F.2 Rede quadrada com hopping entre segundos vizinhos
8.2 Extens˜ ao n˜ ao local: CDMFT
8.2.1 Processo iterativo da DMFT com a solu¸c˜ ao do cluster de impurezas
O modelo de Anderson de uma impureza foi originalmente introduzido para descrever mo- mentos magn´eticos locais gerados por impurezas magn´eticas em metais n˜ao magn´eticos [37]; desde ent˜ao foi extensivamente estudado na literatura. Alguns m´etodos utilizados para resol- ver esse problema s˜ao diagonaliza¸c˜ao exata, grupo de renormaliza¸c˜ao num´erico, Hartree-Fock, Monte Carlo quˆantico e teoria de perturba¸c˜ao.
Neste trabalho resolvemos o cluster de impurezas de Anderson, descrito pela equa¸c˜ao (8.8), por diagonaliza¸c˜ao exata (DE). Dentre as vantagens desse m´etodo, podemos citar a precis˜ao na determina¸c˜ao das propriedades do estado fundamental, a facilidade de acesso a quantidades tanto no eixo real quanto no eixo imagin´ario (continua¸c˜ao anal´ıtica trivial) e a possibilidade de solu¸c˜ao do sistema para qualquer regime de intera¸c˜ao U (o limite de U grande, por exem- plo, n˜ao ´e bem descrito por Monte Carlo quˆantico). A desvantagem do m´etodo, no entanto, ´e a limita¸c˜ao do tamanho do cluster que pode ser descrito. Al´em disso, a maior simplifica¸c˜ao da descri¸c˜ao do Hamiltoniano 8.8 via diagonaliza¸c˜ao exata ´e que o banho ´e truncado em um n´umero finito de orbitais. Na pr´atica, diagonalizamos um sistema finito de Ns = Nc+ Nb
s´ıtios, sendo Nb o n´umero de s´ıtios no banho. A truncagem do modelo efetivo de Anderson
´e uma limita¸c˜ao da solu¸c˜ao via diagonaliza¸c˜ao exata e n˜ao implica na truncagem do modelo original da rede, que permanece no limite termodinˆamico.
Em geral, ao longo deste trabalho utilizamos Nc = 4 (a Fig. 8.3 representa um esbo¸co
do cluster utilizado no presente trabalho) e Nb = 8. Esse tamanho de cluster ´e a escolha
m´ınima capaz de descrever a geometria de supercondutores de onda-d. A escolha de Nb como
um m´ultiplo inteiro de Nc ´e conveniente para uma parametriza¸c˜ao do banho mais eficiente,
conforme descrito mais adiante. O sistema efetivo de Ns = 12 s´ıtios ´e diagonalizado usando
o algoritmo de Lanczos (ver Apˆendice E). O processo auto-consistente de DE-CDMFT ´e realizado conforme descrito a seguir.
Figura 8.3: Esbo¸co do cluster de Nc= 4 s´ıtios utilizado neste trabalho. Os n´umeros indicam
os ´ındices dos s´ıtios; t e t0 correspondem `as amplitudes de hopping entre primeiros e segundos vizinhos, respectivamente.
definir a fun¸c˜ao de Weiss GNb 0 (iωn) = [iωn+ µ − ε0− Nb X l |Vliσ|2 iωn− εl ]−1 (8.11) que a impureza vˆe. Note que, na solu¸c˜ao do problema do cluster via DE, a fun¸c˜ao de Weiss ´e “simplificada”, pois a fun¸c˜ao banho ´e projetada em um n´umero finito de s´ıtios, Nb.
2. Dado o chute inicial para o banho, obtemos o estado fundamental |gsi do Hamiltoniano efetivo de Anderson via Lanczos (m´etodo descrito no Apˆendice E). O procedimento torna-se mais eficiente quando exploramos a simetria do sistema. O espa¸co de Hilbert do Hamiltoniano ´e dado pelo conjunto de estados |n↑1, ...n↑N
si|n ↓ 1, ...n ↓ Nsi, sendo n σ i =
0, 1. Na pr´atica, escrevemos o Hamiltoniano na forma de uma matriz bloco diagonal e diagonalizamos separadamente cada setor (n↑, n↓), onde nσ =P
in σ i.
