O cálculo com enfoque geométrico

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática Estatística e Computação

Científica

José Cícero Calheiros

O cálculo com enfoque geométrico

Campinas

O cálculo com enfoque geométrico

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-ca da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de mestre em matemática aplicada e computacional.

Orientador(a): Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira.

Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno José Cícero Calheiros, e ori-entada pelo prof. Dr. Edmundo Ca-pelas de Oliveira.

Campinas

-

-Prof(a). Dr(a). EDMUNDO CAPELAS DE OLIVEIRA

-Prof(a). Dr(a). DANIEL JULIANO PAMPLONA DA SILVA

-Prof(a). Dr(a). JAYME VAZ JUNIOR

A ata de defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

Agradeço a Deus por tudo que ele tem feito por mim até hoje. Também, agradeço aos meus familiares, amigos, e ao professor Edmundo Capelas de Oliveira por acreditar no meu trabalho.

Este trabalho tem por objetivo abordar geometricamente os conceitos do cál-culo contextualizado no tempo, começando a partir do primeiro momento em que o con-ceito de limite torna-se necessário com a resolução dos paradoxos de Zeno, passando pelo método da Exaustão de Eudoxo, utilizado por Arquimedes para o cálculo da área do círculo e da área delimitada por um segmento de parábola. Após este estudo prévio, abordamos o método de Fermat para encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a uma curva e a quadratura das parábolas supreriores de Fermat, uma generalização da qua-dratura da parábola feita por Arquimedes, e das hipérboles superiores. Generalizamos estes métodos às curvas representadas por séries de potências. Estudamos o desenvolvi-mento do cálculo, independentemente, por Newton e Leibniz, e uma breve abordagem do conceito de cálculo fracionário que surge com a notação de diferencial de Leibniz, e sua aplicação na resolução do problema da tautócrona. Por m, discutimos os conceitos de limite e continuidade de uma função que surgem com Cauchy, abordando os conceitos de derivada e integral a partir destas novas denições, que são, posteriormente, reescritas em termos de epsilon's e delta's por Weierstrass.

The objective of this work is to address the concepts of calculus contextualized in time, starting from the rst moment the concept of limit becomes necessary to solve Zeno's paradoxes, passing by the Eudoxus' method of exhaustion, used by Archimedes to the calculation of the area of the circle and the area enclosed by a parabola. After this preliminary study, we discuss the Fermat's method to nd maximum and minimum, the tangent to a curve and the Fermat quadrature of the higher parables, a generali-zation of the quadrature of the parabola is made by Archimedes and higher hyperbole. We generalize these methods for curves represented by power series. We study the de-velopment of calculus, independently, by Newton and Leibniz, and a brief approach to the concept of fractional calculus that comes up with of Leibniz dierential notation, and their application in solving the tautochrone problem. Finally, we discuss the concepts of limit and continuity of a function that arise with Cauchy, addressing the derivative and integral concepts from these new denitions, which are subsequently rewritten in terms of epsilon's and delta's by Weierstrass.

Introdução

11

1 Conceito intuitivo de limite e integral

13

1.1 Os Paradoxos do movimento de Zeno . . . 14

1.1.1 Paradoxo da dicotomia: . . . 15

1.1.2 Paradoxo de Aquiles e a tartaruga: . . . 17

1.2 O Método da exaustão (princípio de Eudoxo) . . . 21

1.2.1 Quadratura do Círculo (Arquimedes) . . . 23

1.2.2 Quadratura da Parábola (Arquimedes). . . 31

2 Cálculo diferencial e integral: Fermat

37

2.1.1 Máximos e mínimos de uma curva. . . 38

2.1.2 O Método da tangente . . . 41

2.1.3 Tangente às parábolas e às hipérboles. . . 42

2.1.4 Generalização do método da tangente . . . 45

2.1.5 O cálculo da tangente implícita . . . 46

2.1.6 Propriedades da tangente . . . 48

2.1.7 Representação de uma curva por série de potência . . . 51

2.2 O cálculo integral: método da quadratura . . . 55

2.2.1 A quadratura das parábolas e das hipérboles . . . 56

2.2.2 Propriedades do método da quadratura . . . 59

2.2.3 Quadratura de região plana delimitada por duas curvas . . . 64

2.2.4 Cálculo do volume de um sólido de revolução. . . 66

2.3 O Teorema fundamental do cálculo: Fermat . . . 68

3 Cálculo diferencial e integral: Newton

3.2 O método da tangente de Newton . . . 75

3.3 Séries binomiais . . . 80

3.4 Séries innitas . . . 83

4.2 A tangente à curva y = f(x): método de Leibniz. . . 97

4.3 Quadratura de curvas e reticação de arcos. . . 102

4.4 O teorema fundamental do Cálculo . . . 106

4.5 Propriedades da integral de Leibniz. . . 108

4.6 A integral de ordem superior e a função gama . . . 111

4.6.1 A integral de ordem superior . . . 111

4.6.2 A função gama e suas propriedades . . . 113

5 Cálculo fracionário

5.2 A derivada fracionária. . . 118

5.2.1 A derivada fracionária segundo Lacroix . . . 118

5.2.2 A derivada fracionária segundo Riemann-Liouville . . . 120

5.3 O problema da tautócrona . . . 121

6 Cálculo diferencial e integral: Cauchy e Weierstrass 126

6.2 O conceito de derivada de Cauchy . . . 131

6.3 O conceito de continuidade de Weierstrass . . . 133

6.4 O conceito de Integral de Cauchy . . . 135

6.5 O Teorema fundamental do cálculo . . . 136

Considerações nais

140

Introdução

.

Os conceitos do cálculo diferencial e integral passaram por uma longa traje-tória. Começando por Arquimedes, passando por diversos matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Cauchy e Weierstrass. Os dois últimos foram os responsáveis pela consolidação teórica do rigor do cálculo, que até então não havia sido feito pelos seus antecessores.

Neste trabalho abordaremos os conceitos do cálculo diferencial e integral de forma geométrica, contextualizando estes conceitos no tempo, começando a partir do primeiro momento em que o conceito de limite se fez necessário com a resolução dos paradoxos de Zeno (Zenão) (490 a.C. - 430 a.C.). Discutiremos o método da exaustão de Eudoxo (408 a.C. - 355 a.C.), utilizado por Arquimedes (287a.C. - 212 a.C.) para a quadratura do círculo e da parábola (cálculo da área delimitada por uma circunferência e a área delimitada por um segmento de parábola). Em seguida estudaremos o método de Fermat (1601 - 1665) para encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a uma curva e o método da quadratura das parábolas superiores de Fermat (y = xn_{), uma generalização}

da quadratura da parábola feita por Arquimedes, e das hipérboles superiores (y = ax−n

para n 6= 1). Veremos que estes método deu origem ao que hoje denominamos cálculo diferencial e integral. Discutiremos o desenvolvimento do cálculo por Newton (1642 -1727) e Leibniz (1646 - 1716). E, a partir da notação de derivada de ordem superior de Leibniz, discutiremos, de forma breve, os conceitos do cálculo fracionário, que surge nesta mesma época, e sua aplicação na resolução do problema da tautócrona. Demonstraremos que a curva solução deste problema é uma cilcoide invertida.

Num primeiro momento, admitimos que as curvas, na forma y = f (x), são todas positivas, isso é necessário para que possamos interpretar geometricamente a integral como a área delimitada por uma curva, não sendo utilizado diretamente o conceito de função, sendo feito posteriormente quando estudarmos os conceitos do cálculo a partir do século XIX. Veremos neste século o surgimento dos conceitos de limite e continuidade, denidos pelo matemático Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). É a partir do conceito de limite que o cálculo se torna uma ferramente mais rigorosa e poderosa.

matemático Karl Weierstrass (1815 - 1897) reescreve estes conceitos com a notação de ε0s e δ0s, a qual estamos acostumados a ver nos livros de cálculo.

É conveniente ressaltar que em todo o texto tomamos o cuidado de explicitar as passagens matemáticas, bem como discutimos vários exemplos, a m de elucidar e exemplicar a teoria apresentada.

Iniciamos nosso trabalho com uma abordagem indireta dos conceitos de limite, derivadas e integrais considerando alguns aspectos históricos como os Paradoxos de Zeno, o método da exaustão de Eudoxo, o cálculo da área delimitada por um segmento de parábola e a área do círculo, feitos por Arquimedes. Em seguida, nos dedicaremos ao estudo dos conceitos do cálculo nos Séculos XVII e XIX, começando com o método para encontrar máximos e mínimos de Fermat, aplicação deste método na resolução do problema de encontrar a reta tangente por um ponto de uma curva, e a quadratura das parábolas superiores de Fermat (y = xn_{) e hipérboles superiores y = ax}−n _{para n 6= 1, culminando}

no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton e Leibniz.

A partir de Leibniz estudaremos o cálculo com uma nova notação para derivada e integral, notação esta que encontramos nos livros de cálculo. Abordaremos o conceito de derivada e integral de ordem superior (n ≥ 2), e assim discutiremos derivada e integral para um n real com o auxílio da função gama Γ (n). Faremos uma discussão supercial de um novo conceito de cálculo, o cálculo fracionário, que surge , também, no século XVII. Adotaremos a denição de derivada de ordem arbitrária segundo Lacroix e Riemann-Liouville, e de integral de ordem arbitrária segundo Riemann-Liouville .

