácia de cada modelo, avaliando-os também quanto ao seu desempenho computacional. Assim, a motivação deste trabalho de dissertação concentra-se na modelagem matemática de LTs, visando possibilitar a escolha de um modelo adequado para a representação de um sistema elétrico, e que seja acurado e acessível às concessionárias de distribuição de energia, de modo a favorecer o planejamento de expansão e operação desses sistemas, principalmente no contexto das redes elétricas inteligentes.
1.3 Objetivos da Dissertação
Nesta seção são apresentados o Objetivo Geral e os Objetivos Especí cos deste trabalho de dissertação.
1.3.1 Objetivo Geral
Este trabalho tem como objetivo geral a modelagem matemática de segmentos da rede de distribuição primária de energia elétrica, visando a validação e a análise comparativa de modelos matemáticos de LTs a partir de dados reais.
1.3.2 Objetivos Especí cos
Visando atingir o objetivo geral deste trabalho, elencam-se os seguintes objetivos espe-cí cos:
• Realizar uma revisão bibliográ ca dos modelos matemáticos de LTs, classi cando os principais modelos da literatura técnica de acordo com a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência;
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10
• De nir os segmentos da rede elétrica de MT que serão modelados, nos quais serão aquisitadas as grandezas, visando compor o banco de dados da pesquisa;
• Analisar o equilíbrio de tensão nos segmentos da rede elétrica escolhidos, comparando três métodos da literatura técnica;
• Estudar e de nir os modelos matemáticos de LTs que serão utilizados;
• Implementar e simular os modelos matemáticos e circuitos elétricos de LTs a partir dos softwares Matlab/Simulink e PSCAD;
• Validar os modelos de LTs, comparando os resultados simulados com os dados reais medidos da rede elétrica das concessionárias;
• Realizar uma análise comparativa dos modelos matemáticos quanto a sua acurácia e tempo de simulação computacional;
• Disponibilizar modelos validados com dados reais, possibilitando a escolha de um modelo adequado para a modelagem matemática completa da rede, e para a realização de estudos futuros relacionados a sua transformação em uma rede elétrica inteligente.
1.4 Contribuições
Nesta dissertação são introduzidas contribuições relacionadas a modelagem matemática de LTs de energia elétrica. Estas contribuições são listadas a seguir:
• Classi cação dos principais modelos matemáticos de LTs da literatura de acordo com a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência;
• Validação e análise comparativa de modelos matemáticos de LTs de energia, conside-rando dados reais medidos da rede elétrica de MT;
• Desenvolvimento e validação de uma proposta de modi cação do modelo PI para a simulação de LTs, considerando a carga conectada ao sistema.
1.5 Estrutura do Documento
O presente trabalho de dissertação organiza-se conforme a estrutura apresentada a se-guir. No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográ ca acerca do SEP e apresentado um
breve histórico do seu desenvolvimento; são abordados os processos de geração (incluindo a GD), transmissão e distribuição de energia elétrica, assim como aspectos relacionados à transformação dos sistemas em redes elétricas inteligentes. No Capítulo 3 são descritos os principais modelos matemáticos e circuitos elétricos de LTs e sua classi cação, considerando a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência; também são abordados alguns trabalhos correlatos, no que se refere à análise comparativa de modelos matemáticos de LTs. No Capítulo 4 é realizada a caracterização da rede elétrica e dos segmentos modelados; também são descritos os processos para a obtenção dos dados, e apresentadas as principais grandezas utilizadas para o desenvolvimento do trabalho. No Capítulo 5 é realizada uma análise do equilíbrio de tensão nos segmentos de rede modelados, sendo comparados três métodos da literatura técnica para o cálculo do Fator de Desequilíbrio de Tensão (FDT).
No Capítulo 6 é apresentada a implementação dos circuitos elétricos correspondentes aos quatro modelos de LTs simulados nos softwares Matlab/Simulink e/ou PSCAD, sendo eles: modelo PI (parâmetros concentrados), modelo de Bergeron (parâmetros distribuídos), modelo de J. Marti (modelo dependente da frequência no domínio modal), e modelo ULM (modelo dependente da frequência no domínio de fases). Também é apresentada uma pro-posta de modi cação da equação do modelo PI para linhas curtas, considerando grandezas relacionadas à carga conectada no sistema elétrico.
No Capítulo 7 os modelos matemáticos de LTs são validados a partir da comparação dos resultados simulados com dados medidos em dois segmentos da rede elétrica de MT de duas concessionárias de energia do noroeste do estado do RS. É realizada a análise comparativa dos resultados quanto a acurácia e desempenho computacional de cada modelo. No Capítulo 8 são apresentadas as conclusões desta dissertação e as possibilidades de trabalhos futuros.
Capítulo 2
Conceitos Iniciais
2.1 Introdução
A geração e o fornecimento de energia elétrica tiveram início no nal do século XIX, mas a expansão e a con guração atual dos sistemas elétricos foi desenvolvida apenas no século XX, constituindo-se como um dos maiores avanços da história. Destaca-se que a energia elétrica é um fator determinante para o desenvolvimento tecnológico, econômico e social, sendo utilizada na maioria das tarefas do dia-a-dia, na operação e manutenção de diferentes equipamentos que fazem parte do cotidiano das pessoas, sendo fundamental também para o desenvolvimento e avanço das ciências e da tecnologia.
Neste capítulo são abordados os principais conceitos relacionados ao fornecimento de energia elétrica, fundamentais para a contextualização desta pesquisa. Inicialmente, na Seção 2.2 é apresentado um breve histórico do SEP, e o detalhamento dos processos de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. Na Seção 2.3 é abordado sobre as redes elétricas inteligentes, destacando-se as principais alterações e vantagens oferecidas por esses sistemas. Na Seção 2.4 é apresentado um resumo do capítulo.
