MODELOS QUANTITATIVOS

Conforme mencionado anteriormente, há uma grande variedade de métodos estatísticos de pre-visão de demanda, com diferentes características e níveis de complexidade. Neste capítulo serão apresentados dois tipos principais de modelos estatísticos de previsão:Projeção de Séries Temporais (Seção 4.7.1) eCorrelação e Regressão(Seção 4.7.2). Ao leitor interessado em aprofundar o estudo desses e outros métodos, recomenda-se a consulta de textos específicos de previsão de demanda, como, por exemplo, Makridakiset al. (1997) e Hanke & Wichern (2005).

Nos modelos de séries temporais, considera-se que a variável demanda é função apenas da variá-vel tempo. Pressupõe-se que o padrão de demanda observado no passado deve repetir-se no futuro e, com base nessa premissa, são feitas as novas previsões. Nesse tipo modelo, os dados de entrada consistem basicamente na série histórica de vendas, com eventuais correções para retirada de pon-tos extremos.

Por outro lado, nos modelos de correlação e regressão, a variável demanda pode estar correlacio-nada com outras variáveis independentes. Conhecendo-se os valores (ou pelo menos estimativas) dessas variáveis independentes, seria possível prever o valor da variável dependente demanda, com certo grau de confiança. Os modelos de regressão são classificados em regressão simples e múltipla, dependendo do número de variáveis independentes consideradas.

Qualquer que seja o modelo quantitativo de previsão que se pretenda utilizar, além dos dados de entrada, há sempre um conjunto de parâmetros do modelo, cujos valores devem ser determinados a priori. Por exemplo, na utilização de uma projeção linear, determinam-se os coeficientes da reta (li-near e angular) e a dispersão (variância residual) em torno da reta. Nos modelos de suavização expo-nencial, os valores iniciais e as constantes de suavização constituem os parâmetros do modelo a se-rem estimados.

Esses parâmetros podem ser definidos, com base na série histórica, por meio de simulações, bus-cando os valores dos parâmetros que proporcionem a melhor aderência, isto é, menores erros de previsão na simulação. Esse processo de calibração do modelo pode ser feito por tentativa e erro ou, então, aplicando algum método heurístico de busca.

4.7.1 Modelos de projeção

Nesta seção, apresentam-se alguns modelos de projeção por séries temporais mais importantes, incluindo uma discussão do processo de calibração do modelo a partir da simulação do processo de previsão com base em uma série histórica de vendas.

4.7.1.1 Média móvel

O método de projeção mais simples que vem à mente seria a repetição do último valor da série histórica, isto é, prever que a demanda no próximo período seria igual ao valor do período imedia-tamente anterior. Esse procedimento, embora bastante simples, tende a produzir estimativas muito variáveis, pois incorpora na previsão toda a variação da demanda.

Uma alternativa seria considerar a média aritmética de “n” períodos anteriores, buscando, dessa forma, suavizar os resultados da previsão. Esse procedimento de cálculo é denominado “média mó-vel”, pois, à medida que um novo valor é incorporado à série, o valor mais antigo é descartado. Ma-tematicamente, a previsão de demanda feita no instante “t” para “k” períodos adiante é determina-da pela Equação (6).

F t k D D D

t( + )= t + t_-1+ +n... t n_{- +1} k= 1, 2, ... (6) onde D_jrepresenta a demanda real no período j e n, a quantidade de períodos considerada.

Exemplo 4.2.Os dados da tabela a seguir re-presentam as vendas mensais de um produto no varejo. Determine as previsões de deman-das pela média móvel (MM), considerando três e seis períodos no cálculo da média. Qual dos valores de “n” produz o melhor resultado?

Nas duas colunas à direita da Tabela 4.2 es-tão as previsões de demanda com n=3 e 6.

Esses resultados são apresentados graficamen-te na Figura 4.11.

Tabela 4.2.Previsão de demanda por média móvel

MÊS VENDA MM(3) MM(6)

Apesar da pequena amostra, verifica-se que a projeção com seis períodos produz uma curva mais suave que a obtida com apenas três, refletindo melhor o valor médio da demanda.

