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a
SÉRIE 9
o
ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Caderno do Professor
Volume 1
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
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aSÉRIE/9
oANO
VOLUME 1
Nova edição 2014-2017
Governo do Estado de São Paulo Governador
Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da
Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e
Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação — Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo. Bom trabalho!
S
UMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números 10
Situação de Aprendizagem 2 – Números racionais e sua escrita decimal 29
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, Álgebra e Geometria com a reta real 38
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza 50
Situação de Aprendizagem 5 – Alguns métodos para resolver equações de 2
ograu 58
Situação de Aprendizagem 6 – Equações de 2
ograu na resolução de problemas 87
Situação de Aprendizagem 7 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados
e contextos 92
Situação de Aprendizagem 8 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de
algumas não proporcionais 99
Orientações para recuperação 107
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 109
Considerações finais 111
Os temas escolhidos para compor o con-teúdo disciplinar de cada volume não se afas-tam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendi-das referem-se à abordagem de tais conteúdos, sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacan-do-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especial-mente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Volumes, os conteúdos es-tão organizados em 16 unidades de exten-sões aproximadamente iguais. De acordo com o número de aulas disponíveis por se-mana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento dos temas. A critério do pro-fessor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, en-quanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as 16 unidades, uma vez que, juntas, com-põem um panorama do conteúdo do volume e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Vale insistir que somente
O
RIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
o professor, em sua circunstância particular e le-vando em consideração seu interesse e o dos alu-nos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica de seu conteú-do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-tendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-tando a ação do professor em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelo professor com maior ou me-nor intensidade, segundo seu interesse e o de sua turma. Naturalmente, em razão das limi-tações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Vo-lume, sempre que possível, textos, softwares, sites e vídeos, entre outros materiais, em sin-tonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriqueci-mento de suas aulas.
Conteúdos básicos do volume
O tema central deste Volume são os con-juntos numéricos e suas características e pro-priedades. Os números constituem um eixo importante da Matemática e, neste momento, apresentaremos propostas para que se possa estudá-los em articulação com outros eixos, como o da Geometria e da Álgebra. Na 8a série/
9o ano, os alunos devem sistematizar o
conhe-cimento adquirido ao longo do Ensino Fun-damental, retomando as principais ideias as-sociadas aos conjuntos numéricos.
Além disso, este Volume também abordará as equações de 2o grau e a noção de função.
Em relação ao primeiro tema, pretende-se que os alunos resolvam situações, inclusive geo-métricas, que possam ser traduzidas por meio de equações de 2o grau, obtendo as raízes por
diferentes métodos, e discutam o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta.
Com relação ao assunto funções, o alu-no poderá apropriar-se dessa alu-noção ao ana-lisar a natureza da interdependência de duas grandezas na resolução de problemas em que elas sejam diretamente proporcionais, inver-samente proporcionais ou não proporcionais – iniciando, assim, o estudo das funções afins e quadrática, que serão posteriormente desen-volvidas no Ensino Médio. As situações pro-postas são oportunas para que se expresse a variação das grandezas envolvidas por meio de diferentes representações: tabelas, gráficos e expressões algébricas.
Quanto à resolução da equação quadrá-tica, sugere-se que sejam enfatizados os pro-cedimentos que envolvam conhecimentos sobre fatoração, exponenciação e radiciação, para resolução tanto de equações quadráticas como de equações exponenciais, fatoração e pesquisa das raízes por soma e produto. Nes-se Nes-sentido, também são exploradas equações exponenciais, quadráticas e de 3o grau. A
cha-mada fórmula de Bhaskara, para as equações de 2o grau, também deverá ser desenvolvida,
porém é fundamental que os alunos tenham uma visão mais abrangente dos processos de resolução, tendo em vista que, no Ensino Mé-dio, eles precisarão resolver equações de grau superior a dois.
Na Situação de Aprendizagem 2, é reto-mada a ideia da representação dos racionais e dos irracionais para dar um passo além com a apresentação de uma nova forma de escrita dos números reais: as frações contínuas. A represen-tação dos números reais como frações contínuas permite trabalhar com a ideia de aproximação de uma forma mais natural e precisa do que as representações decimais dos números.
Na Situação de Aprendizagem 3, amplia-mos a ideia dos conjuntos numéricos traba-lhados na Situação de Aprendizagem 1, agora do ponto de vista do “preenchimento” da reta real. Essa situação constitui um momento im-portante de articulação entre os eixos da Arit-mética, da Álgebra e da Geometria, porque discutiremos números, suas representações e sua localização na reta real com o uso dos instrumentos clássicos de desenho, que são a régua e o compasso.
Na Situação de Aprendizagem 4, são abdadas a notação científica e o conceito de or-dem de grandeza. Retomando as propriedades das operações com potências, que foram con-templadas anteriormente na 7a série/8o ano,
introduzimos formalmente a notação citífica e apresentamos algumas atividades en-volvendo a representação e as operações com números nesse formato. Em seguida, apresen-tamos uma das ideias mais importantes para o trabalho com números grandes ou pequenos e na comparação entre grandezas físicas: a ideia de ordem de grandeza. A Situação de Apren-dizagem 5 mostra um possível roteiro para o desenvolvimento desse trabalho.
A resolução de problemas envolvendo equa-ções de 2o grau em diferentes contextos faz parte
da Situação de Aprendizagem 6. Além da pro-posição de problemas, essa unidade tem como objetivo a apresentação de uma síntese dos di-versos procedimentos utilizados para a obten-ção das raízes de uma equaobten-ção quadrática.
Sugere-se também a apresentação de situa-ções envolvendo a variação de duas grandezas em que seja necessária a identificação dessa variação em relação à proporcionalidade, ou seja, pretende-se explorar o significado das expressões “x e y são diretamente proporcio-nais”, “x e y são inversamente proporcionais” e “x e y não são proporcionais”, incluindo, quando for o caso, a tradução desses signifi-cados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional a x).
Às vezes, duas grandezas x e y variam de tal modo que a proporcionalidade dire-ta não ocorre entre y e x, mas quando y va-ria a partir de certo valor h e x. Nesses ca-sos, temos y h
x
– = k ou y – h = kx, ou seja,
y = kx + h (k e h constantes). Portanto y – h é diretamente proporcional a x. A Situação de Aprendizagem 7 contempla esses aspectos.