Resolveremos o problema de determinar a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar, sem atrito, com gravidade uniforme até o ponto mínimo, independe do ponto de partida (tautócrona) através do cálculo fracionário.

E, por m, faremos uma abordagem dos conceitos de limite e continuidade, derivada e integral desenvolvidos no século XIX por Cauchy. Faremos uma abordagem destes conceitos segundo a reformulação dada por Weierstrass. A partir das denições de Cauchy, discutiremos os conceitos de derivadas e integrais de uma função de uma variável real, e terminamos abordando geometricamente o teorema do valor médio para integrais e demonstrando o teorema fundamental do cálculo.

Capítulo 1

Conceitos intuitivos de limite e integral

.

Neste capítulo abordaremos os conceitos de limite e de integral de modo intui-tivo, tomando como ponto de partida os paradoxos do movimento de Zeno e o método da Exaustão de Eudoxo, com o qual discutimos o problema da quadratura do círculo e da parábola feita por Arquimedes.

Os paradoxos de Zeno, assim como o método da exaustão de Eudoxo, estão relacionados com os conceitos de sequências e séries, em particular, com os conceitos de progressão geométrica e a soma dos termos de uma progressão geométrica.

Discutiremos os paradoxos da Dicotomia, e de Aquiles e a tartaruga, assim como o método da exaustão, utilizando, de forma intuitiva, a noção de limite de uma sequência e de uma série.

Adotaremos, de forma intuitiva, como grandeza ou valor innitamente pe-queno aquelas aproximadamente iguais a zero, porém diferentes de zero. Estes valores ou grandezas são desprezados nas operações de soma ou subtração quando comparados com grandezas relativamente maiores. Por exemplo, o valor 1

250, intuitivamente, é considerado

muito pequeno quando fazemos a operação a + 1

250 para todo natural a. E, em geral,

1 an

para |a| > 1 é um número innitamente pequeno para n innitamente grande. Também adotaremos como grandeza ou valor innitamente grande aquelas cujo inverso multiplica-tivo é innitamente pequeno. Também, admitiremos que uma grandeza é innitamente grande se seu inverso multiplicativo for innitamente pequeno.

Considere uma sequência xn, de primeiro termo x1 6= 0 ( ou x0 6= 0), que

satisfaz a relação xn

xn−1 = q 6= 0para todo número natural n. Esta sequência é denominada

de progressão geométrica de razão q. Seu termo geral é dado por xn = x1qn−1 para todo

número natural n ≥ 1 (ou xn = x0qn, para todo n ≥ 0).

Assumiremos que a distância entre dois pontos P1 e P2 na reta real (R) é dada

1.1 Os paradoxos do movimento de Zeno

-O conceito de limite é o alicerce do cálculo diferencial e integral. Convergência e divergência de sequências e séries, continuidade, derivada e integral são conceitos inti-mamente relacionados ao conceito de limite. A ideia deste conceito aparece pela primeira vez por volta do séc. V a.C. com as discussões dos paradoxos do movimento, formulados pelo lósofo grego Zeno de Eleia, que são fundamentados em duas grandezas, espaço e tempo. Os quatro paradoxos são apresentados por Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) em sua física [1].

O pensamento de Zeno se fundamenta nos seguintes argumentos lógicos: •ou tempo e o espaço são innitamente divisíveis.

•ou há um menor elemento (uma unidade) indivisível de tempo (um instante) e de espaço (um ponto).

Ao admitir a hipótese de que o tempo e o espaço são innitamente divisíveis, Zeno elabora os paradoxos da dicotomia e, seu análogo, de Aquiles e a tartaruga para refutar a ideia de movimento.

Paradoxo da dicotomia:

O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto nal. Paradoxo de Aquiles e a tartaruga:

O mais lento na corrida jamais será alcançado pelo mais rápido, pois o que persegue deve sempre começar por atingir o ponto de onde partiu o que foge.

Zeno chega a conclusão de que o movimento é impossível, sobre a hipótese da divisibilidade innita do tempo e do espaço. O argumento de Zeno se baseia na impossibilidade de se percorrer uma innidade de distância em um tempo nito. Estes dois paradoxos são construídos em cima do fato de sempre haver uma distância a ser percorrida e isso ocorre de maneira innita, logo ambos, o atleta e Aquiles, terão que percorrer innitas distâncias antes de atingirem o m do percurso, o que é impossível na razão humana.

A partir de sua conclusão, Zeno admite que há um menor elemento (uma unidade) indivisível de tempo (um instante) e de espaço (um ponto), então elabora os paradoxos da echa imóvel e do estádio.

Paradoxo da echa imóvel: A echa em voo repousa, e isto porque o que se move sempre está no mesmo agora e no aqui igual a si mesmo, no não distinguível.

Paradoxo do estádio: Tome-se duas leiras de corpos, cada uma composta por um número igual de corpos do mesmo tamanho. Estas leiras de corpos irão se cruzar à

medida que viajam à mesma velocidade em direções opostas. Ao observar este movimento concluímos que metade da unidade de tempo é igual a uma unidade de tempo.

E, depois de argumentar sobre estes dois paradoxos, Zeno conclui que o movi-mento é impossível, considerando a hipótese da existência de uma unidade indivisível de tempo e espaço. Concluindo, a partir dos quatro paradoxos, que o movimento é apenas uma ilusão da mente humana.

Discutiremos os dois primeiros paradoxos am de chegar a uma conclusão contrária a de Zeno.

1.1.1 Paradoxo da dicotomia:

-O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto nal.

-Um atleta que deseja alcançar o ponto nal Pf de um percurso de uma corrida,

partindo de um ponto inicial Pi = P0, nunca consegue alcançá-lo, uma vez que é necessário

alcançar o ponto médio P1do segmento PiPf. E, antes de alcançar Pf, é necessário atingir

o ponto médio P2 do segmento P1Pf, e antes de alcançar Pf, é necessário atingir o ponto

médio P3 do segmento P2Pf, e assim sucessivamente, ad innitum Fig.1.1.

Fig.1.1. Paradoxo da dicotomia.

Seja dPn−1Pn = Pn−Pn−1a distância entre o ponto em que o atleta se encontra e

o ponto sucessor. A Fig.1.1 ilustra a situação do movimento. Observe que a distância total percorrida pelo atleta é dada pela soma Pn

k=1

dPk−1Pk, que é sempre menor que a distância

total do percurso dPiPf = d. Ela também nos mostra que a distância dPnPf = Pf − Pn

que falta para completar o percurso é dada por dPnPf = d−

n

P

k=1

dPk−1Pk para todo n ≥ 1.

Armamos que para n innitamente grande, a distância dPnPf torna-se innitamente

pequena e a soma Pn

k=1

dPk−1Pk aproxima-se cada vez mais da distância d.

De fato, a distância percorrida em cada trecho é a metade da distância percorrida no trecho anterior, logo dPnPn+1 =

d_Pn−1Pn

2 para todo n ≥ 1. Esta é uma progressão geométrica de

primeiro termo igual a dP0P1 =

d

2, razão igual a 1

2 e termo geral dado por dPn−1Pn =

d 2n.

Logo a distância que falta para o atleta completar o percurso é dada por dPnPf = d−

n P k=1 d 2k. O somatórioPn k=1 d

n P k=1 d 2k = d 1 2 + 1 22 + 1 23 + · · · + 1 2n
= d 1 − 1 2n
. Para n innitamente grande, d 1 − 1

2n
→ d, a soma n P k=1 d 2k torna-se muito

próxima de d, com isso dPnPf = d−

n

P

k=1

dPk−1Pk → 0, torna-se innitamente pequena.

Mostremos que o ponto Pn tende à Pf.

De fato, seguindo as hipóteses do paradoxo, e supondo o movimento contínuo, o atleta, para cobrir todo percurso de Pi à Pf, passa pelos pontos médios Pnpertencentes

a cada trecho Pn−1Pf ⊂ PiPf, que são descritos pela expressão Pn = Pf − ₂dn, uma

vez que dPnPf = d− n P k=1 d 2k = d

2n. Para n innitamente grande Pn = Pf, uma vez que

dPn−1Pn =

d

2n → 0, torna-se innitamente pequeno. Sendo assim, concluímos que o atleta

chega ao ponto nal Pf depois de passar por um número innitamente grande de pontos.

Gracamente o comportamento dos pontos Pn = Pf − ₂dn é visto na Fig.1.2

abaixo.

Fig.1.2. Representação gráca de Pn= Pf − ₂dn.

O gráco da Fig.1.2, assim como a relação Pn = Pf − ₂dn, nos mostram que o

atleta percorre toda a distância entre Pi e Pf. Armamos que o tempo gasto pelo atleta

para realizar este percurso e a distância percorrida por ele são nitos.

De fato, seja t1, o intervalo de tempo que o atleta leva, partindo de Pi, para

alcançar o ponto médio P1, depois de atingir P1, ele atinge o ponto médio P2 em um

intervalo de tempo t2, e depois de atingir P2, ele atinge o ponto médio P3 em um intervalo

de tempo t3, e assim por diante.

