R r L

H

n L

O b

2

O teorema de Pitágoras e a pirâmide regular

Em uma pirâmide regular, sejam: H a altura; n a medida do apótema da pirâmide; r a medida do apótema da base; b a medida de uma aresta da base; L a medida de uma aresta lateral; R o raio da circunferência circunscrita à base.

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

M apótema da base

ponto médio V

O

apótema da pirâmide

Se um plano secciona uma pirâmide P, de altura D e área da base B, a uma distância d do vértice tal que a secção transversal tenha área b, então:

pirâmide P

pirâmide P

altura do tronco

base maior do tronco

tronco de pirâmide base menor

do tronco

b __ B 5

@

__ Dd

#

2

D

B

d b

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Suplemento de revisão MATEMÁTICA

1. (UFPel-RS) No México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema da armazenagem da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base circular de alvenaria.

A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.

No Vestibular

Geometria métrica: poliedros

Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:

a) 90 arestas e 60 vértices.

b) 86 arestas e 56 vértices.

c) 90 arestas e 56 vértices.

d) 86 arestas e 60 vértices.

e) 110 arestas e 60 vértices.

f) I.R.

2. (UFSCar-SP) O triângulo ABE e o quadrado ABCD estão em planos perpendiculares, conforme indica a figura.

Se EA 5 3 e AB 5 5, então ED é igual a:

a) dlll 24 c) 3 dll 3 e) dlll 34 b) 5 d) 4 dll 2

4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrada ABCD de lado 1 e altura EF 5 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e a a medida do ângulo AGB, então cos a vale:

a) 1 __

2 b) 1 __

3 c) 1 __

4 d) 1 __

5 e) 1 __

6 5. (Uerj) Leia os quadrinhos:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo reto-retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

6. (Unifor-CE) A peça de ferro abaixo foi obtida de um pa-ralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, com a retirada de quatro cubos iguais de aresta 10 cm.

a) A c) C e) E

b) B d) D

3. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendi-cular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADCG, e finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice:

Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, então a massa dessa peça, em quilograma, é:

a) 187,2 c) 171,6 e) 156

b) 179,4 d) 163,8 E

A D C B

G

E D

A B

C

A B

C G

E

F D

40 cm

20 cm

30 cm 100 cm

60 cm 40 cm

70 cm figura 1

(O Globo, março 2000)

2010 KING FEATURES SYNDICATE/IPRESS

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7. (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.

Se numa região de 10 km2 de área ocorreu uma precipita-ção de 5 cm, quantos litros de água foram precipitados?

a) 5 # 107 um tetraedro inscrito em um cubo de aresta 3. O volume do tetraedro é:

A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios isósceles.

Se d 5 dll 2 , a razão entre o volume de água e o volume

a) Calcule a altura AB do livro.

b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.

11. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura 3 ____ dll 6

2 cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule:

a) o volume da pirâmide.

b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide.

12. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que suas arestas medem AB 5 10, DC 5 6, AD 5 4 e AE 5 10.

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Suplemento de revisão MATEMÁTICA

O volume do octaedro regular é o dobro do volume de uma pirâmide reta quadrangular regular com diagonal da base igual a c e altura igual a c __

paralelepípedo reto-retângulo, em centímetro, temos:

S 5 a 1 b 1 c ] S2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2(ab 1 bc 1 ac) } S2 5 21 1 28 ] S 5 7

Alternativa a.

No :EHM: (MH)2 5 (EM)2 1 (EH)2 ] MH 5 3 dll 5 Sendo O o centro da base hexagonal da pirâmide, temos que o segmento OM e os lados da base da pirâmide possuem medida igual a 3 dll 2 cm. No :MHO, temos:

numericamente igual à soma do número de faces com o número de vértices do cubo: 6 1 8 5 14 b) O volume dos 8 tetraedros trirretângulos é dado por:

a32 5___ a3

Exercício 14Exercício 15Exercício 17Exercício 16Exercício 18

Sejam A, B e C os pontos de intersecção entre os lados do tetraedro trirretângulo e o bordo do copo. Esses pontos são vértices de um triângulo equilátero.

Assim, como o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é igual a 2 dll 3 cm, seu lado a mede:

a dll 3 ____

2 5 3 dll 3 cm ] a 5 6 cm

Sendo x a medida das arestas que formam o ângulo triédrico trirretângulo, temos: x dll 2 5 6 cm ] x 5 3 dll 2 cm Portanto, o volume da parte do cubo que está no interior do copo é:

15. (FEI-SP) Num paralelepípedo reto-retângulo a área total mede 28 cm2 e a diagonal, dlll 21 cm. A soma das dimensões mede:

a) 7 cm c) 9 cm e) 12 cm

b) 8 cm d) 10 cm

16. (Unifesp) Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a . 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 , x < __ a

2 , a aresta lateral das pirâmides cortadas.

17. (UFU-MG) Na figura ao lado, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a 5 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.

Determine o volume da pirâmide de base hexago-nal IJKLMN e vértice H.

F M a) Dê o número de faces do poliedro construído.

b) Obtenha o valor de x, 0 , x < __ a

2 , para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do

volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base equilateral, é ___ x

dll 3 .

18. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:

r apenas um vértice do cubo parte do cubo que ficou no interior do copo.

No documento FUNÇÃO AFIM LP. Organizador da obra Caderno de Revisão MATEMÁTICA. Editor(es) responsável(eis) Juliane Matsubara Barroso, Angélica Pizzutto Pozzani (páginas 69-72)