80

Figura 4.11.Projeção por média móvel com n=3 e 6.

Apesar da simplicidade do método, a média móvel não produz bons resultados quando a série histórica apresenta tendência ou sazonalidade. Uma alternativa melhor são os métodos de suaviza-ção, apresentados a seguir.

4.7.1.2 Suavização exponencial

No método da média móvel, todas as parcelas do cálculo da previsão têm o mesmo peso. Podería-mos considerar uma média ponderada, em que os valores mais recentes da série tivessem maior peso. Isso acontece no método da suavização exponencial, em que os valores passados têm pesos de-crescendo geometricamente.

Nesta seção, apresentam-se três variantes do modelo de suavização exponencial:simples,com ten-dência(modelo de Holt) e, finalmente,com tendência e sazonalidade(modelo de Holt-Winters).

Suavização exponencial simples

Na suavização exponencial simples, pressupõe-se que a demanda oscila em torno de um patamar ou demanda base constante. Partindo de um valor inicial, a “base” é corrigida a cada período, con-forme novos dados de demanda são incorporados à série histórica.

A Equação (7) mostra a correção da base, que consiste em adicionar uma fraçãoada diferença entre a demanda real e a estimativa anterior da demanda base. Se a demanda real for maior que a base anterior, há uma correção positiva, e vice-versa.

Bt= Bt–1+a· (Dt– Bt–1) (7) A constantea, denominadaconstante de suavizaçãoda base, determina se a curva de projeção será mais ou menos suave. Valores próximos de zero implicam em menores correções da base, que irão resultar numa curva de projeção mais suave. Ao contrário, valores próximos de um produzem maiores correções, resultando em uma série projetada mais irregular.

Dois casos extremos ocorrem quandoaé fixado em um ou zero. Na primeira situação (a=1), a nova base será exatamente igual ao último valor da demanda (as previsões repetem sempre o último valor da série). Na segunda situação (a=0), a base permaneceria sempre igual ao valor inicial, sem correções.

A Equação (7) pode ser reescrita, dando origem à Equação (8), que é a forma usual de apresenta-ção do cálculo da base. A previsão de demanda, nesse modelo, será simplesmente a última estimativa da base, para qualquer instante futuro, conforme a Equação (9).

B_t=a·D_t+(1 –a) ·B_t–1 (8)

F_t(t + k) =B_t k= 1, 2,... (9)

onde:

B_t– base ao final do instante t, D_t– demanda do período t, a– constante de suavização,

Ft(u) – previsão ao final do período t para o período u (u>t).

A partir da Equação (8), é possível demonstrar que, na estimativa da base em um instante futuro t, todas as demandas anteriores entram no cálculo, com pesos decrescendo geometricamente, confor-me a Equação (10).

Bt=a·Dt+a· (1 –a) ·Dt–1+a· (1 –a)²·Dt–2+ ···

+a· (1 –a)^t–1·D1+ (1 –a)^t·B0

(10)

A seguir, discute-se a aplicação do modelo de suavização exponencial simples considerando a mesma série temporal do Exemplo 4.2.

Exemplo 4.3.A partir dos dados do exemplo anterior, determine as previsões de demanda pelo mé-todo da suavização exponencial simples, utilizando uma constante de suavização igual a 0,2.

Partindo de uma base inicial B₀=100, determina-se:

B₁= 0,2 · 105 + (1 – 0,2) · 100 = 101 (11) Então, a previsão para um mês adiante seria:

F₁(2) = 101 (12)

Para o período 2, ter-se-ia:

B₂= 0,2 · 95 + (1 – 0,2) · 101 = 99,8 (13) e a previsão correspondente para o mês seguinte seria:

F₂(3) = 99,8 (14)

Repetindo os cálculos para valores de t=3, 4, ... , 12, obtêm-se os valores da base e previsões apresentados em itálico na Tabela 4.3.

Tabela 4.3.Previsão de demanda por suavização exponencial simples

MÊS VENDA BASE PREVISÃO

Esses resultados são apresentados graficamente na Figura 4.12, na qual se observa que as estima-tivas da base ficaram sistematicamente abaixo da série real, com erro percentual médio de 8,8%.