Com relação às funções de 2o grau
y = ax2 + bx + c, as situações apresentadas
pretendem explorar a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra. Essas noções serão exploradas e aprofundadas no Ensino Médio.
Em seguida, sugere-se a leitura e constru-ção de gráfico cartesiano que representa a va-riação de duas grandezas, de modo que uma seja, por exemplo, diretamente proporcional ao quadrado da outra. São apresentados tam-bém problemas em contextos significativos, que envolvem grandezas cuja variação é ex-pressa por mais de uma sentença. A Situação de Aprendizagem 8 contempla aspectos cita-dos nas Unidades 15 e 16.
Cabe ressaltar que as sugestões de ativida-des, distribuídas nas oito Situações de Apren-dizagem, contemplam os principais aspec-tos dos conteúdos abordados neste volume e são adequadas para os alunos da 8a série/
9o ano do Ensino Fundamental. Todavia, o
papel do professor é, evidentemente, funda-mental para a realização desse trabalho nos seguintes aspectos: ordenação, redução ou
ampliação das atividades sugeridas, seleção ou elaboração de novos problemas ou exer-cícios, adequação das propostas ao ritmo de cada turma.
Convém destacar ainda que as atividades deste Caderno devem ser consideradas não como mera lista de exercícios ou problemas cujo objetivo é o simples uso de técnicas que devem ser transformadas em rotinas automatizadas; pelo contrário, as situações propostas têm por fi-nalidade apresentar contextos para que as noções estudadas tenham significado para o aluno. Mui-tas dessas situações podem ser encaradas como pontos de partida para o estudo de determinada noção ou propriedade, o que não significa que o professor não deva propor atividades de síntese com a finalidade de organizar as conclusões e os resultados encontrados.
Compõem o Caderno ainda algumas consi-derações sobre a avaliação, bem como o conteú-do consideraconteú-do indispensável ao desenvolvimen-to das competências enunciadas neste volume.
Quadro geral de conteúdos do Volume 1 da 8
asérie/9
oano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Conjuntos e diagramas.Unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas. Unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos.
Unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal. Unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.
Unidade 6 – Representações na reta real. Unidade 7 – Construções na reta real.
Unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.
Unidade 9 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau.
Unidade 10 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 11 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 12 – Equação de 2o grau: relação entre coeficientes e raízes.
Unidade 13 – Equação de 2o grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara –
equa-ções de 2o grau na resolução de problemas.
Unidade 14 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações. Unidade 15 – Grandezas proporcionais: representações gráficas.
S
ITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS E NÚMEROS
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Euler); operações e relações entre conjuntos;
classifi-cação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver
problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os con-juntos: interseção, união, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Sugestão de estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-nos tiveram contato com diferentes conjuntos de números: naturais, frações, decimais, negati-vos etc. A 8a série/9o ano é o momento ideal para
se fazer uma síntese desses números, retomando seus significados e organizando uma classifica-ção. Antes de classificar os conjuntos numéricos, sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada à resolução de problemas e à representação por diagramas, e menos à linguagem simbólica, que será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais importantes na Matemática. A chamada
“Matemática Moderna” pretendeu desenvol-ver o ensino da Matemática por meio da teoria dos conjuntos, o que acabou gerando exage-rada valorização da linguagem simbólica em detrimento da constituição do pensamento matemático. Essa iniciativa tornou o ensino da Matemática extremamente abstrato e distante da realidade do aluno, fazendo que essa meto-dologia viesse a ser gradativamente substituída por outra, mais contextualizada e voltada para a construção do significado.
Problemas envolvendo conjuntos
1. Considere a seguinte situação: uma atividade com duas ques-tões foi aplicada em uma turma de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.
a) Os dados do enunciado sugerem que a soma das partes é maior que o todo: 20 + 35 + 25 = 80 > 40. Como podemos explicar esse fato?
Isso ocorre porque as informações não são excludentes, ou seja, os 20 alunos que acertaram as duas questões estão in-cluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão.
Esse é um típico problema que envolve a ideia de interseção de conjuntos. Apresente o problema aos alunos e deixe que eles ten-tem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos podem questionar a plausibilidade das infor-mações numéricas, uma vez que a soma das partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior que o todo (40). Como isso é possível?
A ideia é fazer que os alunos percebam que as informações sobre os resultados obtidos não são excludentes, isto é, possuem elementos em comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a primeira questão estão contemplados, também, aqueles que acertaram a segunda questão. O mes-mo raciocínio pode ser aplicado com relação ao número de alunos que acertaram a segunda ques-tão, ou seja, o problema adquire novo significado.
Vale chamar a atenção dos alunos para a importância da interpretação do enunciado.
Dependendo de como forem escritas, algumas informações podem ter certo grau de ambigui-dade no seu significado. Afirmar que 35 alunos acertaram a primeira questão é diferente de afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a primeira questão, o que faz toda a diferença, e não é raro que alguns alunos optem por essa última interpretação, acarretando a inconsis-tência das partes serem maiores que o todo.
No caso dessa atividade, o fato de um aluno poder acertar ambas as questões implica a exis-tência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles não são mutuamente exclusivos. Contudo, em outras situações, a exclusividade dos conjuntos é subentendida pelo próprio contexto. Por exem-plo, em uma turma de 40 alunos com 25 homens e 15 mulheres, não há necessidade de afirmar que 25 dos alunos são exclusivamente homens, pois não há interseção entre os conjuntos.
b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20
acertaram as duas, quantos alunos acer-taram apenas a 1a questão?
Acertaram a 1a questão = 35 Acertaram apenas a 1a questão = 15 Acertaram a 1a e a 2a questões = 20 35 – 20 = 15 alunos
Voltando à atividade inicial, os alunos po-dem concluir que, entre os 35 que acertaram a primeira questão, existem aqueles que acer-taram somente a primeira questão e aqueles que acertaram as duas. Como essa informa-ção foi fornecida pelo problema, conclui-se que 15 alunos acertaram somente a primeira questão.
c) E apenas a 2a questão?
Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença entre 25 e 20, ou seja, 5. Acertaram a 2a questão = 25 Acertaram apenas a 2a questão = 5 Acertaram a 1a e a 2a questões = 20
d) Qual é o percentual de alunos que acertaram apenas uma questão nesta atividade?
Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:
tpercentual de alunos que acertaram apenas a primeira questão: 15
40
= 0,375 ou 37,5%.
tpercentual de alunos que acertaram apenas a segunda questão: 5
40 = 0,125 ou 12,5%.
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão foi de 50%.
Problemas que envolvem relações entre conjuntos podem ser resolvidos por meio de diagramas. Para os alunos da 8a série/
9o ano, os diagramas permitem uma
visuali-zação e organivisuali-zação dos dados que podem ajudar a resolver problemas mais comple-xos. Assim, sugerimos que o professor apre-sente esse tipo de representação aos alunos e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para representar os conjuntos e suas rela-ções. Atribui-se ao famoso matemático suíço Leonhard Euler a ideia de usar diagramas para representar relações ló-gicas. O diagrama de Euler nada mais é do que uma região delimitada do pla-no, simbolizada por uma figura curva fechada, que representa um conjunto. Um conjunto é formado por elementos que possuem determinada propriedade. Vejamos um exemplo:O conjunto das aves inclui animais que possuem determinadas característi-cas. Uma delas é o fato de possuir asas. O beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou seja, são animais que possuem asas. O ca-valo, por sua vez, não pertence ao conjun-to das aves, pois não possui asas. O diagra-ma a seguir representa essa situação:
Beija-flor
Ave
Águia
2. Com base no texto apresen-tado na seção Leitura e análise de texto, represente, por meio de diagramas, as seguintes situações: a) Conjunto: Paulistanos
Elementos: André, Luiz e Renata nasce-ram na cidade de São Paulo. Júlio nas-ceu em Ribeirão Preto.
André
Paulistanos
Renata
Luiz Júlio
b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estu-dam na 7a série/8o ano do Ensino
Funda-mental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do
Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo e Antônio estudam na 2a série do
Ensi-no Médio. Patrícia Alunos do Ensino Fundamental Lucas Renato Marta Reinaldo Antônio Rafael
c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos Elementos: João, Helena Marcus e Alberto são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem pelo São Paulo. André e Tomás não tor-cem para nenhum time.
Tomás João Alberto Marcus Helena Alice Laís Diego André corintianos são-paulino
Relações entre conjuntos
Todos os conjuntos exemplificados até este momento são representados em uma região delimitada por meio de uma curva fechada, representando determinado conjunto.
A figura a seguir mostra de forma gené-rica um conjunto A, constituído de todos os elementos que possuem determinada pro-priedade a.
A
x y
A relação espacial entre as figuras (so-breposição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto A formado pelos elementos que têm a propriedade a e o con-junto B formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:
1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um sub-conjunto de B. Dizemos que A está contido em B, ou seja, A B.
Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número par. O conjunto dos múltiplos de 10 forma um subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos de 10
2. Interseção: algum a é b. Se alguns ele-mentos do conjunto A também per-tencem ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultanea-mente, ou seja, A E B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns elementos do conjunto dos números ímpares são primos, por exemplo, 3, 5, 7 etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. União: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os elementos de A e de B, ou seja, A F B.
Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e dos múltiplos de 3. A interseção são os ele-mentos do conjunto dos múltiplos de 6.
M(2) M(3)
Na união de M(2) e M(3), temos ele-mentos comuns, que são os múltiplos de 6 – M(6) – e, consequentemente, contem-plam a indicação apresentada no diagrama. 4. Diferença: algum a não é b. Os ele-mentos da diferença entre os conjun-tos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem a B, ou seja, A – B. Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da dife-rença entre os conjuntos. Pares – Primos = = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares Primos
Aqui na intersecção há apenas um nú-mero par e primo: 2.
5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quan-do um deles é subconjunto quan-do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B.
CAB= A – B
Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, o con-junto complementar dos múltiplos de 10 em re-lação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...
M(5)
M(10)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses con-juntos são mutuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é va-zia, ou seja, A E B = A.
Exemplo: os conjuntos dos números pa-res e dos números ímpapa-res são mutuamente
exclusivos, pois não possuem elemento em comum.
Pares Ímpares
Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, podemos utilizar um nú-mero maior de diagramas. Por exemplo:
Animais
Minerais Mamíferos
Os diagramas anteriores mostram que o conjunto dos mamíferos são um subconjunto do conjunto dos animais e que nenhum ele-mento do conjunto dos minerais pertence ao conjunto dos animais. Observando os diagra-mas, podemos chegar às seguintes conclusões: f todo mamífero pertence ao reino dos
animais.
f nem todo animal é mamífero. f nenhum mineral é animal.
3. Assinale o item que melhor re-presenta os diagramas a seguir: a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3.
b) Conjuntos: retângulos e losangos.
I.
Retângulos E LosangosII.
Losangos RetângulosIII.
Losangos F RetângulosRetângulos Losangos
c) Conjuntos: números pares e números primos.
I.
Pares – PrimosII.
Pares E PrimosIII.
Pares F Primos2 4 20 0 8 12 11 3 7 5 6 Pares Primos
d) Conjuntos: números pares e múltiplos de 10.
I.
Pares – M(10)II.
Pares F M(10)III.
M(10) Pares 2 4 0 8 12 20 10 Pares M(10)e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.
I.
C Polígonos Regulares PolígonosII.
Polígonos E Polígonos RegularesIII.
Polígonos F Polígonos RegularesPolígonos
Polígonos Regulares
Dizemos que um polígono é regular se todos os lados e ângulos deste, sejam eles internos ou externos, forem iguais. Além disso, ele também deve poder ser inscrito em uma circunferência
f) Conjuntos: números pares e ímpares.
I.
Pares – ÍmparesII.
Pares E Ímpares III.
Pares ÍmparesÍmpares 2 4 10 0 8 12 11 3 5 1 7 9 6 Pares
4. Pinte os diagramas que represen-tam as seguintes operações com conjuntos:
a) A – B
b) A E B A B c) A B A B d)
C
BA A BDiagramas e lógica
Os diagramas de Euler passaram a ser am-plamente utilizados para representar conjun-tos em virtude de sua facilidade de compreen-são visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como “Diagramas de Venn”, por causa da se-melhança com o tipo de diagrama criado pelo filósofo britânico John Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar argumentações lógicas. Por exemplo:
f todos os mineiros são brasileiros. f Pedro é mineiro.
f logo, Pedro é brasileiro.