Admitindo que o percurso de Pi a Pf é feito com uma velocidade constante

v 6= 0, então a velocidade em cada trecho Pn−1Pn é dada por v = D_t =

d_Pn−1Pn tn , onde D = n P k=1

dPk−1Pk (distância total percorrida) e t =

n

P

k=1

Dado que v = D t =

d_Pn−1Pn

tn , então podemos escrever tn =

d_Pn−1Pn v = 1 2n d v dPn−1Pn = d 2n

e D = vt. Disto segue que o tempo total t e a distância total D são dados por t = n P k=1 d 2k_v = d v 1 − 1 2n
e D = vt = d Pn k=1 1 2k_v = d 1 − 1 2n
. Tomando um n innitamente grande, obtemos

t = d_v 1 −₂1n
→

d v

D = d 1 − 1

2n
→ d.

Logo, o tempo total e a distância total tendem, respectivamente, a d

v e a d, que

são valores conhecidos. Estes resultados mostram que o atleta percorre toda a distância d entre Pi e Pf em um tempo nito igual a d_v, contrariando o argumento de Zeno.

1.1.2 Paradoxo de Aquiles e a tartaruga:

-O mais lento na corrida jamais será alcançado pelo mais rápido; pois o que persegue deve sempre começar por atingir o ponto de onde partiu o que foge.

Suponha que Aquiles inicie a corrida do ponto Pi de uma reta, e no mesmo

instante a tartaruga que se encontra em P1, a uma distância d de Aquiles. Desta forma,

sendo o espaço e o tempo divisíveis innitamente, Aquiles nunca alcança à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial P1 da tartaruga, esta encontra-se mais à frente, numa

outra posição P2. Quando Aquiles chegar a P2, a tartaruga não está mais lá, pois avançou

para uma nova posição P3, e assim sucessivamente, ad innitum. Gracamente, o que

temos é a situação conforme Fig.1.3.

Consideremos as velocidades constantes vA e vT, de Aquiles e da tartaruga,

respectivamente, tais que vA > vT > 0. Seja t1 = t o intervalo de tempo necessário para

Aquiles percorrer a distância dP0P1 = d atingindo o ponto P1, neste mesmo intervalo de

tempo a tartaruga percorre a distância dP1P2 atingindo o ponto P2, ao atingir o ponto P2

Aquiles leva um tempo t2para percorrer a distância dP1P2, neste mesmo intervalo de tempo

a tartaruga percorre a distância dP2P3 atingindo o ponto P3, e assim sucessivamente.

Como as velocidades de Aquiles e da tartaruga são constantes, podemos escrevê-las, respectivamente, como

vA= d_P0P1 t1 = d_P1P2 t2 = d_P2P3 t3 = · · · = d_Pn−1Pn tn = d_PnPn+1 tn+1 vT = d_P1P2 t1 = d_P2P3 t2 = d_P3P4 t3 = · · · = d_PnPn+1 tn = d_Pn+1Pn+2 tn+1

Sejam tn a sequência de intervalos de tempo em que Aquiles e a tartaruga

percorrem cada distância, e dPnPn+1 a sequência das distâncias entre Aquiles e a tartaruga.

Estas duas sequências são decrescentes, pois dado que vA> vT, então

0 < vT vA = d_PnPn+1 d_Pn−1Pn < 1 ⇒ 0 < dPnPn+1 < dPn−1Pn, 0 < vT vA = tn+1 tn < 1 ⇒ 0 < tn+1 < tn.

Podemos escrever as sequência anteriores como dPnPn+1 =

 vT vA  dPn−1Pn e tn+1 =  vT vA 

tn. Estas sequências são progressões geométricas de razão 0 < v_vT

A < 1 e

primeiros termos iguais a, respectivamente, dP0P1 e t1 = t. O n-ésimo termo de cada

sequência é dado por dPnPn+1 =

 vT vA n d e tn+1=  vT vA n

t, para todo natural n ≥ 0. Para n innitamente grande a distância dPnPn+1 entre Aquiles e a tartaruga e

o tempo tn para percorrer esta distância tornam-se innitamente pequenos, uma vez que

 vT vA n → 0, pois 0 < vT vA < 1.

As distâncias totais percorridas por Aquiles e a tartaruga são dadas por DA= d  vT vA 0 + dvT vA 1 + . . . + dvT vA n , DT = d  vT vA 1 + dvT vA 2 + dvT vA 3 + . . . + dvT vA n .

As somas anteriores são somas dos termos de uma progressão geométrica de razão 0 < vT

vA < 1, que podem ser escritas como:

DA= d_v vA A−vT + d vA  vT vA n vT−vA , DT = d_v vT A−vT + d vA _vT vA n vT−vA .

Dessas duas últimas igualdades concluímos que1

DA− d_v vA A−vT = DT − d vT vA−vT ⇒ DA= DT + d. 1_{Podemos escrever D} A− dvAv−vAT = d vA _vT vA n vT−vA e DT − d vT vA−vT = d vA _vT vA n vT−vA .

Do que foi posto acima, vemos que DA > DT, o que nos leva à conclusão de

que Aquiles em algum momento alcançou a tartaruga. Tomando n innitamente grande teremos      vA  vT vA n vT−vA → 0 vA  vT vA n vT−vA → 0 , então DA= d_vAv_−vA_T e DT = d_vAv_−vT_T.

Resta-nos, agora, mostrar que Aquiles alcança a tartaruga em um tempo nito. O tempo total t que Aquiles leva para alcançar a tartaruga é dado pela soma de todos os tn, logo T = t n P k=1  vT vA k−1 = t  vA vA−vT + vA  vT vA n vT−vA  . Dado um n innitamente grande, o termo vA



vT vA

n

vT−vA torna-se innitamente

pe-queno, logo T = vAt

vA−vT =

d

vA−vT. Concluímos, assim, que o tempo total gasto por Aquiles

para encontrar a tartaruga em um ponto do percurso é nito.

Podemos escrever as posições de Aquiles e da tartaruga da seguinte forma Pn= P0+ vA n P k=1 (posição de Aquiles) Pn+1 = P1+ vT n P k=1 (posição da tartaruga). Tomando n innitamente grande, obtemos Pn= P0+ _vvAd A−vT Pn+1 = P1+_vvTd A−vT = P0+ d + vTd vA−vT = P0+ vAd vA−vT = Pn.

Como vemos, Aquiles alcança a tartaruga em t = d vA−vT.

Exemplo 1.1: Suponhamos vA= 10m/s, vT = 9m/s e d = 100m. A diferença

entre as velocidades de Aquiles e da tartaruga é de 1m/s, esta velocidade é denominada de velocidade relativa. Isto signica que Aquiles se aproxima da tartaruga a uma velocidade de 1m/s. Então para percorrer a distância de 100m de diferença, ele leva

t = _v d

A−vT =

100

10−9 = 100s = 1min 40s.

A conclusão da impossibilidade do movimento nesse paradoxo, feita por Zeno, utiliza o mesmo argumento do paradoxo da dicotomia. Entretanto, mostramos que é possível o mais rápido alcançar o mais lento em uma corrida onde o mais lento sai na frente. Contrariando, mais uma vez, o argumento de Zeno.

Fisicamente, o que temos é uma aproximação com velocidade relativa que é dada por vA− vT > 0, isto nos indica que, por mais próxima que sejam as velocidades,

porém diferentes, o mais rápido irá alcançar o mais lento em um tempo t = d

vA−vT, onde

A velocidade relativa indica quanto a distância entre dois corredores diminui (ou aumenta) com o tempo. Do exemplo anterior, a diferença é de 1m/s, ou seja, a cada segundo a distância inicial entre eles diminui de 1m. É como se o corredor mais lento permanecesse parado, e o mais rápido zesse o percurso com velocidade de 1m/s, no caso do exemplo anterior. Podemos ver isso geometricamente conforme Fig.1.4.

Fig.1.4. Gráco das posições entre Aquiles e a tartaruga. As posições de Aquiles e da tartaruga são dadas por

PA= P0+ vAtn

PT = P1+ vTtn.

Para que Aquiles alcance a tartaruga, devemos ter PA = PT. Esta igualdade

se verica para tn= _vA−vd _T.

De fato, igualando as expressões PA= P0+ vAtn e PT = P1+ vTtn, obtemos

P0+ vAtn= P1+ vTtn

(vA− vT) tn= P1− P0

tn= _vP_A1_−v−P_T0 = _vA−vd _T.

Este resultado é exatamente o mesmo que o encontrado anteriormente. O gráco nos mostra como a distância entre eles vai diminuindo com o tempo, até que os dois ocupem a mesma posição.

O entendimento quantitativo em relação à soma de valores positivos, no qual somando innitos desses valores, esta soma sempre aumenta, e acabará por ultrapassar qualquer valor positivo dado, tornando-a innita, é o erro cometido por Zeno.

Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de Aquiles e a tartaruga, as somas dos termos das sequências (séries), da distância e do tempo, tendem a convergir para um valor nito. O tempo que o corredor leva para percorrer toda a distância d é nito, e vale t = d

v. Aquiles encontra a tartaruga após um tempo nito t = d vA−vT. A

diferença entre as velocidades, vA−vT = vrelativa > 0, é denominada de velocidade relativa

de aproximação entre Aquiles e a tartaruga.

O pensamento de Zeno, assim como de muitos lósofos (matemáticos) de sua época, se explica pelo fato dos conceitos de limite e convergência de sequências e séries ainda não terem sido desenvolvidos.

