-
Abordaremos os conceitos de quadratura de Newton para o cálculo da área delimitada por uma curva e a reti cação de arcos. No primeiro caso, Newton descreve três regras (análogas ao método de quadratura de Fermat), enquanto na reti cação de arcos, Newton relaciona o uxãos· do comprimento de arco com as uxões x· ey· através da igualdades (t) =· q · x2(t) +y·2(t) ou · s · x = r 1 + · y · x 2 . Regra I: Se axm
n = y, então a área delimitada por esta curva é dada por
m m+nax
m+n n ;
Regra II: Se y = y1+ y2, então a área delimitada por esta curva é dada
pela soma das áreas de cada curva yi = fi(x) (i = 1;.2);
Regra III: Se y =P∞
n=0
anxn, então a área delimitada por esta curva é
dada pelas regras anteriores. A Regra I falha no caso em que m
n = −1, ou, de forma equivalente m = −n,
pois teremos algo da forma m 0ax
0 = ∞. Nos demais casos (m 6= −n) a regra funciona
como no método de quadratura de Fermat. Observe que esta regra é exatamente a que foi encontrada pelo método de quadratura de Fermat. Também, observamos que as outras
duas são consequências da primeira, guardadas as devidas hipóteses do método de Fermat, podemos demonstrar suas validades pelo método de Fermat.
A Regra II é verdadeira se as áreas forem nitas. Por exemplo, se tivermos a curva y = ax−1 + bxm
n, a segunda regra não pode ser aplicada, pois teríamos como
resultado uma área dada por 1 0ax
0+ m m+nbx
m+n n .
Poderíamos representar a curva ax−1 = a
x por uma série de potência deslocada
da origem, e assim realizar a quadratura com a Regra II.
Entretanto, a Regra III pode ser aplicada a qualquer curva que possa ser representada por uma série de potência. Como exemplos desta regra, Newton toma as curvas y = a2
b+x e y =
√
a + x2, que são representadas, respectivamente, pelas séries ∞ P n=0 (−1)n abn+12xn + . . . a+ ∞ P n=1 1 2(− 1 2)(− 3 2)(− 5 2)(− 7 2)...( 3−2n 2 ) n! x2n a2n−1 − . . ..
As áreas são dadas pelas séries: QNx 0 a2 b+x = ∞ P n=0 (−1)nn+11 a2bxn+1n+1 + . . .; QNx 0 √ a + x2 = ax+ ∞ P n=1 1 2(− 1 2)(− 3 2)(− 5 2)(− 7 2)...( 3−2n 2 ) n! 1 2n+1 x2n+1 a2n−1 − . . .
Junto com as três regras descritas anteriormente, Newton propõe algumas curvas. Por exemplo, para a Regra II ele toma a curva y = x2+x−2. Se utilizarmos a regra
sem nenhuma restrição, obteremos como resultado a área dada por F (x) = 1 3x
3− x−1.
Entretanto, como observado por Newton [4], quando tomamos x bem próximo de zero, a área, assim como a curva que deu origem a esta, tornam-se in nitas, assim como para x in nitamente grande. Neste caso só podemos encontrar a área em um intervalo [a, b], com a 6= 0e b 6= 0. Para realizarmos estes cálculos, Newton indica o seguinte procedimento:
Calculamos a área QNb 0 (x
2) sob a curva y
1 = x2 no intervalo [0, b] e a
área QNb∞(x−2) sob a curva y2 = x−2 no intervalo [b, ∞];
Calculamos a área QNa 0 (x 2) sob a curva y 1 = x2 no intervalo [0, a] e a área QN∞ a (x −2) sob a curva y 2 = x−2 no intervalo [a, ∞]. A área QNb a(x 2+ x−2)sob a curva y = y
1+ y2 no intervalo [a, b] é dada por
QNb 0(x 2) − Q Nb∞(x−2) −QNa 0 (x 2) − Q N∞ a (x −2) .
De fato, vamos aplicar a quadratura no intervalo [a, b], obtendo assim uma função F (x) tal que a área requerida é dada por F (b) − F (a). Disso segue que podemos escrever essa área como QNb
a(x 2+ x−2) = 1 3b 3− 1 b − 1 3a 3+ 1 a.
