2. METODOLOGIA
2.3. O índice de Tornsqvist-Theil e a mensuração de produtividade
Um número-índice pode ser definido como um número real capaz de medir mudanças em um conjunto de variáveis, em relação a alguma referência básica, e pode, conceitualmente, ser utilizado em comparações entre períodos ou espaços diferentes. Representando preço e quantidade por pij e qij,
respectivamente, do iésimo produto, com i = 1, 2. 3,..., n, no jésimo período com j = “s” e “t” e Vst como valores do produto, então, a mudança do valor da cesta de
produtos do período “t”, em relação ao período “s”, é dada pela razão do valor da cesta de produtos nos períodos “s” e “t”, avaliado por seus respectivos preços:
Vst =
∑
∑
= = n 1 i is is n 1 i it itq p q p . (7)O índice Vst mede a variação no valor da cesta dos “n” produtos do
período “s”, em relação ao período “t”, portanto, a variação que pode ocorrer em Vst poderá estar associada tanto a “p” quanto a “q”, e a sua decomposição,
quando mais de um produto está sendo considerado, é uma questão que requer alguma elaboração. Ademais, nesse caso, o cálculo do índice é passível de dois problemas potenciais. O primeiro relaciona-se com a possibilidade de o índice deixar-se influenciar pela unidade de medida que está sendo usada, o que pode ser convenientemente resolvido pelo emprego de valores relativos; o segundo é que o índice não leva em consideração a importância relativa dos vários bens em análise. Nesse caso, o problema pode ser contornado pela utilização de fator de ponderação adequado.
A escolha do método de construção do índice de agregação está diretamente relacionada com as pressuposições subjacentes a determinada tecnologia de produção. Nesse sentido, o índice de Laspeyres é uma aproximação correta de funções de produção lineares ou de funções de produção do tipo Leontief, enquanto o índice geométrico é correto para a função de produção do tipo Cobb-Douglas; similarmente, o índice de Tornsqvist-Theil é igualmente correto para a função de produção translog homogênea (ANTLE e CAPALBO, 1988; BATALGI e GRIFFIN, 1988). Da mesma forma que são impostas restrições ao grau de substitutibilidade entre fatores e às funções de produção, as aproximações que utilizam índices agregados também incorrem nessas mesmas restrições.
O índice de Tornqvist-Theil tem sido o mais utilizado em estudos que visam analisar o comportamento da produtividade total de fatores, exatamente por ser uma aproximação correta da função translog e possuir, portanto, todas as propriedades econômico-teóricas das formas funcionais flexíveis. Nas formas funcionais flexíveis com homogeneidade linear, as restrições da substitutibilidade entre fatores são relaxadas; portanto, a aproximação pelo índice de Tornqvist- Theil possui a mesma propriedade. Os índices com essa característica foram denominados, por DIEWERT (1978), de índices superlativos.
