CAPÍTULO 4: ANÁLISES DOS RESULTADOS
4.1. Momento da edição
4.5.3. Tipo de tarefa (T3): Determinar a condição de alinhamento de
Técnica 1: apresentar a condição de colinearidade justificada pela
proporcionalidade de coordenadas.
Técnica 2: indicar exemplos para verificar a condição de alinhamento de pontos.
A técnica 1 não é contemplada nos materiais LD1, LD2 e LD3. Analisando o material LD4, observamos que o mesmo utiliza a técnica 1 (Figura 37) mencionando que a condição de alinhamento está relacionada ao fato dos pontos serem colineares.
Figura 37: Condição para que três pontos estejam alinhados em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 105)
Lebeau (2009) observa em seu trabalho que apresentar a condição de alinhamento pela diferença entre as coordenadas dos pontos representa uma abordagem enriquecida por uma justificativa geométrica subjacente ao tratamento algébrico. Fica evidente na apresentação feita pelo autor de LD4 essa ênfase algébrica a condição de alinhamento por meio da proporcionalidade das coordenadas dos pontos no espaço.
Em relação às tarefas resolvidas identificadas no material LD3 apresentamos um “exemplo” (ver Figura 38), o qual foi ilustrado pelo autor após a abordagem sobre a condição de alinhamento entre pontos e contempla a
Figura 38: Exemplo de uso da técnica 2 em LD3
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 105)
Para esse exemplo identificamos as seguintes técnicas:
Técnica 1 (exercício 2): apresentar a condição de alinhamento de pontos no
espaço.
Técnica 2 (exercício 2): verificar se os pontos estão alinhados.
Indicaremos a seguir, na figura 39, a resolução apresentada pelo autor de LD4 e as técnicas escolhidas para realização da tarefa.
Figura 39: Exemplo de utilização das técnicas 1 e 2 em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 105 e 106)
A técnica1 foi escolhida pelo autor de LD4 para resolver o exemplo, contemplando ainda a técnica 2 com um enfoque algébrico em relação a condição de alinhamento por meio da proporcionalidade das coordenadas dos pontos no espaço.
Quanto às tarefas propostas aos alunos, identificamos em LD4 no tópico “problemas propostos” duas questões envolvendo diretamente a condição de alinhamento de pontos, conforme a figura 40.
Figura 40: Condição de alinhamento de pontos em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 133)
Ao analisarmos o enunciado dos “problemas propostos”, observamos que o problema 9 poderia favorecer ao aluno perceber que uma demonstração no espaço acerca do alinhamento de pontos vai além do que verificar a proporcionalidade entre as coordenadas destes pontos, como alerta Lebeau (2009). Uma proposta para demonstrar que dois pontos no espaço encontram- se alinhados com a origem, “consiste em utilizar as propriedades comuns da Geometria Sintética, como um caso de semelhança de triângulos ou o teorema de Tales” (LEBEAU, 2009, p. 201, tradução nossa). No entanto, é possível que os alunos, direcionados pela forma de abordagem do LD4, resolvam o problema 9 recorrendo a técnica 1 e 2 explicitada na resolução apresentada para o exemplo resolvido indicado pelo autor do livro.
Consideramos também que para a resolução do problema 10, indicado na figura 41, os alunos sintam-se estimulados a resolver por meio do enfoque algébrico, uma vez que o material LD4 não enfatizou uma abordagem geométrica para estabelecer a condição de alinhamento de pontos no espaço.
4.5.4. Tipo de tarefa (T4): Determinar a equação do plano no espaço como uma propriedade da ortogonalidade.
Técnica 1: apresentar a equação do plano no espaço.
Técnica 2: utilizar exemplos para aplicar a equação do plano no espaço.
No material LD1 a técnica 1 não é contemplada. Esse material destaca dois casos em que o plano é determinado (Figura 41), um caso com base em um postulado e outro por meio de um teorema. Pela análise realizada fica evidente que o autor desse material recorre a geometria sintética para determinar um plano.
Figura 41: Determinação do plano em LD1
Fonte: Rocha (1964, p. 24)
A técnica 1 é contemplada nos materiais LD2, LD3 e LD4 na abordagem sobre a equação do plano no espaço. Os autores desses materiais adotam, o que Lebeau (2009) chama de “estratégia clássica”, a qual consiste em
apresentar a equação do plano do tipo + + + = 0 como uma
Figura 42: Equação do plano em LD2
Fonte: Oliva (1971, p. 83)
Observamos pela figura 42 que o autor de LD2 faz uma abordagem da equação do plano a partir das equações paramétricas em relação a um sistema de coordenadas cartesianas o qual conduz a um tratamento do ponto de vista algébrico à equação geral do plano.