Observando que QNb 0(x
2) − Q
Nb∞(x−2) = 13b3 − 1b, também é verdade que
QN0a(x 2) − Q N∞ a (x −2) = 1 3a 3− 1
a, podemos escrever a quadratura da curva y = x
2+ x−2 como QNb a(x 2+ x−2) = Q Nb 0 (x 2) − Q N∞ b (x −2) −Q Na 0 (x 2) − Q N∞ a (x −2) . Tomando o intervalo [1, 2], obtemos a área igual a
QN2 1 (x 2+ x−2) = 8 3 − 1 2 − 1 3 + 1 = 17 6 u.a.
Newton não desenvolve um método próprio, mas apenas descreve regras para que possam ser realizadas as quadraturas de diversas curvas.
A demonstração da Regra I pode ser feita como segue (um pouco diferente da forma como Newton descreve a sua demonstração em [5]).
Considere z área AABD\ delimitada pela curva y = f (x), Fig.3.3.
Fig.3.3. Quadratura da curva y = f (x) - Regra I de Newton. Suponhamos z = n
m+nax
n+m
n com a 6= 0 e seja o um acréscimo in nitamente
pequeno em AB. Da Fig.3.3 obtemos as seguintes relações: Ae
BβHK = ov, acréscimo de área; AAβδd
∼
= AABD\+Ae
BβHK = z+ov; Aβ = x+o.
Reescrevendo z = n m+nax n+m n como zn = n m+na n
xm+n. Esta última relação pode ser escrita como
zn= kxm+n, onde k = n m+na
n .
Substituindo z por z + ov e x por x + o na igualdade anterior, e utilizando o binômio de Newton, chegamos à seguinte relação
(z + ov)n = k (x + o)n+m n P i=0 n i ! zn−i(ov)i = k n+m P j=0 n + m j ! xn+m−joj. Para i e j iguais a 0 e 1,
zn+ nzn−1(ov) + n P i=2 n i zn−i(ov) i kxn+m+ kxn+m−1o+n+mP j=2 n + m i xn+m−i(o) i .
Substituindo esses termos na igualdade original e cancelando zne kxn+m, pois
são iguais, e depois dividindo cada termo por o e desprezando os termos que ainda são multiplicados por o, obtemos a igualdade
nvzzn = (m + n)kxn+mx .
Da relação zn = kxm+n, obtemos, por simpli cação, a igualdade
v = (m+n)n xz.
Substituindo z = n m+nax
n+m
n obtemos a curva dada por v = ax m
n.
O resultado anterior foi demonstrado pelo método da quadratura de Fermat. Ele nos mostra a relação entre o traçado da reta tangente a uma curva e o cálculo da área delimitada pela mesma. Esta relação cará mais clara fazendo os cálculos pelo método das uxões. Observe que se colocarmos no lugar de `o', xo· (momento do uente x) ezo· (momento do uente z), obteremos os aumentos nos uentes dados por x +xo· e z +zo· . Substituindo, como feito anteriormente, nos lugares de z e de x na relação z = n
m+nax n+m n , obtemos z· · x = ax n
m. Esta é uma relação entre as uxões, ou seja, diretamente relacionada
a resolução do Problema 1 proposto por Newton. Para voltarmos à relação dada entre os uentes, sabendo a relação anterior, procedemos como no caso particular de solução do Prolema 2, como segue:
Primeiro escrevemos a relação z·
·
x = ax
n
m como
·
z = axx· mn. Feito isto, proce-
demos como descrito na Tabela 2, fazemos z·z·
z e a x (n m+1) · x ·
xxmn, obtendo a relação entre os
uentes dada por z = n (m+n)ax
n+m m .
O que mostramos, através de um exemplo, assim como feito na primeira parte deste capítulo com Fermat, foi que os dois problemas propostos por Newton se relacionam da seguinte forma: F (x, y) = 0ou y = F (x) é a solução de f x,· y, x, y· = 0 ou · y · x = f (x); · y · x = f (x, y) é a tangente à curva F (x, y) = 0 ou y = f (x).
Esta relação nada mais é que o teorema fundamental do cálculo, que podemos escrever como F (x) = QN · y · x = QN{TN[F (x)]}, ou ainda na forma · y · x = TN h QN · y · x i = TN{QN[f (x)]}.
Ainda não possuímos ferramentas matemáticas su cientes para demonstrar de forma rigorosa o teorema fundamental do cálculo, mas intuitivamente podemos utilizá-lo nas curvas que estamos trabalhando, uma vez que é válida essa relação, tanto pelo método de Fermat, como pelo de Newton, como já vimos.
