R r L
H
n L
O b
2
O teorema de Pitágoras e a pirâmide regular
Em uma pirâmide regular, sejam: H a altura; n a medida do apótema da pirâmide; r a medida do apótema da base; b a medida de uma aresta da base; L a medida de uma aresta lateral; R o raio da circunferência circunscrita à base.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
M apótema da base
ponto médio V
O
apótema da pirâmide
Se um plano secciona uma pirâmide P, de altura D e área da base B, a uma distância d do vértice tal que a secção transversal tenha área b, então:
pirâmide P
pirâmide P
altura do tronco
base maior do tronco
tronco de pirâmide base menor
do tronco
b __ B 5
@
__ Dd#
2D
B
d b
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Suplemento de revisão MATEMÁTICA1. (UFPel-RS) No México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema da armazenagem da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base circular de alvenaria.
A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.
No Vestibular
Geometria métrica: poliedros
Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:
a) 90 arestas e 60 vértices.
b) 86 arestas e 56 vértices.
c) 90 arestas e 56 vértices.
d) 86 arestas e 60 vértices.
e) 110 arestas e 60 vértices.
f) I.R.
2. (UFSCar-SP) O triângulo ABE e o quadrado ABCD estão em planos perpendiculares, conforme indica a figura.
Se EA 5 3 e AB 5 5, então ED é igual a:
a) dlll 24 c) 3 dll 3 e) dlll 34 b) 5 d) 4 dll 2
4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrada ABCD de lado 1 e altura EF 5 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e a a medida do ângulo AGB, então cos a vale:
a) 1 __
2 b) 1 __
3 c) 1 __
4 d) 1 __
5 e) 1 __
6 5. (Uerj) Leia os quadrinhos:
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo reto-retângulo.
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
6. (Unifor-CE) A peça de ferro abaixo foi obtida de um pa-ralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, com a retirada de quatro cubos iguais de aresta 10 cm.
a) A c) C e) E
b) B d) D
3. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendi-cular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADCG, e finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice:
Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, então a massa dessa peça, em quilograma, é:
a) 187,2 c) 171,6 e) 156
b) 179,4 d) 163,8 E
A D C B
G
E D
A B
C
A B
C G
E
F D
40 cm
20 cm
30 cm 100 cm
60 cm 40 cm
70 cm figura 1
(O Globo, março 2000)
2010 KING FEATURES SYNDICATE/IPRESS
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7. (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.
Se numa região de 10 km2 de área ocorreu uma precipita-ção de 5 cm, quantos litros de água foram precipitados?
a) 5 # 107 um tetraedro inscrito em um cubo de aresta 3. O volume do tetraedro é:
A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios isósceles.
Se d 5 dll 2 , a razão entre o volume de água e o volume
a) Calcule a altura AB do livro.
b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.
11. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura 3 ____ dll 6
2 cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule:
a) o volume da pirâmide.
b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide.
12. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que suas arestas medem AB 5 10, DC 5 6, AD 5 4 e AE 5 10.
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Suplemento de revisão MATEMÁTICAO volume do octaedro regular é o dobro do volume de uma pirâmide reta quadrangular regular com diagonal da base igual a c e altura igual a c __
paralelepípedo reto-retângulo, em centímetro, temos:
S 5 a 1 b 1 c ] S2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2(ab 1 bc 1 ac) } S2 5 21 1 28 ] S 5 7
Alternativa a.
No :EHM: (MH)2 5 (EM)2 1 (EH)2 ] MH 5 3 dll 5 Sendo O o centro da base hexagonal da pirâmide, temos que o segmento OM e os lados da base da pirâmide possuem medida igual a 3 dll 2 cm. No :MHO, temos:
numericamente igual à soma do número de faces com o número de vértices do cubo: 6 1 8 5 14 b) O volume dos 8 tetraedros trirretângulos é dado por:
a32 5___ a3
Exercício 14Exercício 15Exercício 17Exercício 16Exercício 18
Sejam A, B e C os pontos de intersecção entre os lados do tetraedro trirretângulo e o bordo do copo. Esses pontos são vértices de um triângulo equilátero.
Assim, como o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é igual a 2 dll 3 cm, seu lado a mede:
a dll 3 ____
2 5 3 dll 3 cm ] a 5 6 cm
Sendo x a medida das arestas que formam o ângulo triédrico trirretângulo, temos: x dll 2 5 6 cm ] x 5 3 dll 2 cm Portanto, o volume da parte do cubo que está no interior do copo é:
15. (FEI-SP) Num paralelepípedo reto-retângulo a área total mede 28 cm2 e a diagonal, dlll 21 cm. A soma das dimensões mede:
a) 7 cm c) 9 cm e) 12 cm
b) 8 cm d) 10 cm
16. (Unifesp) Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a . 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 , x < __ a
2 , a aresta lateral das pirâmides cortadas.
17. (UFU-MG) Na figura ao lado, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a 5 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.
Determine o volume da pirâmide de base hexago-nal IJKLMN e vértice H.
F M a) Dê o número de faces do poliedro construído.
b) Obtenha o valor de x, 0 , x < __ a
2 , para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do
volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base equilateral, é ___ x
dll 3 .
18. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:
r apenas um vértice do cubo parte do cubo que ficou no interior do copo.