2.2 Sistema Elétrico de Potência
Até ser fornecida aos consumidores, a energia elétrica passa pelos processos de geração, transmissão e distribuição. O SEP é constituído pelo conjunto de elementos que possibilita o fornecimento de energia aos consumidores a partir destes processos, tais como centrais elétricas, subestações e LTs. O desenvolvimento do SEP mundial iniciou nas últimas dé-cadas do século XIX e enfrentou uma série de mudanças até atingir a con guração atual. O primeiro passo foi dado em 1879 por Thomas Edison, o qual inventou a lâmpada
descente e, em 1882, construiu as primeiras usinas geradoras, uma em Londres e duas nos Estados Unidos, ambas de pequeno porte e em Corrente Contínua (CC). Nesse mesmo ano, foi instalada a primeira iluminação pública em Nova York, alimentada por uma pequena termelétrica [18].
Em 1885, George Westinghouse Jr. comprou os direitos de uma patente desenvolvida por Nikola Tesla para construir transformadores de Corrente Alternada (CA), o que possibilitou que a partir de 1886 fossem desenvolvidos os sistemas de iluminação pública em CA. A Alemanha, em 1891, foi o primeiro local a ser equipado com uma fonte de alimentação trifásica em CA e desde então, esta con guração tem sido utilizada na maioria dos SEPs instalados pelo mundo [18]. Do mesmo modo, ocorreu o desenvolvimento do sistema elétrico brasileiro, cuja con guração atual foi estruturada no século passado, e enfrenta desa os para atender as atuais necessidades de consumo, o que evidencia a importância de pesquisas relacionadas à modernização desse sistema.
De modo geral, o fornecimento de energia elétrica é realizado a partir da cadeia de valor da energia, que compreende os processos de geração (com a transformação da energia de alguma natureza em elétrica), transmissão e distribuição, visando atender aos consumido-res com qualidade e segurança [1, 31]. Estes processos são repconsumido-resentados na Figura 2.1 e detalhados nas próximas seções.
Figura 2.1: Cadeia de valor da energia elétrica (adaptado de [17]).
2.2.1 Geração
A geração de energia elétrica consiste na transformação de outras formas de energia, como a mecânica e a química, por exemplo, em elétrica. Há diferentes tipos de fontes
Capítulo 2. Conceitos Iniciais 14
geradoras de energia elétrica, tais como, as hidrelétricas, eólicas, térmicas, nucleares, solares, entre outras. Conforme a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL), a principal fonte de geração de energia no Brasil são as hidrelétricas, que produzem cerca de 60% da potência a ser consumida; ao mesmo tempo, fontes renováveis como a eólica, têm contribuído cada vez mais para a matriz energética [4]. Na Figura 2.2 pode-se observar a origem da energia elétrica e sua porcentagem de contribuição para a capacidade total do sistema elétrico brasileiro, de acordo com a ANEEL.
Figura 2.2: Matriz energética brasileira [4].
Desse modo, atualmente a produção de energia elétrica é predominantemente baseada na geração centralizada em grandes usinas localizadas longe dos centros urbanos, e obe-dece a um uxo unidirecional até chegar aos consumidores (conforme observado na Figura 2.1). Por outro lado, no cenário brasileiro (e também mundial), as preocupações relaciona-das a recursos não renováveis escassos, ou que ocasionam grandes danos ambientais, têm contribuído para o aumento da produção de energia em pequenas centrais geradoras que utilizam fontes renováveis. Nesse contexto, vem ocorrendo um processo de descentralização da produção de energia elétrica, emergindo o conceito de GD, a qual é realizada na própria rede de distribuição ou próximo ao consumidor, envolvendo diferentes fontes, potências e tecnologias [2].
A partir da instalação de aerogeradores ou painéis fotovoltaicos em residências, por exemplo, pode-se suprir a demanda de energia elétrica e ainda fornecer o excedente à con-cessionária, para ser injetada na rede, auxiliando no atendimento da demanda nos horários de pico. Assim, a GD apresenta vantagens em relação à geração de energia elétrica baseada
em uma única fonte, pois pode causar baixos impactos ambientais, além de auxiliar na eco-nomia de investimentos na transmissão e distribuição a longas distâncias, e na redução das perdas nesses sistemas, agregando estabilidade ao serviço [21]. Esses benefícios se devem ao fato da GD envolver, além da fonte de geração de energia, equipamentos de medição e controle, previstos pelas redes elétricas inteligentes, que articulam a operação dos geradores e o controle de cargas para se adaptar a oferta de energia disponível, possibilitando obter maior e ciência energética [51].
Por outro lado, a inserção de unidades de GD sem prévio estudo do próprio sistema elétrico e dos impactos ocasionados, pode acarretar problemas que comprometem a Qua-lidade da Energia Elétrica (QEE), tais como, sobrecargas, utuações de tensão, distorções harmônicas e variações na frequência [5, 21]. Esses aspectos evidenciam a necessidade de avaliar e planejar a articulação da GD e a incorporação de novas tecnologias ao atual SEP brasileiro.
2.2.2 Transmissão
Após a geração, a energia elétrica é transportada por longas distâncias até as subesta-ções. Os sistemas de transmissão são formados principalmente por LTs (cabos condutores metálicos), torres (estrutura de suporte) e transformadores. Como os SEPs são em sua maioria trifásicos, tem-se de cada lado das torres, três conjuntos de cabos, acompanha-dos por outro denominado de cabo guarda, i.e., para-raios. Nos pontos de conexão com os geradores, existem subestações de transmissão (ou estações elevadoras), compostas por transformadores responsáveis por elevar o nível de tensão da energia gerada, pois assim, ocorre uma redução na corrente elétrica que circula nas LTs, o que auxilia na redução das perdas no transporte a longas distâncias. Desse modo, a energia elétrica é transportada em níveis de tensão a partir de 69kV , interligando centrais geradoras às redes de distribuição de energia [1,31].
