FRAÇÃO: UMA ABORDAGEM ENFATIZANDO ALGUMAS DIFICULDADES DOS ALUNOS DE UMA TURMA DA EJA.
O VIAJANTE DO MEDITERRÂNEO E O PROBLEMA DOS COELHOS: A FASCINANTE HISTÓRIA DE UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA
5. Os números de Fibonacci e a Natureza
Na natureza quando observamos o crescimento de algumas plantas e árvores, surpreendentemente vemos que os seus galhos estão dispostos de acordo com a sequência de
Fibonacci. Um exemplo perfeito disto pode ser
observado na figura 4.
Figura 4 − Planta com a presença dos números de Fibonacci Fonte: Contador (2006, p. 458)
As folhas ao longo do galho de uma planta também seguem um padrão que chamamos de filotaxia. Neste caso, as folhas não crescem diretamente uma sobre a outra, elas ficam dispostas de maneira que cada folha receba a umidade e a luz do sol de que necessitam. Por exemplo, algumas plantas, como a aveleira, a amoreira e a faia apresentam a razão filotaxia de 1 3⁄ , outras como a macieira, o carvalho e o damasqueiro apresentam a razão filotaxia de 2 5⁄ . Isto pode ser entendido conforme a figura 5 mostrada abaixo. Nela observamos uma situação em que são necessárias três voltas completas para passar por cinco folhas. Assim dizemos que a razão filotáxica é de 3 5⁄ . Notamos então que todas as razões filotáxicas observadas são formadas por números alternados da sequência de Fibonacci.
Figura 5 – Filotaxia Fonte: Contador (2006, p.458)
Esta descoberta da relação dos números de Fibonacci com a filotaxia também é atribuída ao astrônomo Johannes Kerpler. Porém, conforme Livio (2007) a história da filotaxia verdadeiramente
matemática (em vez de puramente descritiva) tem inicio no século XIX com os trabalhos dos
pesquisadores Karl Friedric Shimper (publicado em 1830), Alexander Braun (publicado em 1835) e dos irmãos Alguste Bravais e Louis Bravais (publicado em 1837). Eles descobriram a regra geral de que os quocientes filotáxicos poderiam ser expressos por razões de termos da sequência de Fibonacci. Também notaram que os abacaxis e as pinhas apresentam conjuntos de linhas espirais (conhecidos como parastichies) que se relacionam com números consecutivos da sequência de Fibonacci. Por exemplo, cada gomo da casca do abacaxi participa de três espirais diferentes que se cruzam, formando um ângulo de inclinação em relação ao eixo do abacaxi. Assim, na figura 6, podemos notar que estas espirais circulam a fruta da seguinte forma: com um ângulo menor, temos 8 linhas paralelas subindo suavemente da esquerda inferior para a direita superior, de forma mais inclinada subindo da direita inferior para a esquerda superior notamos um conjunto de 13 linhas paralelas, por fim, subindo da esquerda inferior até a direita superior temos 21 linhas paralelas que são extremamente inclinadas. Respectivamente os números 8, 13 e 21 são todos sucessivos números da sequência de Fibonacci.
Figura 6 – Abacaxi
Fonte: http://cabana-on.com/Cardapio/sucos.html
Também ao contarmos o número de pétalas de algumas flores constantemente teremos como resultado um número de Fibonacci. Por exemplo, algumas espécies de margaridas têm 13, 21, 34,
55 ou 89 pétalas. Segundo Livio (2007, p. 133), “o número de pétalas simplesmente reflete o número de espirais de uma família”.
As formas de espirais estão presentes em diversos elementos da natureza. Como por exemplo, na organização das sementes dos girassóis, das pinhas e até mesmo na formação da concha do molusco Náutilo, que segue o modelo de espiral ilustrada na figura 7.
Figura 7 – Espiral Logarítmica
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
Assim, segundo Contador (2006), quando olhamos a distribuição das sementes do girassol, nota-se que elas estão dispostas em dois grupos de aspirais, um no sentido horário e outro, no sentido anti-horário. Por exemplo, alguns girassóis possuem 55 espirais orientadas no sentido horário sobrepostas a 34 ou 89 espirais em sentido anti-horário. No entanto, a quantidade dessas espirais depende do tamanho do girassol, alguns podem ter até 144 espirais em um sentido e 89 ou 233 no outro. Contudo, o que se sabe é que invariavelmente, a contagem do número de espirais neste caso, corresponderá a dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci, cuja razão entre o maior e menor número de espirais convergem para o número de ouro.
Considerações finais
Como se mostrou neste trabalho, as viagens de Fibonacci por entre os países do mediterrâneo lhe proporcionaram um conhecimento matemático extremamente avançado em comparação com os seus contemporâneos. Muito de seus trabalhos compreendiam os saberes de origem indiana e árabe. Contudo, Fibonacci se mostrou como um brilhante matemático, pois demonstrava uma forma original e única ao abordar certos tipos de problemas. Como por exemplo, a sua sequência numérica desenvolvida para modelar a proliferação dos coelhos.
Não sabemos ao certo se Fibonacci sabia das reais conseqüências de sua descoberta. Mas o que se verificou é que a sequência de Fibonacci inspirou os estudiosos de diversas áreas a
estudarem a natureza em termos matemáticos. Pois se constatou que a sequência de números descobertos por Fibonacci estão presentes em incontáveis fenômenos da natureza. Entretanto o mais intrigante é a descoberta da relação dos números de Fibonacci com a misteriosa Razão Áurea, que segundo os Pitagóricos (apud OHSE, 2007, p. 79) “essa é a razão pela qual o universo foi construído”.
Referências Bibliográficas:
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EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Higyno H. Domingues. Campinas: UNICAMP, 2004.
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SZPIRO, George G. A vida secreta dos números: 50 deliciosas crônicas sobre como trabalham
SODRÉ, Ulysses; TOFFOLI, Sonia F. L. Alegria Matemática: Seqüências de Fibonacci:
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<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm>. Acesso em: 12 de setembro de 2009.