Figura 43: Equação geral de plano em LD3
Fonte: Boulos e Camargo (1986, p. 146)
Na figura 43, constatamos que o autor de LD3 recorre aos conceitos de Álgebra Linear, nesse caso a definição de dependência e independência linear, para obter a equação geral do plano por meio do cálculo do determinante, cujos elementos são formados pelas coordenadas dos vetores do plano.
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 133)
Na abordagem explicitada nos manuais de LD2, LD3 e LD4 fica evidente a caracterização do plano via ortogonalidade de vetores, conforme indicado por
Lebeau (2009). Segundo essa pesquisadora, tal caracterização parece não ser conveniente de adotar, pois conduz ao seguinte questionamento: “a definição de um objeto da geometria afim por meio dos conceitos da geometria métrica e um trabalho prévio sobre o objeto plano demanda um custo cognitivo” (LEBEAU, 2009, p.193, tradução nossa).
Para abordar sobre o plano, Lebeau (2009) sugere que o trabalho com os alunos seja iniciado com a seguinte questão: “o que representa, no espaço, o conjunto de pontos cujas coordenadas verificam a equação ! + 3 + − 2 = 0 ?” (p. 190). De acordo com a autora, essa forma de abordagem pode fazer com que os alunos concluam que estamos lidando com um plano, quando anulada cada variável da equação ! + 3 + − 2 = 0 e a interpreta como uma reta do plano de coordenadas.
Em relação às tarefas resolvidas encontradas nos materiais analisados destacamos um “exercício resolvido” (Figura 45) presente no material LD3.
Figura 45: Equações paramétricas do plano em LD3
Fonte: Boulos e Camargo (1986, p. 150)
Para o exemplo mencionado verificamos as seguintes técnicas:
Técnica 1 (exercício 3): substituir λ por z nas duas primeira equações.
Técnica 2 (exercício 3): substituir a segunda equação na primeira. Técnica 3 (exercício 3): determinar a equação geral do plano.
Figura 46: Primeira resolução em LD3
Fonte: Boulos e Camargo (1986, p. 150)
Analisando a resposta apresentada no material LD3, verificamos que contempla as técnicas 1, 2 e 3 aqui apontadas. Além disso, percebemos como menciona Lebeau (2009), há forte algebrização dos objetos planos em termos de caracterização paramétrica.
A algebrização citada por Lebeau (2009) também foi verificada no material LD4 quando apresenta um “exemplo resolvido”, o qual encontra-se indicado na figura47.
Figura 47: Determinação da equação geral de um plano em LD4
Apresentamos na figura 48, a resolução presente no material LD4.
Figura 48: Resolução do exemplo em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 146)
Interpretamos na resolução apresentada pelo autor de LD4 que da mesma forma que o material LD3, há um privilégio às resoluções algébricas.
Em relação às tarefas propostas encontramos em LD4 quatro questões para escrever a equação geral do plano determinado a partir dos pontos dados (Figura 49).
Figura 49: Tarefas sobre equação geral do plano em LD4
Outras quatro questões (cf. figura 50) são propostas no material LD4, solicitando determinar a equação geral do plano contendo retas.
Figura 50: Outras propostas de determinação de equação geral do plano em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 182)
Inferimos assim que os materiais didáticos privilegiam os aspectos algébricos dos objetos planos, como também se utilizam de clássicas estratégias para abordar a equação geral do plano partindo da propriedade da ortogonalidade.
4.5.5. Tipo de tarefa (T5): Determinar um plano caracterizado por duas retas secantes.
Técnica 1: enunciar o postulado da determinação do plano.
Técnica 2: utilizar exemplos para caracterizar um plano por duas retas secantes.
Analisando a existência da tarefa T5 no livro LD1 percebemos que a mesma é apresentada somente na introdução do capítulo sobre Geometria no Espaço quando o autor anuncia alguns postulados “independentes” (figura 51).
Figura 51: Postulado da determinação do plano em LD1
Fonte: Rocha (1963, p. 22)
O livro L1 contempla a técnica 1 no que se refere a enunciar o postulado, aproximando-se de caracterizar o plano, na perspectiva de Lebeau (2009) tal como: “um plano sendo determinado por três pontos O, A e B não alinhados, todo ponto C, diferente dos pontos anteriores, é coplanar com esses se e somente se as retas OA e AC são secantes ...” (LEBEAU, 2009, p. 211, tradução nossa). Porém, percebemos que não há indicações da técnica t2 no decorrer do capítulo.
