Paralelogramo, paralelismo e translação

A ideia de Lebeau (2009) para caracterizar a coplanaridade, apoia-se na figura do paralelogramo. A autora sustenta sua escolha argumentando que o paralelogramo é uma figura que permite introduzir e modelizar o conceito de vetor, que é centrado na Álgebra Linear. Analisando as diversas maneiras de justificar a caracterização do paralelogramo, Lebeau (2009) indica que tal justificativa deve ser apoiada na figura do paralelogramo e suas propriedades,

que podem ser demonstradas a partir da geometria sintética. A seguir a autora aponta algumas relações entre paralelismo de retas, paralelogramo e translação.

• Começar pelo paralelismo de retas, as translações ou o paralelogramo? Em seu estudo, Lebeau (2009) destaca que é possível justificar a caracterização algébrica do paralelogramo a partir do paralelismo de retas do seguinte modo:

Sejam os pontos distintos e não alinhados O, B e D (figura abaixo).

O quarto vértice do paralelogramo em que estão os outros três pontos, está localizado na interseção da reta que passa por B e paralela a OD: P = B + kD e da paralela a OB passando por D:

P = D + k’B, em que k e k’ são parâmetros reais. As coordenadas

do ponto C, quarto vérticedo paralelogramo, verificam o sistema

P = B + kD = D + k’B para k = k’ = 1 é solução. Por consequência, C = D + B. De maneira análoga, demonstrar que os ponto do

paralelogramo ABCD, distintos da origem, verificam: C = D + B

– A, quer dizer B – A = C – D. Contudo, se esta relação é uma

condição necessária para que um quadrilátero seja um paralelogramo, ela não é suficiente. Com efeito, ela pode ser realizada pelos pontos A, B, C e D alinhados. Neste caso, os segmentos AB e CD tendo o mesmo comprimento, pode-se chamar de paralelogramo achatado (p. 218, tradução nossa).

Lebeau (2009) evidencia que este desenvolvimento supõe trabalhar previamente as posições relativas das retas e analisa como trazer anteriormente uma caracterização algébrica do paralelismo de retas apoiado sobre o paralelogramo.

A autora sugere que as relações entre paralelogramo e translação pode ser estudada da seguinte forma:

Suponhamos que a translação já tenha sido definida e que foram submetidas a um trabalho analítico. Em seguida caracterizar um paralelogramo como um quadrilátero ABCD tal que B e C sejam as imagens respectivas de A e D para uma mesma translação (figura

abaixo), podemos associar a relação B – A = C – D traduzindo esta relação.

A abordagem recíproca não é difícil de imaginar, uma translação pode ser definida por meio de pares de imagens equipolentes uns dos outros por uma sequência de paralelogramos como foi feito nas classes do secundário na época da matemática moderna (LEBEAU, 2009, p. 219, tradução nossa).

Lebeau (2009) procurou em seu estudo relacionar, de uma parte, o paralelogramo e o paralelismo entre retas e, de outra, o paralelogramo e a translação.

• Iniciar pelo estudo do paralelismo de retas?

Em relação ao estudo do paralelismo de retas, Lebeau (2009) considera a no processo de ensino da Geometria Analítica, uma etapa em que as retas são caracterizadas pela escrita do tipo _{A = C + B(D − C),} sendo A e B dois pontos quaisquer da reta, P sendo um ponto genérico e

k um parâmetro real. A autora então justifica que nas equações

respectivas de duas retas paralelas, os coeficientes do parâmetro de um são proporcionais as do parâmetro de outro, se _{A − C = F(G − E), sendo}

m um parâmetro real e que esta propriedade é característica do

paralelismo. Lebeau (2009) faz uma demonstração sintética de tal propriedade, recorrendo mais uma vez as projeções paralelas, que supõe que elas conservam o paralelismo. Apoiada na tradução analítica do paralelismo no plano, a autora destaca:

Sejam duas retas paralelas AB e CD. Projetar seus dois pontos nos dois planos de coordenadas, paralelamente a um 3º eixo. As projeções paralelas conservam o alinhamento e o paralelismo, obtido em cada um desses planos, exceto em casos particulares que serão evocados posteriormente, duas retas paralelas cujas inclinações são idênticas. Isso conduz as igualdades ;_;H8 ;I

<8 ;== >H8 >I ><8 >== ?H8 ?I ?<8 ?= (LEBEAU, 2009, p.220, tradução nossa).

