O Teorema fundamental do cálculo

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Vamos demonstrar o teorema fundamental do cálculo utilizando o conceito de limite, antes admitiremos o seguinte resultado.

Teorema do valor médio para integrais:

Seja a função f contínua no intervalo [x0, x1], então

existe um ξ ∈ [x0, x1] , tal que

´x1

x0 f (x) dx = f (ξ) 4x

4x = x1− x0.

E mais, sendo f contínua no intervalo [x0, x1], então existem ξ1 e ξ2 ∈ [x0, x1]

tais que:

f (ξ1) 4x <

´x1

x0 f (x) dx, conforme Fig.6.7,

Fig.6.7. Área menor que a área delimitada pela curva.

Suponha que o ponto se mova sobre a curva, também é verdade que existe um ξ2 ∈ [x0, x1], tal que:

´x1

x0 f (x) dx < f (ξ2) 4x, conforme Fig.6.8,

Observemos que movendo o ponto (ξi, f (ξi)) para ξi ∈ [x0, x1] e mantendo a

base dos retângulos igual a x1 − x0, temos que a área f (ξi) (x1− x0) delimita a área

abaixo da curva y = f (x) no intervalo [x0, x1], ou seja, vale a desigualdade que segue,

onde f (ξm) e f (ξn) são os valores máximos e mínimos, respectivamente, atingidos por

y = f (x)para ξm e ξn no intervalo [x0, x1].

f (ξn) 4x <

´x1

x0 f (x) dx < f (ξm) 4x.

É intuitivo acreditar que existe, pela continuidade de f (x), um ponto ξ ∈ [x0, x1], tal que,

´x1

x0 f (x) dx = f (ξ) 4x, conforme Fig.6.9.

Fig.6.9. Área igual a área delimitada pela curva. A partir do resultado anterior, podemos mostrar que d

dx

´x

x0f (t) dt = f (x).

De fato, consideremos a Fig.6.10.

Fig.6.10. Teorema fundamental do cálculo. Do que foi feito anteriormente, segue o seguinte resultado:

Seja o intervalo [x, x + 4x]. Pelo teorema do valor médio para integrais e da Fig.6.10, temos que:

´x+4x

x f (t) dt = f (ξ) 4x, para ξ ∈ [x, x + 4x].

Seja F (x) =´x

x0f (t) dt. Desta igualdade, podemos escrever

F (x + 4x) =´_xx+4x

0 f (t) dt.

F (x + 4x) − F (x) =´_xx+4x

0 f (t) dt −

´x

x0f (t) dt.

Do fato de x estar no intervalo [x0, x + 4x], podemos escrever

´x+4x x0 f (t) dt = ´x x0f (t) dt + ´x+4x x f (t) dt.

Substituindo na igualdade anterior, obtemos F (x + 4x) − F (x) =´_xx 0f (t) dt + ´x+4x x f (t) dt − ´x x0f (t) dt F (x + 4x) − F (x) =´_xx+4xf (t) dt. Como´x+4x

x f (t) dt = f (ξ) 4x, para ξ ∈ [x, x + 4x], segue que

F (x + 4x) − F (x) =´_xx+4xf (t) dt = f (ξ) 4x. Dividindo por 4x, obtemos F (x+4x)−F (x)

4x = f (ξ).

Tomando o limite com 4x → 0, podemos escrever lim

4x→0

F (x+4x)−F (x)

4x = lim_4x→0f (ξ)

ξ → x com 4x → 0, o que nos fornece lim

4x→0

F (x+4x)−F (x)

4x = f (x), que pode ser escrito como

• dF (x)_dx = _dxd ´_xx

0f (t) dt = f (x).

Do que foi feito anteriormente, temos que ´x1

x0 f (t) dt = F (x1) − F (x0).

De fato, dado que F (x) =´x

x0f (t) dt, obtemos F (x1) = ´x1 x0 f (t) dt F (x0) = ´x0 x0 f (t) dt = 0 (denição de integral).

Subtraindo as duas igualdades anteriores, podemos escrever ´x1

x0 f (t) dt = F (x1) − F (x0).

Em resumo, neste último capítulo abordamos os conceitos do cálculo a partir da denição de limite. Esta denição veio para tomar o lugar das grandezas innitamente pequenas, dando sentido a estas e as teorias desenvolvidas pelos matemáticos anteriores. A partir de Cauchy e Weierstrass, o cálculo se torna uma ferramente rigorosa. Suas abordagens a respeito dos conceitos de derivadas e integrais, a partir do conceito de limite, tornaram as teorias estudadas neste trabalho nos primeiros capítulos aceitáveis, visto que se trocarmos as grandezas innitesimais, usadas por Fermat, Newton e Leibniz, pela denição de limite de Cauchy, o que faríamos nada mais é que, ao invés de desprezar estas grandezas, tomar o limite quando elas tendem a zero. Por exemplo, no método de quadratura de Fermat quando zemos a razão q innitamente próxima de um, o que

tomamos na verdade é o limite quando esta razão tende a um. Vale o mesmo para o método da tangente de Fermat e dos demais matemáticos.

Por m, podemos concluir armando que Cauchy e Weierstras zeram pelo cálculo o que Euclides fez pela matemática de sua época.

Considerações nais

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Neste trabalho, através dos matemáticos Arquimedes, Fermat, Newton, Leib- niz, Cauchy e Weierstrass, discutimos os conceitos do cálculo seguindo a ordem histórica em que ele foi desenvolvido. Abordando geometricamente os conceitos de integral, deri- vada, limite e continuidade.

