PRINCIPAIS RESULTADOS DESTE ESTUDO E SEUS APORTES PARA A

Nesta parte do trabalho, realizamos um breve retrospecto do capítulo a fim de apresentar os principais resultados das análises institucionais e conduzir o estudo para a identificação do Modelo Epistemológico Dominante (MED) e construção de um Modelo Epistemológico de Referência (MER) para alicerçar o Modelo Didático de Referência (MDR), consolidado por intermédio de um Percurso de Estudo e Pesquisa (PEP), amparado na Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1999b). Esses modelos serão explicitados em seguida.

Nesta pesquisa, pudemos analisar o Modelo Epistemológico Dominante (MED)62 adotado pelas instituições (PCN, PC, LD, aulas dos professores, cadernos dos estudantes), bem como identificar as condições e restrições que determinam as relações institucionais e pessoais com o objeto matemático área e interferem direta ou indiretamente nos processos de ensino e aprendizagem do tema em questão. Para conhecer o Modelo Epistemológico Dominante (MED), principiamos empreendendo um estudo da gênese de área, e, posteriormente, analisamos o objeto matemático referido nos documentos acima mencionados.

Nesse sentido, para fins de elucidação, apresentamos a seguir uma brevíssima síntese deste estudo, conforme indicado mais acima.

As razões históricas que motivaram a construção de praxeologias matemáticas do objeto (Área) estão vinculadas aos problemas de medições da terra em antigas civilizações (BOYER; MERZBACH, 2012). Nesse período, já se conjeturava sobre o tema, entretanto baseava-se em conhecimentos empíricos, uma vez que não se tinha conhecimento de demonstrações matemáticas.

Nos PCN (BRASIL, 1998) identificamos que o tema é considerado de grande relevância, sobretudo pela conexão com outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1998). O documento distribui seus conteúdos em quatro blocos: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. O tema área é estudado no bloco das Grandezas e Medidas e pode ser articulado entre os blocos: Números e Operações e Espaço e Forma; este, desenvolvido por meio das noções geométricas.

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Modelo Epistemológico Dominante (MED), Modelo Epistemológico de Referência (MER), Modelo Didático de Referência (MDR).

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MED – É a forma de interpretar e descrever um objeto matemático que é predominante em uma instituição

A PC (BAHIA, 2013) se respalda no documento mencionado, estruturando seus conteúdos em uma base nacional comum e numa parte diversificada. Como nos PCN (BRASIL, 1998), nosso objeto de estudo se insere no eixo das Grandezas e Medidas, com possibilidade de conexão com os Números e Operações e Espaço e Forma. O documento em pauta também destaca a relevância social como uma das questões ressaltantes do tema. Verificamos que os dois documentos se inquietam no tocante ao ensino tecnicista adotado por um grande percentual de professores da educação básica.

Na análise dos livros didáticos, constatamos que o LD1 utiliza o recurso da malha para introduzir o assunto, aborda transformações de unidades e outras unidades agrárias, explora medida de uma superfície com unidades não padronizadas, avança nos conceitos de medida de área através de fórmulas e apresenta situações envolvendo perímetro e área. Já o LD2, começa seu capítulo versando sobre múltiplos e submúltiplos do metro, leitura das medidas de superfície, transformação das unidades de medidas, medidas agrárias e discute sobre a área das principais figuras planas.

Nos exemplares analisados, identificamos a predominância das situações de medidas, quando se recomenda uma abordagem direcionada à concepção do conceito de área como grandeza, adotada por Douady e Perrin-Glorian (1989); Baltar (1996); Bellemain e Lima (2002); e Ferreira (2010), entre outros. Além disso, consideramos insuficiente o enfoque dado às situações de produção de superfícies e de comparação, conforme a classificação de Baltar (1996), Bellemain e Lima (2002) e Ferreira (2010), entre outros.

Tanto quanto no PCN (BRASIL, 1998), a PC (BAHIA, 2013) e os Livros didáticos analisados demandam a habilidade calcular a área das figuras planas, o que indica, portanto, que os documentos utilizam uma visão distinta da adotada nesta pesquisa (área como grandeza). Conforme o nosso estudo, calcula-se a medida da área da figura (DOUADY; PERRIN-GLORIAN, 1989; BALTAR, 1996; MAGINA et al 2006; LIMA; BELLEMAIN, 2010, grifo nosso).

Nas praxeologias dos professores, observamos que estes atuam influenciados por uma abordagem tecnicista63, que consiste essencialmente na aplicação de fórmulas, sem justificativas explícitas dos motivos que os levaram a desenvolver tal técnica. Essa constatação corrobora com as inquietações apresentadas nos PCN (BRASIL, 1998) e na PC (BAHIA, 2013) sobre esse tipo de enfoque.

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A perspectiva tecnicista impõe uma conduta por meio do emprego de técnicas e recursos metodológicos específicos (LUKESI, C. Filosofia da Educação. São Paulo: Cortez, 2003).

Nas análises dos cadernos dos estudantes, verificamos uma reprodução do trabalho do professor. Viñao (2008) aponta que o caderno reflete o trabalho desenvolvido em classe, ressaltando, porém, que não podemos apreciar as reproduções das tarefas como uma limitação dos estudantes, visto que, é necessário compreender que uma tarefa trabalhada em classe possui especificidades que podem gerar verdadeiras regras de contrato didático, na maioria das vezes implícitas e presentes no ato da resolução da tarefa pelo professor.