Essa estrutura de argumentação lógi-ca é denominada silogismo e é composta
por três proposições: duas premissas e uma conclusão.
Professor, para que os alunos utilizem diagramas na representação das argumenta-ções lógicas, propomos a seguinte atividade. 5. Nas figuras seguintes, assinale o diagrama que melhor repre-senta os argumentos dados. a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba
(C) são paranaenses (P). João nasceu em Curitiba. Logo, João é paranaense. I. C P João II. C P João III. P C João
Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II repre-senta o contrário da premissa I, pois indica que todos os paranaenses são curitibanos.
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados. Um quadrado é um quadrilátero.
Logo, nenhum quadrado possui cinco lados. I. Quadriláteros Cinco lados Quadrado II. Quadrado Quadrilátero Cinco lados
Quadrilátero Cinco lados
III.
Quadrado
Uma atividade com duas questões foi apli-cada em uma turma com 40 alunos. Os re-sultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão
(Conjunto B).
a) Represente no diagrama a seguir o nú-mero de alunos que acertaram as duas questões.
A E B
Do total da turma de 40 alunos, uma parte acertou as duas questões. Assim, há interseção entre os conjuntos dos alu-nos que acertaram a primeira questão (Conjunto A) e a segunda (Conjunto B). Para completar o diagrama com as informações numéricas do problema, podemos iniciar re-gistrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o número de alunos que acertaram as duas questões.
A B
20
b) Represente no diagrama a seguir o nú-mero de alunos que acertaram apenas a 1a questão.
Em seguida, preenchemos as regiões que representam o número de alunos que acertaram exclusivamente uma das questões. O número de alunos que acertou apenas a primei-ra questão é a diferença entre o número total de alunos (35) que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas questões (20), ou seja, 15.
c) Alguns tetraedros são poliedros regulares. Todos os tetraedros são pirâmides. Logo, algumas pirâmides são poliedros regulares. Poliedros regulares Tetraedros Pirâmides Pirâmides Tetraedros Poliedros regulares Poliedros regulares Pirâmides Tetraedros I. II. III.
O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado, pois não é verdade que todas as pi-râmides são poliedros regulares. O diagrama III também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares são pirâmides.
Problemas, conjuntos e diagramas
Sugerimos que o professor proponha mais alguns problemas para os alunos, para que eles se familiarizem com esse tipo de represen-tação. A seguir, apresentamos um problema envolvendo mais de dois subconjuntos.
7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de tele-visão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevis-tadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 370 famílias assistem ao programa A; 300, ao programa B e 360, ao programa C. Des-se total, 100 famílias assistem aos programas A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos gramas A e C e 20 famílias assistem aos 3 pro-gramas. Com base nesses dados, responda: a) Famílias que assistem a três programas.
Representando as informações dadas no diagrama, obtemos o seguinte:
Representação da interseção entre os três conjuntos: A E B E C.
A B
C 20
Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois: A E B, A E C e B E C.
b) Famílias que assistem a dois programas.
O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três A – B
A B
20 15
c) Represente no diagrama a seguir o nú-mero de alunos que acertaram apenas a 2a questão.
Utilizando o mesmo raciocínio, o resultado corresponde à diferença entre o total de alunos que acertou a segunda questão (25) e os que acertaram as duas questões (20), isto é, 5.
B – A
A B
20
15 5
É importante discutir com os alunos que, nesse caso, a soma dos elementos representa-dos no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao to-tal de alunos, 40, o que significa que nenhum aluno errou as duas questões.
programas; portanto, o número de famílias que só assistem aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80. O mesmo vale para as outras interseções.
A B
C 20 80
10 40
c) Famílias que assistem exclusivamente a um programa.
Representação do número de pessoas que assistem exclusi-vamente a cada um dos programas. No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A E B, A E C e A E B E C.
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra a figura a seguir: A B C 20 80 10 260 160 290 40
d) Famílias que não assistem a nenhum dos três programas.
Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a soma das partes corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas, o que pode ser representado como o conjunto complementar em relação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama a seguir:
A B C T 20 80 10 260 160 290 340 40
8. Com base no diagrama apresentado na atividade anterior, responda às seguintes perguntas:
a) Quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?
b) Quantas famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A?
490 famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A. A B C 80 260 160 290 40 20 10 T 340
c) Qual é o programa de maior fidelidade, ou seja, aquele cujos espectadores so-mente assistem a ele?
O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A e 160 do B. A B C T 20 80 10 260 160 290 340 40
9. Resolva o problema a seguir usando diagramas.
Uma prova com três questões foi aplicada em uma turma com 60 alunos. Os resultados obtidos foram os seguintes: 36 alunos acer-taram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25
acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que
18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16
acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram
a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos
acerta-ram as três questões.
Represente na forma de diagrama os con-juntos descritos anteriormente e responta às questões seguintes: U = 60 8 6 12 10 6 3 10 1a 2 a 3a 5
a) Quantos alunos erraram as três questões?
Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a
2a questão?
12 + 6 + 10 + 8 + 3 + 10 = 49. 49 alunos acertaram ou a 1ª ou a 2ª questão.
c) Quantos alunos erraram a 3ª questão?
Desafio!
(Coordenadoria de Admissão aos Cur-sos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas (A, B e C) de um determi-nado produto apresentou os seguintes resultados: A (48%); B (45%); C (50%); A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%); nenhuma das três, 5%.
(Dica: represente a porcentagem de en-trevistados que consomem as três mar-cas por x e construa o diagrama com as informações dadas.) U = 100% 18 – x 15 – x 15 + x 2 + x 10 + x 25 – x x A B C 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevista-dos que consomem as três marcas?
Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, bas-ta resolver a seguinte equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100. Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados con-somem as três marcas.
b) Qual é a porcentagem dos entrevista-dos que consomem apenas uma das três marcas? U = 100% 8% 5% 25% 12% 20% 15% 10% A B C 5%
Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são 25% + 12% + 20% = 57%.
Os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente, a ideia de número pode parecer simples e na-tural. Se pensarmos em termos de contagem de objetos, os números chamados naturais são suficientes para expressar resultados e efetuar determinadas operações.