Vimos que o cálculo surge de problemas geométricos como a quadratura do círculo e da parábola (Arquimedes), o problema geométrico do traçado de tangentes, o cálculo de máximos e mínimos, o cálculo da área delimitada por uma curva pelo método da exaustão e de retângulos circunscritos ou inscritos a uma curva.

Percebemos a necessidade da elaboração do conceito de limite, que substitui o argumento dos innitésimos (grandezas innitamente pequenas).

Nosso trabalho focou na construção geométrica dos problemas do cálculo, como vimos no Capítulo 1 com os paradoxos de Zeno e o método da exaustão de Exudoxo, utilizado por Arquimedes, e no Capítulo 2 com Fermat. Nos Capítulos 3 e 4 vimos um tratamento algébrico dado por Newton e Leibniz ao conceito de derivada e integral. Pudemos conhecer um pouco do método de cada um, e interpretamos estes métodos de forma geométrica.

Estendemos o método de Fermat a outras curvas, além das parábolas e hipér- boles superiores de Fermat, através da representação por série de potências. Percebemos como estes conceitos deram origem ao que hoje conhecemos como cálculo diferencial e integral. Fermat basicamente deu, aos matemáticos subsequentes, as ferramentes neces- sárias para trabalharem os conceitos do cálculo. Estes conceitos foram discutidos no Capítulo 3, com o método das uxões de Newton, que é equivalente ao método de Fermat para encontrar a tangente a uma curva, e as regras de quadratura descritas por Newton. Em ambos os casos, os conceitos de tangente e de quadratura não tiveram uma notação adequada, o que ocorreu somente com Leibniz, como vimos no Capítulo 4.

Com a notação para a diferencial de uma grandeza dy, dx, dz, etc, foi possível realizar os cálculos, em relação a encontrar a tangente a uma curva, de forma mais simples, o que não havia ocorrido nos capítulos anteriores. Isso se deve ao fato de serem verdadeiras as propriedades operacionais referentes aos cálculos com as diferenciais de Leibniz.

Em relação aos métodos de quadratura e tangentes, Leibniz foi mais feliz ao empregar as notações de diferenciais e somatórios através do operador diferencial d e integral´. Devido a notação empregada no Capítulo 4, tivemos um maior entendimento a respeito do teorema fundamental do cálculo, uma vez que o operador diferencial d é o inverso do operador integral ´.

A notação de diferencial de ordem superior, empregada por Leibiniz, faz surgir um novo conceito de derivada, a derivada de ordem fracionária, que veio para tentar explicar o signicado do operador dn

dxn para n racional, disto surge o conceito de cálculo

fracionário. Tivemos a oportunidade de discutir, de forma supercial, esta teoria através das denições de derivada fracionária de Lacroix e Riemann-Liouville, e a denição de integral fracionária de Riemann-Liouville. Terminando, nossa discussão, com a resolução dada por Abel para o problema da curva tautócrona, mostrando que a solução encontrada é uma curva cilcoide.

Discutimos a teoria do cálculo nos cinco primeiros capítulos, tomando como base as grandezas innitamente pequenas, ou as diferenciais innitamente pequenas de Leibniz. Esta era a grande diculdade da aceitação do cálculo até o m do século XVIII e meados do século XIX.

Por m, concluímos nosso trabalho discutindo os conceitos do cálculo desen- volvidos no século XIX por Cauchy e Weierstrass. Vimos que neste século deu-se a conso- lidação dos conceitos de derivada e integral a partir da denição de limite e continuidade de uma função. A partir de então toda a falta de rigor, devido ao uso constante das grandezas innitamente pequenas, pode ser desfeita com o conceito de limite. Este novo conceito do cálculo tornou as operações realizadas anteriormente válidas e consistentes. Nesta parte do trabalho abordamos a demonstração do teorema fundamental do cálculo de forma geométrica utilizando a denição de derivada de Cauchy.

Ressaltamos, ainda, as seguintes contribuições, dadas nesse trabalho por nós, no que diz respeito aos conceitos do cálculo desenvolvidos no séc. XVII:

• Generalizações do método da tangente de Fermat, de Newton e de Leibniz, e suas propriedades, equivalentes as propriedades da derivada de uma função;

• A equivalência entre os métodos da tangente de Fermat, de Newton e de Leibniz;

•Aplicação do método da tangente de Fermat para encontrar uma aproxima- ção em série de potências de uma curva dada por y = f (x);

• Propriedades do método de quadratura de Fermat, e sua aplicação na qua- dratura de curvas representadas por série de potências;

•Uma nova abordagem do método de quadratura de Fermat utilizando trapé- zios circunscrito, e não retângulos como feito por ele;

• Aplicação do método de quadratura de Fermat no cálculo da área de uma região plana delimitada entre duas curvas e do volume de um sólido gerado pela rotação desta região em torno de um dos eixos coordenados;

•Uma abordagem inicial do teorema fundamental do cálculo (relação entre o método da tangente e o da quadratura de Fermat);

• Resolução de uma equação diferencial utilizando os métodos da tangente e de quadratura de Fermat.

Podemos concluir armando que o cálculo diferencial e integral se baseia em três pilares, a saber:

1. Denição de limite (substituindo os innitésimos); 2. O cálculo da tangente a uma curva (derivada); 3. O cálculo da área (quadratura) delimitada por uma curva, ou comprimento de arco (integral).

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