A partir das análises institucionais, do Modelo Epistemológico Dominante (MED) posto, constatamos que as restrições que incidem sobre as atividades matemáticas escolares comprovam que as OM ensinadas e/ou aprendidas na educação básica, são pontuais, pouco articuladas entre si e com escassa justificativa das técnicas utilizadas, o que leva à incompletude64 das organizações matemáticas.

Presumimos que a incompletude observada, pode estar associada a diversos fenômenos, entre eles, a desarticulação do objeto matemático (área) identificado na educação básica, motivada pela epistemologia dominante nas instituições escolares (CHEVALLARD, 1991); a “epistemologia espontânea do professor”65

(BROUSSEAU, 1998) o vazio didático (FARIAS, 2010), causado pela ausência de alicerces para ancorar a prática docente, e a dissociação entre o trabalho da técnica e o tecnológico-teórico, uma vez que, Bosch, Fonseca e Gascón (2004) entendem que as atividades institucionais somente se completam quando se integra o trabalho da técnica com o tecnológico-teórico.

A constatação de uma incompletude no sistema de ensino suscita a necessidade de estudar um Modelo Epistemológico de Referência para apoiar a proposta de um Modelo Didático de Referência. Este é considerado uma extensão do Modelo Epistemológico de Referência (BOSCH; GASCÓN, 2010).

Conforme Bosch e Gascón (2010, p. 61, tradução nossa):

uma das funções essenciais da utilização desses modelos é fornecer para a pesquisa em didática e para a própria disciplina, um instrumento de emancipação a respeito das diferentes instituições que forma, parte de um objeto de estudo. Em particular, deve servir para questionar, analisar e avaliar (em vez de aceitar acriticamente) os modelos dominantes nessas instituições.

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Utilizamos o termo incompletude inspirado em Bosch, Fonseca e Gascón (2004). 65

Uma praxeologia excessivamente centrada no professor impede que se alcance o nível institucional, deixando, portanto, a praxeologia didática da instituição fora da sua abrangência. Nesse sentido “um professor que não domina os meios materiais (por exemplo, computador) necessários para implementar uma técnica de ensino particular, ele não vai usar normalmente, independentemente de como interpretar e avaliar a técnica.” (BOSCH; GASCÓN, 2004, p. 3).

Segundo Chevallard (1991 apud FARRAS; BOSCH; GASCÓN, 2013), o Modelo Epistemológico de Referência permite questionar a forma como as instituições envolvidas na problemática didática interpretam o saber matemático. Portanto, este modelo abarca a proposta de auxiliar no que se refere às limitações do Modelo Epistemológico Dominante instaurado nas instituições de ensino, uma vez que, avalia as restrições que o modelo apresenta para o desenvolvimento de novas propostas de praxeologias. É importante salientar que o MER discutido neste trabalho tem um caráter provisório, passível de sofrer modificações, tendo em vista a alegação de Chevallard (1991) quando afirma que não existe um sistema de ensino diferenciado e absoluto.

Segundo Farras, Bosch e Gascón (2013), no domínio da TAD, o problema de investigação surge de um problema inicial, que denominamos de problema docente. No âmbito desta pesquisa, o problema docente é: o que temos que “ensinar” aos alunos do 6º ano do ensino fundamental sobre área? Os pesquisadores supracitados compreendem que para transformar um problema docente em um problema de investigação em didática, no âmbito da TAD, é necessário questionar a forma de interpretar o Modelo Epistemológico Dominante, não somente nas instituições escolares, mas também na noosfera66. Pelo qual denominamos de problema didático, estando associados aos fenômenos anunciados anteriormente. Os problemas didáticos têm características que compõem três dimensões: epistemológica, econômica e ecológica.

Na dimensão epistemológica, procuramos descrever e interpretar o modelo epistemológico do âmbito matemático que está em pauta. Para considerar essa dimensão, questionamos: qual a “razão de ser” alternativa para o ensino de área, se considerarmos um Modelo Epistemológico de Referência compatível com a proposta da TAD?

Na dimensão econômica, buscamos revelar o que está “posto” nas instituições de referência, como são apresentadas as tarefas nos sistemas de ensino e qual o papel que o objeto matemático (área) desempenha nas instituições analisadas. Para contemplar essa dimensão, perguntamos: como incide o Modelo Epistemológico Dominante (MED) sobre a forma de organizar o estudo de área nas instituições?

E na dimensão ecológica, buscamos verificar se foram feitos avanços na compreensão das condições necessárias para o estudo desse objeto (área) e se foram elucidadas a origem e natureza das restrições que atualmente impedem que o objeto matemático referido exista. Para

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A noção de noosfera de um sistema de ensino foi idealizada para designar a esfera onde se acredita que ocorre o funcionamento do sistema didático. A noosfera relaciona as instituições produtoras do saber (programas oficiais, livros didáticos, recomendações para professores, materiais didáticos etc.) com a Escola (CHEVALLARD, 1991).

esta dimensão, indagamos: qual o possível Modelo Didático de Referência (MDR) a ser institucionalizado para o ensino de Área, no 6° ano do ensino fundamental?

A articulação destas três dimensões, epistemológica, econômica e ecológica, conduziu nosso olhar, no que se refere ao problema didático, para a construção de um MER/MDR. Por sua vez, o Modelo Didático de Referência (MDR) concebido a partir do Modelo Epistemológico de Referência (MER) levou nossa investigação para a construção de praxeologias matemáticas, por intermédio de um Percurso de Estudo e Pesquisa (PEP).

5 PERCURSO DE ESTUDO E PESQUISA

5.1 CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE UM MODELO EPISTEMOLÓGICO DE