Observador de Ordem Plena

Nesta seção será utilizada a notação

x

para designar o vetor de estado

observado, sendo que em muitos casos, este vetor é utilizado na retroação de estados para gerar o vetor de controle desejado.

Para elucidar de forma mais clara o tema abordado nesta seção, será definido o sistema contínuo no tempo a seguir:

.

.

x

A xB u

(3.23)

.

Em que:



x:

vetor de estado (n-dimensional); 

u:

sinal de controle (escalar); 

A:

matriz (n x n);



B:

matriz (n x 1).

Admitindo-se que o estado

x

deva ser aproximado pelo vetor de estado

observado

x

do modelo dinâmico que representa o observador de estado conforme equação (3.25), pode se verificar que este observador possuiu como sinais de entrada para estimativa de

y

e

u

, e como sinal de saída estimado

x

:





.

.

_e

.

.

x

A x

B uk

y

C x

(3.25)

O termo que envolve a diferença do valor medido do sinal de saída

y

e o valor estimado do sinal de saída

C x.

é conhecido como termo de correção. A matriz

e

k

funciona como uma matriz de ponderação, em que o seu termo monitora o estado

x

. Quando existem discrepâncias entre as matrizes A e B utilizadas no

modelo e as do sistema real, será realizada a adição do termo de correção para reduzir os efeitos devidos às diferenças entre o modelo dinâmico e o sistema real. A figura a seguir apresenta o diagrama e blocos do sistema e do observador de estado de ordem plena:

Figura 31 - Diagrama de blocos de sistema e do observador de estado de ordem plena, quando o sinal de entrada (u) e o sinal de saída (y) são escalares.

Fonte: Adaptado de Ogata (2000).

Será admitido para a Figura 31 que as matrizes A e B são as mesmas tanto para modelo, quanto para o sistema real, e que a ordem do observador de estados é a mesma do sistema. Desta forma, pode-se definir que o sistema real é representado pelas equações (3.23) e (3.24), e que o modelo do observador será definido pela equação (3.25) .

Para se obter a equação que determina o erro do observador de estados, deve-se subtrair a equação (3.25) da equação (3.24), conforme apresentado a seguir:

.

.

_e

.( .

. )

(

_e

. ).(

)

x x

A x

A xk

C xC x



Ak C

xx

(3.26)

Desta forma, pode-se definir que a diferença entre

x

e

x

como sendo o vetor erro, podendo desta forma a equação (3.26), ser reescrita como:

(

_e

. ).

e

Ak C e

(3.27)

Considerando a equação (3.27), pode-se perceber que o comportamento dinâmico do vetor de erro é determinado pelos autovalores da matriz

Ak C

_e

.

. Se esta matriz for estável, o vetor erro convergirá para zero independentemente do

valor inicial do vetor

e

, ou seja, o vetor de estado observado

x t( )

convergirá para

( )

x t

quaisquer que sejam os valores iniciais para os mesmos. Desta maneira é

possível escolher os autovalores da matriz

Ak C

_e

.

, de tal forma que o

comportamento dinâmico do vetor seja assintoticamente estável e adequadamente rápido.

Segundo Ogata (2000), se o sistema for de estados completamente observáveis, a matriz de ganho do observador pode ser determinada de forma a conduzir à matriz

Ak C

_e

.

desejada.

Porém, existe um grande problema em se projetar um observador de ordem plena, segundo Ogata (2000), o qual este se encontra em determinar a matriz de ganho do observador

k

_e de tal modo que a dinâmica do erro determinado pela equação (3.27) seja assintoticamente estável com suficiente velocidade de resposta. Sabendo-se que a estabilidade assintótica e a velocidade de resposta da dinâmica do erro são determinadas pelos autovalores da matriz

Ak C

_e

.

, pode-se deduzir que o projeto de um observador de ordem plena se resume na determinação de uma matriz

k

_e apropriada para que a matriz

Ak C

_e

.

possua autovalores desejados.

Ainda considerando o sistema descrito pelas equações (3.23) e (3.24), o projeto do observador de ordem plena pode ser resolvido através do problema dual, conforme representado pelas equações a seguir:

*.