A tecnologia que justifica as técnicas utilizada por Rocha (1964), em LD1, situa-se no campo da Geometria Euclidiana a partir do postulado da determinação do plano.
Os materiais LD2, LD3 e LD4 não contemplam a tarefa T5 no que se refere a abordagem sobre a determinação do plano no espaço por duas retas secantes. A opção dos autores para caracterizar um plano é feita pela utilização da equação geral do plano a partir de uma abordagem vetorial influenciada pelas noções da Álgebra Linear.
4.5.6. Tipo de tarefa (T6): Caracterizar algebricamente o paralelogramo. Técnica 1: apresentar a relação B – A = D – C.
Técnica 2: utilizar exemplos para aplicar a relação.
Nenhum dos materiais analisados contempla a técnica 1. No entanto, o material LD4 apresenta uma abordagem vetorial para caracterizar o paralelogramo, tal como ilustrada na figura 52.
Figura 52: Abordagem vetorial em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 191)
Em relação a técnica 2 identificamos nos materiais LD2 e LD3 apenas uma tarefa proposta pelos autores (figuras 53 e 54), as quais oportunizam aos alunos mobilizar seus conhecimentos acerca da caracterização do paralelogramo.
Figura 53: Determinação da equação vetorial do plano em LD2
FONTE: Oliva (1971, p. 89)
Figura 54: Determinação das coordenadas dos vértices de um paralelogramo em LD3
Nas tarefas propostas nesses materiais (LD2 e LD3) acreditamos que os autores possam ter considerado que os alunos já tenham familiaridade com a caracterização algébrica do paralelogramo quando estudaram a Geometria Analítica no Plano. Buscando as indicações de Lebeau (2009), a mesma explicita que a maioria das abordagens para caracterizar algebricamente o paralelogramo encontram-se apoiadas em estudos introdutivos do paralelismo de retas.
No que tange às organizações didática e matemática, apontadas por Chevallard (1999), realizadas a partir das tarefas efetuadas pelos autores dos materiais didáticos, percebemos um desenvolvimento coerente em relação às
tarefas propostas uma vez que possibilitaram mobilizar técnicas que foram
desenvolvidas em exercícios resolvidos. Além disso, as tarefas propostas propiciaram a busca de conhecimentos já adquiridos, muitas vezes não apresentado de forma explícita em um determinado capítulo.
Outro aspecto que consideramos diz respeito a quantidade de tarefas presentes nos livros didáticos analisados. Observamos que tal quantidade mostra-se em conformidade com a abordagem dos conteúdos visto que certos autores optam por apresentar o conteúdo e posteriormente recomendam as atividades.
Ao analisarmos as abordagens sobre a reta e o plano apresentadas pelos autores dos materiais didáticos observamos uma forte relação entre a Álgebra Linear e a Geometria Analítica, na qual os autores privilegiam um tratamento algébrico dos seguintes objetos geométricos no espaço: equação da reta, condição de paralelismo, condição de alinhamento de pontos, equação do plano... Além disso, da mesma forma que Lebeau (2009), constatamos nos materiais analisados, principalmente em LD3 e LD4, uma abordagem vetorial dos objetos geométricos Reta e Plano, traduzindo por exemplo, a equação vetorial em equação paramétrica, sem justificar a correspondência entre as duas escritas.
Por meio das análises aqui realizadas, evidenciamos que na abordagem dos livros didáticos LD1, LD2, LD3 e LD4, ocorre uma inversão didática ao ensinar a Geometria Analítica como sendo um subproduto da Álgebra Linear,
como aponta Lebeau (2009) em sua pesquisa sobre essa temática. A autora ainda descreve que ao invés de ensinar a Geometria de maneira sintética e analítica para deduzir gradativamente os elementos que serão constituídos na Álgebra Linear, como ocorreu historicamente, se começa a ensinar pela Álgebra Linear para vir depois a Geometria como sendo uma de suas especificações. Inferimos que tal fato ocorreu devido a influência do Movimento da Matemática Moderna, cujas orientações revelam-se presentes nos livros didáticos daquele período.
