2.3.1 Introduction
Nous avons vu que le régulateur linéaire à coût différentiel quadratique et le filtre de
Kalman présentent de bonnes propriétés de robustesse et permettent de réaliser un compromis
entre les fonctions de sensibilité et de sensibilité complémentaire en basses et en hautes
fréquences. Dans le cas du régulateur linéaire à coût différentiel quadratique, nous avons
supposé que tout le vecteur d'état était mesurable. Nous nous proposons de voir ce qui se
passe si au lieu de disposer de tout le vecteur d'état dans la loi de réglage (2.4), on utilise son
estimation donnée par le filtre de Kalman (2.39). Cela nous amène à examiner le cas du
régulateur LQG.
2.3.2 Enoncé du problème
On considère que le système est décrit par (2.35), (2.36) et (2.3). Les hypothèses sur C et ri
sont celles données en 2.2.1. Nous supposons aussi que les hypothèses 2.1 et 2.2 sont
vérifiées. L'objectif poursuivi est de déterminer une loi de réglage de la forme :
U = -Kx^ (2.60)
qui permet de minimiser la fonction de coût :
est l'estimation optimale de x donnée par (2.39).
2.3.3 Solution du problème et quelques commentaires [2.1] [2.2] [2.10]
Le principe de séparation nous permet de résoudre ce problème en utilisant les
solutions aux problèmes de régulation optimale à coût différentiel quadratique par rétroaction
d'état (problème LQ) et d'observation optimale (filtre de Kalman). Ainsi le gain optimal K
La fonction de transfert du régulateur ainsi obtenu est donnée par :
K(s) = k(sI-A + BK + Kj. (2.62)
Pour résoudre le problème de régulation optimale à coût différentiel quadratique par
rétroaction des sorties mesurées, pour un système soumis à des bruits blancs gaussiens, on est
amené à résoudre les équations de Riccati (2.8) et (2.42). Il faut pour cela spécifier les
matrices intervenant dans la fonction de coût différentiel quadratique et en même temps
spécifier les matrices de covariance des bruits d'entrées et de mesures du système. Il y a
ainsi au total quatre matrices à spécifier et ceci est une tâche laborieuse.
En plus comme la détermination du régulateur LQG résulte des solutions du problème
LQ et du problème d'observation optimale, on serait tenté de croire qu'il posséderait les
propriétés du régulateur LQ et du filtre de Kalman.
En fait, il n'en est rien; en général, le régulateur LQG peut présenter de mauvaises propriétés
de robustesse [2.4] [2.5]. En plus quand le système réel présente des variations des
paramètres, on montre dans [2.15] et [2.17] que le régulateur à coût différentiel quadratique et
le filtre de Kalman conçus à partir du modèle nominal peuvent présenter des mauvaises
propriétés de robustesse. Pour une certaine catégorie de variations de paramètres[2.17], on
montre pour le régulateur LQG que soit le filtre de Kalman soit le régulateur par rétroaction
d'état peut être rendu insensible à ces variations. L'exemple du paragraphe suivant n'illustre
pas le problème lié aux variations de paramètres.
2.3.4 Exemple
Nous considérons un exemple tiré de [2.6] pour montrer que le régulateur LQG peut
présenter de mauvaises propriétés de robustesse. Les matrices A, B, C, L, H de (2.3),
(2.35) et (2.36) ont les valeurs suivantes;
’o r
,B =
’o'
-3 _4 .1. ,C = [2 l],L = 35
-61 H = 4[yfvÏ5
Pour R = \, le gain K du régulateur à coût différentiel quadratique déterminé conformément à
(2.7) et (2.8) est donné par;
(2.42) est :
30 ■
-50.
La fonction de transfert en boucle ouverte à l'entrée du régulateur linéaire à coût différentiel
quadratique est donnée par
= K{sl- AY'B
Le diagramme de Nyquist correspondant est représenté à la figure 2.1. La fonction de transfert
du filtre de Kalman est donnée par
Lf = C{s! - AY'Kj.
Le diagramme de Nyquist relatif à ce filtre est représenté à la figure 2.2.
