Um modelo do tipo SIS ´e utilizado para descrever doen¸cas nas quais os indiv´ıduos sus- cet´ıveis tornam-se infectados e, ap´os a recupera¸c˜ao, n˜ao adquirem imunidade, tornando- se suscet´ıveis novamente. A doen¸ca de Chagas pode ser modelada dessa forma, pois se descoberta ainda na fase aguda, ou no in´ıcio da da fase crˆonica (nos primeiros anos de in- fec¸c˜ao da forma indeterminada) o indiv´ıduo infectado pode curar-se e se tornar suscet´ıvel de novo. Os modelos do tipo SIS tratados a partir daqui foram baseados nos estudos de [14].
O primeiro modelo do tipo SIS que veremos, ´e um modelo com dinˆamica vital, ou seja, estamos supondo que hajam nascimentos e mortes. Al´em disso, adotaremos diferentes taxas de natalidade e mortalidade para a classe dos indiv´ıduos suscet´ıveis S e infectados I, sendo a popula¸c˜ao total P (t) = S(t) + I(t). Para este modelo, consideraremos todas as fases da doen¸ca de Chagas.
Aqui, consideraremos as formas de transmiss˜ao vertical, horizontal via transfus˜ao de sangue e horizontal via transmiss˜ao vetorial. A transmiss˜ao vetorial ser´a por causa da presen¸ca de vetores transmissores que est˜ao portando o Trypanosoma cruzi (agente transmissor).
Como este modelo trata-se de um modelo do tipo SIS com transmiss˜ao vetorial, ser´a adotada uma taxa (λ) de transmiss˜ao vetorial da infec¸c˜ao para a popula¸c˜ao humana de indiv´ıduos suscet´ıveis devido a presen¸ca dos vetores transmitindo a doen¸ca. Neste modelo, λ ser´a constante.
Considerando a transmiss˜ao horizontal via transfus˜ao de sangue contaminado, te- mos que somente uma fra¸c˜ao da popula¸c˜ao total est´a sendo infectada. Por conta disso, adotaremos a for¸ca de infec¸c˜ao conhecida como Mistura Proporcional [5].
Supondo que na popula¸c˜ao onde ocorre a infec¸c˜ao, cada indiv´ıduo suscet´ıvel entre em contato com um n´umero C de outros indiv´ıduos (em m´edia), ent˜ao o n´umero total de contatos dos indiv´ıduos suscet´ıveis na popula¸c˜ao total por unidade de tempo t ´e CS.
Sendo que desse total, a propor¸c˜ao I
S + I desses contatos, ´e realizado com os indiv´ıduos infectados. Assumindo tamb´em que existe uma propor¸c˜ao ρ de contatos entre S e I que est˜ao efetivamente transmitindo a doen¸ca. Ent˜ao, a raz˜ao com a qual os suscet´ıveis tornam-se infectados ´e ρCS I S + I = k SI S + I onde, k = ρC.
Assim, temos os seguintes parˆametros: • k ´e a raz˜ao de contatos dos suscet´ıveis; • I
S + I ´e a propor¸c˜ao do total de contatos, via transfus˜ao de sangue contaminado, de cada suscet´ıvel que ocorre com indiv´ıduos infectados;
As outras taxas foram adotadas de acordo com as caracter´ısticas da doen¸ca que, s˜ao as seguintes:
• µ1 ´e a taxa de natalidade na popula¸c˜ao dos suscet´ıveis;
• µ2 ´e a taxa de natalidade na popula¸c˜ao dos infectados;
• γ1 ´e a taxa de mortalidade na popula¸c˜ao dos suscet´ıveis;
• γ2 ´e a taxa de mortalidade na popula¸c˜ao dos infectados;
• c ´e a taxa cura dos indiv´ıduos infectados;
Para a transmiss˜ao vertical, estamos considerando q como a probabilidade de trans- miss˜ao vertical, e p como a probabilidade de n˜ao transmiss˜ao vertical. Assim, temos que p + q = 1.
