O Problema do Espalhamento Angular e os Graus de Liberdade

Liberdade

At´e o presente momento, tratamos das chamadas restri¸c˜oes pontuais, que imp˜oem um certo ganho em determinadas dire¸c˜oes espec´ıficas. Sinais provenientes de todas as outras dire¸c˜oes tender˜ao a ser anulados no processo de minimiza¸c˜ao, caso haja graus de liberdade suficientes. O n´umero de graus de liberdade total ´e determinado pelo n´umero de elementos da antena. Para uma antena dada, quanto maior for o n´umero de restri¸c˜oes, menor ser˜ao os graus de liberdade restantes para cancelar as interferˆencias em outras dire¸c˜oes.

As restri¸c˜oes pontuais se prestam bem a uma situa¸c˜ao de espalhamento angular nulo, em que as dire¸c˜oes de chegada do sinal de interesse podem ser determinadas com precis˜ao. O caso em que existe incerteza quanto `as dire¸c˜oes de chegada ou o caso de espalhamento angular n˜ao nulo requerem restri¸c˜oes sobre uma faixa de ˆangulos, ao inv´es de uma dire¸c˜ao ´unica. Caso exista incerteza quanto `a dire¸c˜ao de chegada, ao se minimizar a potˆencia de sa´ıda, se a dire¸c˜ao de chegada real n˜ao corresponder exatamente `aquela da restri¸c˜ao pontual, a resposta na dire¸c˜ao do sinal poder´a ser muito atenuada. Por outro lado, mesmo conhecendo-se a real dire¸c˜ao de chegada do sinal de interesse, se o espalhamento angular for n˜ao nulo a restri¸c˜ao pontual n˜ao ser´a capaz de capturar toda a potˆencia do sinal, que est´a distribu´ıda sobre uma faixa de ˆangulos.

Em ambos os casos citados acima, faz-se necess´ario controlar a resposta do fil- tro espacial sobre uma faixa de ˆangulos, e n˜ao mais sobre um ´unico ˆangulo. Para tal, pode-se utilizar m´ultiplas restri¸c˜oes pontuais, dividindo-se a faixa de ˆangulos de interesse em pequenos intervalos iguais e utilizando o ˆangulo central de cada inter- valo como uma restri¸c˜ao pontual. Quanto menor o intervalo tomado, mais pontos s˜ao considerados e melhor representada estar´a a banda como um todo. Por´em, esse procedimento traz alguns problemas em rela¸c˜ao aos graus de liberdade da antena e ao condicionamento da matriz Cu.

Como citado anteriormente, quanto maior for o n´umero de restri¸c˜oes, menor ser´a o n´umero de graus de liberdade restantes para cancelar as interferˆencias em outras dire¸c˜oes. Logo, existe um compromisso entre melhor representar a faixa de ˆangulos de interesse e melhor cancelar os interferentes. Al´em disso, ao se aumentar o n´umero de restri¸c˜oes pontuais, as colunas da matriz Cu tendem a perder a condi¸c˜ao de indepen-

dˆencia linear, resultando numa matriz CH

sua invers˜ao ou gerando resultados n˜ao confi´aveis. Isso ocorre devido a representa¸c˜ao em precis˜ao finita de Cu, na qual dois vetores direcionais correspondentes a ˆangulos

suficientemente pr´oximos podem assumir o mesmo valor.

3.4.3

Restri¸c˜oes Autovetoriais

O uso das restri¸c˜oes autovetoriais ´e uma solu¸c˜ao para cobrir uma faixa de ˆangulos que possibilita um maior controle sobre o n´umero de graus de liberdade utilizados pelas restri¸c˜oes, eliminando tamb´em o problema de mal condicionamento da matriz Cu. As restri¸c˜oes autovetoriais foram propostas inicialmente em [5] e decorrem da

representa¸c˜ao da matriz de restri¸c˜oes usando-se como base o seu conjunto de vetores singulares. A redu¸c˜ao do n´umero de restri¸c˜oes ´e feita utilizando-se apenas os veto- res singulares correspondentes aos valores singulares mais significativos da matriz de restri¸c˜oes, para a constru¸c˜ao de uma nova matriz de ordem reduzida.

Pode ser demonstrado que as restri¸c˜oes autovetoriais s˜ao ´otimas no sentido do m´ınimo erro quadr´atico entre a resposta desejada e a resposta obtida na faixa de interesse, para um dado n´umero de restri¸c˜oes [30].

Introduzindo, ent˜ao, a decomposi¸c˜ao em elementos singulares (SVD) da matriz de restri¸c˜oes Cu, tem-se: CH u = Uu " Σu 0P×(M −P ) 0(Ku−P )×P 0(Ku−P )×(M −P ) # VH u (3.29) com Uu =  uu₁ uu₂ · · · uuKu  Ku×Ku (3.30a) Vu = [ vu1 vu2 · · · vMu ]M×M (3.30b) Σu = diag (σ1u, σ u 2, . . . , σ u P) (3.30c)

onde as matrizes Uu e Vu s˜ao matrizes unit´arias que contˆem os vetores singulares `a

esquerda e `a direita de CH

u, respectivamente, e Σu ´e uma matriz diagonal composta

pelos valores singulares de CH

u ordenados da seguinte maneira: σ1u ≥ σ2u ≥ . . . ≥

σu P > 0.

3.4. Filtragem com Restri¸c˜oes (LCMV) 73

equa¸c˜ao 3.30 se reduzem, ent˜ao, a: e Uu = h uu 1 uu2 · · · uuKeu i Ku× eKu (3.31a) e Vu = h vu₁ vu₂ · · · vu_Ke u i M× eKu (3.31b) e Σu = diag  σu 1, σu2, . . . , σuKeu  (3.31c)

O valor de eKu implica diretamente na qualidade da representa¸c˜ao da matriz de

restri¸c˜oes reduzida e no n´umero de graus de liberdade restantes para o cancelamento de interferentes. Pode-se escolher eKu de maneira a englobar os valores singulares

mais significativos, obtendo-se, desta maneira, uma matriz de restri¸c˜oes reduzida que represente a faixa de ˆangulos de interesse de forma muito pr´oxima `a matriz de restri¸c˜oes original, por´em com um n´umero menor de restri¸c˜oes. Pode-se ainda controlar o valor de eKu de modo a se obter um n´umero de restri¸c˜oes compat´ıvel com

o n´umero de elementos da antena, restando graus de liberdade suficientes para o cancelamento de interferentes.

Revisitando a equa¸c˜ao 3.21b e utilizando a representa¸c˜ao da matriz de restri¸c˜oes dada por eUuΣeuVeuH, tem-se:

e

UuΣeuVeHuwu = fu (3.32)

Ap´os algumas manipula¸c˜oes matem´aticas, chega-se a: e

VH

uwu = eΣ−1u UeHufu (3.33)

A equa¸c˜ao acima possui a mesma forma da equa¸c˜ao 3.21b que expressa as restri- ¸c˜oes. Pode-se, ent˜ao, identificar a matriz eVucomo a matriz de restri¸c˜oes autovetoriais

e o vetor eΣ−1

u UeHufu como o vetor resposta autovetorial. Chega-se portanto `a seguinte

implementa¸c˜ao das restri¸c˜oes autovetoriais, dada pela matriz de restri¸c˜oes autoveto- riais e pelo vetor resposta correspondente:

e

Cu = eVu (3.34a)

efu = eΣ−1u Ue H