F.2 Rede quadrada com hopping entre segundos vizinhos
A.1.1 Montagem experimental
Na presente subse¸c˜ao, descreveremos a montagem experimental para a simula¸c˜ao dos sistemas de muitos corpos artificiais. Inicialmente, resfria-se ´atomos que far˜ao o papel de el´etrons, em seguida, estes s˜ao armadilhados na rede ´otica, que faz o papel do cristal.
´
Atomos frios
A fim de armadilhar ´atomos em redes ´oticas, ´e preciso resfri´a-los at´e temperaturas muito bai- xas e utilizar pequenas densidades. O resfriamento ´e feito via lasers ou evapora¸c˜ao. Em geral, utiliza-se ´atomos alcalinos, como 87Rb e 23N a para a representa¸c˜ao de sistemas bosˆonicos e
40K e 6Li para sistemas fermiˆonicos. No segundo caso, os ´atomos representam el´etrons na
rede cristalina. Dois estados hiperfinos diferentes1 fazem o papel de dois spins eletrˆonicos
opostos. Sugerimos a referˆencia [3] para maiores detalhes sobre o controle e detec¸c˜ao dos estados hiperfinos dos ´atomos.
A intera¸c˜ao entre as part´ıculas ocorre devido ao fenˆomeno de ressonˆancia de Feshbach, o que permite que a for¸ca da intera¸c˜ao varie ordens de grandeza e seja controlada por um campo magn´etico externo. De forma simplificada, a ressonˆancia de Feshbach pode ser entendida por meio de um modelo b´asico de dois canais para gases atˆomicos [4], conforme representado na Figura A.1. Vbg(R) representa um potencial de fundo (background potential), respons´avel
pela colis˜ao entre dois ´atomos livres no g´as ultrafrio. Esse potencial corresponde a um canal energeticamente aberto, do qual os ´atomos podem escapar. Vc(R), por outro lado, representa
um canal fechado que produz estados moleculares ligados perto do limiar do canal aberto. O fenˆomeno de ressonˆancia ocorre quando h´a dois ´atomos colidindo com energia E na entrada do canal aberto e essa energia coincide com a energia Ec do estado ligado criado pelo canal
fechado. Em gases ultrafrios, colis˜oes ocorrem a energias pr´oximas de zero. Nesses casos, acoplamentos ressonantes podem ser controlados por campos magn´eticos externos, capazes de reduzir o n´ıvel Ec para valores pequenos de energia.
Redes ´oticas
Redes ´oticas s˜ao formadas pela interferˆencia de feixes de lasers contra-propagantes. O perfil de interferˆencia gera potenciais efetivos capazes de armadilhar ´atomos neutros, desde que
1A estrutura hiperfina corresponde a um pequeno deslocamento dos n´ıveis de energia atˆomicos devido `a
Figura A.1: Modelo de dois canais para a ressonˆancia de Feshbach. Figura retirada de [4]. estes estejam suficientemente resfriados. As regi˜oes intercaladas claras e escuras geradas por interferˆencias de lasers s˜ao percebidas pelos ´atomos como um potencial peri´odico, devido `a for¸ca de dipolo (em geral, momentos superiores, como quadripolos, podem ser negligenciados). Conforme discutido acima, os ´atomos frios fazem o papel de el´etrons na rede cristalina.
Quando um ´atomo se encontra em uma regi˜ao onde h´a um feixe de laser, o campo el´etrico oscilante E(r, t) = ˆeE(r) exp(−iωt) induz um momento de dipolo atˆomico p(r, t) = ˆ
ep(r) exp(−iωt), sendo E(r) e p(r) as amplitudes do campo e do dipolo e ˆe o vetor unit´ario de polariza¸c˜ao. As amplitudes se relacionam por meio da equa¸c˜ao p(r) = α(ω)E(r), sendo α(ω) a polarizabilidade complexa. O potencial de intera¸c˜ao entre o campo e o dipolo ´e dado por
Vdip(r) = −
1 20c
Re(α)I(r), (A.1) sendo I = 0c|E|2 a intensidade do campo.
