2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.3 O MÉTODO DE ELEMENTOS ESPECTRAIS
Este item se refere à metodologia computacional utilizada neste trabalho. Desse modo, as publicações aqui colocadas foram selecionadas por abordarem aspectos referentes à teoria e implementação do método. Trabalhos referentes à aplicação do mesmo ao escoamento ao redor de cilindros podem ser encontrados na seção 2.1.
Patera (1984) apresenta pela primeira vez o método de elementos espectrais aplicado à dinâmica dos fluidos computacional em uma forma similar à utilizada neste trabalho. Esta publicação serve como base para a monografia de Karniadakis; Sherwin (1999), que traz os conceitos que são utilizados na implementação computacional do método de elementos espectrais que gerou os resultados presentes neste texto. Patera (1984) propõe um método numérico que combina a generalidade do método de elementos finitos com a precisão das técnicas espectrais, e o utiliza na solução numérica das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível. O autor denomina o método utilizado de método de elementos espectrais (SEM). É apresentada uma análise do comportamento do método quando aplicado a uma equação do tipo Helmholtz (difusiva), uma equação de onda (convectiva) e uma equação de advecção-difusão, de forma similar àquela da equação de Navier-Stokes. Para ilustrar a viabilidade do método, o problema de um escoamento bidimensional laminar em um canal com expansão é resolvido, comparando-se os resultados com dados experimentais. O esquema de avanço no tempo e o tratamento do termo convectivo não-linear são detalhados. A idéia geral desses esquemas é mantida em diversos artigos posteriores e é utilizada inclusive no presente trabalho. Demonstra- se que o método tem uma precisão bastante satisfatória, bem como convergência global espectral. Este primeiro trabalho constitui uma primeira demonstração da
viabilidade e das características gerais do método, deixando claro que se tratava de uma abordagem promissora.
Em Korczak; Patera (1986) o desenvolvimento do método é continuado. São introduzidos elementos isoparamétricos, que permitem a solução das equações de Navier-Stokes em geometrias curvas. A eficiência da técnica é assegurada através do tratamento explícito do operador convectivo não-linear e do uso da técnica de condensação estática para resolver as equações elípticas que resultam do tratamento implícito dos termos do problema de Stokes. O esquema de avanço no tempo é aprimorado, mantendo as idéias básicas introduzidas em Patera (1984). Para ilustrar a utilização do método, são relatados os resultados obtidos em simulações do escoamento bidimensional entre cilindros excêntricos com rotação relativa não nula.
Karniadakis; Bullister; Patera (1986) apresentam mais aplicações do SEM em simulações de escoamentos incompressíveis. Utilizando os conceitos apresentados em Korczak; Patera (1986), resolvem escoamentos axissimétricos, escoamento ao redor de um cilindro e escoamentos tridimensionais. Um outro conceito fundamental para a eficiência do método é delineado, a chamada soma fatorada. Este trabalho constituiu na época da sua publicação mais uma evidência da viabilidade do uso do SEM em dinâmica dos fluidos computacional.
Karniadakis (1990) propõe um método misto – elementos espectrais e espectral puro (Fourier) – para simular escoamentos turbulentos em domínios com uma direção homogênea, ou seja, domínios tridimensionais que possuem uma direção na qual não há um comprimento característico. Problemas com essa particularidade são tipicamente aqueles cuja geometria tridimensional pode ser gerada através da extrusão de uma geometria bidimensional. Assumindo que a direção homogênea seja a direção z, a idéia é empregar uma discretização do tipo elementos espectrais em diversos planos x-y e usar uma expansão espectral do tipo Fourier ao longo de z. Uma característica interessante dessa abordagem é que ela oferece naturalmente a base para implementações paralelas, já que as equações de continuidade e difusão podem ser resolvidas separadamente em cada plano, enquanto que o acoplamento entre as diferentes seções fica restrita ao tratamento do termo não-linear, que é feito de maneira explícita. Um outro avanço descrito neste trabalho é a definição das bases utilizadas na discretização de elementos espectrais em termos
de polinômios de Legendre, de forma que eficientes quadraturas do tipo Gauss associadas com operações de integração podem ser empregadas. Além disso, procedimentos iterativos de inversão de matrizes (gradiente conjugado e multigrid) são utilizados. As equações governantes são postas numa forma apropriada tanto para simulação direta (DNS) quanto para simulação com filtros LES, permitindo, portanto, uma implementação unificada. Por fim, escoamentos em canal com cavidade e escoamentos em superfícies com nervuras são apresentados como exemplos da aplicação do método a casos turbulentos.