Contudo, ao longo da história, as trans-formações socioculturais da humanidade
naturais, puderam representar quantidades inteiras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações etc. Os núme-ros racionais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como número decimal. As frações surgem para representar quantidades não inteiras, o resultado de medi-das, a relação entre a parte e o todo de deter-minado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na 6a série/7o ano, contradizendo a ideia de que os
números só podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, na 8a série/9o ano surgem
os números irracionais, que representam as me-didas de segmentos incomensuráveis, uma vez que elas não podem ser representadas na forma de uma fração entre dois inteiros.
Todo esse universo numérico pode ser or-ganizado e sistematizado por meio de diagra-mas que representem as relações de inclusão e interseção entre os diferentes conjuntos. Apresentaremos, a seguir, a classificação mais usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de vista das características de cada número e das operações que podem ser realizadas dentro de cada conjunto.
Conjuntos numéricos e operações: dos
naturais aos racionais
No conjunto dos números naturais, sempre podemos realizar as duas operações funda-mentais: a adição e a multiplicação, ou seja, quaisquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b
e de a u b será também um natural. Dizemos, então, que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação.
Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio dos na-turais, nem sempre é possível realizar a sub-tração ou a divisão entre dois números. Por exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 8 2 não é um número natural. A subtração a – b só pode ser realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual a b.
A introdução dos números negativos per-mitiu a ampliação do campo numérico para incluir a operação de subtração sem restri-ções. No conjunto dos números inteiros, além da adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro. Con-tudo, no domínio dos inteiros, a divisão b 8 a só pode resultar em um inteiro se a for um fator de b.
Assim, de forma semelhante ao que acon-teceu com a subtração, a criação dos números fracionários, na forma b
a (a e b inteiros, com a ≠ 0), removeu os obstáculos para a operação de divisão, com exceção da divisão por zero. Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos números racionais, que é fechado para a adi-ção, multiplicaadi-ção, subtração e divisão.
d
1
1
d2 = 12 + 12
d2 = 2
Ora, se d for comensurável em relação ao lado 1, então devem existir dois inteiros a e b, tais que a b = d. Logo, a b 2 = 2, ou seja, a 2 b2 = 2. Sendo assim, a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores pri-mos, tais fatores obviamente aparecerão aos pares já que a2 = a u a. O mesmo acontece
com o número b. Se a igualdade anterior fosse verdadeira, teríamos a u a = 2 u b u b, ou seja, teríamos uma quantidade ímpar de fatores do lado direito, já que temos 2 u b u b, e uma quantidade par de fatores do lado esquerdo da igualdade, a u a. Sabemos que isso não é possível, pois todo número in-teiro diferente de 0 e de 1 possui uma única decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma fração a
b, com a e b inteiros que, elevada ao quadrado, resulte em 2. Esse resultado, que nada mais é do que 2, não é um número racional. Assim, retomando a perspectiva da preservação das operações, o conjunto dos números racionais não é fechado para a radiciação.
Dos racionais aos irracionais
Como vimos, os números racionais per-mitem expressar o resultado de um proces-so de medida. Se compararmos a magnitude de dois segmentos a e b, podemos obter como resultado um número inteiro, se a for um fator de b, ou seja, b = r u a. Caso con-trário, então poderemos dividir a unidade a em n segmentos iguais, cada um de com-primento a
n , de forma que ele caiba um número inteiro m de vezes no segmento b. Neste caso, teríamos que b = m
n u a.
Quando for possível expressar a medida de um segmento com base em outro por meio de uma fração ou um número inteiro, dizemos que os segmentos são comensuráveis. Em termos prá-ticos, os números racionais podem expressar a medida de quaisquer segmentos comensuráveis.
Em termos teóricos, contudo, a questão deve ser ampliada. Nem toda medida pode ser expressa na forma de uma razão entre nú-meros inteiros. A descoberta da existência dos segmentos incomensuráveis foi um dos fatos mais surpreendentes da história da Matemá-tica. Um dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade é a medida da diagonal do quadrado em relação ao lado, que foi atri-buída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.
Considerando um quadrado de lado uni-tário, podemos obter a medida da diagonal aplicando o Teorema de Pitágorasa:
a Professor, caso não tenha ainda apresentado o Teorema de Pitágoras aos seus alunos, este será um bom momento.
A existência de segmentos incomensuráveis implicou a criação de um conjunto complemen-tar aos números racionais e que foi denomina-do irracionais. Entre os números irracionais, encontram-se as raízes não exatas, como 3,
5, 12, 55
etc., e números como Pi (/) ou Fi (q), chamados transcendentais ou trans cen-dentes (esse conceito será tratado na Situação de Aprendizagem 3). De modo geral, todos os irracionais possuem uma representação decimal infinita e não periódica.
A reunião do conjunto dos números ra-cionais com o conjunto dos irrara-cionais deu origem ao conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma propriedade im-portante, que será amplamente utilizada da-qui para a frente. Para cada número real, é possível associar um único ponto de uma reta numérica. Assim, a reta real constitui um mo-delo para a representação de todos os núme-ros reais, sejam eles racionais ou irracionais. A representação de alguns irracionais será apresentada nas Situações de Aprendizagem a seguir.
É importante discutir com os alunos que, diferentemente do conjunto dos racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição e multiplicação. Por exemplo, embora 3 5 seja irracional, o resultado de 3+
(
– 3)
é zero, que é ra-cional. Do mesmo modo, 3 u 3 93, que também é racional. O conjunto dos ir-racionais também não é fechado para sub-tração e para divisão.Representação dos conjuntos por meio
de diagramas
Podemos representar os conjuntos nu-méricos por meio de diagramas. Como vi-mos anteriormente, os conjuntos numéricos foram ampliados dos naturais aos racionais, introduzindo novos tipos de números (fra-ções, negativos) de modo a permitir a rea-lização das quatro operações básicas sem restrições. Essa ampliação pode ser repre-sentada pelos seguintes diagramas:
Conjunto dos Naturais (IN)
f Fechado para as operações de adição e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
, u
IN
Ampliação dos Naturais para os Inteiros ( ) f Introdução dos negativos.
f Fechado para adição, multiplicação e subtração.
–1, –2, –3, ...