Pour le système muni du régulateur LQG, la fonction de transfert de la boucle ouverte à
l'entrée est donnée par :
L, = k[sI -A + BK + K^C]' KfC{sI - aVB
Son diagramme de Nyquist est représenté à la figure 2.3. Les figures 2.1 et 2.2 nous
montrent que le régulateur à coût différentiel quadratique et le filtre de Kalman ont une
tolérance à l'augmentation de gain infinie et une marge de phase de = 90°. Leurs diagrammes
de Nyquist demeurent à l'extérieur du cercle de centre (-1,0) et de rayon unité. Par contre la
fgure 2.3 nous montre que le régulateur LQG associé au système a une tolérance à
l'augmentation de gain infinie, une tolérance à la réduction de gain de 1/1.15 et une marge de
phase =18°. La tolérance à la diminution de gain du régulateur LQG et sa marge.de phase
sont moins bonnes que celles du régulateur LQ ou du filtre de Kalman. Ce résultat peut se
vérifier à partir du diagramme de Bode de la figure 2.4 . La stabilité du système en boucle
fermée est garantie par une application du critère de Nyquist. En effet la fonction de transfert
en boucle ouverte a un pôle dans le demi-plan de droite et le diagramme de Nyquist encercle
une fois le point critique dans le sens antihorlogique. La figure 2.5 donne les courbes des
valeurs singulières des fonctions de sensibilité des systèmes de régulation muni du régulateur
linéaire à coût différentiel quadratique et du régulateur LQG. On remarque que la fonction de
sensibilité du système de régulation LQG est moins atténuée aux basses fréquences par rapport
à celle du système de régulation LQ.
Cet exemple montre que les propriétés du régulateur LQG peuvent être mauvaises par
rapport à celles de ses sous-systèmes à savoir le régulateur à coût différentiel quadratique et le
f Itre de Kalman.
2.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté le régulateur par rétroaction d'état conçu au
moyen de la minimisation d’une fonction de coût différentiel quadratique. Dans le cas où
l’estimation de l’état s’avère indispensable, nous avons présenté le filtre de Kalman qui est un
estimateur optimal de l’état en ce sens qu’il minimise la variance de l’erreur d’estimation.
Nous avons mis en évidence leurs propriétés de robustesse de ces deux structures. Elles
possèdent en effet des marges gain de 1
,2’°^ et de phase d'au moins 60°. Le choix des
matrices de pondération affectant l'état et le signal réglant dans la fonction de coût ou le choix
des matrices de covariance du bruit de mesure et des perturbations sur l'état est déterminant
dans la réalisation du compromis entre les fonctions de sensibilité et de sensibilité
complémentaire. Par ailleurs, nous avons mis en évidence le fait que le régulateur LQG conçu
au moyen du régulateur LQ et du filtre de Kalman peut présenter de mauvaises propriétés de
robustesse. C’est pourquoi dans un chapitre ultérieur, nous nous intéresserons à l’amélioration
Figure 2.1
La courbe de Nyquist relative à la fonction de transfert KOB
Figure 2.2
Figure 2.3
La courbe de Nyquist relative à la fonction de transfert k[^sI - A + BK + AT^c) K
Figure 2.4
10 10 10 10 10 10 10
Figure 2.5
'—' réprésente |(I + KOB)'’
réprésente (l + k(sI - a + BK + KfC)"' KfCOB
2.5 Réferences
[2.1] B.D.O Anderson and J.B Moore, Optimal control: Linear Quadratic Methods, Prentice
Hall, 1989.
[2.2] M. Athans, "The rôle and use of the stochastic linear quadratic gaussian problem in
control System design", IEEE TAC vol ac-16, pp529-552, 1971.
[2.3] A.E Bryson and Y.E Ho, Applied optimal control, John Wiley & Sons, 1975 .
[2.4] J.C Doyle, "Guaranteed margins for LQG regulators", IEEE TAC -23, n°4, pp756-757,
1978.
[2.5] J.C Doyle and G. Stein, "Robustness with observers", IEEE TAC vol ac-24, pp 4-
16,1979.
[2.6] J.C Doyle and G. Stein, "Multivariable Feedback Design: Concepts for a classical
/Modem synthesis", IEEE TAC vol Ac 26 n°l, pp4-16, feb 1981.
[2.7] M.Green and D.J.N Limebeer, Linear robust control, Prentice Hall, 1995
[2.8] C .A Harvey and G.Stein, "Quadratic weights for asymptotic regulator properties"
IEEE TAC vol ac-23, pp 378-387, 1978.
[2.9] M.A Johonson and M.J Grimble, "Recent trends in linear optimal quadratic
multivariable control System design", ŒE Proceedings vol 134, pt D, n°l, January
1987
[2.10] H . Kwakemaak and R.Sivan, Linear optimal control Systems, Wiley interscience,
1972.
[2.11] N. A Lethomaki, N.R Sandell and M . Athans, "Robustness results in linear quadratic
gaussian based multivariable control designs" IEEE TAC AC-26 pp75-93, 1981
[2.12] Y.Li and E. Bruce Lee, "A stability robustness characterization and related issues for
control Systems designs", Automatica, vol, n°2 pp479-484, 1993.