A forma do potencial indica que ´atomos s˜ao atra´ıdos por m´ınimos ou m´aximos da inten- sidade do campo, dependendo do sinal da parte real da polarizabilidade. Se a intensidade I(r) ´e peri´odica no espa¸co, haver´a uma sequˆencia de m´aximos e m´ınimos que reproduz o potencial peri´odico de s´olidos. As frequˆencias dos lasers utilizados devem ser bem diferentes de frequˆencias de transi¸c˜oes atˆomicas, para evitar excita¸c˜oes e aquecimento dos ´atomos.
Superpondo lasers em diferentes ˆangulos, ´e poss´ıvel produzir redes de diferentes geome- trias. A interferˆencia entre dois lasers iguais orientados em dire¸c˜oes opostas produz ondas estacion´arias. Pela interferˆencia de mais lasers ´e poss´ıvel obter potenciais peri´odicos em uma, duas ou trˆes dimens˜oes. Redes c´ubicas, por exemplo, s˜ao produzidas por trˆes ondas estacion´arias independentes. A estrutura de bandas e a topologia das redes podem ser modi- ficadas alterando-se a intensidade, frequˆencia ou fase dos lasers. Tamb´em ´e poss´ıvel modular as redes com resolu¸c˜ao temporal e espacial.
Isso significa que, quando organizados no potencial gerado pelos lasers, os ´atomos interagem apenas quando ocupam o mesmo s´ıtio. Essa propriedade favorece a simula¸c˜ao do Hamil- toniano de Hubbard, caracterizado pela intera¸c˜ao local U e pelo hopping t. A rela¸c˜ao U/t pode ser controlada experimentalmente por um campo externo (que controla a ressonˆancia de Feshbach e portanto o valor de U ) ou mudando a profundidade do po¸co ´otico (o que altera t). A Figura A.2 apresenta uma ilustra¸c˜ao de um potencial peri´odico gerado por lasers, com ´
atomos fazendo o papel de el´etrons da rede cristalina.
Figura A.2: Figura esquem´atica da simula¸c˜ao do modelo de Hubbard em redes ´oticas com ´
atomos frios [5].
Imagens com resolu¸c˜ao atˆomica
Em geral, medidas em redes ´oticas s˜ao realizadas por imagens de alta resolu¸c˜ao de absor¸c˜ao, fluorescˆencia [6] e microscopia eletrˆonica da distribui¸c˜ao de densidade do g´as armadilhado.
Ap´os preparar uma fase quˆantica de muitos corpos com ´atomos frios em redes ´oticas, ´e poss´ıvel observar os ´atomos por meio de aplica¸c˜ao de luz com frequˆencia pr´oxima de res- sonˆancia, o que faz com que os ´atomos emitam fluorescˆencia. A fluorescˆencia induzida ´e capturada por uma cˆamera CCD (charge coupled device). Para uma resolu¸c˜ao que permita a distin¸c˜ao entre cada ´atomo, ´e preciso que a cˆamera capture alguns milhares de f´otons por ´
atomo. Para atingir essa resolu¸c˜ao sem alterar a posi¸c˜ao dos ´atomos durante o processo de medida, a profundidade da rede ´otica ´e aumentada 100 vezes. Al´em disso, processos de resfriamento via lasers ajudam a manter a temperatura dos ´atomos durante as medidas [5].
As t´ecnicas recentes de medida permitem obter n˜ao apenas a distribui¸c˜ao m´edia do n´umero de part´ıculas na rede, mas tamb´em correla¸c˜oes n˜ao locais, por meio da an´alise de um conjunto de medidas instantˆaneas.
A alta resolu¸c˜ao espacial ´e ´util n˜ao apenas nos processos de detec¸c˜ao, mas tamb´em na prepara¸c˜ao dos sistemas. As t´ecnicas permitem, por exemplo, o controle local de spins, por meio da altera¸c˜ao do n´ıvel hiperfino de cada ´atomo. Al´em disso, em uma montagem grande, ´e poss´ıvel alterar os parˆametros localmente, explorando v´arias fases em diferentes regi˜oes de uma mesma amostra de g´as armadilhado.