2.2.3 Distribuição
O sistema de distribuição é responsável por fornecer energia elétrica aos consumidores, dentre os quais destacam-se os industriais, comerciais e residenciais. Após o transporte de energia até as subestações, os níveis de tensão são rebaixados para MT (rede primária, 1kV até 69kV ). Através de transformadores instalados nos postes, os níveis ainda são reduzidos para baixa tensão (i.e., rede secundária, igual ou inferior a 1kV ). Desse modo, a rede de distribuição abrange linhas de alta, média e baixa tensão, que podem ser aéreas ou
Capítulo 2. Conceitos Iniciais 16
subterrâneas, sendo compostas geralmente por três os condutores (adicionadas do neutro) e transformadores [1,31]. A extensão da rede elétrica é rami cada, acompanhando a topologia das ruas das cidades, e a maioria desses sistemas ainda utiliza principalmente tecnologia analógica em suas atividades de medição, operação e proteção da rede [10].
A distribuição de energia elétrica é de responsabilidade das concessionárias, que devem garantir o atendimento da demanda com segurança e qualidade. Elas são reguladas pela ANEEL, através dos Procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema Elétrico Nacional (PRODIST). O módulo 8 do PRODIST determina normas que regulamentam o sistema e as operações, além de estabelecer critérios e indicadores de qualidade do serviço e do produto (relacionados, por exemplo, à continuidade do fornecimento, presença de harmônicos e às variações de tensão, corrente e frequência) [5].
Nesse sentido, considerando que o SEP brasileiro foi desenvolvido no século XX, e diante da crescente demanda pelo fornecimento de energia elétrica de qualidade, assim como da necessidade de oferecer suporte à GD, é de fundamental importância o desenvolvimento e a incorporação de novos recursos tecnológicos à rede. Esses recursos se referem principalmente a equipamentos de medição e controle, utilizados na rede elétrica inteligente. Esta pode ser entendida como a quarta geração dos SEPs, prevendo a utilização de tecnologia digital nos serviços relacionados à distribuição de energia elétrica [10].
2.3 Redes Elétricas Inteligentes
Diante dos avanços tecnológicos e da crescente demanda por energia elétrica, as no-vas necessidades de desenvolvimento e consumo do século XXI tem exigido mudanças no SEP atual. Nesse contexto, destaca-se a transformação desses sistemas em redes elétricas inteligentes (do inglês Smart Grids), a qual envolve a aplicação de tecnologias da comu-nicação, automação e computação na rede elétrica, provocando signi cativas modi cações, principalmente nos sistemas de informação, medição e proteção do SEP [34]. A partir da incorporação de novos recursos e equipamentos na rede, espera-se desenvolver um sistema elétrico mais e ciente, con ável, exível, otimizado, econômico e ambientalmente correto [14]. No Brasil, a incorporação desses recursos tem como motivação principal a busca por uma estratégia para melhorar aspectos técnicos da distribuição, relacionados à segurança patrimonial, redução das perdas comerciais, diminuição ou eliminação do furto de energia e fraudes em medidores, e o ajuste da oferta de acordo com o crescimento urbano e industrial [10].
destaca-se a possibilidade de monitorar e gerenciar o transporte de eletricidade em tempo real, e de realizar a autorreparação (Self-Healing) do sistema de distribuição de energia através de sensores instalados na rede, possibilitando a identi cação e o isolamento dos componentes com falhas, e a restauração do serviço de fornecimento ao consumidor a partir de elementos que não foram atingidos. Isso ocorre com pequena ou nenhuma intervenção humana, permi-tindo minimizar as interrupções, e reduzir a vulnerabilidade a violações, desastres naturais e falhas humanas, o que contribui para a con abilidade do sistema elétrico [44,46].
As redes elétricas inteligentes também preveem o uxo de energia e de informação bidire-cional entre o sistema de fornecimento e o consumidor, considerando ainda, a possibilidade de armazenamento de energia e a utilização de sistemas automáticos de medição (Figura 2.3) [44]. Assim, viabiliza a GD e a divulgação de informações, tais como, tarifas diferen-ciadas ao longo do dia, o que pode incentivar a redução do consumo ou o deslocamento do pico da demanda para períodos com cargas mais leves, sem sobrecarregar o sistema [34].
Figura 2.3: Esquema representativo de redes elétricas inteligentes (Smart Grids) (adaptado de [17]).
Diante disso, evidencia-se a necessidade de planejar a incorporação das tecnologias pre-vistas pelas redes inteligentes no sistema elétrico atual, e nesse contexto destaca-se a impor-tância da execução de testes e simulações computacionais anterior a sua aplicação na rede, o que pode ser realizado através da modelagem matemática dos sistemas elétricos.
Capítulo 2. Conceitos Iniciais 18
2.4 Resumo do Capítulo
Neste capítulo foram apresentados alguns conceitos fundamentais para a contextualiza-ção desta pesquisa de dissertacontextualiza-ção. Foi realizada uma revisão bibliográ ca do SEP brasileiro, sendo exposto um breve histórico, e o detalhamento da cadeia de valor da energia. Inici-almente, foi abordado o processo de geração, o qual é realizado principalmente em usinas hidrelétricas; também foi de nida a GD, a qual prevê o uxo bidirecional de energia elé-trica entre o sistema de fornecimento e o consumidor, envolvendo fontes renováveis. Após a geração, a energia é transportada por longas distâncias através de redes de transmissão, até chegar as subestações de distribuição, responsáveis por fornecer energia elétrica com segurança e qualidade aos consumidores industriais, comerciais e residenciais. Em seguida, foi abordado o conceito de redes elétricas inteligentes, que prevê a incorporação de tecno-logias de comunicação e automação nos SEPs, provocando signi cativas alterações na rede, principalmente ao viabilizar o monitoramento do sistema elétrico em tempo real.
Nesse contexto, considerando a possibilidade da incorporação de tecnologias das redes inteligentes no sistema elétrico atual, a modelagem matemática desses sistemas tem um papel fundamental, pois através dela é possível realizar a simulação das redes e predizer seu comportamento antes da aplicação das tecnologias no sistema real. No próximo capítulo é apresentada uma revisão bibliográ ca e a classi cação dos principais modelos matemáticos e circuitos elétricos de LTs, de acordo com a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência. Também são abordados trabalhos correlatos a essa pesquisa, principalmente no que se refere à análise comparativa de modelos para a representação e simulação de LTs de energia elétrica.
