Pedro saiu de casa devagar, mas aumen- aumen-tou cada vez mais sua velocidade para

chegar mais rápido ao seu destino.

Gráfico b a) distância de casa tempo b) tempo distância de casa c) distância de casa tempo

d)

distância de casa

tempo

2. Mediram-se as massas de pequenas amos-tras de ferro de diversos volumes. A unidade de medida de massa foi o grama (g) e a de volume foi expressa em centímetros cú-bicos (cm3). Com os dados encontrados, construiu-se o gráfico a seguir:

0 1 2 3 4 5 7,5 15 22,5 37,5 30 massa (gramas) volume (centímetros cúbicos)

a) Qual é a massa de uma amostra de ferro cujo volume é 4 cm3?

30 g

b) Qual é o volume de uma amostra de fer-ro de 15 g de massa?

2 cm3

c) Explique por que as grandezas volume e a massa de amostras de ferro represen-tadas no gráfico são grandezas direta-mente proporcionais.

Por meio da análise do gráfico, podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro tem massa 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico a partir do eixo vertical: o volume de uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é 3 cm3. Esse grá-fico mostra como varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amos-tras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3

para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3), a mas-sa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao volume.

d) Qual é a constante de proporcionalidade?

Observando os valores das massas e dos volumes apresen-tados, verificamos que:

7,5 gramas 1 cm3 = 7,5g/cm3 15 gramas 2 cm3 = 7,5g/cm3 22,5 gramas

3 cm3 = 7,5g/cm3. Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).

e) Escreva a relação entre a massa, m, e o volume, V, por meio de uma expressão.

m

3. O gráfico a seguir indica a velocidade que um automóvel precisa alcançar em função do tempo para percorrer uma distância de 120 km. 6 0 60 40 30 24 20 120 ^{v (km/h)} 1 2 3 4 5 t (h)

a) Com base no gráfico, complete a tabela a seguir:

t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12 v (km/h) 120 80 60 40 30 24 20 15 10

b) Explique por que as grandezas “veloci-dade” e “tempo” representadas no grá-fico são inversamente proporcionais.

Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse pro-blema – a velocidade média e o tempo gasto para se percorrer a distância dada – não são diretamente pro-porcionais, mas sim inversamente propro-porcionais, porque quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor correspondente à outra é dividido por 2. Quando um

deles é dividido por 6, o correspondente à outra é multi-plicado por 6, e assim por diante, ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os produ-tos dos valores de uma pelos correspondentes valores da outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversa-mente proporcionais são denominados hipérboles.

c) Escreva a expressão que relaciona v e t.

v u t = 120

4. Analise o gráfico a seguir. Ele indica o preço em reais de cada ca-miseta que uma confecção produz de acordo com o número de camisetas compradas pelas lojas.

y 100 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(preço em reais por item)

200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O gráfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor será o preço por unidade. Por exemplo: se uma loja comprar 100 camisetas, o preço de cada uma delas será 16 reais; se comprar 200, o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e assim por diante. Agora responda:

a) As grandezas envolvidas, preço unitário p e quantidade q, são diretamente ou in-versamente proporcionais? Explique.

Não, porque a razão p q

não é constante.

b) O que acontece com o preço da camise-ta quando a quantidade vendida varia em100 unidades?

O preço varia em 2 reais.

c) Qual seria a diminuição no preço para o aumento de uma unidade vendida.

O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas. Portanto, o preço não se modificou para uma uni-dade vendida.

d) Com base nessas informações, escreva uma sentença que relacione o preço p com a quantidade q.

Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades, o preço aumenta 2 reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade vendida o preço diminui 0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.

5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa para embalá-los, colocando a mesma quantidade de bombons em cada uma delas. a) As grandezas “números de bombons” e

“números de caixas” são inversamente proporcionais? Explique.

Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).

b) Preencha a tabela a seguir:

No de bombons 2 3 4 6 9 12

No de caixas 18 12 9 6 4 3

c) Construa um gráfico que represente a situação indicada na tabela anterior.

0 6 9 12 18 36 n (bombons) c (caixas) 1 2 3 4 5 6 6. Observe os três retângulos desenhados e responda às ques-tões a seguir: 8 cm 3 cm 1 cm 10 cm 5 cm 6 cm I II III

a) Calcule o perímetro e a área de cada um deles e, em seguida, preencha a tabela: Retângulo Perímetro (cm) Área (cm2)

I 22 24

II 22 10

III 22 30

b) Considere um retângulo de mesmo pe-rímetro que os anteriores, cujos lados medem x e y centímetros. Expresse y em função de x.

c) Complete a tabela a seguir para a função anterior com valores inteiros de x va-riando de 0 a 11. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 –1_–1 –2 –2 1 9 9 5 5 3 3 11 11 13 13 15 15 17 17 19 19 ^y x 20 7 7 2 2 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 6 6 4 4 8 8

d) Como varia y à medida que o valor de x aumenta? O gráfico representa uma varia-ção proporcional entre x e y? Justifique.