O conceito de série aparece pela primeira vez no século III a.C. com Arquime-des. Ao realizar a quadratura da parábola, Arquimedes chega a série geométrica (soma innita) 1 4 + 1 42 + 1 43 + . . . + 1

4n + . . ., mostrando, sem utilizar o conceito de limite, que

essa soma é igual a 4

3 [3]. Enquanto o conceito de limite só foi denido pela primeira vez

no séc. XVIII por Jean Le Rond d'Alembert (1717 - 1783), que enxergou neste conceito a importância central para o desenvolvimento do cálculo [4].

1.2 O método da exaustão (princípio de Eudoxo)

-O cálculo da área (quadratura) de uma gura plana ou de região plana de-limitada por uma curva, tal como o cálculo do volume (cubatura) delimitado por um sólido foram os primeiros conceitos do cálculo a serem desenvolvidos. A integral, hoje abordada nos livros de cálculo, teve sua primeira versão grega por volta do século V a.C., desenvolvida pelo astrônomo e matemático grego Eudoxo de Cnido, conhecido hoje como Método da Exaustão ou Princípio de Eudoxo. Esse método é fundamentado no axioma e na seguinte proposição.

•Axioma de Eudoxo ou Princípio de Arquimedes:

Magnitudes são ditas ter uma razão entre si, aquelas que multiplicadas podem exceder uma a outra. [2]

O axioma anterior pode ser escrito como:

•Dados x e ε dois números positivos quaisquer, e seja ε < x. Então existe um número inteiro positivo n tal que nε > x.

Consideremos as grandezas x > 0 e ε > 0, conforme Fig.1.5

Intuitivamente, podemos observar que existe um número natural n, tal que o somatório que segue supera o valor de x.

n

P

k=1

ε = nε > x para algum número natural n, Fig.1.6.

Fig.1.6. Axioma de Eudoxo. •Princípio de Eudoxo (método da exaustão):

Proposição 1: Sendo expostas duas magnitudes desiguais, caso da maior seja subtraída uma maior que sua metade, da que é deixada, uma maior do que a metade, e isso acontece sempre, alguma magnitude será dei-xada, a qual é menor do que a menor magnitude exposta. [2]

De fato, consideremos duas grandezas x > 0 e ε > 0, tais que ε < x . Podemos construir uma sequência de termos positivos xn satisfazendo a desigualdade

xn> 1₂  x− n P k=1 xk−1 

para todo número natural n ≥ 1.

Geometricamente temos a seguinte situação, conforme Fig.1.7.

Fig.1.7. Princípio de Eudoxo. Então existe uma constante 1

2 < q < 1, tal que para todo número n ≥ 1

podemos escrever xn=  x− n P k=1 xk−1  q, com x0 = 0.

Da forma como foi construída a sequência xn da Fig.1.7, os termos desta

sequência formam uma progressão geométrica de razão igual a 1 − q e primeiro termo igual a x1 = xq.

De fato, escrevendo xn−1=  x− n−1 P k=1 xk−1  q e xn=  x− n−1 P k=1 xk−1− xn−1  q, obtemos xn−1 q = x− n−1 P k=1

xk−1. Assim sendo, podemos escrever

xn =  xn−1 q − xn−1  q = xn−1  1 q − 1 

q = xn−1(1 − q), o que nos fornece xn

xn−1 = (1 − q). Desta igualdade segue xn= x1(1 − q)

n−1_{, com x}

1 = xq.

Agora, retirando da grandeza x uma parte x1 maior que sua metade, e do que

sobra uma parte x2 maior que sua metade, e assim por diante, teremos, na etapa n − 1,

cado com uma grandeza igual a

x − x1 − x2 − x3 − · · · − xn−1 = x− n P k=1 xk−1 = x_qn = x (1 − q)n−1. Como 0 < 1 − q < 1

2, elevando a n − 1 e multiplicando por x, obtemos

x (1 − q)n−1 < ₂n−1x .

Por hipótese temos ε < x, e pelo Princípio de Arquimedes, existe um natural n tal que x < nε. Podemos, assim, escrever as seguintes desigualdades

x (1 − q)n−1 < ₂n−1x <

nε

2n−1 < ε, pois

n

2n−1 < 1, ou 2n−1 > n para todo número

natural n > 2. Disto seque a Proposição 1.

1.2.1 Quadratura do Círculo (Arquimedes)

-Um dos três problemas clássicos (duplicação do cubo, trissecção do ângulo) propostos pelos antigos gregos é o da quadratura do círculo que é descrito como segue:

Construir com régua e compasso em um número nito de passos um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r.

A solução algébrica deste problema pode ser feita da seguinte forma:

Seja a área do círculo dada por πr2_{. Tomando um quadrado de lado x sua}

área é igual a x2_{. Para que essa área seja igual a área de um círculo de raio r, devemos}

ter um quadrado de lado x = r√π.

O lado do quadrado encontrado é exatamente a média geométrica entre os valores r2 _{e π. Entretanto, não é possível a construção com régua e compasso de um}

segmento exatamente igual π, uma vez que π é um número transcendente. A demonstração de que π é um número transcendente foi feita em 1882 pelo matemático alemão Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939), mostrando ser impossível resolver o problema da quadratura do círculo apenas com régua e compasso.

A Proposição 2, que segue, mostra a relação entre a área de um círculo e seu diâmetro. Com isso, podemos mostrar que a área de um círculo é dada por πr2_.

Proposição 2: Círculos estão entre si como os quadrados sobre os diâ-metros. [2]

Admitimos como verdadeira, sem demonstrarmos, a proposição 2.2_.

Da Proposição 2, segue que a área de um círculo de raio r é proporcional ao quadrado de lado r. De fato, como3 A_C1 A_C2 = D2 1 D2 2 = 4r12 4r2 2 = r21 r2 2 A_C1 r2 1 = AC2 r2 2

= π (escolha da constante igual a π) AC1 = πr 2 1 AC2 = πr 2 2.

Arquimedes, tomando um círculo de raio r = 1, calcula uma aproximação de π, circunscrevendo e inscrevendo polígonos de 6, 12, 24, 48 e 96 lados, encontrando para este último um valor de π entre 3+10

71 e 3+ 1

7, ou seja 3, 1408450704 < π < 3, 1428571429.

Arquimedes é o primeiro matemático a demonstrar que a área de um círculo é igual ao seu comprimento C (perímetro) vezes o raio sobre dois, Cr

2 , conforme Proposição

3 que segue:

Proposição 3: A área de qualquer círculo é igual a área de um triângulo retângulo, em que um dos lados sobre o ângulo reto é igual ao raio, e o outro lado igual a circunferência do círculo. [3]

Arquimedes utiliza a Proposição 1 e dupla redução ao absurdo, que é funda-mentada na seguinte propriedade:

Dada duas grandezas x e y, uma, e somente uma, das alternativas abaixo pode ocorrer:

ou x > y ou x < y ou x = y.

Para mostrar que duas grandezas x e y são iguais, Arquimedes supõe por absurdo que elas são diferentes, ou seja, uma das alternativas x > y ou x < y tem que ser verdadeira, chegando a um duplo absurdo, concluindo por m que x = y.

Consideremos C o comprimento da circunferência, T = C×r

2 a área do triângulo

e A a área do círculo. De acordo com a Proposição 3 temos A = C×r 2 .

De fato, caso não seja vericada a igualdade anterior, então ou ocorre A > T ou ocorre A < T , exclusivamente.

2_{Ver demonstração em [2], páginas 528 à 530.} 3_{Diâmetro da circunferência é 2r.}

Suponhamos que A > T e sejam as grandezas A − T e A. Como A − T < A, pelo axioma de Eudoxo, existe um natural n tal que A < n (A − T ).

Tomemos os polígonos regulares Pn, inscritos na circunferência de raio r. Cada

polígono, a partir do primeiro (quadrado inscrito), e construído acrescentando triângulos isósceles a cada lado. Para isso, tomamos o ponto médio de cada setor circular JAEB e

construímos os triângulos com vértice neste ponto médio e com um dos lados sobre e igual ao lado do polígono anterior. Deste modo, obteremos polígonos que possuem o dobro de lados do polígono antecedente, ou seja os polígonos regulares Pn possuem o número de

lados dado por LPn = 2LPn−1 = 2

n+1 para todo número natural n ≥ 2, com L P1 = 2

2.

Consideremos a sequência de polígonos regulares Pn com 2n+1 lados inscritos

na circunferência de raio r, as áreas APn desses polígonos são menores que a área A do

círculo. E seja Tn = APn−APn−1, para todo natural n ≥ 1, a soma das áreas dos triângulos

isósceles acrescentados a cada lado do polígono anterior, conforme Fig.1.8, e denamos AP0 = 0.

Fig.1.8. Polígonos regulares inscritos.

Denotamos por Sn = A − APn a soma das áreas dos setores circulares entre a

circunferência e os polígonos inscritos. Armamos que Sn−1 > Tn> 1₂Sn−1.

De fato, construindo retângulos sobre o arco JAEB na Fig.1.8, obtemos a

Fig.1.9 que segue.