3. Para o c´alculo da fun¸c˜ao de Green do estado fundamental, utilizamos o processo de diagonaliza¸c˜ao via Lanczos uma segunda vez, empregando c†|gsi como estado inicial, sendo |gsi o estado fundamental do Hamiltoniano [estado de menor energia entre todos os setores (n↑, n↓)]. A fun¸c˜ao de Green ´e calculada a partir de uma expans˜ao das excita¸c˜oes de part´ıcula (G>) e de buraco (G<)
G(ω) = G>(ω) + G<(ω), (8.12) sendo G>(ω) = hgs|cc †|gsi ω − a> 0 − b>1 ω−a>1− b> 2 ω−a>2−... (8.13)
e G<(ω) = hgs|c †c|gsi ω − a<0 − b<1 ω−a<1− b<2 ω−a<2−... . (8.14) Os parˆametros aα
i e bαi, α =>, <, est˜ao definidos no Apˆendice E.
4. De posse da fun¸c˜ao de Green do cluster, podemos obter a fun¸c˜ao de Green “local” do problema original da rede (limite termodinˆamico), por meio da equa¸c˜ao (8.9), e encontrar ent˜ao uma nova fun¸c˜ao de Weiss, Gnova
0 (ωn), pela equa¸c˜ao (8.10). A fun¸c˜ao
de Weiss obtida neste passo ´e, no entanto, referente a uma rede calculada no limite termodinˆamico e n˜ao pode ser diretamente aplicada ao problema auxiliar de uma im- pureza. ´E preciso projet´a-la novamente no subespa¸co de Nb s´ıtios. Este ´e o passo mais
complicado da implementa¸c˜ao do c´alculo iterativo CDMFT com solu¸c˜ao do problema de uma impureza via DE. Essa proje¸c˜ao ´e realizada definindo-se a fun¸c˜ao distˆancia
f =X
n
1 ωn
|GNb
0 (iωn)−1− G0nova −1(iωn)| (8.15)
e procurando os novos valores de εle Vliσ que a minimizam [note que a fun¸c˜ao G0Nb(iωn)
depende de εl e Vliσ atrav´es da equa¸c˜ao (8.11)]. H´a mais de uma escolha poss´ıvel para
a defini¸c˜ao da distˆancia entre as fun¸c˜oes de Weiss. A escolha apresentada acima, usada ao longo deste trabalho, favorece a descri¸c˜ao de baixas energias [23].
5. Retornamos ao item 2 e repetimos o procedimento at´e a convergˆencia de Gnova
0 (iωn).
Acrescentamos que a an´alise da fun¸c˜ao distˆancia para a determina¸c˜ao dos novos parˆametros do banho ao longo do c´alculo iterativo auto-consistente ´e feita no eixo imagin´ario, pois a fun¸c˜ao de Weiss ´e mais suave nesse caso. Para isso, introduzimos uma temperatura efetiva Tef f = 1/β para a defini¸c˜ao das frequˆencias de Matsubara, ωn= (2n − 1)π/β; essa tempera-
tura define uma frequˆencia m´ınima para o sistema, mas n˜ao deve ser interpretada como uma temperatura f´ısica real; o c´alculo ´e feito a T = 0.
Conforme comentado acima, a determina¸c˜ao dos novos parˆametros do banho ´e o ponto mais delicado do c´alculo iterativo auto-consistente. ´E importante encontrar uma boa com- bina¸c˜ao entre convergˆencia CDMFT e um valor pequeno para a fun¸c˜ao distˆancia. H´a o risco, por exemplo, de ficarmos presos em um m´ınimo local da fun¸c˜ao f que satisfaz com alguma precis˜ao as equa¸c˜oes da CDMFT, mas n˜ao tem significado f´ısico.
A fim de conduzir a solu¸c˜ao para parˆametros do banho com significado f´ısico, introduzi- mos uma parametriza¸c˜ao reduzida que explora as simetrias da rede quadrada. Al´em disso, reduzindo o n´umero de parˆametros livres no banho, otimizamos a rotina de minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao distˆancia, produzindo resultados mais r´apidos e mais f´aceis de serem interpretados. Essa parametriza¸c˜ao alternativa ´e discutida em detalhes a seguir.