, u , –
IN
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q) f Introdução das frações e dos não inteiros. f Fechado para adição, multiplicação,
, u, – ,
IN
Q
1 2, – 34,
A introdução dos números irracionais (Ir) permitiu a ampliação do campo dos racionais para os números reais (IR), representado pelo diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os irracionais são o conjunto complementar aos racionais em relação aos reais.
IN Q IR r π 2 5 3
Com base neste diagrama, podemos escre-ver as seguintes relações entre os conjuntos numéricos:
IN
Q IR
IR
= Q F r A seguir, propomos uma atividade para aprofundar o conhecimento sobre as relações entre os conjuntos numéricos:10. Qual diagrama representa melhor os subconjuntos dos nú-meros reais? IN – Naturais /
– Inteiros / Q– Racionais / r – Irracionais.a) IN r Q IR b) Q IN IR r c) Q IN IR
11. Na atividade anterior, destaque com lápis de cor o conjunto dos números irracionais.
IN
IR
a)
IN
Verdadeira. Os Naturais são um subconjunto dos Inteiros, pois todo número natural também é inteiro.
b)
IN
F = QFalsa. A reunião dos Naturais com os Inteiros é o próprio conjun-to dos inteiros. PT F =
c)
IR
– r = QVerdadeira. Os Racionais são o complementar dos Irracionais em relação aos reais.
d) E Q = Q
Falsa. A interseção entre Inteiros e Racionais é o próprio conjunto dos inteiros. E Q =
e) Q E r = Q
Falsa. Não há interseção entre Racionais e Irracionais, pois são conjuntos mutuamente exclusivos. Q E r =
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos conheçam as princi-pais características associadas aos conjuntos numéricos, desde os números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para repre-sentar situações-problema envolvendo rela-ções entre as partes e o todo de um conjunto. Além disso, o aluno deve conhecer o signifi-cado das principais relações entre conjuntos: união, interseção, pertinência, inclusão e
dife-rença. Embora o foco na 8a série/9o ano não
seja a formalização da linguagem simbólica matemática, o que será feito no Ensino Mé-dio, o aluno deve conhecer o significado dos principais símbolos ligados às operações entre conjuntos: E, F, .
Além das atividades propostas nesta Situa-ção de Aprendizagem, o professor poderá suge-rir problemas e exercícios complementares que estão presentes na maioria dos livros didáticos. Em relação aos problemas envolvendo conjun-tos, é importante orientar os alunos em relação a alguns aspectos, tais como:
f ambiguidade no enunciado; f organização das informações; f registro das operações;
f representação por meio de diagramas.
Tais aspectos devem ser considerados pelo professor nas atividades de avaliação.
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números
racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações;
rela-cionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e aproximação na representação de números racionais.
Sugestão de estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto
de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e anali-sar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos na Situação de Aprendiza-gem 1 da 7a série/8o ano, a representação decimal de um número racional ou é finita, como no casode 4
5 = 0,8, ou infinita e periódica, como no caso de 7
6 = 1,1666... A seguir apresentare-mos novos aspectos dessa questão com a reto-mada da discussão da fração geratriz de uma dízima periódica.
Recuperando o processo de determina-ção da geratriz de uma dízima, sugerimos que a discussão seja iniciada com o seguinte problema:
1. Responda:
a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,79999…?
5 4
b) Qual é o decimal obtido quando dividi-mos o numerador pelo denominador na fração encontrada no item a?
0,8
De acordo com o processo descrito na 7a série/8o ano, escrevemos x = 0,7999... e
ini-ciamos a busca de duas igualdades equivalen-tes a essa, e que tenham exatamente o mesmo período, como veremos a seguir:
x = 0,7999... (I)
10x = 7,999... (II)
100x = 79,999... (III)
u 10 u 10
u 10 u 10
com o mesmo período, que são as igualdades indi-cadas por (II) e (III). Dependendo do período da dízima investigada, o processo pode exigir mais do que duas multiplicações por 10; porém o processo descrito é geral, uma vez que, por ele, sempre será possível encontrar duas igualdades com números de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos, membro a membro, as igualdades de mesmo período que, no caso do exemplo, são (II) e (III). Tal subtração tem por objetivo encon-trar uma igualdade equivalente em que apa-reça um número inteiro no segundo membro. Com base nela, basta agora encontrar o valor de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .
A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica 0,7999… quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração: 4
5 . Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, po-demos afirmar que:
Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima perió-dica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal, pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre frações ordinárias. (III) – (II): 100x – 10x = 79,999... –7,999... 90x = 72 x = 72 90, ou seja, x = 4 5
Trabalhando com outros exemplos, o pro-fessor poderá elaborar atividades em que os alunos percebam que, pelo processo descrito, todo decimal finito poderá ser convertido em uma dízima periódica cujo período será ou 0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999... etc. Como veremos a seguir, podemos representar qual-quer número racional como soma de infinitas frações decimais.
Professor, é importante deixar claro que, se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, sempre será
possível representar um racional como a soma de infinitas frações. No caso dos racionais
4 5 e
7
4 5 = 0,8 = 0,7999... = = 7 10 + 9 100 + 9 1 000 + 9 10 000 + ... 7 6 = 1,1666... = = 1 + 1 10 + 6 100 + 6 1 000 + 6 10 000 + ... Você deve ter em mente que a discussão feita até o momento tem como objetivos:
f retomar a discussão de fração geratriz iniciada na 7a série/8o ano;
f reformular definições à luz de maior ri-gor e generalidade;
f recuperar ideias relacionadas com a estrutura do sistema decimal de numeração.
2. Encontre frações que mostrem a equiva-lência entre os seguintes números:
a) 2,5 e 2,4999… 2,5 = 10 25 = 2 5 x = 2,4999… (1) 10x = 24,999… (2) 100x = 249,999… (3) Fazendo (3) – (2): x = 90 225 = 2 5 b) 1 e 0,999… x = 0,999…(1) 10x = 9,999…(2) Fazendo (2) – (1): x = 9 9 = 1 c) 0,32 e 0,31999… 0,32= 100 32 = 25 8
ቐ
ቐ
x = 031999… (1) 10x = 3,1999… (2) 100x = 31,999… (3) 1 000x = 319,999… (4) Fazendo (4) – (3): x = 900 288 = 25 83. Analise atentamente os resultados obtidos na atividade anterior e justifique a seguinte afir-mação: “Todo número racional pode ser escri-to como uma dízima periódica”.
Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma dízima periódica com perío-do formaperío-do por infinitos “noves”. Exemplos de decimais fini-tos transformados em dízimas:
35,499… = 35,5 -726,999 = -727 0,0070999… = 0,0071
4. Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, será sempre pos-sível representar um racional como uma soma de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos racionais 4
5 e 7
6
5. Encontre a fração geratriz de 2,3939… e mostre que ela é diferen-te da fração geratriz de 2,4. (Suges-tão: encontre as frações geratrizes dos dois decimais e, em seguida, transforme essas frações em frações de mesmo denominador para poder compará-las.)
x = 2,3939 (1) 10x = 23,939 (2) 100x = 239,39 (3) Fazendo (3) – (1): x = 237 99 = 79 33 Por outro lado, 2,4 = 24
10 = 12 5 mmc (5,33) = 165, então: 79 33 = 395 165 e 12 5 = 396 165 . Logo, 2,3939 ≠ 2,4.
Considerações sobre a avaliação
Uma vez que o professor se decida por traba-lhar com as frações contínuas no seu curso so-bre números reais, recomendamos que aproveite também a oportunidade para explorar o uso da calculadora em sala de aula. Utilizar a calcula-dora para calcular a representação decimal de números racionais e para encontrar aproxima-ções de raízes pode ser uma interessante porta de entrada para a expansão do conhecimento numérico de um aluno de 8a série/9o ano.
Deve-se observar que nas séries/anos an-teriores já haviam aparecido representantes numéricos de todos os conjuntos; porém, en-tendemos que a 8a série/9o ano seja o ambiente
para organizar as informações numéricas, bem
como conceder novos contornos à discussão feita sem grande aprofundamento sobre núme-ros racionais e irracionais na 7a série/8o ano.
As avaliações sobre o tema tratado nesta Situação de Aprendizagem podem ser feitas por meio de listas de exercícios em que se peça para o aluno determinar frações geratrizes.
Identificado um interesse sobre o assunto por parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação pode ser um trabalho de pesquisa em que os alu-nos possam se aprofundar no assunto estudado.
Frações contínuas
Professor, caso considere adequado trabalhar as frações contínuas com seus alunos, sugerimos a abordagem e atividades apresentadas a seguir.
A fração 4
5 situa-se entre os inteiros 0 e 1. Dessa forma, podemos escrever 4
5 como 0 + 1 x, sendo que x > 1. Se 4 5 = 0 + 1 x, então x = 5 4, o que nos permite escrever, portanto, 4
5 0
1 5 4
= + ,
que chamaremos de igualdade (I). Pode-se repetir o mesmo raciocínio para a fração 5
4. Sabemos que 5
4 é um número entre 1 e 2 e que, portanto, pode ser escrito como 1 + 1
y, com y > 1. Se 5
4 = 1 + 1
por-tanto, que 5
4 = 1 + 1
4 , que chamaremos de igualdade (II). Substituindo (II) em (I) tere-mos 4 5 0 1 1 1 4 = +
+ , que será a igualdade (III).
Repetindo mais uma vez o mesmo processo para a fração 1 4, teremos: 1 4 = 0 + 1 w , com w > 1, o que implica dizer que w = 4, por-tanto, 1
4 = 0 + 1
4. Note que esta última etapa dos cálculos não implicou uma representação diferente para a fração 1
4, o que, em última análise, quer dizer que o processo está encer-rado. Na prática isso sempre ocorrerá quando x, y, w, ... for um número inteiro.
No caso do exemplo analisado, x = 5 4, o que nos fez calcular y, que por sua vez é igual a 4 D Z, encerrando assim o processo em y. Decorre do processo realizado a se-guinte igualdade, que chamamos “dese-volvimento do 4 5 em fração contínua”: 4 5 0 1 1 1 4 = + +
Pode-se demonstrar que todo número ra-cional pode ser escrito como fração contínua por meio de um desenvolvimento finito, como ocorreu no exemplo anterior.
Observe que o racional 7
6, cuja representa-ção decimal era explicitamente uma dízima pe-riódica, também pode ser escrito como fração
contínua por meio de um número finito de pas-sos. O raciocínio será o mesmo utilizado para 4
5: (I) 7
6 está entre 1 e 2, portanto, 7 6 = 1 + 1 x, com x > 1 (II) De 7 6 = 1 + 1 x decorre que x = 6, ou seja, 7 6 = 1 + 1 6
(III) Como x = 6 D Z, o processo está en-cerrado e a fração contínua do de-senvolvimento de 7 6 é 7 6 = 1 + 1 6.
Atividade 1
Com relação ao número racional 16 7, pergunta-se:
a) Utilizando o algoritmo da divisão para 16 ÷ 7, encontraremos um decimal fini-to ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fa-zer a conta 16 ÷ 7, irá encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa divisão um perío-do que se repete, é possível que o aluno responda que o resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem 2 “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da 7a série/8o ano. Naquele momento, foi discutido que, ao
realizarmos a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódi-ca se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador da fração 16
re-presentação decimal decorrente da divisão será uma dízima periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a identificação do período, reco-mendamos que o professor solicite que os alunos façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período (16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).
b) Escreva 16
7 como fração contínua.
(I) 16 7
está entre 2 e 3, portanto, 16 7 = 2 + 1 x , com x > 1. (II) De 16 7 = 2 + 1 x decorre que x = 72 , ou seja, 16 7 = 2 + 1 7 2 . (III) 7 2
está entre 3 e 4, portanto, 7 2 = 3 + 1 y , com y > 1. (IV) De 7 2 = 3 + 1 y
decorre que y = 2, ou seja, 7 2
= 3 + 1 2 .
(V) Como y = 2 D Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é 16 7 = 2 + 1 3 + 1 2
A seguir, mais um exercício para reforçar a ideia do processo.
Atividade 2
Escreva 3013
como fração contínua.
(I) 30 13
está entre 2 e 3, portanto, 30 13 = 2 + 1 x , com x > 1. (II) De 30 13 = 2 + 1 x decorre que x = 13 4 , ou seja, 30 13 = 2 + 1 13 4 . (IV) De 13 4 = 3 + 1 y
decorre que y = 4, ou seja, 13 4
= 3 + 1 4 .