Cada retângulo eABCD, construído conforme gura anterior, tem área maior

que o setor circular JAEB. Também é verdade que cada triângulo tem área maior que a

metade de cada setor circular, uma vez que AJAEB > A4AEB =

Ae ABCDE 2 > A_J AEB 2 . Dado A − APn−1 > Tn > 1 2 A − APn−1
, então existe 1 2 < q < 1, tal que Tn= A − APn−1
q. Da igualdade Tn= APn − APn−1, obtemos4 APn = n P Tk k=1 Sn = A− n P k=1 Tk Tn= A − APn−1
q =  A− n−1 P k=1 Tk  q. A sequência Tn =  A− n−1 P k=1 Tk 

q pode ser escrita como Tn = Aq (1 − q)n−1,

com 0 < 1 − q < 1 2 e T1 = AP1 = Aq. De fato, Tn =  A− n−1 P k=1 Tk  q =  A− n−2 P k=1 Tk− Tn−1 

q, que por sua vez é igual a Tn =



Tn−1

q − Tn−1



q = Tn−1(1 − q) = Aq (1 − q)n−1 para todo número natural

n ≥ 1.

Sendo A − T < A, pelo princípio de Arquimedes, existe um número natural n tal que A < n (A − T ).

Agora retiramos de A a grandeza T1 maior que sua metade, e depois T2, uma

grandeza maior que a metade do que sobra, e assim por diante, obtendo na etapa n − 1 a expressão A−n−1P k=1 Tk. Da igualdade Tn=  A− n−1 P k=1 Tk  q, concluímos que: A− n−1 P k=1 Tk = T_qn = A (1 − q) n−1_{, e das desigualdades A < n (A − T ) e 0 <} 1 − q < 1 2, obtemos A− n−1 P k=1 Tk = A (1 − q) n−1 < ₂n−1A < n(A−T ) 2n−1 < A − T, pois n 2n−1 < 1 (indução)5. De APn = n P k=1 , temos APn−1 = n−1 P k=1

Tk. Desta igualdade e da desigualdade A− n−1

P

k=1

Tk < A − T, concluímos que A − APn−1 < A − T, então APn−1 > T.

4Pn k=1 Tk = n P k=1 APk− APk−1
= n P k=1 APk− n P k=1 APk−1= APn− AP0. 5_{0 < 1 − q <} 1 2 ⇒ 0 < (1 − q) n−1 <₂n−11 ⇒0 < A (1 − q) n−1 <₂n−1A < n(A−T ) 2n−1 < A − T.

A área de um polígono regular de 2n+1 _{lados iguais a b}

n inscrito em uma

circunferência de raio r é dada por APn =

2n+1_b nhn

2 =

pnhn

2 , onde bn é o lado o polígono

regular inscrito, pn o perímetro desse polígono regular e hna altura dos 2n+1triângulos ao

qual o polígono com 2n+1 _{lados foi dividido. Entretanto, p}

n < C e hn < r, disto segue que

pnhn < Cr, então pn₂hn < Cr₂ , logo APn < T. E, como APn > T, temos uma contradição,

isso ocorreu da hipótese A > T , logo essa suposição é falsa.

Suponhamos A < T , e consideremo os polígonos regulares Pn com 2n+1 lados,

circunscritos a circunferência de raio r, construídos como na Fig.1.10 abaixo:

Fig.1.10. Polígonos regulares circunscritos. A área APn de um polígono regular de 2

n+1 _{lados iguais a b}

n e perímetro pn,

circunscrito a uma circunferência de raio r, é dada por APn =

2n+1_b nhn

2 =

pnhn

2 , onde hn

é altura dos 2n+1 _{triângulos ao qual o polígono com 2}n+1 _{lados foi dividido. E como P} n

está circunscrito na circunferência de raio r, temos que pn > C e hn= r, disto segue que

pnr > Cr, então pn₂r > T = Cr₂ , logo APn > T para todo número natural n ≥ 1.

De APn > T, segue que a área AP1 > T > T − A. Considerando as grandezas

AP1 e T − A, vamos aplicar a Proposição 1, e para isso, consideremos Tn= APn−1− APn, a

sequência de áreas dos triângulos obtida retirando as áreas do polígono Pn−1 do polígono

Pn, respectivamente, para todo número natural n ≥ 2, com T1 = A = AP1q. Seja

Sn = APn − A, a área entre os polígonos circunscritos e o círculo de raio r. Da Fig.1.10

vemos que Tn+1 > 1₂Sn. Disto segue que Tn+1 = Snq = (APn− A) qpara algum

1

2 < q < 1.

Da relação Tn = APn−1− APn podemos escrever

T1 = A T2 = AP1 − AP2 T3 = AP2 − AP3 T4 = AP3 − AP4 T5 = AP4 − AP5 ... Tn= APn−1 − APn

Somando os Tk para 1 ≤ k ≤ n, obtemos n P k=1 Tk = A + Ap1 − APn APn = A + AP1− n P k=1

Tk. Desta igualdade segue que

APn = A + AP1−

n

P

k=1

Tk

Também podemos escrever Sn= AP1−

n

P

k=1

Tk.

Do que foi feito anteriormente, temos a igualdade Tn+1 =

 AP1− n P k=1 Tk  q. Desta igualdade, podemos escrever a relação Tn como

Tn+1 =  AP1− n P k=1 Tk− Tn  q Tn=  AP1− n P k=1 Tk  q Tn q = AP1− n P k=1 Tk Tn+1 =  Tn q − Tn  q = Tn(1 − q) Tn+1 = T1(1 − q)

n _{para todo natural n ≥ 1 e T} 1 = A.

Agora retirando de AP1, T1 = A, uma parte maior que sua metade, depois

T2, uma parte maior que a metade do que sobra, e assim sucessivamente, na etapa n − 1

camos com AP1− n P k=1 Tk = T_qn = Apn − A.

Pelo princípio de Arquimedes existe n natural tal que AP1 < n (T − A).

Armamos que APn < T.

De fato, uma vez que APn − A = AP1−

n

P

k=1

Tk = T_qn = T1(1 − q)n−1 , temos

APn− A = A (1 − q)

n−1_{. De forma análoga, concluímos que}

APn − A < T − A, ou seja APn < T. Entretanto, APn > T para todo n ≥ 1.

Desta forma temos um absurdo, e isso ocorreu da hipótese A < T , logo essa suposição é falsa.

Não podendo ser A > T e nem A < T , então temos que A = T = Cr 2 .

A demonstração anterior é feita em um número de passos nito, o que deixa de fora a necessidade de trabalharmos com números innitamente grandes ou innitamente pequenos. Também observamos que as áreas dos polígonos circunscritos formam uma sequência decrescente, e dos inscritos crescente.

Denotando por An a área dos polígonos circunscritos, por an a dos polígonos

inscritos, e sendo A a área do círculo, temos as seguintes desigualdades: a1 < a2 < . . . < an< A < An< . . . < A2 < A1.

Estas desigualdades nos mostram que quanto maior o número de lados dos polígonos circunscrito e inscrito, mais próximos da área A do círculo estaremos. Intui-tivamente, dizemos que, para n innitamente grande (n → ∞), as diferenças A − An e

an− A tornam-se innitamente pequenas (tendem a zero), de forma equivalente, temos

   An → A an → A .

Vamos ver o que acontece com a diferença An− an para os polígonos

circuns-critos e inscrito de 2n+1 lados, para isso consideremos a Fig.1.11.

Fig.1.11. Relação entres as áreas An e an.

Os triângulos da Fig.1.11 são semelhantes, logo an

An = hn r
2 . Também temos as seguintes relações α = ₂πn hn= r cos ₂n+1π
.

Do que foi posto anteriormente, podemos escrever

an An = cos 2 π 2n+1
an= Ancos2 ₂n+1π
An− an = An1 − cos2 ₂n+1π
 An− an = Ansen2 ₂n+1π
.

An é uma sequência limitada, ou seja, A < An < A1. Assim, temos:

Asen2 ₂n+1π
<.sen 2 π 2n+1
An < A1sen 2 π 2n+1
Asen2 π 2n+1
< An− an< A1sen2 ₂n+1π

Tomando um número n → ∞ a razão π

2n+1 torna-se innitamente pequena,

então podemos supor que Asen2 π 2n+1

é um número innitamente pequeno (tende a zero), logo

An= an.

Mostremos, agora, as seguintes armações:

i) As áreas dos polígonos inscritos e circunscritos tendem a um mesmo valor, no caso em questão tendem a área A do círculo;

De fato, para o polígono inscrito temos an = APn =

n

P

k=1

Tk e Tn = Aq (1 − q)

n−1 _{para todo número natural n ≥ 1.}

Disto segue que an=

n

P

k=1

Aq (1 − q)k−1 = _1−1+qAq = A para n → ∞. E para os polígonos circunscrito

An= APn = A + AP1− n P k=1 Tk e Tn= AP1q (1 − q) n−1_{. Logo obtemos} An= A + AP1− n P k=1 AP1q (1 − q) k−1 = A + AP1 − A_P1q 1−1+q = Apara n → ∞.

ii) O comprimento da circunferência de raio r vale 2πr.

De fato, dado que a área de um círculo de raio r é dada por πr2_{, da Proposição}

3, esta mesma área vale Cr

2 , desta forma podemos escrever Cr

2 = πr

2_{, logo C = 2πr.}

iii) O perímetro dos polígonos inscritos e circunscrito tendem ao comprimento C da circunferência.

De fato, consideremos Pno perímetro do polígono circunscrito e pno perímetro

do polígono inscrito.