Modelos Matemáticos e Circuitos
Elétricos de LTs
3.1 Introdução
Na modelagem matemática de componentes de um sistema elétrico, o modelo consiste na representação de um fenômeno através de circuitos equivalentes e/ou de equações matemá-ticas. A utilização de modelos possibilita a tomada de decisões, explicações e interpretações dos fenômenos estudados, além da previsão de situações futuras. Desse modo, para a incor-poração de novas tecnologias e planejamento dos SEPs, é fundamental representar, descrever e simular os sistemas de energia, possibilitando o conhecimento e a predição da dinâmica desses sistemas, de modo a planejar a disponibilidade de energia elétrica com e ciência e segurança [8].
De modo geral, a energia elétrica é baseada na geração de diferenças de potencial elétrico entre dois pontos de um condutor, o que permite estabelecer uma corrente elétrica. Em outras palavras, pode ser entendida como a capacidade de trabalho de uma corrente elétrica [26]. Em uma rede elétrica, os componentes do sistema atuam com o objetivo de transportar a energia gerada nas usinas até as cargas consumidoras, o que é realizado através de LTs, as quais con guram-se como um dos principais elementos que podem ser modelados. As LTs são classi cadas de acordo com o seu comprimento, ou seja, em linhas curtas (também denominadas de linhas de distribuição, até 80km), médias (de 80km a 240km) e linhas longas (maiores que 240km). Quanto ao transporte de energia elétrica, as LTs operam em níveis de alta, média ou baixa tensão [52].
O SEP funciona de modo análogo ao de um circuito elétrico, o qual pode ser de nido como uma ligação de elementos elétricos que formam um caminho fechado para a passagem
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 20
de corrente elétrica. Todas as redes de transmissão ou distribuição exibem as propriedades elétricas de condutância, indutância, capacitância e resistência. A condutância (G) indica a facilidade com que uma corrente elétrica ui por um condutor, e está relacionada às fugas de corrente que ocorrem nos isoladores e no ar ionizado (chamado efeito corona); como estas correntes apresentam valores muito baixos em comparação à corrente que circula na LT, este parâmetro geralmente é desconsiderado na modelagem matemática. Já a indutância (L, medida em henry (H)) e a capacitância (C medida em farad (F )) são causadas pelos efeitos dos campos magnéticos e elétricos em torno do condutor, respectivamente; e a resistência (R medida em ohm (Ω)) consiste, como o próprio nome já a de ne, na limitação da passagem de corrente elétrica em um circuito, através do controle da tensão. Desse modo, os parâmetros indutância, capacitância e resistência são essenciais para a modelagem matemática de LTs de energia elétrica [26,52].
Os parâmetros podem variar de acordo com o comprimento da LT ou a frequência, sendo que o comportamento dinâmico de um sistema elétrico pode ser equacionado e solucionado a partir de diferentes métodos, o que dá origem a uma variedade de modelos matemáticos de LTs apresentados na literatura técnica. Diante disso, neste capítulo é realizada uma revisão bibliográ ca dos modelos matemáticos e circuitos elétricos para a representação e simulação de LTs de energia elétrica. Na Seção 3.2, os principais modelos da literatura são classi cados quanto a natureza dos parâmetros e a dependência da frequência, sendo detalhados nas próximas seções. Na Seção 3.3 são descritos os modelos de parâmetros concentrados, dentre os quais destacam-se os modelos PI para linhas curtas e PI para linhas médias. Já na Seção 3.4 são abordados os modelos de parâmetros distribuídos independentes da frequência (modelo PI para linhas longas e modelo de Bergeron) e dependentes da frequência (modelos no domínio modal e de fases). Na Seção 3.5 são citados alguns trabalhos relacionados à modelagem matemática de LTs, principalmente no que se refere à análise comparativa de modelos. Na Seção 3.6 é apresentado um resumo do capítulo.
3.2 Classi cação dos Modelos Matemáticos de LTs
De modo geral, o comportamento de uma LT pode ser representado através de um circuito RLCG (i.e., com resistência, indutância, capacitância e condutância), conforme a Figura 3.1. Através da aplicação das Leis de Kirchho nesse circuito, é obtido um sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) que descreve o comportamento da LT, cuja dedução é apresentada a seguir [20, 26]. Inicialmente, conforme a primeira Lei de Kirchho, em um nó a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem do sistema:
Figura 3.1: Representação do circuito elementar de uma LT [39].
I(x + ∆x, t) = I(x, t) − G∆xV (x + ∆x, t) − C∆x∂V (x + ∆x, t)
∂t . (3.1)
De acordo com a segunda Lei de Kirchho, a soma algébrica das variações de potencial em um circuito fechado deve ser nula, desse modo:
V (x, t) − R∆xI(x, t) − V (x + ∆x, t) − L∆x∂I(x, t)
∂t = 0. (3.2)
Reorganizando as equações (3.1) e (3.2) tem-se:
I(x + ∆x, t) − I(x, t) = −G∆xV (x + ∆x, t) − C∆x∂V (x + ∆x, t)
∂t (3.3)
V (x + ∆x, t) − V (x, t) = −R∆xI(x, t) − L∆x∂I(x, t)
∂t . (3.4)
Dividindo ambas as equações por ∆x: I(x + ∆x, t) − I(x, t) ∆x = −GV (x + ∆x, t) − C ∂V (x + ∆x, t) ∂t (3.5) V (x + ∆x, t) − V (x, t) ∆x = −RI(x, t) − L ∂I(x, t) ∂t . (3.6)
A partir da de nição de derivada:
lim∆x→0 I(x + ∆x, t) − I(x, t) ∆x = ∂I(x, t) ∂x (3.7) lim∆x→0 V (x + ∆x, t) − V (x, t) ∆x = ∂V (x, t) ∂x . (3.8)
Substituindo as equações (3.7) e (3.8) nas equações (3.5) e (3.6), tem-se:
− ∂I(x, t)
∂x = GV (x, t) + C
∂V (x, t)
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 22
−∂V (x, t)
∂x = RI(x, t) + L
∂I(x, t)
∂t , (3.10)
onde: x é o comprimento (km), t é o tempo (s), I(x, t) é a corrente na linha (A), V (x, t) é a tensão (V ), G é a condutância (S), C é a capacitância (F ), R é a resistência (Ω) e L é a indutância (H). As equações (3.9) e (3.10) são EDPs de 1a ordem, também conhecidas
como Equações do Telégrafo, que descrevem o comportamento da tensão e da corrente em uma LT monofásica [24, 39]. Esse sistema não é diretamente integrável, e as soluções no domínio do tempo não são facilmente obtidas. Na literatura técnica diferentes métodos são empregados para a sua resolução, originando um amplo conjunto de modelos [8,28].