No exemplo anterior, verifica-se uma grande incerteza no resultado da previsão. Nesse caso, conforme discutido na Seção 4.4, há duas possibilidades: rever os parâmetros do modelo (no caso, a constante de suavizaçãoa) ou então substituí-lo por outro (um modelo de suavização com tendên-cia, por exemplo).

A calibração do modelo manualmente seria muito trabalhosa. Seria necessário, para cada valor deatestado, calcular as previsões e os erros médios para, posteriormente, identificar o valor dea que produz os menores erros médios. Uma forma mais prática de executar essa tarefa é com o

auxí-lio de uma planilha. Outra possibilidade é o uso de softwares específicos de previsão, que geralmen-te dispõem de procedimentos automáticos de calibração, como o software Minitab®.

Na Figura 4.13, apresenta-se um modelo de planilha Microsoft Excel® para previsão de demanda.

Nela, os dados de entrada são a série histórica (intervalo B11:B46) e a constante de suavização (célula C3). As células C11 e D11 contêm as fórmulas da suavização exponencial simples (Equações 8 e 9). Nas duas células adjacentes à direita, calculam-se o erro e o erro percentual, conforme indicado na planilha.

Finalmente, determinam-se o erro médio e percentual médio, apresentados nas células E11 e F11.

Accuracy Measures MAPE MAD MSD

9,254 11,430 190,268 Smoothing

Alpha 0,2 Constant

Index

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 150

140

130

120

110

100

90

Variable

Forecasts 95,0% PI Actual Fits

Single Exponential Smoothing Plot for Vendas

Vendas

Figura 4.12.Saída do software Minitab® para previsão por suavização exponencial simples (a=0,2).

Figura 4.13.Planilha para previsão de demanda por suavização exponencial simples.

Na planilha, alterando-se o valor dea(célula C3), recalculam-se automaticamente os erros. Utili-zando o recurso “Tabela de Dados” do Microsoft Excel, constrói-se a tabela apresentada no intervalo H10:I18. Na célula I10, insere-se uma referência ao valor do EPAM e, no intervalo H11:H18, os va-lores deaque se deseja testar. Dessa forma, o software calcula os valores do EPAM para cadaa, dis-pondo-os na forma de uma tabela (I11:I18). No exemplo, o menor EPAM é obtido comaigual a 0,15.

A seguir, considera-se uma primeira variação do modelo de suavização simples, que incorpora uma tendência de crescimento linear da demanda a cada período.

Suavização exponencial com tendência (modelo de Holt)

Na suavização exponencial com tendência, adiciona-se uma segunda variável, que reflete o cresci-mento da demanda de um período para o outro. Essa variável, da mesma forma que a base, também será atualizada exponencialmente e aplicada no cálculo da previsão conforme a formulação a seguir.

B_t=a·D_t+ (1 –a) · (B_t–1+T_t–1) (15) T_t=b(B_t–B_t–1) + (1 –b) ·T_t–1 (16)

F_t(t + k) =B_t+kT_t k= 1, 2,... (17)

onde:

D_t– demanda do período t, B_t– base ao final do instante t, T_t– tendência ao final do instante t, a– constante de suavização para Base, b– constante de suavização para Tendência,

Ft(u) – previsão ao final do período t para o período u (u>t).

A Equação (15) calcula uma média ponderada entre a demanda real e a nova base, que passa a in-corporar uma parcela de crescimento (ou redução) da demanda expressa na variável tendência. Na Equação (16), tem-se a suavização da tendência, calculada com base na variação da base nos dois úl-timos períodos e a estimativa anterior. Finalmente, a Equação (17) fornece a previsão de demanda para “k” períodos adiante, conforme uma progressão linear.

Exemplo 4.4.Utilizando os dados do exemplo anterior, determine as previsões de demanda pelo método da suavização exponencial com tendência, utilizando constantes de suavização igual a 0,1 para a base e 0,2 para a tendência.

