Parâmetros de Transformação Afim

Os programas actuais que trabalham com imagens associam a cada uma destas um sistema de coordenadas próprio: o sistema de coordenadas pixel. A definição desse sistema pode variar de programa para programa, mas a maioria considera o eixo das abcissas como sendo um eixo horizontal, orientado da esquerda para a direita. Trata-se, portanto, de um eixo relacionado com as colunas da imagem. Quanto ao eixo das ordenadas, este é vertical e costuma ser orientado de cima para baixo, sendo relativo às linhas da imagem. A unidade deste sistema de coordenadas é o pixel, podendo este ser inteiro ou decimal. Há programas que consideram a origem do sistema de eixos (o primeiro pixel do canto superior esquerdo) como tendo as coordenadas (0,0), enquanto outros utilizam os valores (1,1).

Todas as medições efectuadas nas imagens, nomeadamente, as marcas fiduciais e os Pontos Fotogramétricos, são efectuadas relativamente ao sistema de coordenadas pixel. Contudo, o modelo matemático subjacente à Triangulação em Bloco por Feixes Perspectivos (o tipo de Triangulação que foi realizado) são as Equações de Colinearidade, as quais apenas permitem relacionar coordenadas terreno com coordenadas foto. Desta forma, é fundamental encontrar uma forma de relacionar o sistema de coordenadas pixel com o sistema de coordenadas foto, de forma a ser possível transformar as coordenadas de todos os pontos

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medidos para o sistema de coordenadas pretendido. Os valores que permitem realizar esta transformação são os Parâmetros de Transformação Afim.

Os Parâmetros de Transformação Afim são seis e podem ser apresentados de duas formas distintas: os parâmetros que transformam coordenadas pixel em coordenadas foto ou os que permitem efectuar a transformação inversa, ou seja, converter coordenadas foto em coordenadas pixel. Cada programa de triangulação funciona apenas com um destes conjuntos de valores. No caso do programa utilizado neste projecto, o ISAT®, este funciona com os parâmetros de transformação de coordenadas foto em coordenadas pixel. À semelhança dos outros programas do género, também no ISAT®, os Parâmetros de Transformação Afim são calculados através do Método dos Mínimos Quadrados. Uma vez que as coordenadas foto das marcas fiduciais calibradas são fornecidas no certificado de calibração da câmara, basta medir as coordenadas dos mesmos pontos no programa, para obter as respectivas coordenadas pixel. Com este conjunto de observações e de dados conhecidos, é possível construir quatro conjuntos de equações do género:

XPi =a0+a1xi+a2yi

YPi =b0+b1xi+b2yi

onde i é um número inteiro que varia entre 1 e 4 e corresponde a cada uma das quarto marcas fiduciais; XPi e YPi são as coordenadas pixel de cada marca fiducial; xi e yi as respectivas

coordenadas foto; a0, a1, a2, b0, b1 e b2 são os Parâmetros de Transformação Afim que se

pretende determinar. Como este modelo matemático pode ser escrito na forma F(x,l,c)=0, onde x é o vector das estimativas dos valores dos parâmetros, l é o vector das observações ajustadas e c é um vector de constantes, pode ser utilizado um ajustamento combinado para obter as correcções aos valores iniciais dos Parâmetros de Transformação Afim ( ), através da fórmula:

= – (AT(BPl-1BT)-1A)-1AT(BPl-1BT)-1w

onde A é a primeira matriz de configuração (derivada das equações em ordem aos parâmetros a determinar), B é a segunda matriz de configuração (derivada das equações em ordem às observações efectuadas), Pl é a matriz de pesos das observações e w é o vector de fecho.

Depois de obtidas as correcções , basta adicioná-las aos valores iniciais dos parâmetros para obter os valores desejados [Mendes, 2005].

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Contudo, no caso do voo RAF47, como não existe certificado de calibração da câmara, as coordenadas foto calibradas das marcas fiduciais não são conhecidas, não sendo, por isso, possível calcular os Parâmetros de Transformação Afim da forma acima exposta. Por esta razão foi necessário encontrar uma forma de “enganar” o programa ISAT®

. Para isso, foi medida, em milímetros, numa imagem, sobre o negativo original, a distância entre duas marcas fiduciais opostas (para os dois conjuntos de marcas). Os valores dessas leituras, depois de divididos por dois, foram introduzidos no ISAT® como se fossem as verdadeiras coordenadas foto das marcas fiduciais. No entanto, esta estratégia apenas foi utilizada para que fossem criados os ficheiros necessários para o projecto. Os valores introduzidos apenas são utilizados pelo programa para calcular os Parâmetros de Transformação Afim. Após o cálculo destes, os valores das coordenadas foto das marcas fiduciais não voltam a ser utilizados pelo ISAT®. Desta forma, os Parâmetros de Transformação Afim correctos foram determinados por outro processo, exterior ao ISAT®, sem recorrer às coordenadas foto das marcas fiduciais e, posteriormente, substituíram, nos ficheiros do projecto, os valores errados calculados pelo programa.

Os valores correctos dos Parâmetros de Transformação Afim podem ser obtidos apenas através das coordenadas pixel das marcas fiduciais. Para tal, é indispensável conhecer o significado geométrico de cada um deles.