Karniadakis; Israeli; Orszag (1991) descrevem uma nova formulação para a pressão em métodos de avanço no tempo utilizados para a resolução da equação de Navier-Stokes. Nela, condições de contorno para a pressão de alta ordem no tempo são introduzidas, de forma que o efeito de camadas limites numéricas produzidas por estes métodos fica minimizado. Com este esquema, consegue-se uma resolução temporal de alta ordem sem problemas de estabilidade. O método introduzido neste artigo é utilizado neste trabalho e sua descrição pode ser encontrada no apêndice B.1.
Henderson; Karniadakis (1995) apresentam um algoritmo para a resolução de escoamentos tridimensionais utilizando o método de elementos espectrais aplicado a malhas de elementos quadriláteros não-conformes. A decomposição modal na direção do eixo também é utilizada aqui. Um dos casos de simulação apresentados é o escoamento ao redor de um cilindro isolado para número de Reynolds igual a 1000. Os autores detalham sua estratégia de refinamento da malha, que consiste em inicialmente refinar a malha bidimensional, e depois estudar a sensibilidade quanto ao comprimento periódico simulado e ao número de modos utilizado na direção do eixo. Os resultados apresentados mostram que apenas o refinamento bidimensional não é capaz de produzir resultados concordantes com dados experimentais. No entanto, cabe salientar que o comprimento então simulado, 2π diâmetros, e o número de modos utilizados, 16, são pequenos para capturar características importantes neste escoamento, onde fisicamente já se tem uma intensidade grande de turbulência na esteira. Ao refinar o domínio na direção do eixo, os autores concluem que, para o caso estudado, um comprimento de no mínimo 8π diâmetros é necessário para que os resultados computacionais se aproximem qualitativamente de visualizações experimentais. Contudo, quando os resultados quantitativos são comparados,
observa-se que apesar do número de Strouhal ter boa aderência, os coeficientes de força apresentam diferença da ordem de 20%. Mais uma vez, acredita-se que o uso de poucos modos na direção do eixo possa ser a principal causa desta discrepância. A discretização mais fina utilizada foi de 128 modos para um comprimento de 8π. O próprio Henderson escreveria mais tarde num artigo (Henderson, 1997) que o número de modos que deve ser utilizado para capturar as estruturas significativas de um escoamento turbulento é da ordem de L.Re1/2, o que para número de Reynolds igual a 1000 e um comprimento de 8π resulta em cerca de 795 modos.
Warburton; Sherwin; Karniadakis (1999) apresentam uma descrição de novas bases adequadas para discretizações do tipo elementos espectrais em malhas bidimensionais híbridas, consistindo de triângulos e quadriláteros. Todas as bases apresentadas são do tipo C0 e são utilizadas tanto expansões modais como expansões mistas modais/nodais. Além disso, o conceito de decomposição contorno-interior é introduzido. Polinômios gerais de Jacobi de diversos pesos são empregados com o fim de acomodar quadraturas numéricas exatas automaticamente, produtos tensoriais generalizados e ordens de expansão variáveis em cada elemento. As propriedades de aproximação das bases são analisadas no contexto dos operadores de projeção, convecção linear e difusão. Por fim, é feita uma comparação entre as bases apresentadas. Esta é a publicação que introduz as bases utilizadas nas simulações presentes neste trabalho.
Em uma monografia, Karniadakis; Sherwin (1999) apresentam em detalhes todos os aspectos matemáticos e computacionais do método de elementos espectrais aplicado à dinâmica de fluidos computacional. Esta monografia serve como base para a implementação computacional utilizada neste trabalho, e a descrição do método que consta no apêndice A também é fundamentada nela.