O cálculo de integrais pode ser utilizado como método de quadratura (cálculo de área), tanto como para reti cação de arcos. Estes dois problemas são reduzidos por Newton ao problema de encontrar a relação entre os uentes, dada a relação entre as uxões. E como sabemos nem sempre é possível encontrar a curva solução do Problema 2. Veremos que o uso de séries de potências é uma ferramenta fundamental para se encontrar a curva solução na forma de série.
Consideremos a curva y = F (x), onde y = y (t) e x = x (t), são uentes no tempo. Seja s (t) o comprimento de arco (ou comprimento da curva y = F (x)) percorrido pelo ponto P = (x (t) , y (t)) em um determinado intervalo de tempo [t0, t]. Podemos
interpretar o uxão s (t)· como sendo a velocidade com que o ponto P se move de t0 à t,
Fig.3.4.
Fig.3.4. Reti cação de arcos. Sejam x (t)o· ,
·
y (t)o e
·
s (t)o os momentos das uxões. Do triângulo retângulo em destaque, obtemos h· s (t) oi 2 =hx (t) o· i 2 +hy (t) o· i 2 . Dividindo porx (t) o· 2
, camos com a relação
· s · x = r 1 + · y · x 2 .
Dessa relação encontramos que o comprimento de arco é dado por s = QNb a h· s · x i = QNb a "r 1 + · y · x 2 # .
Exemplo 3.16: Calculemos o comprimento de arco, pelo método de quadratura de Newton, da curva y = x2
s = QNx 0 √ 1 + x2 s = x+ ∞ P k=0 1 2(− 1 2)(− 3 2)(− 5 2)(− 7 2)...( 3−2k 2 ) k! 1 2k+1x 2k+1.
Para x = 1, o comprimento do arco s é dado pela série s = 1+ ∞ P k=0 1 2(− 1 2)(− 3 2)(− 5 2)(− 7 2)...( 3−2k 2 ) k! 1 2k+1.
Consideremos agora a circunferência dada de forma paramétrica por x (t) = cos (t) e y (t) =sen(t), para 0 ≤ t ≤ 2π.
Encontremos o comprimento de arco s sabendo a relação entre as uxões
· s (t) = q · x2(t) +y·2(t), para 0 ≤ t ≤ 2π. · x (t) =.−sen(t) e y (t) = cos (t)· · s2(t) =.sen2(t) + cos2(t) = 1
Assim sendo, temos a relação entre s·
·
t = 1, ou ·
s = t·. Utilizando o método de solução particular, temos que o comprimento de arco s é igual a 2π, que é exatamente o comprimento C = 2πr da circunferência de raio r = 1.
Concluímos este capítulo com um resumo das contribuições de Newton para o desenvolvimento do cálculo.
Vimos que Newton trabalhou os conceitos do cálculo formulando regras e pro- cedimentos sistemáticos para ter um maior alcance nas soluções gerais dos problemas encontrados no uso das grandezas in nitesimais do seu tempo. Também percebemos que muitas dessas regras já haviam sido estabelecidas anteriormente por outros matemáti- cos. Entretanto, Newton, com essas regras, tornou possível a reformulação de todos os problemas abordados em sua época.
Uma novidade proposta por Newton foi o uso das séries de potências que propiciou um aumento na classe de curvas quadráveis pelos métodos já abordados. Um exemplo é a aplicação do uso de séries na quadratura de curvas assim como na reti cação de arcos, e o uso destas séries na resolução do Problema 2 proposto por ele. Também estabeleceu a ideia da relação inversa entre encontrar a tangente a uma curva e o cálculo da área delimitada por ela, conhecido hoje como teorema fundamental do cálculo.
Capítulo 4
Cálculo diferencial e integral: Leibniz
-
O cálculo a partir de Leibniz toma uma nova cara. Com uma notação mais adequada, Leibniz desenvolve os conceitos do cálculo tomando como ponto de partida uma grandeza in nitamente pequena, denominada de diferencial de uma variável. Esta diferencial in nitamente pequena é dada pela diferença entre dois valores consecutivos in nitamente próximos. A notação utilizada por ele para determinar uma diferencial é dx, dy, etc, onde a letra d é o operador diferencial. Para a quadratura de uma curva, ou área delimitada por uma curva (integral), Leibniz tomava a soma das áreas de retângulos de bases dx = |xn− xn−1| e alturas iguais às ordenadas yn da curva, ou seja, ele de ne a
diferencial da área delimitada pela curva como dA = yndx.
A diferencial (d) de uma grandeza x, y, z, etc, é dada por dx = dxn= xn−xn−1
ou dy = dyn= yn−yn−1. Se y = F (x), de nimos dx = const., ou seja, as abscissas formam
uma progressão aritmética de razão dx.