Em uma rede elétrica real pode-se desconsiderar a condutância, enquanto que os parâ-metros resistência, indutância e capacitância são distribuídos ao longo da LT; entretanto, para linhas curtas, os parâmetros sofrem pequena variação e podem ser considerados como concentrados em um único ponto. Essa a rmação determina a principal classi cação de modelos de LTs, que é dada por: (i) modelos de parâmetros concentrados; e (ii) modelos de parâmetros distribuídos. Os modelos de LTs ainda são classi cados de acordo com o efeito da frequência sobre os parâmetros dos cabos, ou seja: (i) modelos independentes da frequên-cia; e (ii) modelos dependentes da frequência [8,39,45]. Assim, sugere-se que a modelagem de LTs deve ser realizada de acordo com os objetivos da pesquisa e, a escolha do modelo matemático adequado, deve ponderar acerca do comprimento das LTs, da maior frequência esperada e do erro de cálculo aceito [28].
No contexto da modelagem matemática de LTs, tem-se uma signi cativa quantidade de modelos apresentados pela literatura, o que evidencia a necessidade da caracterização e classi cação dos mesmos, de modo a diferenciá-los, facilitando a escolha daquele que seja mais adequado a um determinado objetivo de pesquisa. Na Figura 3.2 é apresentado um uxograma que propõe uma classi cação dos principais modelos matemáticos de LTs de energia elétrica, baseada na natureza dos parâmetros e na sua dependência em relação à frequência [15]. Estes modelos são descritos nas próximas seções.
3.3 Modelos de Parâmetros Concentrados
Os modelos de parâmetros concentrados são recomendados para a modelagem matemá-tica de LTs curtas e médias, pois a variação dos parâmetros em seu comprimento é muito pequena, podendo ser desprezada. Desse modo, eles são utilizados em LTs cujo compri-mento é muito menor que o compricompri-mento de onda, que é de aproximadamente 5000km para uma frequência de 60Hz. Esses modelos são utilizados para soluções em regime permanente
Figura 3.2: Classi cação dos modelos de LTs [15].
(i.e., estado estacionário), já que os parâmetros são calculados apenas na frequência padrão [8,39]. De modo geral, para uma linha ideal (i.e., sem perdas), quando a única variável in-dependente é o tempo (t), tem-se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que descreve a variação da tensão (V (t)), dada por:
d2V (t)
dt2 +
V (t)
LC = 0. (3.11)
Quando os parâmetros são considerados concentrados, adiciona-se um erro à modelagem matemática, que aumenta proporcionalmente de acordo com o comprimento da linha. O principal modelo de parâmetros concentrados é o modelo PI, nas con gurações para linhas curtas e médias.
3.3.1 Modelo PI para Linhas Curtas
De acordo com a literatura, as LTs curtas podem ser representadas pelos parâmetros em série resistência e indutância, sendo a capacitância desprezada, por apresentar um valor muito pequeno. O modelo PI representa esse comportamento resistivo e indutivo da linha através da impedância longitudinal (Z), descrita pela equação (3.12) e representada na Figura 3.3, que apresenta o circuito equivalente ao modelo PI para linhas curtas [24,31,47].
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 24
Figura 3.3: Circuito equivalente ao modelo PI para linhas curtas [24].
Z = (r + jwL)l, (3.12)
onde: Z é a impedância em série (Ω), l é o comprimento da linha (km), r é a resistência por unidade de comprimento (Ω/km), j é a componente complexa, e wL é a reatância indutiva (XL), em que w é a velocidade angular (rad/s, dada por w = 2πf, f é a frequência), e
L é a indutância por unidade de comprimento (H/km). A partir do circuito da Figura 3.3, aplicando as Leis de Kirchho para tensões e correntes [26], tem-se as equações que descrevem o modelo PI para linhas curtas, dadas por:
VS = VR+ ZIR (3.13)
IS = IR, (3.14)
as quais podem ser escritas na forma matricial: " VS IS # = " 1 Z 0 1 # " VR IR # , (3.15)
onde: IS e VS são a corrente e a tensão nas barras de transmissão (entrada), e IR e VR são
a corrente e a tensão nas barras receptoras (saída), respectivamente.
3.3.2 Modelo PI para Linhas Médias
Na modelagem de linhas médias, considera-se a capacitância que era desprezada no modelo de linhas curtas, a qual é concentrada na admitância total da linha (Y ), geralmente uma capacitância pura (i.e., reatância capacitiva), descrita pela equação:
onde: Y é a admitância total da linha (S), C é a capacitância (F /km), e l é o comprimento da linha (km). A admitância pode ser observada no circuito equivalente ao modelo PI nominal, apresentado na Figura 3.4 [24,45].
Figura 3.4: Circuito equivalente ao modelo PI para linhas médias [24].
Nesse modelo, a partir da aplicação das Leis de Kirchho no circuito [26], a tensão e a corrente elétrica de transmissão são determinadas por:
VS = ZY 2 + 1 VR+ ZIR (3.17) IS = VS Y 2 + VR Y 2 + IR, (3.18)
substituindo a equação (3.17) na equação (3.18), tem-se:
IS = Y VR ZY 4 + 1 + ZY 2 + 1 IR. (3.19)
As equações (3.17) e (3.19), podem ser expressas genericamente por:
VS = aVR+ bIR (3.20) IS = cVR+ dIR, (3.21) onde: a = d = ZY2 + 1 b = Z c = Y 1 +ZY4 .
