Os problemas propostos a seguir têm o obje-tivo de pôr em prática a resolução de equações
de 2o grau em problemas contextua lizados. É importante lembrar aos alunos que nem sem-pre é necessário o uso de fórmula para resolver uma equação desse tipo, mas, quando julgarem necessário, poderão usá-la livremente.
A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para a reso-lução de uma equação de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o povo hindu em geral deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.
Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e ba-bilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que esses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.
1. Responda às seguintes questões:
a) O quadrado da oitava parte de um ban-do de macacos saltitava em um bosque
divertindo-se com a brincadeira, en-quanto os 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. Quantos macacos constituem o bando?
Se considerarmos x o total do bando, temos que ൭ x 8 ൱
2
+ 12 = x.
Resolvendo a equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
b) Em ambas as margens de um rio existem
duas palmeiras, uma em frente à outra. A altura de uma é 30 côvados; a da ou-tra, 20. A distância entre seus troncos é de 50 côvados. Na copa de cada pal-meira está um pássaro. Subitamente os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água. Os pássa-ros lançam-se sobre ele e o alcançam no mesmo instante. Qual é distância entre o tronco da palmeira maior e o peixe? A situação está ilustrada na figura a seguir:
30
20
50 – x x
Consideremos inicialmente x a distância entre o tronco da pal-meira maior e o peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, devemos considerar que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os dois triân gulos retângulos possuem a mes-ma medida de hipotenusa. Dessa formes-ma, aplicando o Te oremes-ma de Pitágoras, podemos escrever que 302 + x2 = 202 + (50 – x)2. Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se can-celarão, resultando em uma equação de 1o grau de raiz 20. Logo,
c) Adicionei sete vezes o lado de um
qua-drado a onze vezes a sua área e o resul-tado foi 6,25. Qual é a medida do lado do quadrado?
A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão 11
22 e – 25
22
. No entanto, somente a solução positiva tem
significado nesta situação: o lado do quadrado deve ser 0,5.
2. Perguntaram a um professor de Matemática
sobre o número de pessoas que o acompa-nharam na visita a uma exposição. Como resposta, o professor criou um problema, explicando que todas as pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cum-primentaram-se apertando as mãos e, assim, ele observou 66 cumprimentos. Quantas pessoas acompanharam o professor?
Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos entre as pessoas, logo, desconsideramos os referentes a ele. Para resolver este problema, o aluno deve considerar inicial-mente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá é uma unidade a menos que o número total de pessoas. Afi-nal, uma pessoa não se cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número de pessoas, o número total de cumprimen-tos será x(x – 1). Em seguida, como o cumprimento do aluno A ao aluno B é o mesmo cumprimento de B ao aluno A, esse total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação
x(x – 1)
2 = 66, isto é, x
2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os
números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas acompanharam o profes-sor. Observe a tabela a seguir:
Número de pessoas 1 2 3 4 5 x ... Número de cumprimentos 0 1 3 6 10 x(x – 1) 2 ... © Cone xão Editorial
3. Mostre que não existem dois números reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu produto igual a 10.
Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que satisfazem as condições do problema.
4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx + + 9 = 0, sendo b um número real.
a) Substitua b por 10 e calcule as raízes da equação.
–9 ou –1
b) Determine um valor de b para o qual a equação possua duas raízes reais e iguais (pode-se dizer também uma raiz real dupla).
–6 ou 6
c) Determine um valor de b para o qual a equação não possua raízes reais.
Uma possível resposta: b = 5, uma vez que essa questão não tem uma única resposta e sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, duran-te o Ensino Médio.
A seguir, vamos explorar algumas relações, fatos e propriedades geométricas em que se aplicam equações de 2o grau.
5. A diagonal de um polígono convexo é o seg-mento que une dois vértices não consecutivos. Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C, D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.
A C D E F G
Com base nessa definição:
a) Quantas diagonais tem um retângulo? E um pentágono?