[2.13] A.G.J Mcfarlane and N.Karcanias, "Pôles and zéros of linear multivariable Systems: a
survey of algebraic, géométrie and complex-variable theory", I.J.C vol24n°l pp33-74,
1976
[2.14] M. G Safonov and M. Athans, "Gain and phase margin for multiloop LQG regulators
", IEEE TAC, vol22 ppl73-179, 1977
[2.15] U. Shaked and E . Soroka, " On the stability of the continous time LQG optimal
[2.16] G. Stein and M .Athans, 'The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control
design", IEEE TAC vol ac-32 n°2, pp 105 -114, 1987.
[2.17] M. Tahk and J.L Speyer, "Modeling of parameter variations and asymptotic LQG
Synhesis", IEEE TAC, vol32 n°9, pp793-801, 1987.
[2.18] Z.Zhang and J.S Freudenberg, "Loop transfer recovery for non-minimum phase plants",
IEEE TAC-AC35 pp547-553, may 1990
Chapitre III. Régulateurs conçus au moyen de la minimisation de
la norme //„ d'une fonction de transfert prédéfinie.
3.0 Introduction
Lors de l'étude du régulateur LQG, nous avons supposé que les erreurs commises lors
de la modélisation d'un système peuvent être représentées par des bruits blancs, gaussiens à
l'entrée et à la sortie du système réglé. L'adoption des bruits blancs pour décrire les
incertitudes est une hypothèse faite pour traduire notre ignorance complète à propos de ces
erreurs[3.2]. Notons aussi que les bruits sont toujours colorés. Cependant, on peut ramener
le modèle d'un système soumis à des bruits colorés à celui d'un système augmenté où les bruits
colorés sont considérés comme les sorties de systèmes ayant comme entrées des bruits blancs.
Par ailleurs, nous avons mis en évidence le fait que la conception de régulateurs pour
garantir la robustesse de la stabilité et celle de la performance, exige de trouver un compromis
adéquat entre les fonctions de sensibilité et de sensibilité complémentaire à l'entrée ou à la
sortie du système réglé. Dans le cas du régulateur LQG, nous n'avons pas encore montré
comment on réalise ce compromis inévitable. Nous le ferons dans le chapitre traitant du
recouvrement des fonctions de transfert.
On montre dans [3.22] que le problème de conception du régulateur LQG peut être
posé dans le domaine fréquentiel comme étant celui de minimisation de la norme d'une
certaine fonction de transfert. Le problème de conception de régulateurs au moyen de la
minimisation de la norme //„ d'une certaine fonction de transfert se distingue de la synthèse du
régulateurs LQG par les faits suivants;
a) la modélisation des incertitudes commises sur le modèle du système est faite au moyen de
bruits additionnels inconnus mais d'énergie finie. Comme l'a expliqué Zames[3.29], cette
hypothèse est plus réaliste, car en pratique, on sait que les perturbations appartiennent à une
classe donnée, mais on ignore leur densité spectrale.
b) La fonction de coût que l'on choisit est la norme d'une fonction de transfert prédefinie.
Le but recherché est la détermination du meilleur régulateur pour un système soumis à la
succès de la théorie des jeux différentiels pour résoudre les problèmes de régulation ayant
recours à la minimisation de la norme //„ d'une fonction de transfert prédéfinie,
c) La formulation du problème tient compte du compromis indispensable à faire entre les
fonctions de sensibilité et de sensibilité complémentaire. En effet le concepteur doit choisir
dès le départ les matrices de pondération fi-équentielle associées à ces fonctions afin de
satisfaire aux exigences de robustesse de la stabilité et de la performance.
Plusieurs approches sont utilisées pour traiter le problème de conception de
régulateurs permettant de minimiser la norme d'une certaine fonction de transfert. La
tendance générale consiste à les classer en deux groupes :
a) les méthodes dites fféquentielles [3.4][3.7][3.14]
b) les méthodes dites de description en variables d'état [3.5][3.9][3.18].
En réalité, cette distinction n'est qu' apparente, car les méthodes dites fréquentielles ont
recours au domaine fréquentiel pour les démonstrations mais elles utilisent parfois la
description en variables d'état pour les calculs. Quant aux méthodes dites de description en
variables d'état, elles utilisent parfois le domaine fréquentiel pour les démonstrations. Nous
n'allons pas entrer dans ce jeu de classification, mais nous nous proposons de rappeler
quelques approches qui ont été utilisées pour résoudre le problème de régulation au moyen de
la minimisation de la norme //„ d'une fonction de transfert.
