Resposta ao Impulso - Desvanecimento de Pequena Escala

2.3 Desvanecimento de Pequena Escala

2.3.1 Resposta ao Impulso

Sendo o canal rádio-móvel entre o móvel e a ERB modelado como um sistema linear variante com o tempo, sua resposta ao impulso em banda-base é dada por:

h (τ, t) = Z

hθ(τ, θ, t) ∗ a (θ, τ ) dθ (2.6)

onde a (θ, τ ) ´e a resposta espa¸co-temporal da antena na ERB, hθ(τ, θ, t) representa

o canal f´ısico visto pela ERB, incluindo a resposta espa¸co-temporal da antena do móvel e a propaga¸cão f´ısica do sinal, e Θ é o campo de visão da antena na ERB. Devido à largura de banda usualmente utilizada nos sistemas celulares, a resposta em frequência da antena pode ser considerada plana nas frequências de interesse, condi¸cão sobre a qual retornaremos mais adiante. A figura 2.2 mostra um exemplo da evolu¸cão da resposta ao impulso h(τ, t) com o tempo.

Para simplificar a caracteriza¸cão e o modelamento do canal rádio-móvel, vamos su- por reflexões descorrelacionadas (uncorrelated scattering), ou seja, os multipercursos relativos a diferentes atrasos são descorrelacionados. Essa suposi¸cão é amplamente utilizada na literatura e leva a resultados coerentes com observa¸cões práticas.

Logo, como mostrado em [26], h (τ, t) é um processo estocástico na variável t e pode ser considerado estacionário no sentindo amplo, sendo a sua fun¸cão de autocorrela¸cão dada por:

Rh(τ, τ + ∆τ, t, t + ∆t) = E {h∗(τ, t)h(τ + ∆τ, t + ∆t)}

= φ(τ, ∆t)δ(∆τ ) (2.7)

A equa¸cão acima mostra que as estat´ısticas de segunda ordem do canal são comple- tamente caracterizadas pelo termo φ(τ, ∆t) = E {h∗_{(τ, t)h(τ, t + ∆t)}. Na sequência,}

as principais propriedades do canal rádio-móvel são destacadas a partir da análise desse termo.

2.3. Desvanecimento de Pequena Escala 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x 10−3 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 PSfrag replacements t (tempo) τ (atraso) h (τ ,t )

Figura 2.2: Exemplo da evolu¸c˜ao da resposta ao impulso h(τ, t) com o tempo

Desvanecimento Seletivo na Frequˆencia

Em particular, φ(τ, 0) representa a evolu¸cão da potência média do canal em fun¸cão do atraso τ . Essa evolu¸cão é chamada de perfil de potência do canal ou de perfil de multipercursos, ou seja, a potência da resposta ao impulso do canal em fun¸cão do atraso. Medi¸cões práticas revelaram que essa potência só é significativa dentro de um intervalo de tempo finito, chamado de espalhamento do atraso do canal, denotado por τds. O espalhamento do atraso do canal é relacionado com a máxima diferen¸ca

de tempo entre ecos significativos. A figura 2.3 mostra um exemplo de perfil de multipercursos.

A fim de analisar a influência do espalhamento do atraso na resposta em frequência do canal, introduz-se a resposta em frequência instantânea do canal H(f, t), obtido através da transformada de Fourier de h(τ, t) em rela¸cão a τ , e sua fun¸cão de autocorrela¸cão, dada por:

RH(f, f + ∆f, t, t + ∆t) = Φ(∆f, ∆t) (2.8)

PSfrag replacements

τ φ(τ, 0)

Figura 2.3: Exemplo de perfil de multipercursos

¸cada no tempo e é transformada de Fourier de φ(τ, ∆t) em rela¸cão a τ . Essa fun¸cão de autocorrela¸cão pode ser medida transmitindo-se dois tons separados por ∆f pelo canal e correlacionando-se, na recep¸cão, esses dois tons atrasados de ∆t. A análise dessa fun¸cão para ∆t = 0, ou seja Φ(∆f, 0), fornece uma indica¸cão da coerência do canal no dom´ınio da frequência. Uma vez que φ(τ, 0) e Φ(∆f, 0) formam um par de transformadas de Fourier e φ(τ, 0) é “limitada” no tempo em τds, a sua contrapartida

no dom´ınio da frequência Φ(∆f, 0) é “limitada” em frequência em Bc ∼ 1/τ_ds, sendo

Bc chamado de banda de coerˆencia.