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Embora algumas pesquisas sobre análise de livro didático já tenham sido desenvolvidas, no Brasil, observamos uma lacuna quanto à temática Geometria Analítica no Espaço. Assim, dedicamos nossa pesquisa à análise de como os autores de livros didáticos destinados ao ensino superior organizaram as atividades propostas em relação ao estudo da Reta e do Plano com base nas variáveis didáticas desenvolvidas por Lebeau (2009) para o ensino da Geometria Analítica no Espaço.
Por meio das leituras realizadas sobre as pesquisas em Geometria Analítica, percebemos a escassez de trabalhos que se dedicaram a pesquisar sobre esse tema. Assim, consideramos importante investigar a respeito da Geometria Analítica no Espaço visando contribuir para as pesquisas no âmbito da Educação Matemática.
Do ponto de vista teórico, nos referenciamos na TAD, de Chevallard (1999), a qual contribuiu com nosso trabalho quanto às análises praxeológicas, sendo possível identificar nos livros analisados os tipos de tarefas, as técnicas usadas pelos autores e as tecnologias. Adotamos ainda em nosso estudo, as variáveis didáticas de Lebeau (2009), pois essa autora aponta determinadas características da Geometria Analítica no Espaço pouco discutidas no cenário das pesquisas brasileiras.
Nosso campo de pesquisa foi a Geometria Analítica no Espaço e voltamos nosso foco para o estudo da Reta e o Plano, visto que Lebeau (2009) aponta variáveis didáticas em relação a estes dois objetos matemáticos e a praxeologia proposta por Chevallard (1999) exige que a organização matemática ocorra antes da organização didática. A partir do exposto retomamos nossa questão de pesquisa:
• Quais organizações matemática e didática estão presentes em livros
didáticos para o ensino superior no que se refere ao estudo da Reta e do Plano no Espaço?
Os resultados da pesquisa que realizamos apresentam indícios que nos conduzem a inferir que nossa questão de pesquisa foi respondida e para
atingirmos nosso objetivo, norteamos as análises dos manuais didáticos investigados em nossa pesquisa, tomando como referência a metodologia de Chaachoua (2014a) pelo fato do mesmo apontar certas características para a realização de análises em manuais didáticos tendo como base a TAD, a saber: momento da edição, representatividade, estrutura, análise ecológica e análise praxeológica. Adotar essa metodologia permitiu-nos especificar as características dos livros que analisamos, como também o contexto de suas produções. Além disso, essa metodologia contribuiu para a análise praxeológica que realizamos.
Em nossas considerações finais pretendemos resgatar importantes aspectos levantados durante nossa investigação, tais como: os principais resultados, as contribuições de nossa pesquisa para área da Educação Matemática, a contribuição para o curso de formação de professores, assim como propomos perspectivas de novos estudos.
Principais Resultados
Os resultados das análises dos livros investigados indicam que, apesar de uma diversidade das tarefas, com base na TAD, propostas pelos autores, poucos manuais contemplam as sugestões de abordagem para a Reta e para o Plano no Espaço indicadas por Lebeau (2009).
No que se refere a tarefa T1, determinar a equação da reta no espaço, identificamos nos livros analisados o uso de uma linguagem simbólica para caracterizar a equação vetorial da reta (U = & + .W ). Inferimos que tal simbolismo, de acordo com a percepção de Lebeau (2009), demonstra uma economia na escrita e no pensamento para representar de maneira formal tal equação, revelando uma abordagem indicada pela autora quanto ao “interesse pela notação B – A”. Ademais, os livros LD2, LD3 e LD4, que apresentam essa equação vetorial da reta, não parecem preocupados em explicar a origem de tal notação, isso talvez ocorra pelo fato de serem obras destinadas ao ensino superior.
Em relação a tarefa T2 que visa determinar a condição de paralelismo de retas no espaço, observamos que em determinados materiais, tais como LD3 e LD4, esta tarefa é apresentada a partir de uma relação direta entre a Geometria
Analítica e a Álgebra Linear, conduzindo-nos às reflexões de Lebeau (2009) em relação às características da reta por meio da escrita do tipo P = A + k(B – A). Encontramos ainda nas tarefas propostas pelo autor de LD3, em relação à condição de paralelismo de retas, questões cujo enunciado (“estude a posição relativa das retas...”) apontavam uma oportunidade para o aluno analisar a resposta a ser encontrada. No entanto, a abordagem presente nesse material didático, como especifica Lebeau (2009), indicou uma forte ênfase a modelização algébrica dos objetos matemáticos privilegiando a característica da reta por uma escrita do tipo P = A + k(B – A).