Un survol des méthodes utilisées pour cette conception est présenté dans
[3.7][3.10][3.13]. Le problème de régulation//„ a été formulé au moyen du modèle de
correspondance que nous préciserons ultérieurement. A partir de ce modèle, il faut opérer
des transformations et des factorisations appropriées de manière à aboutir au problème de
Nehari. Ce dernier problème est résolu en utilisant la solution d'un problème de l'approximation
de Hankel[3.4] [3.7] [3.14]. Le problème du modèle de correspondance peut aussi se résoudre
en utilisant la théorie de l'interpolation[3.12]. Le désavantage de cette approche est qu'elle
nécessite beaucoup de calculs et conduit à un régulateur d'ordre très élevé par rapport à celui
du modèle dit généralisé du système. Ce dernier tient compte non seulement du modèle
nominal du système mais aussi de toutes les matrices de pondération introduites dans la
formulation du problème de régulation
Dans [3.5] [3.9], une présentation unifiée des régulateurs conçus au moyen de la
minimisation des normes et //„ de fonctions de transfert est présentée. L'élégance de cette
régulateur obtenu est tout au plus égal à l'ordre du modèle généralisé. Pour les
démonstrations, on se base dans[3.5] [3.9] sur les théories avancées d'analyse fonctionnelle et
des jeux différentiels. La méthode présentée dans [3.5][3.9] est limitée au modèle généralisé
dont les fonctions de transfert entre les signaux réglés et réglants d'une part, et entre les
signaux mesurés et de perturbations d'autre part, n'ont ni zéros ni pôle sur l'axe imaginaire.
Dans[3.25] [3.21], on présente une méthode plus générale et on utilise la théorie des Jeux et
les méthodes géométriques. Dans [3.18][3.23] et [3.27], on montre que les résultats obtenus
dans [3.5] et [3.9] peuvent s'obtenir en faisant appel à des manipulations purement
algébriques. On exploite les propriétés des fonctions strictement réelles bornées. Dans notre
travail, nous présenterons le problème de conception de régulateurs minimisant la norme //„
d'une fonction de transfert prédéfinie en adoptant l'approche exposée dans[3.18][3.23]et[3.27].
Pour cela, nous aurons besoin du lemme strictement borné réel que nous présentons dans la
section suivante.
3.1 Fonctions réelles bornées
Définition 3.1 [3.2]
Soit Z(s) une matrice rationnelle réelle fonction de la variable complexe s. Z(s) est dite bornée
réelle si :
i) Tous les éléments de Z(s) sont analytiques dans 91e(s) > 0
n)I - Z‘ (-ycû)Z(yco) >0 V© e
Définitions.! [3.1]
Z(s) est dite strictement bornée réelle si la condition i) de la définition 3.1 est satisfaite et,
dans ii), l'inégalité stricte est vérifiée.
Définition 3.3 [3.18]
Considérons l'équation de Riccati suivante;
Pour 2 > 0 et /? > 0, A' = A" > 0 est dite solution stabilisante de (3.0) si la matrice A + RX a
toutes ses valeurs propres dans le demi-plan de gauche.
Dans la suite, nous allons nous intéresser au lemme réel borné ou réel strictement
borné. Le but du lemme réel borné ou réel strictement borné est d'exprimer le lien entre la
propriété que possède Z(s) d'être réelle bornée ou strictement bornée et sa description en
variables d'état.
Considérons une fonction de transfert Z{s) décrite par sa description en variable d'état :
x= Ax +Bu (3.1)
II
(3.2)
Z(s) = dsl - A)~^B (3.3)
Lemme 3.1[3.1][3.18]
Pour Z(s) définie par (3.3), les propositions suivantes sont équivalentes:
i) A a toutes ses valeurs propres dans le demi-plan de gauche et
||C(5/-/!)■'^IL <1 (3.4)
ii) il existe P = P' >0 tel que
A'P + PA + PBB‘P + CC<0 (3.5)
iii) L'équation de Riccati suivante:
A'P + PA + PBB'P + CC = 0 (3.5a)
admet une solution P = P' >0 stabilisante. En plus si ces propositions sont satisfaites on a :
P<P
Cette relation signifie que P-P est une matrice définie positive.
Le lemme 3.1 est celui qu'on appelle lemme réel strictement borné [3.1]. La
démonstration du lemme réel borné et réel strictement borné est donné dans [3.1] pour le cas
où (A, B,C)est une réalisation minimale et dans [3.18] dans le cas où (A, B,C) n'est pas
nécessairement minimale. Le cas où Z(s) est une fonction de transfert propre peut se ramener
au cas d'une fonction de transfert strictement propre en utilisant les résultats contenus dans
3.2 Conception de régulateurs permettant la minimisation de la norme
d'une fonction de transfert.