Tabela 4.4.Previsão de demanda por suavização exponencial com tendência

MÊS VENDA BASE TENDÊNCIA PREVISÃO

100 2,0

1 105 102,3 2,1 102,0

2 95 103,4 1,9 104,4

3 114 106,2 2,0 105,3

4 106 108,0 2,0 108,2

5 126 111,6 2,3 110,0

6 135 116,0 2,7 113,9

7 125 119,4 2,9 118,8

8 111 121,1 2,6 122,3

9 131 124,5 2,8 123,8

10 135 128,1 2,9 127,3

11 118 129,7 2,7 131,0

12 124 131,5 2,5 132,4

13 134,1

Partindo dos valores iniciais B₀=100 e T₀,=2, determinam-se:

B₁= 0,1 · 105 + 0,9 · 102 = 102,30 (18)

T₁= 0,2 · 2,3 + 0,8 · 2 = 2,1 (19)

A previsão para o mês 2 seria:

F₁(2) = 102,3 + 2,1 = 104,4 (20)

Repetindo os cálculos para valores de t=2, 3, ... , 12, obtêm-se os valores da base, tendência e previsões correspondentes, apresentados em itálico na Tabela 4.4. A Figura 4.14 apresenta os resul-tados da previsão com tendência, calculados com o uso do software Minitab®.

Novamente, os resultados podem ser melhorados pela escolha conveniente dos parâmetros, isto é, das constantesaebe valores iniciais da base e tendência.

Embora os valores iniciais de base e tendência tenham efeito no resultado da previsão, esse efeito concentra-se nas previsões iniciais. Utilizando uma série longa e valores iniciais adequados, o resul-tado final não será muito aferesul-tado por essa escolha. Em contrapartida, os valores deaebsão mais in-fluentes, por essa razão, a calibração do modelo concentra-se nesses dois parâmetros (as constantes de suavização).

Novamente, com auxílio de uma planilha, é possível analisar algumas combinações de valores de aebe escolher o par que minimiza o EPAM. Na Figura 4.15, apresenta-se um modelo de planilha para previsão por suavização exponencial com tendência. A planilha é análoga à anterior, apresen-tada na Figura 4.13, incluindo-se uma coluna para suavização da tendência. O recurso “Tabela de Dados” do Microsoft Excel é utilizado novamente, considerando-se agora duas entradas na tabela, isto é, as duas constantes de suavização que se deseja determinar. Dentre os valores simulados, o me-nor EPAM obtido foi de 4,7%.

Suavização exponencial com tendência e sazonalidade (modelo de Holt-Winters)

Finalizando esta seção, apresenta-se o modelo de Holt-Winters, que incorpora, além da tendên-cia, uma componente de sazonalidade. Isso é feito definindo-se um índice de sazonalidade para cada período, que representa a proporção entre a demanda média do período e a demanda média anual.

Index Double Exponential Smoothing Plot for Vendas

Vendas

Figura 4.14.Saída do software Minitab® para previsão por suavização exponencial com tendência (a=0,1 eb=0,2).

Por exemplo, se um mês apresenta índice de sazonalidade 1,2, isso significa que esse mês apresenta uma demanda média 20% acima da média anual. Por outro lado, um mês com índice 0,95 apresenta demanda média 5% abaixo da média anual.

O princípio básico do modelo de Holt-Winters consiste em projetar a demanda base, extraindo o efeito da sazonalidade, representada pelo índice de sazonalidade (I_t). A Equação (21) mostra o cálculo da base ao final do período t. Comparando com a Equação (15), a diferença está na primeira parcela, que considera a demanda dividida pelo índice de sazonalidade, buscando, dessa forma, retirar o efeito sazonal. A Equação (22) permite o cálculo da tendência, que permanece igual ao caso anterior.

Na Equação (23), tem-se a atualização do índice de sazonalidade. Detalhando essa expressão, o novo índice de sazonalidade do período t será uma média ponderada entre o real observado (primei-ra parcela) e o índice anterior (segunda parcela). Nessa formulação, a constante L representa a ex-tensão do ciclo sazonal, por exemplo, trabalhando-se com unidade de tempo mês e ciclo sazonal anual, ter-se-ia L=12. Com a introdução da variável “índice de sazonalidade”, introduz-se também uma terceira constante de suavização, representada porg.