Uma outra abordagem do paralelismo de retas, indicada por Lebeau (2009), encontra-se apoiada na tradução analítica da translação que pode até mesmo constituir uma definição: “Toda translação do

espaço é uma função que associa, a todo ponto P do espaço, o ponto imagem P’ = P + Q, onde Q é uma dada terna de números” (p. 222).

Segundo Lebeau (2009) a concepção de translação assim definida, poderia caracterizar duas retas paralelas em que uma é a imagem da outra por uma translação. A partir de uma perspectiva indutiva, a autora destaca que tal caracterização implica em provar que uma reta e sua imagem por translação são efetivamente retas paralelas, podendo-se demonstrar por argumentos essencialmente analíticos.

A definição em termos de translação de uma reta paralela a uma reta dada ou de um plano paralelo a um plano dado, explicita Lebeau (2009), parece ser essencial, pois permite o rápido transporte das propriedades relativas as retas ou planos contendo a origem de referência das retas ou planos que os incluem.

• Começar por caracterizar algebricamente o paralelogramo?

Na visão de Lebeau (2009) poucas maneiras são exploradas para justificar uma caracterização algébrica dos paralelogramos que não estejam apoiadas em estudos introdutivos do paralelismo de retas. Assim, a autora afirma que pode-se iniciar tal caracterização pela proposição de Pisvin (1998, apud LEBEAU, 2009), que apoia-se em propriedades da Geometria Sintética e na relação B – A = D – C que caracteriza muito bem um paralelogramo no plano. Em tal situação, considera-se quatro pontos dados A, B, C e D (ou suas projeções): eles determinam portanto um plano, conforme indicado na figura 15.

Figura 15: Quatro pontos dados A, B, C e D (ou suas projeções)

FONTE: Lebeau (2009, p. 225)

De acordo com Lebeau (2009), mostra-se que se ABCD é um paralelogramo, tem-se as relações:

# ((− − %% = = JJ− − )) (− % = J− )

Se ABCD é um paralelogramo, sua projeção paralela em cada um dos planos formados pelos eixos é um paralelogramo eventualmente achatado3 _{(LEBEAU, 2009).}

Desse modo, a autora indica que as propriedades da Geometria Sintética no espaço são, de uma parte, as projeções paralelas que conservam o paralelismo (e portanto, forma o paralelogramo, eventualmente achatado) e, de outra parte, dois planos paralelos são cortados por um terceiro de retas paralelas. Enfim, Lebeau (2009) afirma que as relações algébricas garantem a coincidência dos pontos B e B’’, provando que ABCD é um paralelogramo.

3 _{Seja A e B dois pontos do plano. A translação que transforma A em B, associa a todo ponto C}

Outra abordagem assinalada por Lebeau (2009) para a tradução analítica dos paralelogramos apoia-se na expressão, em termos de coordenadas, do ponto médio de um segmento em função das coordenadas de seus extremos. Esta expressão permite na verdade traduzir, de modo calculista, uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero seja um paralelogramo, a saber que suas diagonais se interceptam no ponto médio. A autora então apresenta a seguinte demonstração:

Seja ABCD um paralelogramo (ver figura abaixo)

As coordenadas do ponto médio M, da diagonal AC, verificam

K L M L N O = %+ ₂ ) O = %+ ₂ ) O= %+ ₂ )

E as do ponto médio M’ de BD são escritas da forma

K L M L N O*= (+ ₂ J O*= (+ ₂ J O*= (+ ₂ J

O fato de que essas diagonais se interceptam ao meio exprime portanto pontos médios de igualdades

K L M L N %+ ₂ ) = (+ ₂ J %+ ) 2 = (+ 2 J %+ ) 2 = (+ 2 J Que pode ainda ser escrito como:

# ((− − %%= = ))− − JJ

(− %= )− J

Reciprocamente, pode-se deduzir do sistema identidades dos pontos médios M e M’ das diagonais AC e BD e concluir que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo

(LEBEAU, 2009, p.227-228, tradução nossa).

Esta abordagem, menciona Lebeau (2009), não requer nenhuma construção exterior ao paralelogramo e supõe como pré-requisito que a caracterização algébrica das coordenadas do ponto médio de um segmento, ou seja, uma propriedade específica para pontos simplesmente alinhados.