Com base nos dados acima, estabelecemos as equa¸c˜oes que ditam a dinˆamica da infec¸c˜ao para este caso:
dS dt = (µ1− γ1 − λ)S + (µ2p + c)I − k SI S + I dI dt = (µ2q − γ2− c)I + λS + k SI S + I (2.4)
Podemos simplificar as equa¸c˜oes do modelo (2.4) para de obter a equa¸c˜ao dinˆamica para a popula¸c˜ao total P (t), que est´a subdividida nas classes dos indiv´ıduos suscet´ıveis e infectados. Somando as equa¸c˜oes do modelo (2.4), obtemos
dP
dt = (µ1− γ1)S + (µ2− γ2)I. (2.5) Usando agora, na soma das equa¸c˜oes do mesmo modelo, o fato que
P (t) = S(t) + I(t) ⇒ S(t) = P (t) − I(t) , e que p + q = 1 ⇒ p = 1 − q temos dS dt + dI dt = (µ1− γ1− λ)(P − I) + (µ2p + c)I+ (µ2− µ2q − γ2− c)I + λ(P − I) ⇒ dP dt = (µ1− γ1)P + (γ1− µ1 + µ2− γ2)I. (2.6) Para encontrarmos as solu¸c˜oes do sistema (2.4) onde dP
dt 6= 0, vamos assumir para as propor¸c˜oes de indiv´ıduos suscet´ıveis e infectados, as seguintes vari´aveis:
s(t) = S(t)
P (t) < 1, i(t) = I(t)
P (t) < 1, α = (µ1− γ1) − (µ2 − γ2). De onde temos que
s + i = 1.
Considerando a propor¸c˜ao dos indiv´ıduos suscet´ıveis, temos
S(t) = s(t)P (t) ⇒ dS dt = s dP dt + P ds dt. (2.7)
Substituindo as equa¸c˜oes de (2.4), (2.6) e (2.5) em (2.7) e, fazendo as devidas ma- jora¸c˜oes temos:
ds
dt = −λs + (µ2p + c)i − (k − α)si.
Analogamente, considerando a propor¸c˜ao dos indiv´ıduos infectados e, fazendo as de- vidas substitui¸c˜oes, temos
I(t) = i(t)P (t) ⇒ di dt = i dP dt + P di dt. o que nos leva a
di
dt = λs − (µ2p + c)i + (k − α)si.
Esse tipo de an´alise foi assumido em alguns modelos para doen¸ca de Chagas [23]. Sendo assim, temos as seguintes equa¸c˜oes equivalentes ao modelo (2.4)
ds dt = −λs + (µ2p + c)i − (k − α)si di dt = λs − (µ2p + c)i + (k − α)si . (2.8)
Se usarmos o fato que s + i = 1 vamos obter uma ´unica equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de primeira ordem em i
di
dt = f (i) = λ − (λ + µ2p + c − k + α)i − (k − α)i
2. (2.9)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima ´e bem simples e a sua resolu¸c˜ao expl´ıcita em termos das taxas do modelo e das condi¸c˜oes iniciais dadas pode ser facilmente obtida, pois o lado direito da igualdade ´e uma equa¸c˜ao quadr´atica em i. Isso torna o tratamento alg´ebrico bem mais f´acil e, podemos fatorar a equa¸c˜ao em fun¸c˜ao das ra´ızes de f (i) = 0.
As solu¸c˜oes de (2.9) para os valores de λ = 0.5, µ2 = 0.1, p = 0.7, c = 0.1, k = 0.2 e
Figura 2.3: Solu¸c˜ao de (2.9) para s(0) = 0.9, λ = 0.5, µ2 = 0.1, p = 0.7, c = 0.1, k = 0.2
e α = 0.2.
Figura 2.4: Solu¸c˜ao de (2.9) para i(0) = 0.1, λ = 0.5, µ2 = 0.1, p = 0.7, c = 0.1, k = 0.2
e α = 0.2.
A escolha dos valores dos parˆametros foi feita de forma que as taxas de transmiss˜oes k+λ+q = 1. Nas Figuras 2.3 e 2.4 podemos ver que o decrescimento dos suscet´ıveis, assim como o crescimento dos infectados acontece de forma mais r´apida quando consideramos as taxas de natalidade e mortalidade de ambas as popula¸c˜oes. Isso tamb´em se deve ao fato de estarmos considerando outros tipos de transmiss˜ao, al´em da transmiss˜ao vetorial.
Na pr´oxima se¸c˜ao ser´a visto outro modelo do tipo SIS, no entanto, para este modelo a forma de transmiss˜ao vetorial ser´a considerada nula, para verificar como seria a evolu¸c˜ao da doen¸ca, caso a sua principal forma de transmiss˜ao fosse erradicada.