Para os polígonos inscritos temos

an= pn₂hn = A ⇒ pn= 2A_hn. Como hn= r cos ₂n+1π
e A = πr2_{, obtemos} pn = _cos(2πrπ 2n+1) . Para n → ∞ temos cos ₂n+1π
→ 1 e pn= 2πr.

Para os polígonos circunscritos, temos An= P₂nr = A ⇒ Pn= 2πr para n → ∞ .

Na seção seguinte abordaremos a quadratura da parábola feita por Arquime-des. O método empregado por ele para encontrar a área do círculo foi utilizado, também, para encontrar a área delimitada por um segmento de parábola (quadratura da parábola).

Discutiremos como Arquimedes demonstra que a série 1 4+ 1 42+ 1 43+. . .+ 1 4n−1+. . .

converge para o valor 4

3 sem utilizar o conceito de limite, utilizando-se do fato de que a

soma Pn k=1 T 4k−1 + 1 3 T 4n−1 vale 4

3T para todo n, evitando, assim, o incomodo da época em

1.2.2 Quadratura da Parábola (Arquimedes)

-Utilizando o mesmo método para o cálculo da área delimitada por uma cir-cunferência, Arquimedes demonstra que a área sobre um segmento de parábola é igual a

4

3 da área de um triângulo inscrito nesse segmento, conforme Fig.1.12.

Fig.1.12. Área delimitada por um segmento de parábola.

Consideremos a sequência de áreas Tn+1,2n dos triângulos inscritos sobre o

segmento de parábola, onde o primeiro índice, n + 1, indica a etapa em que estamos ins-crevendo o triângulo e o segundo índice, 2n_{, o número total de triângulos que inscrevemos}

nesta etapa, conforme Fig.1.13.

Fig.1.13. Triângulos inscritos num segmento de parábola.

Proposição 4: Seja o ponto D onde a tangente à parábola é paralela a BC, e T1,1 = T. Então a área do triângulo T2,2 = 1₈T1,1, e em geral, as

áreas acrescidas a cada lado do triângulo anterior satisfazem a relação Tn+1,2n = 1

8Tn,2n−1 [3].

Vamos admitir válida, sem demonstração, a Proposição 4.

Seja a construção dada pela Fig.1.14, onde D é o ponto onde a reta paralela ao lado BC tangencia a parábola, e C é o ponto de onde a reta paralela à base AB tangência a parábola. Procedendo de forma análoga, a construção para os demais segmentos de

parábola que surgem, é possível mostrar que, a cada construção, os triângulos construídos sobre cada lado do segmento de parábola têm a mesma área e são maiores que a metade da área do segmento de parábola que resta.

Fig.1.14. Construção de triângulos inscritos num segmento de parábola. Da relação Tn+1,2n = 1

8Tn,2n−1 (Proposição 4), com T1,1= T, obtemos

Tn+1,2n =

T_n,2n−1

8 =

1

8nT, para todo número natural n ≥ 06.

Cada triângulo inscrito sobre o segmento de parábola dá origem ao dobro do segmento de parábola anterior, uma vez que o número de lados do polígono inscrito dobra, assim como o número de triângulos inscritos. Disto segue que a área An acrescentada é

dada por An= 2

n

8nT =

1

4nT, n ≥ 0. Esta relação nos mostra que a cada etapa a área que

acrescentamos é 1

4 da área anterior, ou seja, An = An−1

4 , com A0 = T, para todo n ≥ 1.

Então a área total acrescentada na etapa n é dada pela soma

n P k=0 An= A0+ A₄0 + A₄20 + . . . + A0 4n−1 + A0 4n.

Proposição 5: Sejam dadas as sequências an = a1qn−1, com q 6= 0 e

a1 6= 0 e sn= n

P

k=1

ak a soma dos n primeiros termos dessa sequência. Se

adicionarmos a sn o termo _1−qq an, então esta soma será igual a _1−qa1 para

todo número natural n.

De fato, a sequência an = a1qn−1 é uma progressão geométrica de razão q 6= 0

e primeiro termo a1 6= 0. A soma sn pode ser escrita como:

sn= a1+ a1q + a1q2+ . . . + a1qn−1= a1(q

n₋₁₎

q−1 .

6_{O número de triângulos acrescentados na etapa n é o dobro do número de triângulos da etapa n − 1,}

ou seja, nTn= 2nTn−1= 2

Da igualdade anterior, obtemos sn = −a1q

n

1−q + a1

1−q, que pode ser escrita como

sn+ _1−qq an= _1−qa1 , que prova a proposição.

A Proposição 5 nos diz que:

sn+ _1−qq an = sn−1+ _1−qq an−1 = . . . = s2+_1−qq a2 = _1−qa1 .

Proposição 6: Seja dada a sequência de áreas An, tal que An−1 = 4An,

então a soma

sn+ A₃n = A0+ A1+ A2+ . . . + An+A₃n = 4₃A0.

.

De fato, basta aplicar a Proposição 5 para an= An e q = 1₄.

Vamos mostrar que a porção da área delimitada por um segmento de parábola é igual a 4

3 da área de um triângulo inscrito nesse segmento. Mas antes mostremos que a

área de qualquer triângulo, cujo um dos vértices pertence a reta tangente ao segmento de parábola paralela a base, tem área maior que a metade desse segmento.

Seja a Fig.1.15, os segmentos DE e AB são paralelos (por construção), assim como os segmentos BE e AD são paralelos a CM, mediana do segmento AB.

Fig.1.15. Relação entre as áreas do segmento de parábola e do triângulo inscrito. Os triângulos 4ADC e 4ACM da Fig.1.15 são congruentes, assim como os

triângulos 4BCE e 4BCM, logo a área do triângulo inscrito sobre o segmento de parábola

ACB é a metade da área do paralelogramo₍ABED, que por sua vez é maior que a metade

da área do segmento de parábola aACB.

Escolhendo o segmento de parábola com base AC e outro com base BC (Fig.1.5) e construindo um triângulo como feito anteriormente, chegamos a mesma con-clusão, o que nos mostra que as áreas dos triângulos acrescentados são maiores que a metade da área do segmento de parábola ao qual foi inscrito. De posse dessa observação, demonstremos a seguinte proposição:

Proposição 7: A área delimitada por uma parábola e uma corda AB é igual a quatro terço da área do triângulo, que tem a mesma base que o segmento e a mesma altura. [3]

Fig.1.16. Razão entre as áreas do segmento de parábola e do triângulo. Vamos considerar ASP a área sobre o segmento de parábola e A = 4₃T, onde

T é área do triângulo inscrito no segmento em questão (Fig.1.16). Como cada triângulo, construído de acordo com a Fig.1.14, tem área maior que a metade do segmento de parábola ao qual está inscrito, temos que

A0 > 1₂ASP A2 > 1₂(ASP − A0 − A1) A3 > 1₂(ASP − A0 − A1− A2) ... An> 1₂(ASP − A0− A1− A3− . . . − An−1). An> 1₂  ASP− n−1 P k=0 Ak 

para todo n ≥ 0, com A0 = ASPq.

Do resultado anterior, existe 1

2 < q < 1, tal que An =  ASP− n−1 P k=0 Ak  q. Esta relação pode ser escrita como An= q (1 − q)

n

ASP.

De fato, dado que An=

 ASP− n−1 P k=0 Ak  q podemos escrever An q = ASP− n−1 P k=0 Ak = ASP− n−2 P k=0 Ak− An−1 e An−1 q = ASP− n−2 P k=0 Ak.

Das relações anteriores, obtemos: An=  ASP− n−2 P k=0 Ak− An−1  q An=  An−1 q − An−1  q An= An−1(1 − q)

An= A0(1 − q)

n_{. Sendo assim, segue a armação.}

Vamos supor que ASP > A. Considerando as grandezas ASP − A > 0 e ASP,

pelo princípio de Arquimedes, existe um natural n, tal que ASP < n (ASP − A).

Agora retiramos de ASP a grandeza A0, maior que sua metade, depois A1,

maior que a metade de ASP − A0, e assim até a etapa n − 1, cando com a seguinte

expressão: ASP− n−1 P k=0 Ak= ASP (1 − q) n−1_{, e dado que 1−q <} 1 2, obtemos (1 − q) n−1 < ₂1n.

Desta desigualdade, concluímos que ASP− n−1 P k=0 Ak= ASP (1 − q)n−1 < A₂SPn < n(ASP−A) 2n < ASP − A.

Com isso, temos a seguinte relação n−1P

k=0

Ak > A = 4₃T. Esta desigualdade é

absurda, uma vez que 4 3T = n−1 P k=0 Ak+ An−1 3 > n−1 P k=0

Ak. Logo não podemos ter ASP > 4₃T.

Vamos supor que A > ASP.

Armamos que An> 1₂  A− n−1 P k=0 Ak  . De fato, A−n−1P k=0 Ak = 4₃T −4₃T 1 − ₄1n
= 4 3 T 4n = 4

3An.7 Desta igualdade segue

que An > 1₂4₃An= 2₃An para todo n ≥ 0.

Assim sendo, podemos escrever a seguinte desigualdade (Proposição 1) A− n−1 P k=0 Ak< A − ASP n−1 P k=0 Ak> ASP. A soma n−1P k=0

Ak é a área de um polígono de n − 1 lados inscrito no segmento

de parábola, logo n−1P

k=0

Ak< ASP. Sendo assim chegamos a um absurdo.