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 26
Para o terminal receptor, tem-se as seguintes equações que podem ser expressas na forma matricial: " VR IR # = " a −b −c d # " VS IS # . (3.22)
Portanto, a matriz apresentada na equação (3.22) representa o modelo PI para linhas médias, considerando o terminal receptor da linha.
3.4 Modelos de Parâmetros Distribuídos
Nos modelos de parâmetros distribuídos, a natureza distribuída da resistência, indutân-cia e capacitânindutân-cia é considerada através do princípio da propagação de ondas, em que um distúrbio se propaga sujeito a atenuações até ser re etido nos terminais da linha, existindo assim, um atraso entre tensões e correntes de terminais opostos. Desse modo, os parâmetros são dependentes da variação no tempo e no espaço, e assim, as LTs podem ser modeladas através de EDPs (i.e. equações (3.9) e (3.10)) [8].
Os primeiros modelos para LTs no domínio do tempo utilizando parâmetros distribuídos foram desenvolvidos na década de sessenta do século XX, e visam o estudo de transitórios eletromagnéticos, principal objetivo das pesquisas relacionadas à modelagem matemática de LTs até hoje [16]. A maioria dos modelos de parâmetros distribuídos diferencia-se pelos mé-todos de resolução de equações diferenciais, deduzidas de circuitos elétricos que representam a LT. Esses modelos podem ser independentes ou dependentes da frequência [8,39].
3.4.1 Modelos Independentes da Frequência
Essa classe de modelos considera que os parâmetros do cabo são constantes em relação à frequência ao longo da LT, sendo avaliados apenas em uma frequência padrão determinada (60Hz). Dentre eles, destaca-se o modelo PI para linhas longas e o modelo de Bergeron.
Modelo PI para linhas longas
Para a modelagem matemática de LTs longas, as EDPs (equações (3.9) e (3.10)) são ajustadas a um modelo PI equivalente [24,47], que é obtido a partir de equações diferenciais dadas por:
dV (x)
dI(x)
dx = yV (x), (3.24)
onde: z e y representam, respectivamente, a impedância e a admitância por unidade de comprimento, obedecendo as seguintes relações:
z = r + jωL (3.25)
y = jωC. (3.26)
Derivando as equações (3.23) e (3.24) em relação a x e realizando as substituições e manipulações matemáticas necessárias, tem-se:
d2V (x) dx2 = z dI(x) dx (3.27) d2V (x) dx2 = yzV (x) (3.28) d2I(x) dx2 = y dV (x) dx (3.29) d2I(x) dx2 = yzI(x). (3.30)
As equações (3.28) e (3.30) descrevem a propagação da tensão e da corrente ao longo da LT. De nindo-se yz = γ2, tem-se a seguinte EDO para a tensão:
d2V (x) dx2 − γ
2V (x) = 0, (3.31)
onde: γ é a constante de propagação. Resolvendo a EDO apresentada na equação (3.31), encontra-se a equação que representa a tensão:
V (x) = A1eγx+ A2e−γx. (3.32)
A relação da corrente é obtida derivando e substituindo a equação (3.32) na equação (3.23):
I(x) = γ z A1e
γx− A
2e−γx , (3.33)
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 28 I(x) =r y z A1e γx− A 2e−γx . (3.34) De nindo-se Zc = qz
y como a impedância característica, pode-se escrever as equações
da tensão e da corrente como:
V (x) = A1eγx+ A2e−γx (3.35) I(x) = 1 Zc A1eγx− A2e−γx . (3.36)
Quando x = 0 a tensão e a corrente na fonte são iguais aos seus valores na carga, isto é, V (0) = VR e I(0) = IR. Assim, A1 e A2 podem ser determinadas pelo sistema:
( VR= A1+ A2 IR = Z1c(A1− A2) (3.37) A1 = VR+ ZcIR 2 (3.38) A2 = VR− ZcIR 2 . (3.39)
Substituindo esses valores nas equações (3.35) e (3.36) e fazendo as manipulações mate-máticas necessárias, obtém-se:
V (x) = VR eγx+ e−γx 2 + Zc eγx− e−γx 2 IR (3.40) I(x) = 1 Zc eγx− e−γx 2 VR+ eγx+ e−γx 2 IR, (3.41)
que podem ser reescritas como:
V (x) = VRcosh(γx) + Zcsinh(γx)IR (3.42)
I(x) = 1 Zc
sinh(γx)VR+ cosh(γx)IR. (3.43)
As equações (3.42) e (3.43) descrevem o modelo PI para linhas longas e representam a tensão e a corrente elétrica em LTs de qualquer comprimento. Na Figura 3.5 é apresentado o circuito equivalente ao modelo PI para linhas longas.
Figura 3.5: Circuito equivalente ao modelo PI para linhas longas [24].
Na Figura 3.5 é considerada a impedância e a admitância equivalentes em toda a linha, sendo que VScorresponde a V (x), IS a I(x), Z0 é a impedância equivalente e Y0a admitância
equivalente.
Modelo de Bergeron
O modelo de Bergeron, também conhecido como método das características, é baseado na teoria das ondas viajantes, sendo um dos métodos de solução para as equações diferenciais no domínio do tempo. Inicialmente, a LT é considerada sem perdas e a solução é desenvolvida a partir da resolução das EDPs para linhas sem perdas [16], dadas por:
∂i(x, t) ∂x = −C ∂V (x, t) ∂t (3.44) ∂V (x, t) ∂x = −L ∂i(x, t) ∂t . (3.45)
Observa-se que essas equações são uma versão simpli cada das equações (3.9) e (3.10). A primeira solução geral para essas equações foi obtida por d'Alembert, e constitui a base para os estudos posteriores. Na Figura 3.6 é apresentado o circuito equivalente ao modelo de Bergeron, o qual é representado como uma rede de impedâncias de duas portas. A seguir, são descritas as principais equações do modelo.