Por sua vez, na tarefa T3, a qual visa determinar a condição de alinhamento dos pontos no espaço, verificamos que o material LD4 prioriza uma ênfase algébrica quanto à condição de alinhamento por meio da proporcionalidade das coordenadas dos pontos no Espaço. De modo semelhante, encontramos nas tarefas resolvidas, em LD3 e LD4, o enfoque algébrico para tal condição, impossibilitando o aluno de perceber que o alinhamento de pontos é muito além do que examinar a proporcionalidade entre as coordenadas dos pontos, como apontado por Lebeau (2009).
Para a tarefa T4, apresentar a equação do plano no espaço como propriedade da ortogonalidade, constatamos que os materiais LD2, LD3 e LD4 adotam uma “estratégia clássica”, indicada por Lebeau (2009), na qual apresenta a equação do plano como uma propriedade da ortogonalidade. Com relação às
tarefas resolvidas, notamos nos materiais LD3 e LD4, da mesma forma que a
autora, uma algebrização dos objetos planos em termos de caracterização da equação paramétrica, havendo desse modo um privilégio quanto às resoluções algébricas.
Na tarefa T5 que indica determinar um plano caracterizado por duas retas secantes, identificamos que apenas o livro LD1 aproxima-se de caracterizar o plano, na perspectiva de Lebeau (2009), ao enunciar o postulado da determinação do plano. Os demais materiais analisados, LD2, LD3 e LD4, adotam a estratégia de caracterizar um plano a partir da abordagem vetorial, revelando a influência dos conceitos da Álgebra Linear.
E finalmente, na tarefa T6, caracterizar algebricamente o paralelogramo, identificamos que apenas o livro LD4 apresenta uma abordagem vetorial caracterizando o paralelogramo. Por sua vez, nos materiais LD2 e LD3 surgem
tarefas propostas pelos autores que podem oportunizar aos alunos a mobilização
de seus conhecimentos acerca da caracterização do paralelogramo.
Contribuições de nossa pesquisa para área da Educação Matemática
As contribuições de nossa pesquisa residem em dois importantes aspectos, os quais conduzem a originalidade de nosso trabalho, são eles:
• As discussões acerca das variáveis didáticas apontadas por Lebeau (2009) em relação à Geometria Analítica tridimensional, no que se refere à Reta e ao Plano, a saber: começar pelo plano? (estratégia sobre ortogonalidade, um plano como superfície regular, uma estratégia construída sobre o paralelogramo), começar pela reta? (uma expressão de alinhamento induzido para trabalhar no plano e que deve ser justificado, a projeção para ir do espaço ao plano ou do plano ao espaço, alinhamento e projeção, do alinhamento no plano ao alinhamento no espaço para geometria sintética), passar da reta ao plano (um plano caracterizado por duas retas secantes, um plano visto como uma superfície regular, apostar sobre a caracterização algébrica do paralelogramo), paralelogramo, paralelismo e translação (começar pelo paralelismo de retas, a translação ou o paralelogramo?, iniciar pelo estudo do paralelismo de retas?, começar por caracterizar algebricamente um paralelogramo?), os pressupostos geométricos (as projeções paralelas conservam o alinhamento, as projeções paralelas conservam o paralelismo) e os ostensivos e modos de pensar (articulação dos modos de pensar, a notação B-A).
• O fato de utilizarmos uma metodologia que envolvesse o referencial teórico adotado, além de ser uma metodologia específica para análise de livro didático, sendo caracterizada pelos aspectos indicados por Chaachoua (2014a), tais como: momento da edição, representatividade, estrutura, análise ecológica (habitat e nicho) e análise praxeológica (identificar o tipo de tarefa, as técnicas e a tecnologia). Destacamos ainda que tal metodologia abre um campo de pesquisa no Brasil, assim contribuímos para estudos futuros sobre análise de livros didáticos.
Contribuição para o curso de formação de professores
Acreditamos que nosso trabalho venha contribuir com a formação de professores no sentido de colaborar na construção do seu conhecimento em relação à Geometria Analítica no Espaço, trazendo um novo olhar em relação aos objetos matemáticos Reta e Plano.
Pretendemos que os futuros professores tenham uma visão crítica acerca dos livros didáticos e que este recurso auxilia na aprendizagem do aluno quando segue recomendações de pesquisadores da área. Esperamos que nossa pesquisa sobre análise de livro didático possibilite ao curso de formação de