Como não podemos ter ASP < A e nem A > ASP, concluímos assim que

ASP = A = 4₃T.

Exemplo 1.2: Um exemplo de uso do método de Arquimedes é o cálculo da área sobre a parábola y2 _{= x}. Está área mede 2

3x

3 2.

De fato, considere a Fig.1.17

7n−1P k=0 Ak = n−1 P k=0 T 4k = T + T 4 + T 42 + . . . + T 4n−1 = 4 3T 1 − 1 4n
_.

Fig.1.17. Área delimitada pela parábola y2 _{= x}.

A área sobre a parábola y2 _{= x é a metade de} 8 4 3 (2T ). T = x √ x 2 = √ x3 2 = x32 2 A = 1 2 4 3x 3 2 = 2 3x 3 2.

Neste primeiro capítulo tivemos a oportunidade de discutir sobre os primeiros conceitos do cálculo. Na primeira parte notamos a necessidade de se denir a convergência de séries e sequências. Esta foi a principal diculdade encontrada pelos matemáticos do século V a.C. Lidar com somas innitas de termos positivos, intuitivamente nesta época, levava a uma conclusão errônea sobre o valor que essa soma poderia atingir, como pudemos ver nos paradoxos da dicotomia e de Aquiles e a tartaruga de Zeno.

Na segunda parte, abordamos o conceito de integral pelo método da exaustão de Eudoxo. Arquimedes conseguiu se esquivar totalmente da necessidade de se trabalhar com somas innitas, apenas com o uso do axioma mencionado. Também, conseguiu encontrar o valor de uma série sem a necessidade de tomar a passagem ao limite. Pudemos notar que o método empregado por ele é aplicado em um número nito de passos. Esta primeira abordagem do cálculo integral será retomada no capítulo que segue, mas com uma nova abordagem.

8_{Esta área, futuramente, poderá ser calculada pela integral}´x 0 a

√

Capítulo 2

Cálculo diferencial e integral: Fermat

-No capítulo anterior tivemos a oportunidade de ver os primeiros conceitos do cálculo integral através do método da exaustão, utilizado por Arquimedes, para o cálculo da área delimitada por uma circunferência (quadratura do círculo) e o cálculo da área delimitada por um segmento de parábola (quadratura da parábola), sem a necessidade de trabalharmos com o conceito de limite. Retomamos estes cálculos neste capítulo através dos conceitos do cálculo diferencial e integral desenvolvidos por Pierre de Fermat (1601 -1665). Veremos que Fermat, intuitivamente, dene as bases teóricas do cálculo diferencial e integral através dos problemas de encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a uma curva, primeiros conceitos do cálculo de derivadas, e, novamente, retoma à quadratura da parábola, em particular das parábolas de Fermat da forma y = xn_{, uma generalização do}

método de Arquimedes para quadratura da parábola, e a quadratura das curvas y = ax−n

para todo racional n 6= 1. Estes métodos são a base para o desenvolvimento da teoria do cálculo conforme proposto, independentemente, por Newton e Leibniz no nal do século XVII e meados do século XVIII.

Utilizaremos as denições dadas no primeiro capítulo, assim como as seguintes propriedades do somatório P e a fatoração de binômios.

n P k=1 ak = a1 + a2 + a3+ . . . + ak−1+ ak; n P k=1 αak = α n P k=1

ak, α 6= 0 número real qualquer; n P k=1 (ak± bk) = n P k=1 ak± n P k=1 bk; n P k=1 (ak+1− ak) = n P k=1 ak+1− n P k=1 ak= an+1− a1; n P k=1 m P j=1 (akbj) = n P k=1 ak m P j=1 bj = m P j=1 n P k=1 (bjak)

an− bn_{= (a − b)} Pn

k=0

an−1−kbk.

Admitimos, também, que dada uma progressão geométrica xn = xqn−1 e de

primeiro termo diferente de zero e razão 0 < q < 1, então a soma de todos os termos xn

para n → ∞ innitamente grande vale Sn = x

n

P

k=1

qk−1 = x_1−q1 .

Utilizaremos, também, as seguintes notações para quadratura, com signicado numérico de área delimitada por uma curva, e a tangente a uma curva y = f (x):

QAx

a(y) = QAxa[f (x)] - quadratura de y = f (x) no

intervalo [a; x];

TAx(y) = TAx[f (x)] - tangente em x;

2.1 O cálculo diferencial de Fermat

-Podemos dizer que o cálculo diferencial teve sua origem com o matemático francês Pierre de Fermat, quando desenvolveu seu método para encontrar máximos e mínimos e o cálculo da tangente a uma curva. Este método deu origem ao que chamamos hoje de derivada, culminando, assim, no que conhecemos por cálculo diferencial.

Discutiremos o método de Fermat para encontrar máximos e mínimos, e em seguida, o método da tangente de Fermat nesta primeira parte deste capítulo.

2.1.1 Máximos e mínimos de uma curva

Consideremos a Fig.2.1 que segue.

A Fig.2.1 nos mostra que, nas proximidades dos pontos onde a curva atinge um valor máximo ou valor mínimo, a diferença f (x + E) − f (x) é innitamente pequena, ou quase nula para E innitamente pequeno, ou seja, f (x + E) − f (x) ∼= 0.

Ao observamos os pontos próximos do valor máximo vericamos que a di-ferença f (x + E) − f (x) ≤ 0, enquanto nos pontos próximos do valor mínimo temos f (x + E) − f (x) ≥ 0. Disso segue que um dado ponto (x, y) de uma curva na forma y = f (x) é ponto de máximo, ou de mínimo, se para um E innitamente pequeno, tivermos, respectivamente:

f (x + E) ≤ f (x), f (x + E) ≥ f (x).

Para encontrar os valores de máximos ou de mínimos de uma curva na forma y = f (x), Fermat toma pontos próximos de um ponto x e depois, considerando o quociente

f (x+E)−f (x)

E , admitia E = 0, encontrando o ponto x que maximiza ou minimiza a curva.

Exemplo 2.1: Mostremos que dos retângulos de perímetro xo p, o que tem maior área é o quadrado.

De fato, considerando x > 0 e y > 0 os lados do retângulo, dado p = 2 (x + y), então x = p

2 − y. A área desse retângulo é dada por

A = xy = x p₂ − x
= −x2₊ p 2x, para    0 < x < p₂ 0 < y < p₂ .

Consideremos um valor E 6= 0 innitamente pequeno tal que x + E esteja em 0,p

2



, então podemos calcular o valor da área nesse ponto, como segue A (x + E) = − (x + E)2+p₂ (x + E) A (x + E) = −x2− 2xE − E2₊ p 2x + p 2E A (x + E) = −x2+p 2x | {z } A(x) − 2xE − E2₊ p 2E A (x + E) − A (x) = −2xE − E2₊ p 2E.

Nos pontos onde o valor da área é máximo teremos que A (x + E) − A (x) ∼= 0, logo podemos admitir que

−2xE − E2₊ p

2E ∼= 0. Dividindo toda essa expressão por E 6= 0, obtemos:

−2x − E + p₂ ∼= 0, ou seja, 2x ∼= −E + p₂.

Em m, admitimos que E é innitamente pequeno, obtemos x = p 4. Dado que y = p 2 − x = p 2 − p 4 = p 4, segue que x = y = p

4. Com isso concluímos

que o retângulo de maior área e perímetro xo é um quadrado de lados p 4.

Exemplo 2.2: Uma das aplicações do método de Fermat para encontrar máxi-mos ou mínimáxi-mos é no problema da trajetória da luz. Para ele a trajetória percorrida por um feixe de luz, partindo de um ponto A passando por um ponto B, é mínima. Este é conhecido como princípio do tempo mínimo de Fermat:

A trajetória seguida pela luz viajando de um ponto a outro é tal que o tempo de viagem é mínimo. Isto é, a luz percorre a trajetória mais rápida.

Vamos deduzir a chamada lei de Snell, utilizando o método de Fermat para minimizar o tempo de trajetória de um raio de luz partindo deA até B.

Consideremos a Fig.2.2. Um raio de luz parte de uma fonte luminosa no ponto Ano meio 1 com velocidade v1, ao passar para o meio 2 sua velocidade passa a ser v2 < v1,

atingindo o ponto B neste meio.

Fig.2.2. Lei de Snell - Princípio de Fermat. Da geometria da Fig.2.2 temos

D1 =ph21+ x2 e D2 = q (d − x)2+ h2 2 v1 = D_t11 e v2 = D_t22 t = t1+ t2 = √ h2 1+x2 v1 + √ (d−x)2+h2 2 v2 (tempo total) sen(α) = _√ x h2 1+x2 e sen(β) = _√ (d−x) (d−x)2+h22.

Como vemos o tempo t que a luz leva para ir de A a B depende somente de x. Fazendo t (x + E) − t (x) ∼= 0, onde E 6= 0 innitamente pequeno, obtemos

√ h2 1+(x+E) 2 v1 + √ (d−x−E)2+h2 2 v2 −  √ h2 1+x2 v1 + √ (d−x)2+h2 2 v2  ∼ = 0  √ h2 1+(x+E) 2₋√ h2 1+x2 v1  +  √ (d−x−E)2+h2 2− √ (d−x)2+h2 2 v1  ∼ = 0 E v1  2x+E √ h2 1+(x+E) 2₊√_h2 1+x2  +_vE 2  −2(d−x)+E √ (d−x−E)2+h22+ √ (d−x)2+h22  ∼ = 0.