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 30 Vm(t − τ ) + Zim,k(t − τ ) = Vk(t) + Z(−ik,m(t)), (3.46) onde: τ = l v = l √ LC (3.47) Zc= r L C. (3.48)
Nesta rede, é trivial obter as expressões das fontes de corrente, descritas por:
Ik(t − τ ) = − 1 ZVm(t − τ ) − im,k(t − τ ) (3.49) Im(t − τ ) = − 1 ZVk(t − τ ) − ik,m(t − τ ), (3.50) onde: ik,m(t) = 1 ZVk(t) − Ik(t − τ ) (3.51) im,k(t) = 1 ZVm(t) − Im(t − τ ). (3.52) As equações (3.46) a (3.52) são formuladas no domínio do tempo para linhas sem per-das. No entanto, as perdas podem ser representadas a partir da adição de resistências concentradas na forma de nó ao circuito [47,50], conforme a Figura 3.7.
Figura 3.7: Circuito equivalente ao modelo de Bergeron com perdas [13].
Assim, as equações podem ser reformuladas como:
Ik(t − τ ) = 1+H2 −1 Z Vm(t − τ ) − im,k(t − τ ) + 1−H 2 −1 Z Vk(t − τ ) − ik,m(t − τ ) (3.53) Im(t − τ ) = 1+H2 −1 Z Vk(t − τ ) − ik,m(t − τ ) + 1−H 2 −1 Z Vm(t − τ ) − im,k(t − τ ) , (3.54)
onde: Z = Zc+ R 4 (3.55) H = Zc− R 4 Zc+ R4 . (3.56)
Para a modelagem matemática das LTs de energia elétrica deste trabalho de dissertação, é utilizada esta última de nição do modelo de Bergeron, ou seja, considerando as perdas como resistências concentradas na forma de nó no circuito elétrico que representa a LT.
3.4.2 Modelos Dependentes da Frequência
Nessa classe de modelos são considerados os efeitos da frequência sobre os parâmetros dos cabos, assim, os modelos atuam em uma determinada faixa de frequência. A partir de modelos dependentes da frequência, é possível representar com maior precisão uma LT e seus fenômenos, como a propagação de ondas, o estudo de transitórios, sobretensões, entre outros. A utilização de modelos no domínio da frequência implica na necessidade da posterior transformação da resposta ao domínio do tempo [28,52].
Nesse contexto, destacam-se fragilidades relacionadas à complexidade dos cálculos e ao elevado tempo de simulação computacional para a obtenção da solução de modelos depen-dentes da frequência [45], visto que a resolução desses modelos envolve inúmeras técnicas matemáticas e computacionais, tais como a aproximação de parâmetros por funções racio-nais e exponenciais, a utilização de convolução recursiva, transformada inversa de Fourier, técnica do vector tting, dentre outras [39]. De modo geral, os modelos dependentes da frequência podem ser classi cados em modelos desenvolvidos no domínio modal e modelos no domínio de fases.
Modelos no Domínio Modal
Os modelos desenvolvidos no domínio modal são largamente utilizados na modelagem matemática de LTs, pois seus parâmetros consideram a dependência da frequência. De modo geral, uma transformação modal é aplicada às variáveis de entrada, obtendo-se três modos de propagação desacoplados, com isso cada modo (ou fase do sistema) tem uma velocidade de propagação e uma matriz impedância (ou admitância). Esses modos são os autovalores dos sistemas de equações que descrevem o comportamento de uma LT, e a matriz de transformação é, portanto um conjunto linearmente independente dos autovalores
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 32
do sistema. Uma transformação inversa é aplicada na resposta obtida, de modo que os resultados sejam apresentados em componentes de fase [35,39].
Os modelos modais podem ser subdivididos em duas categorias: (i) modelos que con-sideram a matriz de transformação modal invariante com a frequência e, (ii) modelos que consideram essa matriz dependente da frequência [39]. O desenvolvimento desses modelos inicia com Dommel (1969) [16] que, baseando-se no trabalho de d'Alembert, propõe a re-solução das Equações do Telégrafo através do método de Bergeron, mas considerando as perdas da linha a partir de resistências concentradas (conforme a Figura 3.7). O modelo proposto constitui-se como base para os estudos posteriores e origina os modelos imple-mentados em diferentes versões do Electromagnetic Transients Program (EMTP), principal software utilizado na modelagem de LTs, sobretudo em pesquisas relacionadas ao estudo de transitórios eletromagnéticos [28].
Dentre as pesquisas que propõem modi cações e avanços em relação aos primeiros mo-delos desenvolvidos, destacam-se, em ordem cronológica, as realizadas por Budner (1970), Snelson (1972) - um dos primeiros pesquisadores a considerar a dependência da frequência nos parâmetros da linha -, Meyer e Dommel (1974), e Semlyen e Dabuleanu (1975), que representam a função de propagação e da admitância característica através da função ex-ponencial, utilizam a técnica da convolução recursiva para resolução, e ainda justi cam a utilização de uma matriz de transformação real e invariante com a frequência, a rmando que para uma ampla faixa de frequências a matriz de transformação é praticamente constante. Ainda podem ser citadas as pesquisas desenvolvidas por Ametani (1976) e Semlyen (1981), dentre outras propostas de modi cação e extensão de modelos [38]. Destaca-se ainda o mo-delo proposto por J. Marti (1982) [35], que con gura-se como um dos momo-delos matemáticos mais utilizados na simulação de transitórios eletromagnéticos em LTs de energia elétrica aéreas.
De modo geral, os modelos que consideram apenas a variação dos parâmetros com a frequência (e não a matriz de transformação), apresentam validade restrita, pois perdem precisão quando aplicados a linhas aéreas fortemente assimétricas ou em cabos subterrâneos [39]. Assim, foram desenvolvidos os modelos que consideram a matriz de transformação dependente da frequência, destacando-se o estudo desenvolvido por L. Marti (1988) [37], que propõe um modelo matemático para a simulação de LTs compostas por cabos subterrâneos de alta tensão, elaborando uma versão modi cada do algoritmo apresentado por J. Marti.