Discutiremos os conceitos do cálculo neste capítulo, assim como feito nos ca- pítulos anteriores, com uma nova notação para a de nição de tangente dy
dx
(razão entre as diferenciais) e de integral ´
(um s alongado para indicar soma das diferenciais de áreas). Abordaremos a relação entre a diferencial d e a integral ´, uma nova notação para o teorema fundamental do cálculo. Estudaremos os conceitos de derivada e integral de ordem superior. Utilizaremos a notação dny
dxn de Leibniz para a derivada de ordem su-
perior, para n natural, e de niremos o operador integral de ordem superior como sendo In[f (x)] = I ◦ I ◦ . . . ◦ I
| {z }
n
[f (x)]para o operador integral I =´0xf (t) dt.
Iniciaremos nossas discussões a partir da de nição de diferencial de uma gran- deza, demonstrando suas propriedades operacionais, passando pelo método da tangente e o método de quadratura de Leibniz. Discutiremos, mais uma vez, o teorema fundamental do cálculo e sua aplicação ao método de integração por partes e ao cálculo de áreas e vo- lumes delimitados por curvas. E por m, faremos uma prévia sobre o cálculo fracionário, a ser discutido no capítulo seguinte, com a introdução da integral e derivada de ordem n.
Discutiremos as propriedades da função gama Γ (α) =´∞ 0 x
α−1e−xdx para α ≥ 0 ∈ R.
4.1 As diferenciais dy e dx de Leibniz
-
A base dos conceitos do cálculo de Leibniz é sustentada nas grandezas in ni- tamente pequenas dy e dx, denominadas por Leibniz de diferenciais. Estas grandezas são de nidas no lugar do `E' de Fermat e do momento in nitamente pequeno `o' de Newton. Em relação às operações de soma e subtração com grandezas nitas admitimos, como feito no Capítulo 1, que x ± dx ∼= x e y ± dy ∼= y, para x e y nitos. E no que diz respeito a razão entre estas duas diferenciais, e a soma ou subtração delas, podemos compará-las, visto que ambas podem ser consideradas da mesma ordem de grandeza. Então, fazem sentido as relações dy
dx e adx + bdy, para quaisquer grandezas a e b nitas. E
mais, geometricamente podemos considerar a razão dy
dx como sendo o mesmo que a razão
·
y
·
x entre as uxões de Newton, e a tangente de Fermat
f (x+e)−f (x)
e , conforme Fig.4.1.
Fig.4.1. Diferenciais de Leibniz.
A reta que contém o segmento de reta in nitamente pequeno ds pode ser tomada como a reta tangente à curva em x, cujo o coe ciente angular é dado pela razão
dy
dx. A partir de agora chamaremos esta razão de derivada no ponto x0 da curva y = f (x)
e escreveremos dy
dx|x0. Por exemplo, a reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0 é
dada por y − f (x0) = dydx|x=x0(x − x0).
Também podemos tirar da gura acima que a diferencial ds se relaciona com as diferenciais dx e dy pela igualdade ds = q(dx)2+ (dy)2, relação análoga a dada por Newton [5]. Esta notação nos sugere uma aproximação da curva por pequenos segmentos de reta ds, a soma de todos os ds0s se aproxima cada vez mais do comprimento da curva
em um intervalo [a, x], que é exatamente a reti cação de curvas de nida por Newton, apenas com uma outra notação.
Prosseguiremos com o estudo do cálculo de Leibniz, começando com as demons- trações das propriedades operacionais para o operador diferencial d. Para isto, considere- mos um número natural n e x = xn= xn−1+ dx, a sequência das abscissas equidistantes,
e y = yn = F (xn) a sequência das ordenadas de uma curva na forma y = F (x) ou
F (x, y) = 0. De nimos as diferencias dx = dxn= xn− xn−1e dy = dyn= yn− yn−1, e ad-
mitimos que x = xn ∼= xn−1 e y = yn∼= yn−1, ou seja, as coordenadas estão in nitamente
próximas, disto seguem as seguintes propriedades:
1. Se y = F (x) = a = const., então dy = 0. De fato, yn = F (xn) = a
yn−1 = F (xn−1) = a
dy = yn− yn−1 = a − a = 0.
2. Linearidade: d (ay + bx) = ady + bdx. d (ay + bx) = ayn+ bxn− (ayn−1+ bxn−1)
d (ay + bx) = a (yn− yn−1) + b (xn− xn−1)
d (ay + bx) = ady + bdx.