Finalmente, para obter uma previsão de demanda para um instante futuro t qualquer, multipli-ca-se a projeção da demanda base pelo índice de sazonalidade correspondente, conforme apresenta-do na Equação (24).

O modelo completo fica então representado pelas Equações (21) a (24).

B D

I B T

t t

t L t t

= ×æ èçç ö

ø÷÷ + - × +

- -

-a (1 a) ( _{1 1}) (21)

T_t=b(B_t–B_t–1) + (1 –b) ·T_t–1 (22)

I D

t Bt

t

= ×æ èçç ö

ø÷÷

g + (1 –g) ·I_t–1 (23)

Figura 4.15.Planilha para previsão de demanda por suavização exponencial com tendência.

F_t(t + k) = (B_t+kT_t) ·I_t–L+k k= 1, 2,... (24) onde:

D_t– demanda do período t B_t– base ao final do instante t T_t– tendência ao final do instante t I_t– índice de sazonalidade do instante t a– constante de suavização para base b– constante de suavização para tendência g– constante de suavização para sazonalidade

F_t(u) – previsão ao final do período t para o período u (u>t).

Para iniciar o processo, é necessário definir, além da base e tendência iniciais, os índices de sa-zonalidade iniciais para cada período. Isso pode ser feito considerando o primeiro ciclo sazonal da série e fixando para cada mês a razão entre a demanda de cada mês e a demanda média do pe-ríodo.

Em comparação com os modelos anteriores, o modelo com sazonalidade requer uma quantidade maior de dados, isto é, uma série mais longa, que contenha pelo menos três ciclos sazonais comple-tos (36 meses, por exemplo).

Exemplo 4.5.Determine as previsões de demanda pelo método da suavização exponencial com ten-dência e sazonalidade para os seis meses seguintes da série histórica apresentada na Tabela 4.5.

Tabela 4.5.Vendas mensais nos últimos três anos para o Exemplo 4.5

MÊS VENDA MÊS VENDA MÊS VENDA

12

Nesse caso, a previsão de demanda foi feita utilizando o software Minitab®; os resultados são apresentados na Tabela 4.6 e graficamente na Figura 4.16. Neste exemplo, foram utilizados a=b=g=0,2; outros valores das constantes poderiam resultar em erros de previsão menores.

Tabela 4.6.Resultados da previsão para o Exemplo 4.5

MÊS PREVISÃO LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR

3738

4.7.1.3 Ajuste de tendências

Esta seção discute o ajuste de tendências às séries temporais. Esse ajuste consiste na determinação de uma função matemática que relaciona a variável demanda (dependente) à variável tempo (inde-pendente), a partir do método estatístico dos mínimos quadrados.

Essa abordagem pode ser utilizada para projeções de séries longas, que caracterizam o ciclo de vida de produtos. O primeiro passo na projeção de tendência consiste na representação gráfica da série temporal. A partir da análise visual, identifica-se um padrão da série. A seguir, busca-se uma função matemática que consiga reproduzir esse padrão.

Nesta seção, serão apresentados alguns exemplos de aplicação do método, sem aprofundar mui-to no tópico, explicado em livros de previsão, já citados na Seção 4.4. O modelo mais simples de projeção melhor é a linear, apresentada no exemplo a seguir.

Exemplo 4.6.Os dados da Tabela 4.17 constituem as vendas anuais (em milhares de unidades) de um produto. Determine a projeção linear das vendas para os próximos três anos.

Tabela 4.7.Distribuição das vendas anuais

ANO VENDAS (MIL)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28,4 30,0 32,5 38,7 41,7 47,0 50,5 54,4 63,2 67,9

Figura 4.16.Saída do software Minitab® para Exemplo 4.5 – previsão por suavização exponencial com tendência e sazonalidade (método de Holt-Winters).

Utilizando a planilha Microsoft Excel®, é possível construir um diagrama de dispersão com as variáveis tempo e vendas. A partir des-se diagrama, utilizando o recurso “Ajuste de Tendências”, obtém-se a reta de projeção, sua equação e um coeficiente r², conforme apre-sentado na Figura 4.17.