*.

z

A

zC

v

(3.28)

*.

nB

z

(3.29)

Admitindo-se que o sinal de controle

v

seja representado pela equação a

seguir:

.

v k z

(3.30)

Se o sistema dual apresentar estados completamente observáveis, a matriz de ganho de retroação de estados

k

pode ser determinada com o objetivo que a

Admitindo-se que [

 

₁

,

₂

,...,

₃], são os autovalores desejados para a matriz do observador de estados, então, tomando-se os mesmos [



_i] como autovalores desejados para a matriz de ganho de retroação do sistema dual, obtém-se:



1



2

 



( *

*. )

...

_n

sI



A

C

K

 s



s

s

(3.31)

Considerando-se que os autovalores de

A*C*.K

sejam os mesmos de

*.

Ak

C

, têm-se:

( *

*. )

(

*. )

sI



A

C

K



sI



AK

C

(3.32)

Feitas as devidas comparações entre o polinômio característico

( *

*. )

sI



A

C

K

e o polinômio característico

sI

( .A

k

_e

*. )C

do sistema observado, referido na equação (3.27), encontra-se a seguinte relação:

*

e

k

k

(3.33)

Desta forma, utilizando-se a matriz K determinada pela abordagem da alocação de polos do problema dual (pode ser observada em Ogata (2000) em 12- 2), pode-se determinar a matriz de ganho do observador K, para o sistema original usando-se a relação apresentada por (3.33).

Para que se possa determinar a matriz de ganho do observador

k

_e, algumas condições necessárias e suficientes precisam ser respeitadas, como o dual do sistema original representado pela equação (3.28) seja de estados completamente controláveis. A condição de completa controlabilidade de estados para este sistema dual é que o posto da equação a seguir seja

n

.

 

1

*

*. * . . .

*

n

. *

C

A C

A



C













(3.34)

Esta é a condição de completa observabilidade de estado do sistema original definido pelas equações (3.23) e (3.24), ou seja, esta é a condição necessária e suficiente para que o sistema seja completamente observável.

4 APLICAÇÃO DE CONTROLE SEMIATIVO EM SUSPENSÃO VEICULAR UM QUARTER-CAR

Para realizar a análise de um sistema dinâmico com o intuito de fazer ajustes, é necessária a aquisição de dados para sua identificação e especificação de desempenho. Segundo Tusset (2008), isto é realizado através da resposta do sistema a excitações padronizadas sobre as quais são definidas as características de desempenho. O ajuste e o projeto dos controladores devem ser realizados com o objetivo de manter o sistema dinâmico dentro das características de desempenho solicitadas para tais processos.

O tipo de excitação utilizado para identificação e análise de desempenho do sistema de suspensão veicular controlável, neste capítulo, foi a excitação do tipo degrau com 0,1 m de amplitude, que é a mais utilizada para análises e especificações de desempenho transitório. De acordo com Moura (2013), a utilização da excitação do tipo degrau, em testes, fornece normalmente um desempenho satisfatório a entradas reais.

Para a realização das simulações computacionais, utilizando o software MatLab®, foram utilizados os valores da Tabela 2, adaptados de Gaspar, Sazaszi e Bokor (2003).

Tabela 2 _{– Parâmetros para o sistema de suspensão}

s m m_u l s b bsnl 290 kg 40kg 700 Ns/m 200 Ns/m y s b ksl nl s k kt 400 Ns/m 235x102 _{N/m 235x10}4 _{N/m 190x10}3 _N/m

Fonte: Adaptado de Gaspar, Sazaszi e Bokor (2003).

Estes parâmetros de suspensão foram escolhidos de forma a obter a frequência natural em torno de 2 Hz para

m

_S e de 12 Hz para

m

_u, frequências estas próximas às utilizadas para simulações de suspensões automobilísticas, segundo Pinheiro (2004).

Nas seções seguintes deste capítulo, serão apresentadas a dinâmica do sistema passivo em comparação com as ações dos controladores on/off, skyhook, groundhook e híbrido, para uma excitação do tipo degrau. Os parâmetros, que serão

analisados, frente a esta excitação, são distribuídos em duas classes, sendo a primeira, utilizada para análise de conforto dos passageiros.

No documento UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA FERNANDO EMERENCIANO NUNES DE OLIVEIRA (páginas 74-81)