(V) Como y = 4 D Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é 30 13 = 2 + 1 3 + 1 4 .
Em resumo, alguns dos objetivos específi-cos que o professor poderá levar em conside-ração se decidir por abordar frações contínuas para representar números racionais são:
f as frações contínuas descrevem um processo finito (por meio de frações) para a represen-tação de todo e qualquer número racional. Sem as frações contínuas, e restritas apenas à representação decimal dos números racio-nais, uma dízima periódica só poderá ser re-presentada como a soma infinita de frações; f as frações contínuas são trabalhadas em
um contexto em que se faz necessária a retomada de operações e representação de frações, o que é positivo dentro da ótica de currículo em espiral;
f o estudo das frações contínuas abre uma interessante perspectiva de inter-pretação e análise dos números irracio-nais, como veremos a seguir.
1,4142135 de 2, sabemos, de antemão, que o número indicado é apenas uma aproximação de 2, dado que 2 é um número irracional. Se fosse possível ter uma calculadora que cal-culasse 2 com infinitas casas, o fato de se tratar de um número irracional nos dá garan-tias de que não haverá formação de período em sua parte decimal.
Se nos referirmos aos números irracio-nais dessa maneira, após a discussão da re-presentação dos racionais por frações contí-nuas, surge quase naturalmente a pergunta: Existe um processo para a representação dos irracionais com frações contínuas? Ve-remos a seguir que, além de existir tal pro-cesso, surpreendentemente ele nos conduzi-rá a um tipo de representação periódica e, portanto, previsível.
A seguir, aplicaremos o mesmo processo que foi utilizado para a obtenção de frações contínuas de números racionais para o caso do número irracional 2.
I. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2= +1 1 x, com x > 1. II. De 2= +1 1 x decorre que: 2– 1 1 x x 1 2 –1 x 1 2 –1 u 2 1 2 1 x= +1 2 Temos, portanto, 2 1 1 1 2 = + +
III. 1 2 é um número entre 2 e 3, portanto, 1+ 2= +2 1 y, y > 1. IV. De 1 + 2 = 2 + 1 y decorre que y = 1 + 2 e, portanto, temos: 1 2 2 1 1 2 + = + +
V. Substituindo no resultado do passo II o resultado obtido no passo ante-rior teremos: 2 1 1 2 1 1 2 = + + +
VI. Note que x = y = 1 2. Se fôssemos continuar o processo, partiríamos de y e encontraríamos w= +1 2. Na sequência, partiríamos de w= +1 2
e encontraríamos z= +1 2, e assim sucessivamente em um processo infi-nito. Portanto, a fração contínua que representa 2 será: 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ...
bastando para isso parar em algum ponto da sequência infinita indicada na fração contí-nua. 1a aproximação: 2 1 ≈ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2a aproximação: 2 3 2 1 5 ≈ = , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 < , ou seja, 2 3 2 ≈ 3a aproximação: 2 7 5 1 4 ≈ = , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 2 7 5 ≈ + + ,ou seja, ≈ 4a aproximação: 2 17 12 1 4167, ≈ ≈ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 2 17 12 + + + ,ou seja, ≈ ≈ 5a aproximação: 2 41 29 1 4138, ≈ ≈ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 41 29 + + + + ,ou seja, ≈ ≈
Aproximação de 2 Erro em relação ao valor de 2 Tipo de aproximação 1a) 1 1 = 1 5 0,4142 Falta 2a) 3 2 = 1,5 5 0,0858 Excesso 3a) 7 5 = 1,4 5 0,0142 Falta 4a) 17 12 5 1,4167 5 0,0024 Excesso 5a) 41 29 5 1,4138 5 0,0004 Falta
O processo de determinação das frações con-tínuas dos números racionais e do número ir-racional 2 sinaliza para as seguintes evidências, que podem ser matematicamente demonstradas:
1. Todo número racional pode ser repre-sentado por uma fração contínua por meio de um número finito de passos. 2. Todo número irracional do tipo n (com
n natural não quadrado perfeito) pode ser representado, por um processo infi-nito de passos, na forma de uma fração contínua, cuja configuração é periódica. 3. Todo número real pode ser
representa-do por uma fração contínua.
O segundo resultado enunciado é curioso porque, contrariamente às outras aproximações
de 2, que envolvem infinitas frações não pe-riódicas, ao ser expressa por uma fração contí-nua a representação da segunda aproximação será periódica.
A título de curiosidade, apresentamos a se-guir a representação com fração contínua de dois importantes números irracionais, ou seja, a razão áurea 1 5 2 e /: 1 5 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + + + ... e π = 3 1 7 1 15 1 1 1 292 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ...
Atividade 3
Determine a fração contínua que represen-ta o número 24.
x = 1 24 – 4 u 24 + 4 24 + 4 x = 4 + 24 8 Temos, portanto, 24 = 4 + 1 4 + 24 8 III) 4 + 24 8
é um número entre 1 e 2, portanto,
4 + 24 8 = 1 + 1 y , y > 1. IV) De 4 + 24 8 = 1 + 1 y , decorre que y = 4 + 24 e, portanto, temos: 4 + 24 8 = 1 + 1 24 + 4
Substituindo o resultado do passo IV no resultado do passo II, temos:
24 = 4 + 1 1 + 1
4 + 24
V) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos 4 + 24 = 8 + 1 w , com w > 1. VI) De 4 + 24 = 8 + 1 w decorre que w = 4 + 24 8 . Como w
repetiu o valor de x, a partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contí-nua que representa 24 será:
24 = 4 + 1 + 1 1 8 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 8 + 1 ...
Finalizada esta breve apresentação sobre o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez, que o tratamento dado na ampliação desta Situação de Aprendizagem aos números ra-cionais e irrara-cionais por meio de frações con-tínuas consiste em uma alternativa à abor-dagem tradicional conduzida por boa parte dos programas curriculares e livros didáticos. Deve ficar claro que a decisão sobre incorpo-rar ou não essa abordagem (ou parte dela) caberá ao professor.
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real;
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com
crité-rios preestabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar com base em proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Sugestão de estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação
entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos números na reta real.