Desvanecimento Seletivo no Tempo

Após analisar o efeito de τ em φ(τ, ∆t), pode-se analisar o efeito de ∆t, ou seja, quão invariante (ou de forma complementar, quão variante) no tempo é a resposta ao impulso do canal. Intuitivamente, uma vez definida uma banda de coerência para o canal, espera-se também poder definir um tempo de coerência Tc durante o

qual as estat´ısticas da resposta ao impulso do canal não se modificam. Em outras palavras, para ∆t < Tc, espera-se que φ(τ, ∆t) ≈ φ(τ, 0), isto é, o canal não varia

significativamente no intervalo ∆t.

Note que as varia¸cões na resposta do canal devido ao movimento do móvel e ao movimento nas cercanias do móvel resultam num espalhamento e num deslocamento na frequência do espectro do sinal transmitido, devido ao efeito Doppler. Considere a transformada de Fourier de Φ(∆f, ∆t) em rela¸cão a ∆t, Ψ(∆f, ∆fD). A fun¸cão

Ψ(0, ∆fD) ´e chamada de espectro Doppler do canal. Um canal invariante no tempo

2.3. Desvanecimento de Pequena Escala 17 PSfrag replacements Φ(∆f, ∆t) Ψ(∆f, ∆fD) ψ(τ, ∆fD) φ(τ, ∆t) F {∆t} F {∆t} F { τ } F { τ }

Figura 2.4: Rela¸c˜ao entre as transformadas de Fourier de φ(τ, ∆t)

o transmissor estiverem estáticos. Por outro lado, caso haja uma velocidade relativa constante v entre receptor e transmissor, o espectro Doppler estará concentrado na frequência correspondente ao desvio Doppler fD = fc(v/c), onde fc é a frequência da

portadora e c ´e a velocidade da luz.

Nos canais rádio-móvel, devido à presen¸ca da multipropaga¸cão, observa-se um espalhamento no espectro Doppler do canal. Usualmente, Ψ(0, ∆fD) só é significa-

tiva em ∆fD num pequeno intervalo chamado de espalhamento Doppler BD, dado

por fc(v/c). De forma análoga ao desvanecimento seletivo na frequência, é valida

a seguinte rela¸c˜ao entre o espalhamento Doppler e o tempo de coerˆencia do canal: BD ∼ 1/T_c.

Pode-se ainda definir a transformada de Fourier ψ(τ, ∆fD), que ´e ao mesmo tempo

transformada de φ(τ, ∆t) em ∆t e transformada inversa de Ψ(f, ∆fD) em f . A rela¸c˜ao

entre todas as transformadas de Fourier de φ(τ, ∆t) ´e mostrada na Figura 2.4. Desvanecimento Seletivo no Espa¸co

A seletividade espacial do canal é um conceito um pouco diferente do que seletividade temporal e seletividade na frequência. A fim de se definir um espalhamento angular do canal faz-se necessário considerar o espalhamento dos ângulos de che- gada/partida dos multipercursos na antena da ERB. Para tanto, agora o foco da análise deve ser o canal f´ısico visto pela antena da ERB hθ(τ, θ, t) no lugar de h(τ, t).

Logo, introduz-se a seguinte fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao:

Rhθ(τ, τ + ∆τ, θ, θ + ∆θ, t, t + ∆t) = φhθ(τ, θ, ∆t)δ(∆θ)δ(∆τ ) (2.9) onde a fun¸cão φhθ(τ, θ, ∆t) representa a distribui¸cão de densidade de potência con- junta ângulo-atraso do canal.

Na pr´atica, o espalhamento angular do canal σθ pode ser definido de maneira

análoga ao espalhamento do atraso τds, uma vez que φhθ(τ, θ, 0) só é significativa num intervalo finito de valores em θ. O espalhamento angular provoca, como esperado, um desvanecimento seletivo no espa¸co. Logo, pode-se definir uma distância de coerência relativa a um certo espalhamento angular. Para isso, considere a correla¸cão cruzada da envoltória do sinal entre duas antenas espa¸cadas de ∆r, dada por [26]:

Φ(τ, ∆r, ∆t) = Z

φ(τ, θ, ∆t) e−j2πλ∆r sin θdθ (2.10) onde λ é o comprimento de onda e Φ(τ, ∆r, ∆t) representa a transformada de Fourier- Bessel de φ(τ, θ, ∆t). Pode-se notar que Φ(τ, ∆r, 0) fornece uma indica¸cão da coerên- cia espacial do canal para um dado valor de atraso τ . Logo, a distância de coerência do canal Lc é definida como a distância na qual Φ(τ, ∆r, 0) ≈ Φ(τ, 0, 0) ∀τ .

Mais uma vez, como o espalhamento angular e a distância de coerência são dados por fun¸cões que formam um par de transformadas de Fourier-Bessel, tem-se que quanto maior o espalhamento angular, menor a distância de coerência, Lc ∼ 1/σ_θ.

No documento Algoritmos de processamento espacial para enlaces de comunicação sem fio (páginas 36-40)