À medida que o valor de x aumenta, é pos sível observar que o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são diretamente proporcionais nem inver-samente proporcionais, pois não observamos uma constante no quociente y

x .

e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.

A = x u y = x(–x + 11) = –x2 + 11x

f) Preencha a tabela a seguir com os valo-res da área A para x variando de 0 a 11. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0

g) A área de A e é proporcional à medida de x? Justifique.

A partir da tabela e do gráfico, pode-se observar que os va-lores de A e x não são nem diretamente nem inversamente proporcionais.

h) O gráfico a seguir representa a função da área A de um retângulo em relação a seu lado de medida x. Com base nele, determi-ne o valor de x que torna a área máxima.

0 5 6 10 11 5,5 x 10 20 30 y

Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou seja, a área máxima será a de um quadrado.

7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perí-metro p e área A.

a) Expresse algebricamente a relação exis-tente entre os valores de p e de x.

b) Expresse algebricamente a relação exis-tente entre os valores de A e de x.

A = x2

c) Mostre que existe um valor de x para o qual a área e o perímetro de um quadra-do são expressos pelo mesmo número.

x2 = 4x, logo, x = 4

d) Esboce no mesmo sistema de coorde-nadas os gráficos de p e de A em fun-ção de x e localize o ponto encontrado no item anterior. –1 –2 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 y x

8. Um grupo de alunos da 8a série/ 9o ano formou uma banda e precisa determinar o preço x, em reais, do ingresso para o show de apresentação. Eles imaginaram que, se o valor do ingresso for muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se for muito baixo, não obterão lucro, que se-ria investido na banda. Com base nos valo-res cobrados por outras bandas, os alunos concluíram que o lucro L de cada espetácu-lo, em re ais, poderia ser dado pela expressão

L = –x2+ 12x – 20. (Observação: L > 0 signi-fica lucro e L < 0, prejuízo).

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 –1 –1 –2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y x y 2 0 3 7 4 12 5 15 6 16 7 15 8 12 9 7 10 0

Observe o gráfico e a tabela e, em seguida, responda:

a) Qual será o lucro caso eles decidam co-brar 4 reais por ingresso?

12 reais.

b) Se o preço do ingresso for superior a 6 reais, podemos afirmar que o grupo terá prejuízo? Justifique.

Não, o grupo ainda terá lucro. Contudo, quanto mais pró-ximo de 10 reais, o lucro diminui até que, nesse valor, ficará zerado, e a partir dele o projeto apresenta prejuízo.

c) Para que intervalo de valores de x o lu-cro aumenta? E para qual ele diminui?

d) Qual é o valor do ingresso para o maior lucro possível? Qual o valor do lucro máximo?

O valor do ingresso para que o lucro seja máximo é 6 reais, quando o lucro atingirá 16 reais.

e) O que acontece quando o valor dos ingres-sos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?

Nesses intervalos, o projeto tem prejuízo.

f) O que ocorre com o lucro quando os in-gressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais?

Com esses valores o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto máximo da função em x = 6.

Considerações sobre a avaliação

Foram sugeridas algumas atividades que permitem a construção de noções básicas sobre funções lineares e quadráticas. Julgan-do possível, o professor pode aprofundar as formas gerais de funções cujos gráficos são retas, como y = mx + n, analisando cresci-mento, diminuição e coordenadas dos pontos de intersecção nos eixos. Quanto às funções quadráticas na forma y = ax2 + bx + c, o pro-fessor pode discutir os sentidos das concavi-dades com relação aos sinais do coeficiente a e também as coordenadas dos pontos que interceptam os eixos coordenados.

Na Situação de Aprendizagem 1, caso al-guns alunos demonstrem dificuldade para compreender o significado dos conjuntos nu-méricos, recomendamos que se retome um pouco da história dos números, mostrando como esse tipo de representação evoluiu ao longo da história em função das necessidades do homem: o surgimento dos números natu-rais como uma forma de representar a conta-gem de objetos ou de marcar a passaconta-gem do tempo; a necessidade de medida provocando o surgimento dos números fracionários (ra-cionais); o desenvolvimento do comércio e das finanças, que demandou a utilização de núme-ros negativos para registrar dívidas etc.

Na Situação de Aprendizagem 2, o professor poderá retomar os temas por meio de lista de

exercícios e, eventualmente, poderá propor que os alunos façam um trabalho em grupo sobre frações contínuas e aproximações de irracionais.

A Situação de Aprendizagem 3 permite que o professor explore a recuperação com atividades de desenho geométrico, já que par-te significativa do trabalho nela apresentado diz respeito às construções geométricas. Nesse momento, o professor poderá utilizar uma lis-ta de exercícios e solicilis-tar que o aluno prepare fichas-resumo com procedimentos elementa-res de construção, como o traçado da media-triz de um segmento, o traçado da bissemedia-triz de um ângulo, construção de polígonos regulares e, mais diretamente relacionado com a Situa-ção de Aprendizagem, a construSitua-ção de alguns números reais.