3.2.0 Formulation du problème de conception de régulateurs par minimisation de la
norme d'une fonction de transfert.
Nous allons considérer le cas général représenté à la figure 3.1 où Les signaux représentés
sont :
Z : le vecteur des signaux réglés
w. le vecteur de perturbations satisfaisantllw'lj < 1
y : le vecteur de mesures
U
; le vecteur des signaux réglants
Les fonctions de transfert représentées sont :
P(s) : le modèle généralisé du système c.à.d contenant non seulement le modèle nominal du
système mais aussi toutes les matrices de pondération introduites pour tenir compte
des spécifications de la robustesse de la stabilité et de la performance. On montre
ultérieurement à partir des exemples comment obtenir un tel modèle.
K{s) : est le régulateur à déterminer
Le problème de la régulation consiste à déterminer un régulateur K{s) qui assure la
stabilité du système de régulation et qui minimise
sup ij—ü
Ih-1jSi IMI (3.6)
Très souvent on se contente de rechercher un régulateur sous-optimal c.à.d K{s), une fonction
de transfert pour laquelle
(3.7)
où y est nombre positif réel. Résoudre (3.7) est équivalent à trouver K{s) tel que :
ll^xwlL < Y
où 7^ est la fonction de transfert entre Z et W.
En adoptant la partition suivante pour P :
(3.9)
t„ = p„+p„{i-kpJ'kp„ (3.10)
Pour résoudre le problème posé au moyen de (3.8) et (3.10), on le transforme d'abord en un
problème du modèle de correspondance [3.7]. La figure 3.2 donne le schéma correspondant à
ce problème. Pour 7^, , et stables, on doit déterminer Q e RH^ tel que:
1^1
“ ^20^1 IL niinimun (3.11)
Comme annoncé dans l'introduction, nous n'allons pas poursuivre cette approche. Nous allons
donner une méthode permettant de déterminer K{s) à partir du modèle généralisé P{s)
représenté par sa description en variables d'état. Avant cela, nous allons donner deux
exemples qui montrent comment l'on peut passer des problèmes formulés au moyen des
schémas classiques au problème de la figure 3.1.
Exemple 3.1: Minimisation de la fonction de sensibilité à la sortie
Considérons le schéma de la figure 3.3, l'objectif poursuivi est de réduire l'influence de la
perturbation w sur la sortie mesurée.
G : est le modèle nominal du système
: est une matrice de pondération fréquentielle préalablement choisie. Elle permet
de donner le spectre de toutes les perturbations admissibles.
K(s) : est le régulateur à déterminer
U
: est le signal réglant
En adoptant le schéma de la figure 3.1, le modèle généralisé du système est donné par :
Z
+G'
.y. +G._l/_ (3.12)
Pour ce cas , nous avons :
P(s) = W, +G
+G. (3.13)
On trouve:
z{s) = y{s) = {I + GK)-'W,w (3.15)
Donc :
T^ = {I + GKyW, (3.16)
Avec S„ = (I + GK)“', la fonction de sensibilité à la sortie. Le problème de la régulation //„
revient à déterminer le régulateur K{s) qui stabilise le système et permet de garantir que :
lk^lL<Y (317)
Le problème de la rejection des perturbations à la sortie est exprimé au moyen de la
minimisation de la norme //„ de la fonction de sensibilité pondérée par . C'est ce cas qui
avait retenu l'attention de Zames[3.29], lors de l'introduction de la minimisation de la norme
d'une fonction de transfert dans la conception des régulateurs. De (3.17), on déduit
successivement;
llco
(3.18)
Donc le choix de permet de fixer un seuil à la fonction de sensibilité à la sortie. Résoudre
(3.17) revient donc à satisfaire aux exigences de la performance nominale tel qu'exposées dans
1.3.3.1.
Exemple 3.2 ; Minimisation d'une fonction de transfert définie au moyen des fonctions de
sensibilité et de sensibilité complémentaire.
Nous considérons le schéma de la figure 3.4, nous supposons que l'on désire que : .
1. La sortie mesurée y ne s'écarte pas trop de la référence r
2. le signal réglant garde une amplitude admissible
3. la stabilité soit maintenue malgré la perturbation à la sortie W^w aveclln'lj < 1
La matrice de pondération traduit notre connaissance sur le spectre des perturbations
admissibles. Les matrices et traduisent notre connaissance a priori des exigences de la
robustesse de la stabilité et de la performance, comme on le verra ultérieurement. Le choix de
ces matrices dépend du problème à résoudre et nous allons les considérer comme des données
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Capital de risco
(páginas 32-36)