Desse modo, diferentes pesquisadores têm proposto adaptações e avanços nos modelos matemáticos de LTs, principalmente no que se refere à estudos de transitórios eletromagné-ticos, o que dá origem a uma variedade de outros trabalhos que podem ser encontrados na
literatura técnica. Entretanto, dentre os modelos de parâmetros distribuídos dependentes da frequência no domínio modal, destaca-se a utilização do modelo de J. Marti [35], o qual estudou e avaliou os modelos de LTs até então existentes na literatura, considerando suas vantagens e desvantagens, e identi cando uma série de di culdades numéricas em formu-lações anteriores. Esse modelo tem sido utilizado como modelo padrão de comparação e validação para outros modelos em diferentes pesquisas [45].
O modelo J. Marti propõe a utilização de uma matriz de transformação real e cons-tante, calculada em uma frequência especí ca, para a realização das transformações entre os domínios de fase e modal. Aproximações racionais (funções racionais de fase mínima com polos e zeros reais) da impedância característica e da função de propagação são realizadas utilizando o método assintótico de Bode. As equações do modelo são desenvolvidas no do-mínio da frequência, e a solução é dada pelas relações de Woodru, sendo posteriormente transformada para o domínio do tempo [35]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é apresentado na Figura 3.8 e as principais equações são descritas a seguir:
Figura 3.8: Circuito equivalente ao modelo J. Marti no domínio do tempo [35].
Fk(ω) = Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω) (3.57)
Fm(ω) = Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω), (3.58)
Bk(ω) = [Vm(ω) + Zc(ω)Im(ω)]e−γ(ω)l (3.59)
Bm = [Vk(ω) + Zc(ω)Ik(ω)]e−γ(ω)l. (3.60)
onde: Fk e Fm são as funções de propagação de onda progressivas e Bk e Bm as funções
regressivas. A impedância característica (Zc) e a constante de propagação (γ) podem ser
Capítulo 3. Modelos Matemáticos e Circuitos Elétricos de LTs 34 Zc(ω) = s R(ω) + jωL(ω) G(ω) + jωC(ω) (3.61) γ(ω) =p(R(ω) + jωL(ω))(G(ω) + jωC(ω)). (3.62) De modo geral, as operações são lentas (considerando a dependência da frequência) e, para acelerar o processo, as matrizes de impedância característica e propagação são sintetizadas por meio de funções racionais, que permitem obter exponenciais no domínio do tempo, aplicando assim, técnicas de convolução recursiva. Desse modo, a resposta no domínio do tempo é obtida a partir de integrais de convolução, e a relação entre as tensões do sistema pode ser expressa por:
vm(t) − Zcim(t) = vk(t − τ ) + Zcik(t − τ ). (3.63)
A boa qualidade dessas aproximações contribui para a e ciência do modelo J. Marti, que é um dos mais citados e utilizados na literatura atualmente, pois possibilita uma análise com maior grau de precisão, sendo útil para uma ampla faixa de frequências. Por outro lado, a acurácia do modelo é limitada por considerar a matriz de transformação independente da frequência [37].
Modelos no Domínio de Fases
As di culdades encontradas na modelagem de LTs utilizando matrizes de transformação modal dependentes da frequência, impulsionaram o estudo e a proposição de modelos para solucionar as equações diretamente no domínio de fases. Em geral, esses modelos são mais complexos e precisos que os modais, mas podem ser aplicados a LTs de diferentes geometrias e con gurações [39]. O desenvolvimento de modelos no domínio de fases também ocorreu a partir de sucessivas propostas de modi cações, visando agregar acurácia e reduzir o tempo de simulação computacional, superando limitações do sistema físico e também de métodos computacionais [38]. A elaboração de um modelo de destaque é apresentada por Noda et al. (1996) [42], que propôs um método para resolver as convoluções presentes na solução das equações de linha baseado no modelo ARMA (Auto-Regressive Moving Average). Outro modelo de destaque no domínio de fases é o proposto por Morched et al. (1999) [41], conhecido como Universal Line Model (ULM), cuja utilização tem se difundido desde a implementação no software PSCAD.
Noda (1996) propõe a utilização de um modelo denominado ARMA, que posteriormente é modi cado para a obtenção da resposta no domínio do tempo através de interpolação, sendo
a implementação conhecida como IARMA (Interpolated Auto-Regressive Moving Average). Utilizando a transformada z, é proposta a representação de cada elemento das matrizes da admitância característica e função de propagação como funções racionais no domínio dis-creto, o que permite transformar as equações da linha do domínio da frequência diretamente para o domínio do tempo. Assim, o modelo evita as convoluções e problemas relacionados às matrizes de transformação [42,45]. O circuito equivalente ao modelo no domínio do tempo é representado na Figura 3.9 e suas principais equações são apresentadas a seguir:
Figura 3.9: Circuito equivalente ao modelo IARMA no domínio do tempo [45].
Ik(ω) = Yc(ω)Vk(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vm(ω) + Im(ω) (3.64)
Im(ω) = Yc(ω)Vm(ω) − e−jωτHT(ω)Yc(ω)Vk(ω) + Ik(ω), (3.65)
onde: H(ω) é a matriz de deformação de onda no domínio de fase, dada por H(ω) = ejωτe−Γ(ω)l (Γ(ω) é a matriz de propagação constante), τ é o tempo de propagação mínimo da onda, e Yc é a matriz de admitância característica. Transformando as equações (3.64) e
(3.65) para o domínio do tempo tem-se:
ik(t) = yc(t) ∗ vk(t) − i0k(t) (3.66)
im(t) = yc(t) ∗ vm(t) − i0m(t), (3.67)
e:
i0k(t) = hT(t) ∗ [yc(t) ∗ vm(t − τ ) + im(t − τ )] (3.68)