3. Produto: d (y · x) = ydx + xdy. d (y · x) = yn· xn− yn−1· xn−1 d (y · x) = yn· xn− yn−1· xn−1+ xn−1· yn− xn−1· yn d (y · x) = yn(xn− xn−1) | {z } dx + xn−1(yn− yn−1) | {z } = ydx + xdy dy
4. Seja dx = const. e d2x = d (dx), então d2(x) = 0.
dx = xn− xn−1= xn−1− xn−2= . . . = x1− x0
d (dx) = dx − dx = 0.
5. Inverso multiplicativo: d 1
x = − 1
x2dx para todo x 6= 0. Para vermos isto
escrevemos y = 1 x. xy = 1 d (xy) = d (1) ydx + xdy = 0 xdy = −ydx xd 1x = −x1dx d 1x = −x12dx. 6. Quociente: d y x = xdy−ydx x2 .
Fazendo ux = y e da propriedade (3) obtemos o resultado desejado; 7. d (xn) = nxn−1dx, para todo natural n ≥ 1;
Para n = 1 e n = 2 d (x) = dx
d (x2) = d (x · x) = xdx + xdx X d (x2) = 2xdx.
Hipótese de indução: Suponhamos que para algum n vale d (xn) = nxn−1dx;
Tese: d (xn+1) = (n + 1) xndx. Logo para todo número natural n temos
d (xn) = nxn−1dx.
xn+1= xn· x
d (xn· x) = xndx + xd (xn)
d (xn+1) = xndx + nx · xn−1dxx
d (xn+1) = (n + 1) xndx X. Assim sendo, ca provado que vale para todo
natural n ≥ 1. 8. d (x−n) = −nx−n−1dx. Seja y = x−n yxn= 1, Aplicamos as propriedades (1), (3) e (7) d (x−n) = −nx−n−1dx 9. dxpq
= pqxp−qq dx para todos os números p e q 6= 0 inteiros.
De fato, tomando y = xpq, então yq = xp
qyq−1dy = pxp−1dx (propriedade 6) dy = pqxyp−1q−1dx dxpq = pq xp−1 xp− p qdx = p qx p−q q dx.
10. Sejam y = F (u) uma curva composta e u = f (x), então vale dy = dF (u) du du.
Em particular se u(x) = x, temos dy = dF (x) dx dx.
De fato, podemos escrever dy = F (un) − F (un−1)
du = un− un−1
dy = F (un)−F (un−1)
(un−un−1) (un− un−1)
11. De nimos a diferencial de ordem n como dn(y) = d ◦ d ◦ d ◦ . . . ◦ d
| {z }
n.vezes
(y).
A diferencial de ordem n, com n natural, da curva y = xk, é dada por
dn xk = k (k − 1) (k − 2) . . . (k − n + 1) xk−n(dx)n
E para k = n temos dn(xn) = n! (dx)n e dn+1(xn) = 0.
De fato, basta aplicar indução sobre n.
12. Sejam yn = f (xn) e y0 = f (x0), então dado dy = yn− yn−1, temos que o
somatório de Pn
k=1
dy = yn− y0 = f (x) − f (x0).
Isto ocorre do fato de
n P k=1 dy = n P k=1 (yk− yk−1) n P k=1 dy = n P k=1 yk− n P k=1 yk−1 n P k=1 dy = yn− y0+ n−1 P k=1 yk− n−1 P k=1 yk n P k=1 dy = yn− y0.
Vamos, agora, aplicar algumas dessas propriedades nos exemplos que seguem. Exemplo 4.1: Seja y1 = F (x + α) e y2 = F (αx), então:
i) dy1 = dF (x+α) dx dx; ii) dy2 = α dF (xα) dx dx.
De fato, basta aplicar a propriedade 10 com u1(x) = α + x e u2(x) = αx.
Exemplo 4.2: Consideremos a curva y2 = x(ou y =√x) para x > 0. Aplicando
o operador diferencial d a esta curva, obtemos dy = 1 2√xdx. De fato, d (y2) = dx 2ydy = dx dy = 2y1dx dy = 2√1 xdx
Exemplo 4.3: Seja y = x6− 5x4+ 3x2+ 5, então
d4(y) = d4(x6− 5x4+ 3x2+ 5)
d4(y) = 6 · 5 · 4 · 3x2dx4 − 5 · 4 · 3 · 2 · 1dx4+ 0 + 0
d4(y) = (360x2 − 120) dx4.
Passemos, agora, a discutir o método da tangente de Leibniz.