Retângulo: 2 diagonais; pentágono: 5 diagonais.
b) Complete a tabela apresentada a seguir
Número de lados de um polígono Número de diagonais de um polígono 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 ... ... n n(n – 3) 2
c) Qual é o número de diagonais de um polígono com 15 vértices?
90
d) Sabendo que um polígono tem 44 diago-nais, quantos lados tem esse polígono?
11 lados H
e) Utilizando seus conhecimentos sobre
equações de 2o grau, mostre que não existe um polígono com exatamente 42 diagonais.
Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas.
6. O projeto de um jardim
retangu-lar prevê que se coloquem pedras ornamentais, formando com o jar-dim uma área maior, também retangular. Na figura a seguir, a região cinza representa o lugar onde as pedras deverão ser colocadas.
x 15 m
6 m
x
Sabendo que a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, calcule a medida x em metros.
A figura pode ser dividida conforme indicado a seguir: x x + 6 15 6 x x
Nessa condição, o valor de área dada pode ser aplicado na seguinte equação: x(x + 6) + 15x = 46
Essa equação apresenta solução x = –23 ou x = 2. A resposta positiva é a que interessa à situação. Portanto, x = 2.
7. Em uma peça retangular de tecido,
par-cialmente representada na figura a seguir, o número de fios de linha vermelha excede
o número de fios de linha azul em 5, sendo que o total de pontos de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800. Calcule o número de fios de linhas azul e vermelha usados na confecção desse tecido.
fios de linha vermelha
fi
os de linha azul
Se o número de fios azuis for igual a x, o de fios vermelhos será x + 5. O total de cruzamentos entre os fios, nesse caso, poderá ser representado pela expressão xu(x + 5). Temos a equação: x(x + + 5) = 6 800 que apresenta solução x = 80 ou x = –85. Assim, o número de fios azuis é 80 e o de fios vermelhos é 85.
8. Um vitral retangular colorido de dimensões
2 m por 4 m será emoldurado conforme in-dica a figura a seguir. Sabendo que a área total da moldura é 7 m2, calcule a medida x do lado dos quadrados nos cantos da mol-dura, tendo em vista que os quatro cantos da moldura são quadrados idênticos.
x x x x x x x x 4 m 2 m
Desafio!
9. Com os procedimentos já estudados para solucionar equações de 2o grau, você pode resolver também equações de outros graus. Assim, resolva as se-guintes expressões algébricas:
a) x3 – 6x = 0
x3 – 6x = 0, logo x(x2 – 6) = 0
Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 Ax = ± 6 .
Assim, a equação tem como soluções S = { 0, 6 , – 6 }.
b) x= x– 1 + 3
Inicialmente, vamos isolar a raiz e depois elevar ambos os membros da equação ao quadrado:
(x – 3)2 = x – 1 x2 – 6x + 9 = x – 1 x2 – 7x + 10 = 0
As soluções serão x = 2 ou x = 5. Contudo, temos que ve-rificar a validade das soluções.
x = 2 x = 5 2 = 2 – 1 + 3 5 = 5 – 1 + 3
2 = 1 + 3 5 = 4 + 3 2 = 4 falso 5 = 5 (verdadeiro) S = {5}
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, foi pro-posta aos alunos uma série de atividades que envolvem equações de 2o grau e sua solução. Mui-tas delas já apontam para a relação entre duas grandezas, preparando noções sobre funções, tema das próximas Situações de Aprendizagem. É fundamental que o professor observe tanto a compreensão dos enunciados como os processos de resolução das equações. Em cada problema, podem-se recuperar as estratégias aprendidas e sugerir as formas mais adequadas de resolução.
Uma ideia que o professor pode desenvol-ver, neste momento, é propor aos alunos a criação de problemas que envolvam a expres-são e resolução de uma equação de 2o grau. Para isso, os alunos podem fazer pesquisas sobre fenômenos que são modelados por fun-ções quadráticas. Ao recolher os trabalhos, o professor pode observar a criatividade com que foram elaborados os problemas e o rigor das resoluções. Valorizando a produção dos alunos, o professor pode discutir uma ou outra forma mais adequada de apresentar o proble-ma e a resolução.