Os sistemas de coordenadas pixel e foto não apresentam a mesma origem. Enquanto o sistema de coordenadas pixel tem origem no canto superior esquerdo da imagem, as coordenadas foto são medidas a partir do centro desta. Portanto, o primeiro passo para transformar coordenadas de um sistema para outro é efectuar uma translação do centro da imagem para o seu canto superior esquerdo (uma vez que estão a ser consideradas as fórmulas de transformação de coordenadas foto em coordenadas pixel). Para realizar a translação, é necessário calcular as coordenadas pixel (xc, yc) da origem do sistema de coordenadas foto, ou

mais precisamente, do ponto de intersecção das rectas que unem as marcas fiduciais opostas. Se forem conhecidos dois pontos i e j pertencentes a uma recta, a sua equação na forma

vectorial pode ser escrita como: i+t( j- i), onde t toma todos os valores reais. A equação de

uma recta pode ser, ainda, escrita como uma função vectorial de uma variável real (t)= i+t( j- i) [Apostol, 1985]. Sejam i=(xi,yi), com i=1,…,4, os pontos pertencentes às

quatro marcas fiduciais, sendo xi e yi as suas coordenadas pixel. As equações vectoriais das

rectas que unem as marcas fiduciais números 1 e 3 e números 2 e 4 são, respectivamente,

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substituir, numa função vectorial correspondente a uma das equações anteriores, o valor de t na situação em que as duas equações expostas são iguais, ou seja, na situação em que as duas rectas se intersectam.

Como os dois sistemas de coordenadas têm escalas diferentes, pois a unidade do sistema de coordenadas pixel é o pixel e a do sistema de coordenadas foto é o milímetro, é necessário converter milímetros para pixeis. Este factor de escala, , consiste no inverso do tamanho do pixel: 0,021 mm. Se o pixel fosse rectangular, era necessário considerar um factor de escala para o eixo dos xx e outro para o eixo dos yy. No caso das imagens utilizadas neste projecto, como o pixel é quadrado, o factor de escala é igual para ambos os eixos.

O sistema de coordenadas pixel, por definição, está sempre alinhado com a imagem e como esta é sempre rectangular, os dois eixos são perfeitamente perpendiculares entre si. O mesmo não acontece com o sistema de coordenadas foto. Este é definido através das rectas que unem as marcas fiduciais opostas, as quais estão registadas sobre a imagem, em suporte analógico, sujeitas a todo o tipo de deformações. O facto de as imagens se encontrarem, originalmente, em suporte analógico e terem sido, posteriormente, digitalizadas também foi uma fonte de erro, uma vez que é impossível garantir que a imagem estava perfeitamente direita durante esta operação. Todos estes factores conduzem a distorções nos eixos do sistema de coordenadas foto, tais como a inclinação do eixo das abcissas deste sistema relativamente ao do sistema de coordenadas pixel e a não ortogonalidade dos seus eixos (Figura 5.5).

Figura 5.5 – Rotação entre os sistemas de coordenadas pixel (XPOYP) e foto (xOy).

Desta forma torna-se necessário determinar a matriz de rotação entre os dois sistemas, a qual pode ser deduzida a partir da figura anterior. Seja o ângulo entre os eixos dos xx dos

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dois sistemas e o enviesamento do sistema de coordenadas foto, ou seja, a diferença entre um ângulo recto e o ângulo entre os eixos Ox e Oy. A matriz de rotação entre um sistema e outro é dada por:

Rα=

Juntando todos os passos acima expostos, obtêm-se as fórmulas de transformação de coordenadas foto para coordenadas pixel.

onde a0 e b0 são as duas translações (em x e y, respectivamente), a1, a2, b1 e b2 são os quatro

elementos da matriz de rotação multiplicados pelo factor de escala, xf e yf são as coordenadas

foto do ponto a transformar e x e y são as coordenadas pixel do mesmo. Os parâmetros a0, a1,

a2, b0, b1 e b2 são os seis Parâmetros de Transformação Afim que são necessários para

introduzir, um conjunto por imagem, nos ficheiros do projecto.

Os cálculos anteriores estão inseridos num programa em Matlab®, desenvolvido pela Professora Doutora Paula Redweik, o qual é denominado por ORIRAF47. Após a introdução de alguns dados iniciais, como a resolução de digitalização (em dpi) e a constante da câmara (em milímetros), este programa determina, para cada imagem, os seis Parâmetros de Transformação Afim. Através de um outro programa, também desenvolvido pela Professora Doutora Paula Redweik, denominado por TIO, os valores calculados pelo ORIRAF47 são colocados no ficheiro das Orientações Internas que é criado pelo ISAT® em cada projecto. Para gerar este ficheiro no ISAT®, basta efectuar as observações manuais das coordenadas pixel das marcas fiduciais de uma imagem. O programa TIO é responsável pela construção de um ficheiro semelhante a este, com uma estrutura idêntica para todas as imagens do projecto, e pela substituição dos valores dos Parâmetros de Transformação Afim.

5.1.4. Determinação da Orientação Interna das Fotografias Aéreas sem