O índice superlativo de quantidade, de Tornqvist-Theil, é dado pela média geométrica ponderada das quantidades relativas, cuja ponderação é dada pela média aritmética do valor das parcelas de despesas com o iésimo insumo no total de pagamentos, e é expresso na forma logarítmica, pela seguinte equação:
lnQI = ln[ƒ(X1) / ƒ(X0)] = 0,5
∑
+ i 0 i 1 i S ) S ( ln ( Xi 1 / Xi 0 ), (8)em que Sij representa a quota do iésimo insumo no total dos pagamentos, no
período j; Xij representa a quantidade utilizada de insumo no período j; Q
representa a quantidade produzida, em que I denota índice. A forma funcional, para que a equação (8) seja considerada correta, é a função translog homogênea
linear. Da mesma forma, o índice superlativo de preço, em que P representa preço do produto e I denota índice e W preço do insumo, como na expressão a seguir, é correto como aproximação da função translog de custo:
lnPI = ln[C(W1)/C(W0)] = 0,5
∑
+ i 0 i 1 i S ) S ( ln (Wi1/Wi0). (9)O índice de Tornqvist-Theil é usado na obtenção de um índice de Produtividade Total de Fatores, por ser uma aproximação discreta do índice de Divisia, que é contínuo (HULTEN, 1976; DIEWERT, 1976). Os índices de Divisia, para produto agregado (Q) e insumo agregado (X), são definidos pela taxa proporcional de crescimento e podem ser representados, respectivamente, por i j i i i i iQ p Q Q p Q&
∑
∑
& = , (10) i j i i i i iX W X X W X&∑
∑
& = , (11)em que o ponto acima da variável representa a sua taxa de variação no tempo. O índice de quantidade, dado pela equação (8), pode ser usado como aproximação para as equações (10) e (11), como
ln (Qt/Qt-1) = 0,5
∑
+ − j 1 jt jt S ) S ( ln (Qjt/Qjt-1), (10’) ln (Xt/Xt-1) = 0,5∑
+ − i it it S S ) ( 1 ln (Xit/Xit-1) . (11’)Uma vez que a Produtividade Física Total é definida pela relação entre Q e X, então a taxa de crescimento da produtividade é dada por
X - Q T F
P& = & &. (12)
ln (PTFt/PTFt-1) = ln (Qt/Qt-1) - ln (Xt/Xt-1). (12’)
Escolhendo um ano-base e atribuindo-lhe o índice 100, a equação (12’) pode ser usada na construção de um índice de Produtividade Física Total. O uso desse índice, como aproximação para o progresso tecnológico, requer que os produtores ajam competitivamente; que a tecnologia de produção seja separável; que a mudança tecnológica seja neutra, no sentido de Hicks; e que a tecnologia de produção seja homogênea linear.
Pressupondo que uma função de produção agregada seja dada sob a forma Q = F (X, t), em que Q e X representam produto e insumos, respectivamente, e t representa uma variável associada à mudança tecnológica, e supondo, ainda, que essa mudança tecnológica seja representada por uma variação na superfície de produção, então ∂lnF(X, t)/∂t é expressa, como o primal da taxa de mudança tecnológica (ANTLE e CAPALBO, 1988), pela seguinte expressão: ∂lnF/∂t = dlnQ/dt - (1/F)
∑
= n i i idX dt F 1 / , (13)em que Fi denota o produto marginal de Xi. Se o setor estivesse em equilíbrio
competitivo, tal que o preço fosse igualado ao custo marginal e o preço pago aos fatores de produção correspondesse ao valor de seu produto marginal, então a equação (13) poderia ser escrita como
∂lnF/∂t = dlnQ/dt - (∂lnC/∂lnQ)-1
∑
= n i i id X dt S 1 / ln , (14)em que Si = WiXi/∑ WiXi representa a parcela de custo do fator i, e o termo
(∂lnC/∂lnQ)-1 pode ser usado para classificar os retornos à escala (ANTLE e CAPALBO, 1988). Portanto, de acordo com a equação (14), o primal da taxa de mudança tecnológica pode ser expresso como a taxa de variação no produto menos um índice de ajustamento de escala da taxa de variação nos insumos.
Introduzindo os índices de Divisia, conforme descrito nas equações (10) e (11), na equação (14), tem-se que
∂lnF/∂t = Q& - (∂ lnC / ∂lnQ)-1 X&. (15)
A equação (15) mostra a taxa proporcional de crescimento de produto que não é explicada pelo crescimento dos insumos. Se a função de produção fosse caracterizada por separabilidade de produto e insumo e ainda pela neutralidade de mudança tecnológica, de Hicks, então ela poderia ser expressa por Q(t) = A(t) ⋅ F(X), e se os retornos à escala fossem mantidos constantes, de tal forma que ∂lnC/∂lnQ = 1, então a equação (15) tornar-se-ia:
X - Q
A&= & &. (16)
Isto confirma, portanto, que a equação (12’) mede a mudança na função de produção devido ao progresso técnico; pressupondo que os retornos fossem constantes à escala, prevaleceria a mudança técnica de Hicks-neutra; haveria separabilidade insumo e produto e manter-se-ia o comportamento competitivo.