A equação da reta, obtida por método esta-tístico denominado método dos mínimos qua-drados, permite calcular as projeções para os anos 11, 12 e 13, que são, respectivamente:

$

Na Figura 4.17, além da equação da reta, tem-se o coeficiente de determinação (r²), que mede o grau de aderência da série à função ajustada, neste caso, uma função linear. Esse índice será sempre um valor entre 0 e 1. Valores próximos de 1 significam alto grau de determinação. Regra geral, valo-res acima de 0,8 são considerados adequados, e abaixo de 0,5, insatisfatórios.

Os conceitos utilizados no exemplo anterior podem ser encontrados em livros básicos de Estatís-tica, mais especificamente, nos capítulos sobre regressão linear e correlação.

No exemplo 4.6, os erros de previsão podem ser avaliados utilizando os mesmos indicadores de erro já apresentados. Além dos indicadores de erro, pode-se estimar a demanda futura por interva-los de previsão, calculados com base no desvio-padrão em torno da reta de regressão.

Aplicando o mesmo princípio dos mínimos quadrados, é possível ajustar outras funções como a função polinomial. Efetuando transformações de variáveis, é possível também ajustar as funções ex-ponencial, logarítmica e potência. Essas possibilidades estão disponíveis nos softwares (estatísticos e planilhas) e mesmo em algumas calculadoras científicas.

Exemplo 4.7.Para os dados do exemplo anterior, verifique a adequação da substituição do modelo linear por uma função exponencial e polinômio de segundo grau.

Novamente, utilizando o recurso Ajuste de Tendências do Microsoft Excel®, verifica-se que os modelos exponencial e polinomial apresentam coeficientes de determinação bastante próximos e um pouco superiores ao do modelo linear.

y = 4,4708x + 20,833

Figura 4.17.Projeção linear das vendas (Exemplo 4.6).

y = 25,104e Figura 4.19.Projeção polinomial (segundo grau).

Dessa forma, qualquer um dos dois modelos fornecerá boa projeção para a demanda nos próxi-mos anos. Nessa aplicação, seria adequada uma análise estatística para avaliar se a melhoria obtida com a substituição do modelo linear é significativa ou não.

Ao utilizar um método de projeção, é importante ter claro que a tendência que está sendo proje-tada pode sofrer uma alteração abrupta, em decorrência de um evento inesperado. Nesse caso, a projeção da série pode tornar-se irreal. Exemplos disso são freqüentes no mercado de capitais, em que um simples boato pode alterar significativamente a trajetória de um ou múltiplos ativos negocia-dos em bolsa.

4.7.1.4 Métodos de decomposição

Na seção anterior, discutiu-se a projeção de tendências em séries sem sazonalidade. Nesta, apre-senta-se um método conhecido como decomposição clássica, que permite a projeção de tendências com sazonalidade.

O princípio básico consiste em, primeiramente, retirar o efeito sazonal dos dados, produzindo uma série “dessazonalizada”. A seguir, essa série sem a variação sazonal é projetada de forma seme-lhante à apresentada na subseção anterior. Finalmente, os valores projetados são novamente corri-gidos, incluindo o fator sazonal.

Na decomposição clássica, o fator sazonal pode ser aditivo ou multiplicativo. No primeiro caso, o efeito sazonal é obtido pela adição de uma parcela à demanda base. No segundo, mais utilizado que o primeiro, o efeito sazonal é obtido multiplicando-se a demanda base por um índice de sazona-lidade associado ao período. Períodos de maior demanda apresentam índices de sazonasazona-lidade maio-res que um e, ao contrário, períodos de baixa demanda, índices abaixo de um.

A seguir, apresenta-se um exemplo de aplicação do método para os dados do Exemplo 4.5, anali-sado anteriormente pelo método da suavização exponencial com tendência e sazonalidade.

Exemplo 4.8.Determine as previsões de demandas pelo método da decomposição clássica para os seis meses seguintes da série histórica apresentada na Tabela 4.5.

Exemplo 4.8.Determine as previsões de demandas pelo método da decomposição clássica para os seis meses seguintes da série histórica apresentada na Tabela 4.5.

No documento PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO (páginas 67-85)