O estudo da reta real na 8a série/9o ano tem alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o conhecimento numérico do aluno, estabeleci-do ao longo das séries/anos anteriores e orga-nizado na Situação de Aprendizagem 1 deste Caderno, pode finalmente ser utilizado para ampliar o significado do plano cartesiano. O estudo dos gráficos, domínio importante no contexto da Matemática, já vem sendo reali-zado desde a 5a série/6o ano do Ensino Funda-mental, porém sempre deixando de lado dis-cussões relacionadas ao “preenchimento” do plano. Por exemplo: na 6a série/7o ano quando os pontos (1;1), (1;4) e (5;1) são apresenta-dos como vértices de um triângulo retângulo no plano cartesiano, apenas iniciamos uma discussão que pode e deve ser retomada na 8a série/9o ano com mais rigor e precisão por meio de discussão da reta real.
A retomada do tema em questão pode ser feita com o seguinte problema:
Construa no plano cartesiano um triângu-lo de vértices (1;1), (1;4) e (5;1). Em seguida, indique alguns pontos ao longo do perímetro desse triângulo em que ao menos uma de suas coordenadas não seja inteira.
Fazendo a representação do triângulo no plano, poderemos investigar a questão com mais clareza: 0 x A B C 1 1 5 4 y
Os segmentos AB, AC e BC são formados por infinitos pontos, contudo, na 6a série/7o ano não se discutiam especificamente quais são as coordenadas desses pontos. Se tal discussão fos-se conduzida naquela ocasião, certamente pre-encheríamos os segmentos apenas com pontos de coordenadas racionais, já que os números ir-racionais ainda não haviam sido apresentados. O par ordenado
3
2; 1 seria um exemplo de ponto pertencente ao segmento AC, com coor-denada x não inteira, e o par
1; 7
3 um exemplo de ponto pertencente ao segmento AB, com coordenada y não inteira.
Se, por opção do professor, o mesmo pro-blema fosse tratado na 7a série/8o ano, após a apresentação de alguns números irracionais,
poderíamos “preencher” os mesmos segmen-tos com ponsegmen-tos como
(
2 1;)
, que pertencem a AC, e 1(
; 6)
, que pertence a AB. Após o trabalho feito com o Teorema de Tales na 7a série/8o ano, também poderíamos encon-trar pontos pertencentes a BC com ambas as coordenadas não racionais. Por exemplo, de-terminaremos a seguir a ordenada do ponto6 ; y
( )
, pertencente ao segmento BC. 0 x A E D B C 1 1 5 4 y y 6Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y e ED 6 1– . Portanto: BE BA = ED AC A 4 3 6 1 4 –y – A Ay 19 3 6 4 – Q.
Assim, o ponto D tem as seguintes coordena-das não racionais:
6 19 3 6 4
; – .
Retomando a discussão com os alunos sobre o número /, iniciada na 6a série/7o ano, é possível indicar que outro exemplo de ponto
pertencen-te ao segmento AC, com abscissa não racional, corresponderia ao par ordenado (/; 1).
Essa discussão deve servir para que o pro-fessor problematize a necessidade de amplia-ção das ideias relacionadas aos eixos do plano cartesiano que, a rigor, são eixos de números reais, apesar de não ter sido definido dessa maneira até a 7a série/8o ano. Poderíamos di-zer que, na 6a série/7o ano, a reta numérica es-tava preenchida apenas com os racionais, na 7a série/8o ano foram incluídos alguns números irracionais (caso o professor tenha optado por iniciar a discussão sobre irracionais nessa série/ ano), e na 8a série/9o ano ela será completamen-te preenchida com os demais irracionais.
Antes da proposta de trabalho com a reta real, falaremos brevemente sobre a divisão dos números reais entre algébricos e transcenden-tes. Embora esse assunto não seja abordado no Ensino Fundamental; porém não encon-tramos grandes obstáculos para que ele seja abordado, especialmente se houver interesse do professor em tratar o assunto sob o ponto de vista da história da Matemática. Observe a seguinte definição:
Um número real é algébrico quando ele é solução de uma equação algé brica com coefi-cientes inteiros.
Vejamos alguns exemplos de equações al-gébricas com coeficientes inteiros, bem como o respectivo grau da equação:
Equação algébrica Grau da equação Solução da equação 2x + 8 = 0 1 – 4 – 6x + 4 = 0 1 2 3 x2 = 3 2 ( 3 x2 + x – 2 = 0 2 1 ou –2 x3 + x2 – 2x – 2 = 0 3 – 2, 2 ou –1 Usando a definição de números algébricos e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
3, – 3, 3, 1, –2, – 2, 2 e –1 são classifi-cados como algébricos (veja a definição na pá-gina 40).
Observações:
f uma equação do tipo 2x – 1 0 não serviria para classificar o número 2
2
como algébrico porque, apesar de a equa-ção ser algébrica, ela não possui todos os coeficientes inteiros (o coeficiente de x é o número irracional 2). Para mostrar que 2
2 é um número algébrico, teríamos
que apresentar, por exemplo, a equação 2x2 – 1 = 0;
f equações do tipo x + 1
x + 1 + 2 = 0 e
x+2x+ =2 0 não são algébricas.
Equa-ções algébricas são do tipo a0xn + a1xn – 1 + + ... + an – 1x + an= 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ..., an – 1, an, dado seus coeficientes (reais) e n, o seu grau;
f um mesmo número algébrico pode ser identificado por mais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros, mas basta apresentar uma única equação para que ele seja classificado como algé-brico. Alguns exemplos de equações que permitem classificar o número 2 como algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0, x3 + x2 – 2x – 2 = 0 etc.
O primeiro motivo de estabelecermos essa classificação é o de justificar para o aluno a diferença entre números irracionais como 2
e o /. Enquanto 2 é um número irracional algébrico, não há uma equação algébrica com coeficientes inteiros que tenha como solução o número /, o que o caracteriza como irracional não algébrico (ou transcendente). Todo número racional é algébrico, mas nem todo nú mero irracio nal é algébrico.
Existem inúmeros exemplos de irracionais transcendentes, porém, até o final do Ensino Fundamental, o aluno terá contato com ape-nas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar matematicamente que são irracionais trans-cendentes números como / e 2 2
.
A reta real é o conjunto que reúne os números racionais e irracionais ou, em outras palavras, o conjunto que reúne os números algébricos e os números transcendentes. Por fim, afirmaremos que todo número racional é algébrico, nem todo número irracional é algébrico e que todo núme-ro transcendente é irracional.