1 v1 x √ h2 1+x2 − 1 v2 (d−x) √ (d−x)2+h22 ∼ = 0, 1 v1 x √ h2 1+x2 ∼ = _v1 2 (d−x) √ (d−x)2+h22 . 1 v1sen(α)∼= 1 v2sen(β).

A velocidade da luz depende do meio em que ela se propaga. Esta propriedade dependo do índice de refração do meio. Quanto maior o índice n de refração, menor é a velocidade da luz, ou seja v = c

n, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Logo concluímos

que 1 v1sen(α)∼= 1 v2sen(β) n1 csen(α)∼= n2 c sen(β) n1sen(α)∼=n2sen(β).

Exemplo 2.3: Suponhamos que a temperatura T em graus Celsius ao longo de um dia, após a meia-noite, seja T (t) = 40 − 4t + 0, 1t2_{, 0 ≤ t ≤ 24h, qual a temperatura}

mínima atingida neste dia.

Antes de resolvermos o problema, observemos que T (t) = 0, 1 (400 − 40t + t2_{) = 0, 1 (20 − t)}2.

Utilizando o método de Fermat, obtemos: T (t + E) = 0, 1 (20 − t − E)2

T (t + E) − T (t) = 0, 1 (20 − t − E)2− 0, 1 (20 − t)2 T (t + E) − T (t) = −0, 1 (40 − 2t − E) E

T (t+E)−T (t)

E = −0, 1 (40 − 2t − E)

Igualando a zero, obtemos 40 − 2t − E = 0

2t = 40, que tem como solução t = 20h.

Então, a temperatura será mínima às 20h, e terá o valor de T (20) = 40 − 4 × 20 + 0, 1 × 202 = 0.oC.

2.1.2 O método da tangente de Fermat

-Na seção anterior, discutimos como Fermat encontrava máximos e mínimos de uma curva. Utilizaremos estes argumentos para encontrar a tangente a uma curva em x, designada por TFx[f (x)]. Começaremos com o cálculo da tangente à parábola

às hipérboles superiores, y = ax−n_{. Por m faremos uma generalização do método de}

Fermat para curvas dadas por y = f (x) e aplicações.

Antes de começarmos vamos conhecer o método da tangente de Fermat. Consideremos uma curva dada por y = f (x), conforme Fig.2.3.

Fig.2.3. Método da tangente de Fermat.

Fermat, para calcular a tangente AC, procede da seguinte forma:

Considera o ponto O (x0+ e, f (x0+ e)), para e innitamente pequeno, de tal

forma que o ponto O esteja innitamente próximo do ponto de tangência C. A partir de então calcula a subtangente d, projeção da hipotenusa AC sobre o cateto AD do triângulo retângulo 4ADC, encontrando o ponto (x0− d, 0). Encontrando a subtangente

d, a tangente AC é calculada pela relação f (x0)

d .

Vamos mostrar primeiro como Fermat calcula d para as parábolas e hipérboles, e em seguida a generalização deste método para uma curva dada por y = f (x).

2.1.3 Tangente às parábolas e às hipérboles

-Vamos começar esta seção mostrando como Fermat calcula a tangente à pa-rábola y2 _{= x. Em seguida iremos generalizar este método às parábolas e às hipérboles}

superiores para um número racional n. Faremos uma generalização deste método para curvas dadas por y = f (x), o que nos propiciará realizar o cálculo da tangente implícita à curva F (x, y) = 0. Discutiremos as propriedades do método da tangente de Fermat, e terminaremos aplicando este método à aproximações de curvas por séries de potências, em particular a aproximação da curva cos (x).

Para encontrar a tangente à parábola y2 _{= x, Fermat antes encontra a}

sub-tangente d, projeção ortogonal da hipotenusa T E sobre o cateto T F , conforme Fig.2.4, encontrando o ponto T (x0 − d, 0) de interseção da reta tangente com o eixo x. E para

encontrar o coeciente angular (ou inclinação) da reta tangente basta utilizar a relação

y0−0

x0−(x0−d) =

y0

Consideremos a Fig.2.4, dados e innitamente pequeno e o ponto O (x0+ e, y1)

da parábola, bem próximo de E (x0, y0). Sejam

←→

T E a reta tangente à parábola no ponto E, T (x, 0) um ponto sobre o eixo x e d = x0− xa subtangente.

Fig.2.4. Tangente à parábola y2 _{= x.}

Da geometria da Fig.2.4 obtemos F E = y0, BO = y1 e BC > BO.

Os triângulos 4ABC e 4AEF são semelhantes, disto segue que BC y0 = d+e d , logo BC = y0 d+e d

. Também temos BC > BO = y1, e sendo os

pontos E e O pertencentes à parábola y2 _{= x, podemos escrever as seguintes relações}

y₀2 = x0 e y21 = (x0+ e), que nos leva a y2 1 y2 0 = x0+e x0 ⇒ y 2 1 = y02  x0+e x0 . Da

desigualdade BC > BO = y1, camos com

BC2 > y2 1 y2 0 d+e d
2 > y2 0  x0+e x0   d2_+2de+e2 d2  >x+e_x 0  x0d2+ 2x0de + x0e2 > x0d2+ d2e

2x0de + x0e2 > d2e (dividindo por de)

d < 2x0 + x_d0e. O valor máximo se dá quando d = 2x0 + x_d0e, tomando e

innitamente pequeno, obtemos1 _{d = 2x}

0, disto segue que x = −x0.

Da Fig.2.4, temos que a reta r : .y − y0 = m (x − x0), tangente à parábola

y2 _{= x, com y > 0, passa pelos pontos T (−x}

0, 0) e E (x0, y0). O coeciente m de

inclinação da reta vale: m = y0 d = √ x0 2x0 = 1

2√x0, que é a tangente procurada.

O método aplicado por Fermat para o cálculo da tangente à parábola y2 _{= x}

pode ser generalizado para encontrar a tangente às parábolas superiores y = axn _{e às}

hipérboles superiores y = ax−n_{, com a 6= 0 e n racional.}

1_{Para chegar a este resultado Fermat admite e = 0 na igualdade d = 2x0+}x0

Mostremos, apenas, para o caso das hipérboles superiores y = ax−n _{que a}

tangente (ou a inclinação da reta) é dada por −nax−n−1_.

De fato, consideremos a Fig.2.5.

Fig.2.5. Tangente à curva y = ax−n_.

Da geometria da Fig.2.5 obtemos:

BO = a (x − e)−n, CE = ax−n, AB = d + e e AC = d. Os triângulos 4ABD e 4ACE são semelhantes, logo temos: BD

CE = AB

AC ⇒ BD = CE · AB

AC. Desta igualdade obtemos BD = ax

−n d+e d

. Como BD < BO = a (x − e)−n_{, concluímos que ax}−n d+e

d

< a (x − e)−n. Assim sendo, obtemos a seguinte desigualdade:

1 xn d+e d < 1 (x−e)n (x − e)nd + e (x − e)n < xnd [(x − e)n− xn_{] d < −e (x − e)}n d < _(x−e)−e(x−e)n_−xnn d < −exn −e n−1 P k=0 (x−e)n−1−kxk  d < n−1 xn P k=0

(x−e)n−1−kxk. Desta desigualdade, concluímos que o valor máximo ocorre

quando d = xn

n−1

P

k=0

(x−e)n−1−kxk. E admitindo e innitamente pequeno, obtemos

d = n−1xn P k=0 xn−1 d = _nxxn−1n = x n.

A reta tangente à hipérbole passa pelos pontos A (x + d, 0) e E (x, ax−n_{) , o}

coeciente m de inclinação da reta é dado por:

Para as parábolas superiores y = axn_{, de forma análoga, encontramos a}

tan-gente dada por naxn−1 _{para todo número racional n.}

Exemplo 2.4: Utilizando a relação anterior com n = 1

2, n = 0 e n = −1, encontramos, respectivamente TFx  ax12  = 1₂ax12−1 = 1 2ax −1 2 = a 2√x; TFx(ax

0_{) = 0 · ax}0−1_{= 0 (tangente da curva constante é igual a zero).}

TFx(ax

−1_{) = −1 · ax}−1−1 _{= −ax}−2_.

Exemplo 2.5: Calculemos a equação da reta r :.y − y0 = y_d0 (x − x0), tangente

à hipérbole de equação f (x) = 3x−4 _{no ponto (1, 3).}

Tomando a = 3, n = −4, x0 = 1 e y0 = f (1) = 3, obtemos:

TFx=1(3x

−4_{) = −12}

y − 3 = −12 (x − 1)

y + 12x − 15 = 0.

Podemos generalizar o método da tangente de Fermat para as curvas dadas por y = f (x), como veremos na seção que segue.

2.1.4 Generalização do método da tangente

-Em geral, dada uma curva na forma y = f (x), a reta r :.y − y0 = m (x − x0),

tangente à curva no ponto (x0, y), passando por A = (x0± d, 0), tem inclinação dada por f (x0+e)−f (x0)

e para e innitamente pequeno.

De fato, consideremos a Fig.2.6.

Fig.2.6. Generalização do método da tangente de Fermat. Admitindo e innitamente pequeno, e considerando